2024-2025学年广东省湛江市高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省湛江市高二（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a=(2,−3,1)，b=(−2,1,x)，若a⊥b，则x的值为( )
A. 7B. −8C. 6D. −5
2.过圆O：x2+y2=1外的点P(3,2)作O的一条切线，切点为M，则|MP|=( )
A. 2B. 2 3C. 13D. 4
3.抛物线y=18x2的焦点坐标是( )
A. (0,2)B. (0,4)C. (2,0)D. (4,0)
4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4+a7=12，则S10=( )
A. 30B. 40C. 50D. 60
5.函数f(x)=ex+ax在x=0处的切线与直线3x−2y−5=0平行，则实数a=( )
A. −1B. 1C. 12D. 14
6.某机构为研究高血压与高盐饮食是否有关系进行了一次调查，根据独立性检验的原理，有95%的把握但没有99%的把握认为高血压与高盐饮食有关，则χ2的观测值不可能为( )
附：P(χ2≥3.841)=0.05，P(χ2≥6.635)=0.01，P(χ2≥7.879)=0.005．
A. 3.622B. 4.502C. 5.921D. 6.634
7.已知随机变量X～B(n,23),Y～N(4,σ2)，且P(−1≤Y≤4)+P(Y>n)=0.5，则E(X)=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
8.设正整数n=a0⋅20+a1⋅2+…+ak−1⋅2k−1+ak⋅2k，其中ai∈{0,1}，记ω(n)=a0+a1+⋯+ak，则下列说法错误的是( )
A. ω(10)=2．
B. ω(16n+5)=ω(4n+3)．
C. ω(8n+5)=ω(4n+5)．
D. 若n0,b>0)右支上一点，F1，F2为左右焦点，直线MF1交y轴于点N，O为坐标原点，若|NF1|=|MF2|=|OM|，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图所示，AE⊥平面ABCD，四边形AEFB为矩形，BC//AD，BA⊥AD，AE=AD=2AB=2BC=4．
(1)求证：CF//平面ADE；
(2)求平面CDF与平面AEFB所成角的正弦值．
16.(本小题15分)
已知椭圆E：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，且E过点(1,0)．
(1)求E的方程；
(2)若斜率为2的直线l与y轴交于点D，与E交于M，N两点，证明：|DM|2+|DN|2为定值．
17.(本小题15分)
已知数列{an}满足：a1=1，an+1=an+2(n∈N∗)，数列{bn}为单调递增的等比数列，b2=2，且b1，b2，b3−1成等差数列．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=aex(x−lnx)(a∈R)．
(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)设ℎ(x)=x−f(x)ex，当a≥0时，求函数ℎ(x)的最大值；
(3)讨论函数y=x与函数y=f(x)的图象的交点个数．
19.(本小题17分)
我们将借助导数求随机变量的期望和方差的方法称为微分恒等式法，微分恒等式法既可以用于实验次数有限的情况，也可以用于实验次数无限的情况.微分恒等式法的一个应用案例如下：
关于x的恒等式满足x+(1−x)x+(1−x)2x+⋯+(1−x)k−1x+⋯=1，
对等式两边求导可得1−x+(1−x)−2(1−x)x+(1−x)2+⋯−(k−1)(1−x)k−1x+(1−x)k−1+⋯=0．
移项得1+(1−x)+(1−x)2+⋯+(1−x)k−1+⋯=x+2(1−x)x+⋯+(k−1)(1−x)k−1x+⋯．
某校师生在操场上欢庆元旦，其中有一项套圈活动备受欢迎，活动规则为每人累计k(k∈N∗)次未套中时则停止套圈，否则可以继续套圈.若每人每次套中的概率为p(00)的离心率为 32，且E过点(1,0)，
所以b=1 a2−b2a= 32，
解得a=2，
故E的方程为y24+x2=1；
(2)设D(0,t)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，则直线l的方程为y=2x+t，
与y24+x2=1联立，
得8x2+4tx+t2−4=0，
则Δ=16(8−t2)>0，
且x1+x2=−t2,x1x2=t2−48，
所以|DM|2+|DN|2=x12+(y1−t)2+x22+(y2−t)2
=x12+(2x1)2+x22+(2x2)2=5(x12+x22)=5[(x1+x2)2−2x1x2]=5，
故|DM|2+|DN|2为定值．
17.(1)数列{an}满足：a1=1，an+1=an+2(n∈N∗)，
故{an}是公差为2的等差数列，
由等差数列的通项公式可得an=2n−1；
又b1，b2，b3−1成等差数列，故2b2=b1+b3−1，
设{bn}的公比为q，其中b2=2，则4=2q+2q−1，解得q=2或12
当q=12时，b1=4，此时bn=b1qn−1=(12)n−3，为递减数列，舍去；
当q=2时，b1=1，此时bn=b1qn−1=2n−1，为递增数列，满足要求．
综上，an=2n−1，bn=2n−1；
(2)由(1)cn=an+bn=2n−1+2n−1，
Tn=c1+c2+c3+...+cn=(1+20)+(3+21)+(5+22)+...+(2n−1+2n−1)
=(1+3+...+2n−1)+(20+21+...+2n−1)
=n(1+2n−1)2+20(1−2n)1−2
=n2+2n−1．
18.(1)若a=1，那么函数f(x)=ex(x−lnx)，
因此导函数f′(x)=ex(x−lnx+1−1x)，那么f′(1)=e，
又因为f(1)=e，
因此y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y−e=e(x−1)，
即ex−y=0．
(2)函数ℎ(x)=x−f(x)ex=x−aex(x−lnx)ex=xex−a(x−lnx)=a(lnx−x)+xex，
ℎ(x)的定义域为(0,+∞)，
导函数ℎ′(x)=a(1x−1)+1−xex=a⋅1−xx+1−xex=(1−x)(1ex+ax)，当a≥0时，1ex+ax>0，
令ℎ′(x)1，
令ℎ′(x)>0，得00时，函数ℎ(x)的最大值为ℎ(1)=1e−a．
若1e−a=0，即a=1e，则ℎ(x)只有一个零点，
若1e−a1e，则ℎ(x)无零点，
若1e−a>0，即01，
令函数g(x)=lnx−x，那么导函数g′(x)=1x−1=1−xx且x>0，
根据导函数g′(x)1；根据导函数g′(x)>0，得0