2024-2025学年黑龙江省哈尔滨十二中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省哈尔滨十二中高一（下）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数2+i的共轭复数是( )
A. 2+iB. −2+iC. 2−iD. −2−i
2.已知向量a=(1,2)，b=(2,t)，若a//b，则t=( )
A. −4B. 1C. 2D. 4
3.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=30°，a=1,c= 3，则角C的值为( )
A. π3B. 2π3C. π3或2π3D. π2
4.在△ABC中，E是BC靠近B点的三等分点，AE=( )
A. 23AC+13AB
B. 12AC+12AB
C. 13AC+23AB
D. 34AC+14AB
5.正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AA1与BC1所成的角为( )
A. 60°B. 45°C. 30°D. 90°
6.已知圆锥高为2，母线与底面所成角为45°，则该圆锥的表面积为( )
A. 4πB. 4 2πC. (4 2+4)πD. 8 2π
7.已知向量a,b夹角为π3，|a|=2,|b|=1，则向量a在向量b上的投影向量为( )
A. bB. 12bC. aD. 12a
8.小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为15( 3−1)m，在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为( )
A. 20m
B. 30m
C. 20 3m
D. 30 3m
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z满足z(1+i)=1，以下说法正确的是( )
A. 复数z的虚部是−i2B. z=12−i2
C. z−在复平面内对应的点在第二象限D. |z|= 22
10.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论正确的是( )
A. A1C1⊥BD1
B. A1C1//平面ACD1
C. 正方体的外接球的表面积为12π
D. 三棱锥D1−ADC的体积为83
11.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是( )
A. 若sin2A+sin2B>sin2C，则△ABC是锐角三角形
B. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
C. 在锐角△ABC中，不等式sinA>csB恒成立
D. 若△ABC的面积S=14(a2+b2−c2)，则C=π4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(−2,3)，b=(3,m)，且a→⊥b→，则m= ．
13.在△ABC中，AB=2，B=120°，A=30°，则△ABC外接圆的半径为______．
14.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=5，AD=5，AA1=6，
∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=π3，则AC1的长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量a，b满足：|a|=3，|b|=2，〈a,b〉=2π3．
(1)求|a−b|；
(2)当(a+kb)⊥(a−b)时，求实数k的值．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PD的中点，F是AC的中点．
(1)证明：EF//平面PAB；
(2)证明：BD⊥平面PAC．
17.(本小题15分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcsA− 33asinB=0．
(1)求A；
(2)若b=4，c=6，设AD为△ABC的角平分线，求AD的长．
(3)若a=2，且△ABC的面积为 3，求△ABC的周长．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(b+c)(sinB−sinC)=(a−c)sinA．
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3 34，且AD=2DC，求BD的最小值．
19.(本小题17分)
如图，四边形ABCD中，AB//CD，∠DAB=90°，F为CD中点，点E在AB上，EF//AD，AB=3AD，CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD′A′，使得面EFD′A′与面EFCB所成的二面角为60°．
(1)证明：A′B//平面CD′F；
(2)求面BCD′与面EFD′A′所成二面角的正弦值．
答案解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
直接利用共轭复数的概念得答案．
本题考查复数的基本概念，是基础题．
【解答】
解：复数2+i的共轭复数是2−i．
故选：C．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意，向量a=(1,2)，b=(2,t)，
若a/​/b，则1×t−2×2=0，解可得t=4．
故选：D．
根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得1×t−2×2=0，解可得答案．
本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为A=30°，a=1,c= 3，
所以由正弦定理得：asinA=csinC，
所以sinC=csinAa= 3×sin30°1= 32．
因为c>a，所以C>A．
又因为C∈(0,π)，所以C=π3或C=2π3．
故选：C．
先根据正弦定理得出sinC= 32；再根据三角形中大边对大角及特殊角的三角函数值即可求解．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意可知，AE=AB+BE=AB+13BC
=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC．
故选：C．
根据向量的线性运算，即可求得答案．
本题考查了向量的线性运算，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：如图，
AA1/​/BB1；
∴∠B1BC1是异面直线AA1与BC1所成角，且∠B1BC1=45°．
故选：B．
画出正方体ABCD−A1B1C1D1，通过图形即可找出异面直线AA1与BC1所成的角，并容易得出该角的值．
考查异面直线所成角的概念及其求法，明确正方体的概念．
6.【答案】C
【解析】解：因为圆锥的高为2，母线与底面成角为45°，所以圆锥的母线长为2 2，
所以圆锥的表面积为S=πrl+πr2=2 2×2π+22π=(4 2+4)π．
故选：C．
根据题目条件求出圆锥的母线长和底面半径，进而根据圆锥表面积公式求出圆锥的表面积．
本题考查的知识点：圆锥的母线长，圆锥的表面积，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：由向量a,b夹角为π3，|a|=2,|b|=1，
可得向量a在向量b上的投影向量为a⋅b|b|b|b|=2×1×121×1b=b．
故选：A．
根据投影向量的定义进行计算即可．
本题考查投影向量的定义，属基础题．
8.【答案】D
【解析】解：sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cs30°−cs45°sin30°= 22× 32− 22×12= 6− 24，
由题意知：∠CAM=45°，∠AMC=105°，所以∠ACM=30°，
在Rt△ABM中，AM=ABsin∠AMB=15( 3−1) 6− 24=30 2，
在△ACM中，由正弦定理得AMsin∠ACM=CMsin∠CAM，
所以CM=30 2× 2212=60，
在Rt△DCM中，CD=CM⋅sin∠AMD=60× 32=30 3．
故选：D．
根据题意结合正弦定理运算求解．
本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，化归转化思想，属中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：由z(1+i)=1，得z=11+i=1−i(1+i)(1−i)=12−12i，
复数z的虚部是−12，故A错误；
z=12−12i，故B正确；
z−=12+12i在复平面内对应的点的坐标为(12,12)，在第一象限，故C错误；
|z|= (12)2+(−12)2= 22，故D正确．
故选：BD．
由复数的虚部概念判断A；利用复数代数形式的乘除运算判断B；由复数的几何意义判断C；利用复数模的公式判断D．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对A，连接B1D1，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，
且A1C1⊂平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥A1C1，
又因为A1C1⊥B1D1，BB1∩B1D1=B1，
BB1，B1D1⊂平面BB1D1，
所以A1C1⊥平面BB1D1，又因为BD1⊂平面BB1D1，
所以A1C1⊥BD1，故选项A正确；
对B，因为AA1/​/BB1/​/CC1，AA1=BB1=CC1，
所以四边形AA1C1C为平行四边形，
所以A1C1/​/AC，因为A1C1⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，
所以A1C1/​/平面ACD1，故选项B正确；
对C，因为正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，
所以正方体外接球半径R= 22+22+222= 3，
所以球体表面积S=4πR2=12π，故选项C正确；
对D，VD1−ADC=13×DD1×S△ADC=13×2×12×2×2=43，故选项D错误．
故选：ABC．
对选项A，根据线面垂直的判定于性质判断A正确；
对选项B，根据题意得到A1C1/​/AC，再利用线面平行的判定即可得到A1C1/​/平面ACD1，即B选项正确；
对选项C，首先求出正方体外接球半径R= 3，再求表面积即可判断C正确；
对选项D，根据VD1−ADC=13×DD1×S△ADC=43，即可判断D错误．
本题考查立体几何综合问题，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A：由正弦定理可将sin2A+sin2B>sin2C转化为a2+b2>c2，
则csC=a2+b2−c22ab>0，所以C