预习课第16讲 因式分解 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）（原卷版）

这是一份预习课第16讲 因式分解 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）（原卷版），共10页。
1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础；
2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力；
【题型一】 因式分解的概念
【题型二】 因式分解方法1--提公因式法
【题型三】 因式分解方法2—公式法
【题型四】 其他因式分解的方法
3 课后分层练习 进一步巩固所学内容.

1.掌握因式分解的概念；
2.掌握因式分解的方法—提公因式法和公式法.
1 因式分解的概念
把一个多项式化成了几个整式的积的形式的变形叫做这个多项式的因式分解(或分解因式)。
2 因式分解的方法
(1)提公因式法
公因式：多项式的各项都有的一个公共因式；
(2)公式法
平方差公式：a2-b2=a+ba-b.
完全平方公式：a2+2ab+b2=a+b2，a2-2ab+b2=a-b2.
【题型一】 因式分解的概念
相关知识点讲解
把一个多项式化成了几个整式的积的形式的变形叫做这个多项式的因式分解(或分解因式)。
【例】x2-x=x(x-1)。
因式分解与整式相乘的关系：x2-x因式分解整式相乘 x(x-1).
【典题1】（24-25八年级下·重庆·期中）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．a2-2a-8=a(a-2)-8B．2x3-4x2+2x=2xx2-2x
C．x(2x-y)=2x2-xyD．a2-4b2=(a-2b)(a+2b)


变式练习
1（24-25八年级下·山东济南·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．ax-y=ax-ay B．x3-x=xx+1x-1
C．x+1x+3=x2+4x+3D．x2+2x+1=xx+2+1
2 （24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．m+2nm-2n=m2-4n2B．x2-1=xx-1x
C．8a2b=2a⋅4abD．4my-2y=2y2m-1
3（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．a+4a-4=a2-16B．x2+5x+1=xx+5+1
C．x2+1=xx+1xD．ab2+a2b=abb+a
【题型二】因式分解方法1--提公因式法
相关知识点讲解
提公因式法
公因式：多项式的各项都有的一个公共因式；
【例】 2xy+4xy2+6x2y=2xy(1+2y+3x) .
【典题1】（23-24八年级下·全国·课后作业）多项式x2+x6提取公因式后，剩下的因式是（ ）
A．x4B．x3+1C．x4+1D．x3-1
变式练习
1（24-25八年级上·云南红河·期末）把xy2-2xy分解因式，提出公因式后，另一个因式不再有公因式，则提出的公因式是（ ）
A．2xB．2xyC．xy2D．xy
2（2025·广东东莞·模拟预测）多项式xy2-y因式分解，正确的是（ ）
A．xy2-yB．yxy-1C．yxy+1D．xxy+y
3（2025·广东汕头·一模）把x3+4x分解因式，结果正确的是（ ）
A．xx2+4B．xx+22C．xx-22D．xx+2x-2
4（23-24八年级下·广东佛山·期末）将ma+mb+mc因式分解的结果是（ ）
A．mabcB．m(a+b+c)C．m(a+b)+mcD．abc
5（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知xy=-2，x+y=4，则x2y+xy2的值是（ ）
A．8B．-8C．2D．-2
【题型三】因式分解方法2—公式法
相关知识点讲解
平方差公式：a2-b2=a+ba-b.
完全平方公式：a2+2ab+b2=a+b2，a2-2ab+b2=a-b2.
【例】x2-4=(x+2)(x-2) ，m2-4m+4=m-22.
【典题1】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2-y2B．y2-x2C．-x2-y2D．x4-y2
【典题2】（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．x2-2xy+y2B．-x2+2xy-y2
C．-x2-2xy+y2D．x2+4y2+4xy
【典题3】（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式：
(1)3mx2+3my2-6mxy； (2)16a4-1； (3)9x+y2-6x+y+1； (4)81a+b2-25a-b2．
变式练习
1（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．-m2+n2B．-m2-n2C．4m2-1D．(m+n)2-9
2（22-23八年级下·福建三明·期末）下列各式，不能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+2x+1B．1-2x+x2C．a2+b2-2abD．4x2+4x-1
3（23-24九年级上·河北保定·开学考试）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A．m2+n2B．-a2+2ab-b2C．-m2-n2D．-a2b+ab2
4（24-25九年级下·山东济宁·阶段练习）下列分解因式正确的是（ ）
A．-x2+4x=-xx+4B．x2+xy+x=xx+y
C．x2-4xy+4y2=x-4y2D．xx-y+yy-x=x-y2
5（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）下列因式分解中，正确的是（ ）
A．x2-2=x+2x-2B．x2-2x+1=x+12
C．t2+t-16=t+4t-4+tD．x3+x=xx2+1
6（24-25八年级上·天津南开·期末）对于任何整数m．多项式（4x+5）2-9一定能（ ）
A．被8整除 B．被x整除 C．被9整除D．被（x﹣1）整除
7（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式：
(1)81m4-1； (2)4ab4-20ab3+25ab2； (3)a-2b2+8ab．
【题型四】其他因式分解的方法
【典题1】（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式：
① x3+x2+2x+2=x3+2x+x2+2
=xx2+2+x2+2
=x2+2x+1
② x2-9+4xy+4y2=x2+4xy+4y2-9
=(x+2y)2-9
=x+2y+3x+2y-3
③ x2+8x+y2+8y+2xy+16=x2+y2+2xy+8x+8y+16
=(x+y)2+8x+y+16
=(x+y+4)2
根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目：
(1)分解因式：x5-x3+3x2-3；
(2)分解因式：a2+2a+1+b2-2b-2ab．
变式练习
1（2025八年级下·全国·专题练习）［阅读材料］
将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组．二是“2+2”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“3+1”分组；若无法构成，则采用“2+2”分组．
例如：am+bm+an+bn=am+bm+an+bn=ma+b+na+b=a+bm+n；
x2+2x+1-4=x2+2x+1-4=x+12-22=x+1-2x+1+2=x-1x+3．
［应用知识］
(1)因式分解：a2-ab+bc-ac．
(2)因式分解：-a2-6ab-9b2+9．
2（24-25八年级下·陕西西安·期中）阅读材料，解答后面的问题．
分解因式x2+3x-3x2+3x+4-8：
观察代数式：代数式中有两部分都包含x2+3x，因此可以考虑将这部分看作一个整体
设定新变量：设t=x2+3x
进行换元：将t代入原代数式，则原代数式变为t-3t+4-8，得到t2+t-20
因式分解简化后的代数式：对t2+t-20进行因式分解
①竖分二次项与常数项：t2=t⋅t,-20=+5×-4，t+5t-4
②交叉相乘，验中项：
③横向写出两因式，得到t+5t-4
还原变量：将t还原x2+3x，得到x2+3x+5x2+3x-4
进一步分解，得到x2+3x+5x+4x-1
上述这种因式分解的方法称为“换元法”．
(1)分解因式x2+x+1x2+x+2-12时，设y=x2+x，则原代数式化为 ；
(2)模仿上述方法分解因式：x2+x+1x2+x+2-12．
3（24-25八年级下·河南郑州·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2-2xy+y2-16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2-2xy+y2-16=x-y2-16=x-y+4x-y-4．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)9a2+4b2-25m2-n2+12ab-10mn；
(2)已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2-2ab+c=0，请判断△ABC的形状，并说明理由．

【A组---基础题】
1（2025·贵州毕节·三模）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a-4a+4=a2-16B．x2+x-5=xx+1-5
C．x2+1=x+12D．x2-4x+4=x-22
2（23-24七年级下·广西来宾·期末）把多项式x2+2x因式分解，正确的是（ ）
A．xx+2B．xx-2C．2x+2D．2x-2
3（2025·贵州贵阳·一模）多项式9x2-116y2因式分解正确的是（ ）
A．3x-18y2B．3x-14y2
C．3x-18y3x+18yD．3x-14y3x+14y
4（2025七年级下·浙江·专题练习）对下列多项式分解因式正确的是（ ）
A．x2-4y2=x+4yx-4y
B．4a2-4a+1=4aa-1+1
C．x2y2-1=xy+1xy-1
D．a2+b2=a+b2
5（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）下列因式分解结果正确的是（ ）
A．x2+3x+2=xx+3+2B．4x2-9=4x+34x-3
C．a2-2a+1=a+12D．x2-5x+6=x-2x-3
6（23-24八年级上·山西朔州·阶段练习）如果a-b=3，ab=7．那么a2b-ab2的值是（ ）
A．-21B．-10C．21D．10
7（24-25八年级上·辽宁·期末）若58-1可以被20到30之间的某两个整数整除，则这两个整数是（ ）
A．24，26B．25，27C．26，28D．27，29
8（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）因式分解：
(1)3ax2-6ax+3a (2)m2+12-4m2
9（24-25八年级下·广东梅州·期中）阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到am+an+bm+bn=am+an+bm+bn=an+n+bn+n，这时
am+n+bm+n中又有公因式m+n，于是可以提出m+n，即
am+an+bm+bn=am+an+bm+bn=am+n+bm+n=m+na+b，我们称这种方法为分组法．请你利用分组法解答下列问题：
(1)解决问题：分解因式2ax-2bx+a-b．
(2)拓展运用：已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+bc-ab=ac，请判断△ABC的形状并说明理由．
【B组---提高题】
1（2025·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（ ）
A．被3整除B．被5整除C．被6整除D．被8整除
2（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知M=5a2-2b2+4a-4，N=6a2-b2+2b+1，则M和N的大小关系是（ ）
A．M≥NB．M≤NC．MN
3（24-25八年级下·四川达州·期中）我们已经学过将多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等．
①分组分解法：例如：x2-2xy+y2-4=x2-2xy+y2-4=x-y2-22=x-y-2x-y+2；
②十字相乘法：例如：由图可得：x2+6x-7=x+7x-1．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）4x2+4x-y2+1= ；
②（十字相乘法）x2-5x+6= ；
(2)已知a，b，c为△ABC的三边长，且a2+b2+c2-4a-4b-6c+17=0，求△ABC的周长．