湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试 数学 Word版含解析含答案解析

这是一份湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试 数学 Word版含解析含答案解析，文件包含湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题Word版含解析docx、湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
命题人：陈家烦 审校人：毛水
时量：120 分钟 满分：150 分 得分_____
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1. 已知复数 ，那么 （ ）
A. B.
C D.
2. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生
中抽取一个容量为 108 的样本，如果样本按比例分配，则从高三年级抽取的学生人数为（ ）
A. 36 B. 40 C. 45 D. 50
3. 在 中，点 在 边上，且满足 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
4. 已知向量 ， ，若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ）
A 众数 平均数 中位数 B. 众数 中位数 平均数
C. 众数 平均数 中位数 D. 中位数 平均数 众数
第 1页/共 5页
6. 设 ， 为单位向量， 在 上的投影向量为 ，则 （ ）
A. 1 B. C. D.
7. 如图，某电子元件由 ， ， 三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，
， ， 三种部件不能正常工作 概率分别为 ， ， ，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子
元件能正常工作的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在 中， 为 上一点，且满足 ，若
，则 的最小值是（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
9. 已知 ， 为复数，则下列命题正确的是（ ）
A.
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则 的最大值为
10. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件 “出现点数为奇数”，事件 “出现点数为 3”，事件 “出现
点数为 3 的倍数”，事件 “出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（ ）
第 2页/共 5页
A. B 与 D 互斥
B. A 与 D 互为对立事件
C.
D.
11. 在棱长为 的正方体 中， 分别为棱 的中点，则 （ ）
A. 直线 与直线 所成的角是
B. 直线 与平面 所成的角是
C. 二面角 的平面角是
D. 平面 截正方体所得的截面面积为
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12. 一组数据 6，4，a，8，6，10，12 的平均数为 7，则该组数据的第 75 百分位数为_____.
13. 已知正四棱锥的底面边长为 4，且其侧面积是底面积的 2 倍，则此正四棱锥的体积为______.
14. 甲、乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球和自主投篮两个环节，其中任意一人
在每个环节获胜得 2 分，失败得 0 分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每
个环节中获胜的概率都为 ，乙在每个环节中获胜的概率都为 ，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和
为 2 的概率为 ，则 的值为_____，“梦队”在比赛中得分不低于 6 分的概率为_____.
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 在 中 ， 角 A， B， C 所 对 的 边 分 别 为 a， b， c.已 知 ， ，
.
（1）求角 ；
（2）若 为线段 上一点，且 ，求 的长度.
第 3页/共 5页
16. 如图，正四棱台 中，上底面边长为 ，下底面边长为 ，E 为 的中点，侧
棱长为 6.
（1）证明： 平面 ；
（2）求该正四棱台的表面积.
17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100
份作为样本，将样本的成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段： ， ，…
， ，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中 值；
（2）试估计样本成绩 众数和平均数；
（3）已知落在 的平均成绩是 54，方差是 7，落在 的平均成绩为 63，方差是 4，求两组成
绩合并后的总平均数和总方差.
第 4页/共 5页
18. 在信道内传输 0，1 信号，信号的传输相互独立.发送 0 时，收到 1 的概率为 ，收到 0 的
概率为 ；发送 1 时，收到 0 的概率为 ，收到 1 的概率为 .现有两种传输方案：单
次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送 1 次，三次传输是指每个信号重复发送 3 次.收到的信号需
要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到 1，则译码为 1，若收到 0，则
译码为 0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到 1，0，1，则译码为 1，
若依次收到 1，1，1，则译码为 1）.
（1）已知 ， .
（i）若采用单次传输方案，重复发送信号 0 两次，求至少收到一次 0 的概率；
（ii）若采用单次传输方案，依次发送 0，0，1，试判断事件“第三次收到的信号为 1”与事件“三次收到的数
字之和为 2”是否相互独立，并给出理由.
（2）若发送 1，采用三次传输方案时译码为 0 的概率大于采用单次传输方案时译码为 0 的概率，求 的取
值范围.
19. 如图，四棱锥 的各个顶点均在球 的表面上，且 ， ， 平面
.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求四棱锥 体积的最大值；
（3）当 时，求直线 与平面 所成角的余弦值的最大值.