八年级沪科版数学上册预习 第07讲 一次函数与实际问题（1知识点+12考点+过关检测）

这是一份八年级沪科版数学上册预习 第07讲 一次函数与实际问题（1知识点+12考点+过关检测），共78页。学案主要包含了问题背景，实验操作，建立模型，结论应用，综合与实践，知识背景，方案设计，问题情境等内容，欢迎下载使用。
第一步：导
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握
第二步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练考点 强知识：12大核心考点精准练
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
学习目标明确
1.学会建立一次函数模型的方法；
2.能用一次函数解决实际问题.
知识点 1 一次函数与实际问题
1.建立一次函数解析式的常用方法
1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式；
2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式；
用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
2.一次函数应用问题的求解思路：
1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解；
2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点；
3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
3.利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤：
1）观察图像，获取有效信息；
2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题.
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围.
4.求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
1．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）地表以下岩层的温度（）与所处深度（）有如下关系：
若地表以下岩层的温度是，估计该岩层所处的深度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数的表示方法，正确得出函数解析式是解题关键．利用根据题意得出函数解析式，进而得出x的值即可．
【详解】解：观察表格发现：深度没增加，温度增加，
则深度与温度呈一次函数关系，
设，
则，
解得，
∴，
当时，
解得，
即估计该岩层所处的深度是，
故选：D．
2．（2025·陕西延安·二模）某非遗传承人出售手工刺绣手帕，每条15元，若一次性购买超过8条，超出部分每条按10元出售．小悦有150元准备购买这种刺绣手帕，她最多能购买的手帕条数为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的应用——调价购买问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系，分段计费，是解题的关键．
设购买刺绣手帕x条，需付款y元，当时，，当时，，根据小悦有150元钱，可得，解得．
【详解】解：设购买刺绣手帕x条，需付款y元，
当时，
；
当时，
．
小悦有150元钱，
∴．
∴当时，．
解得，不合题意；
当时，，
解得，符合．
则她最多能购买11条手帕．
故选：A．
3．（2025·山西·三模）一辆汽车加满油后，在匀速行驶的过程中，油箱中剩余油量（单位：）是行驶路程（单位：）的一次函数．该汽车连续匀速行驶过程中，部分数据如下表所示，当油箱中剩余油量为时，行驶的路程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的简单应用．
根据题意所述，设函数解析式为，将、代入即可得出函数关系式，进而将代入关系式，即可求解．
【详解】解：设函数解析式为，将、代入，得
解得
∴函数解析式为，
当时，
解得．
故选C．
4．（2025·江苏无锡·二模）如图，小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段、分别反映了小王和小张骑行所走的路程S（千米）关于小张所用时间t（分钟）的函数关系．根据图像的信息，小张比小王早到乙地的时间是（ ）
A．10分钟B．12分钟C．14分钟D．16分钟
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数图象获取相关信息，熟悉掌握函数图象的相关信息获取是解题的关键．
根据函数图象分别求出时间作差即可．
【详解】解：∵小王的速度，小张的速度为，
∴小王走完全程用时分钟，小张走完全程用时分钟，
∴，
故选：B．
5．（2025·广东深圳·二模）如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论正确的有（ ）
①两城相距600千米；
②乙车比甲车晚出发2小时，却早到2小时；
③乙车出发后5小时追上甲车；
④甲乙两车相距50千米时，或．
A．3个B．4个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标．
由图象所给数据可求得甲、乙两车离开城的距离与时间的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为50，可求得可得出答案．
【详解】解：图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为10小时，而乙是在甲出发2小时后出发的，且用时6小时，
即比甲早到2小时，故①②都正确；
设甲车离开城的距离与的关系式为，
把)代入可求得，
∴，
设乙车离开城的距离与的关系式为，
把和代入可得
，
解得，
∴，
令可得：，
解得，
即甲、乙两直线的交点横坐标为，
，
此时乙出发时间为3小时，即乙车出发3小时后追上甲车，故③错误；
由题意可知，乙出发前甲、乙两地相距50千米时，
则，
解得，
当乙追上甲后，令，，
解得，
当乙到达目的地，甲自己行走时，，
解得，
∴综上所述，当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或或，故④错误．
综上可知正确的有①②，共2个．
故选：C．
6．（2025·河南郑州·二模）测浮力实验，他们将一长方体石块从玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，如图①，在此过程中拉力与石块下降的高度之间的关系如图②所示（提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，）．则以下说法正确的是（ ）
A．当石块下降时，石块在水里
B．当时，与之间的函数关系式为
C．石块下降时，石块所受的浮力是
D．当弹簧测力计的示数为时，石块距离水底
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的应用，由图象可判断①；利用待定系数法求出函数解析式可判断②；把和代入所得函数解析式计算可判断③和④，综上即可求解，看懂函数图象是解题的关键．
【详解】解：、由函数图象可知，当石块下降时，石块不在水里，该选项说法错误；
、当时，设与之间的函数关系式为，
把和代入得，
，
解得，
∴，该选项说法错误；
、当时，，
∴，该选项说法正确；
、当时，，
解得，
∴石块距离水底，该选项说法错误；
故选：．
考点一： 行程问题
1．（2025·浙江杭州·二模）春节假期小明一家自驾车从杭州到离家约的青岛旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据：
若该轿车满油为，假设该轿车正常行驶时每千米耗油量相同，油箱内至少要有及以上汽油才能保证汽车正常行驶，则小明家的轿车至多开 公里就必须去加油．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的运用，理解数量关系，掌握待定系数法求解析式是关键．
根据表格信息运用待定系数法得到一次函数解析式，再根据题意求自变量或函数值即可．
【详解】解：根据题意，设行驶的路程与油箱剩余油量的函数解析式为，
当时，，
∴，
解得，，
∴，
当是，，
解得，，
∴小明家的轿车至多开公里就必须去加油，
故答案为： ．
2．（2025·上海奉贤·二模）小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段、分别反映了小王和小张骑行所走的路程 S（千米）关于小张所用时间 t（分钟）的函数关系．根据图象提供的信息，小张比小王早到乙地的时间是 分钟．
【答案】12
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟悉掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．根据图象所给信息，利用待定系数法即可求出小王和小张路程的函数解析式，再把路程8代入即可求出小王和小张行走8千米的时间，作差即可．
【详解】解：由图象可知：
设的解析式为：，
∵经过点，
∴，得，
∴函数解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴小张到达乙地所用时间为48（分钟）；
设的解析式为：，
∴，
解得：，
∴的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴小张比小王早到乙地的时间是（分钟）．
故答案为：12．
3．（2025·浙江嘉兴·二模）兄妹两人一起步行去离家1200米的图书馆借书，途中哥哥突然发现借书证忘带了，于是马上跑步回家拿借书证，3分钟后又以相同的速度跑步去图书馆．妹妹在原地等了5分钟后，以原速度步行去图书馆．两人离家的路程y（米）与所经过的时间x（分）之间的函数关系如图所示．已知哥哥跑步回家时y与x的函数表达式为．
(1)求k与a的值．
(2)妹妹比哥哥早到图书馆多少分钟？
【答案】(1)，
(2)2.5分钟
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象是解题的关键．
（1）先将代入即可求解，再令，即可求解；
（2）分别求出妹妹和哥哥到图书馆的时间，再比较即可．
【详解】（1）解：当时，，
解得，
∴哥哥跑步回家时与的函数表达式为
当时，，
解得：；
（2）解：原步行速度为米/分钟，
妹妹等哥哥5分钟后以原步行速度去图书馆用时分钟，
妹妹一共用时分钟
哥哥跑步的速度为米/分钟
哥哥一共用时分钟，
所以妹妹比哥哥早到图书馆分钟．
4．（2025·吉林长春·二模）在一条笔直的道路上依次有三地，小明从地跑步到达地，休息后按原速跑步到达地．小明距地的距离与时间之间的函数图象如图所示．
(1)从地到地的距离为___________；
(2)求出段的函数表达式；
(3)求小明距地时所用的时间．
【答案】(1)1500
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据图象中的数据，可以计算出从地到地的距离；
（2）先计算出小明跑步的速度，即可计算出小明从地到地用的时间，从而可以写出点的坐标，再根据点的坐标，即可得到段的函数表达式；
（3）令（2）中的值为，求出相应的的值，即可得到小明距地时所用的时间．
【详解】（1）解：由图象可得，从地到地的距离为：，
故答案为：1500；
（2）解：由图象可得，小明的跑步速度为：，
小明从地到地用的时间为：，
点的坐标为，
设段的函数表达式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即段的函数表达式为；
（3）解：令，则，
解得，
即小明距地时所用的时间为．
考点二： 工程问题
1．（24-25八年级下·全国·单元测试）甲，乙两工程队完成某项工程，甲先做了10天，然后乙加入合作，共同完成剩下的工程．设工程总量为1，若工程进度如图所示，则实际完成这项工程共需要 天．

【答案】28
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．根据图像提供的信息可知，这是两个一次函数构成分段函数，当时，设一次函数的解析式为，在图像上找到两点代入所设的解析式中，求出一次函数解析式，再把代入所求的一次函数中，求出的值即可问题得解．
【详解】解：如图，当时，设一次函数解析式为，
将代入上式，得，
解得，
，
当时，，
解得，
故答案为：28．
2．（2024七年级下·四川成都·专题练习）有一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资9万元；若请乙工程队单独做需6个月完成，每月耗资5万元．
(1)请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？
(2)现要求最迟5个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金．
【答案】(1)个月万元
(2)甲乙工程队合作个月，乙单独做个月
【分析】（1）设甲、乙两队合作需要x个月完成此项工作，根据题意得，解答即可．
（2）设甲、乙两队合作x个月，剩下的乙队单独完成，总费用为w万元，根据题意，得，且，解不等式，利用一次函数的性质解答即可．
本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】（1）设甲、乙两队合作需要x个月完成此项工作，根据题意得，
解得，
答：甲、乙两队合作需要个月完成此项工作．
费用为万元
（2）解：设甲、乙两队合作x个月，剩下的乙队单独完成，总费用为w万元，根据题意，得，且，
解不等式，得，
得w随x的增大而增大，为确保费用最低，
故x去最小值，此时，
答：甲、乙两队合作个月，剩下的乙队单独个月完成，费用最低且合题意．
3．（2024·河南驻马店·三模）河南省为加快高速公路建设，需要有甲、乙两个工程队共同完成某段高速公路的修建．已知甲工程队单独完成此项工程比乙队单独完成此项工程多用15天，且甲队60天的工作量和乙队40天的工作量相同．
(1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
(2)若施工方案是甲队先单独施工x天，剩下的工程由甲、乙两队合作完成，已知甲队的施工费用为每天3.5万元，乙队的施工费用为每天6.5万元，求施工总费用y（万元）关于x 的函数解析式．
(3)在（2）的条件下，若要求在27天内完成该项工程，如何制定施工方案可使总费用最少，最少费用为多少万元？
【答案】(1)甲队单独完成此项工程需要45 天，乙队单独完成此项工程需要30天
(2)
(3)甲队先施工15 天后，甲、乙两队再共同施工12天，总费用最少，最少费用为 172.5 万元
【分析】此题主要考查分式方程的应用和解法，一次函数的性质等知识，正确的列出分式方程、求出费用与时间之间的函数关系式是解决问题的关键．
（1）设乙队单独完成此项工程需a天，则甲队单独完成此项工程需要天，根据甲队60天的工作量和乙队40天的工作量相同，列出方程即可求解；
（2）设甲、乙两队合作完成剩下的工程需要p天，根据题意得到p与x的关系，根据题意即可写出y与x的关系式；
（3）根据施工期定为天内完成得到x的取值范围，再根据一次函数的性质求出y的最小值．
【详解】（1）解：设乙队单独完成此项工程需a天，则甲队单独完成此项工程需要天，根据题意得
解得，
经检验，是原分式方程的根
答：甲队单独完成此项工程需要45 天，乙队单独完成此项工程需要30天；
（2）解：设甲、乙两队合作完成剩下的工程需要p天，则


；
（3）解：由题意得
解得
且，
∴ y随 x 的增大而减小，
∴当时，y 最小，最小值为172.5，
则（天），
答：甲队先施工15 天后，甲、乙两队再共同施工12天，总费用最少，最少费用为 172.5 万元．
4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）甲、乙两个工程组同时挖掘延西高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示．
(1)当时，求甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的函数关系式；
(2)当时，甲组挖掘了多少天？
【答案】(1)
(2)40天
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，读懂题意是解决本题的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把代入解析式求出的值即可．
【详解】（1）解：当时，设甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的函数关系式为，
把，代入解析式得：，
解得：，
甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的函数关系式为；
（2）解：在中，当时，，
解得：，
当时，甲组挖掘了天．
考点三： 调运问题
1．（24-25八年级上·广西·期中）甲村和乙村共有22000吨肥料需要运往A，B两地，其运费单价如下表：
若将甲村的肥料全部运往B地，乙村的肥料全部运往A地，且所需运费相等．
(1)求甲、乙两村各有多少吨肥料；
(2)若甲、乙两村需要给A地运输肥料共9000吨，且甲村最多只能给A地运输5000吨肥料，问怎样调运可使运费最少？并求出最少运费．
【答案】(1)甲村有12000吨肥料，乙村有10000吨肥料
(2)调运方案见解析；最少运费461000元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一次函数的应用．
（1）设甲村有x吨肥料，则乙村有吨肥料，根据所需运费相等列关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）设甲村往A地运输了a吨肥料，总运费为W元，则往B地运输了吨肥料，那么乙村运往A地吨肥料，往B地运往吨肥料，利用总运费每吨所需运费运输数量，即可得出W关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设甲村有x吨肥料，则乙村有吨肥料，
由题意得，，
解得，，
∴，
∴甲村有12000吨肥料，乙村有10000吨肥料；
（2）解：设甲村往A地运输了a吨肥料，总运费为W元，则甲村往B地运输了吨肥料，
那么乙村运往A地吨肥料，往B地运往吨肥料，
，
．
又甲村最多只能只能给A运输5000吨肥料，即，
又，
随a的增大而减小，
当时，W有最小值，最小值为461000．
答：当甲村往A地运输5000吨肥料，往B地运输7000吨肥料，乙村运往A地4000吨肥料，往B地运往6000吨肥料时，总运费最少，最少运费为461000元．
2．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）城有肥料200吨，城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往、两乡．从城运往、两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元，从城往、两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现在乡需要肥料240吨，乡需要肥料260吨，设城运往乡的肥料量为吨，总运费为元．
(1)写出总运费元与之间的关系式；
(2)怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少
【答案】(1)；
(2)从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，总运费最小值是元
【分析】本题考查了一次函数的应用，难点在于表示出运往各地的化肥吨数．
（1）设C城运往A乡的化肥为x吨，表示出A城运往D乡的化肥为吨，B城运往C乡的化肥为吨，B城运往D乡的化肥为吨，总运费为y，然后根据总运费的表达式列式整理，再根据运往各地的肥料数不小于0列式求出x的取值范围即可.
（2）利用（1）中求得的关系式，根据一次函数的增减性解答即可.
【详解】（1）解：设总运费为元，城运往乡的肥料量为吨，则运往乡的肥料量为吨；城运往C、D乡的肥料量分别为吨和吨．由总运费与各运输量的关系可知，反映与之间的函数关系为
化简，得
（2），
，
随的增大而增大，
当时，
从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，总运费最小值是元．
3．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共吨，乙厂的生产量是甲厂的倍少吨．这批防疫物资将运往地吨，地吨，运费如下表（单位：元/吨）．
(1)求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？
(2)设这批物资从乙厂运往地吨，全部运往，两地的总运费为元．求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
(3)当每吨运费均降低元（且为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过元．求的最小值．
【答案】(1)200吨，300吨；
(2)，甲厂200吨全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；
(3)10
【分析】（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可；
（2）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；
（3）根据题意以及（2）的结论可得，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式求解．
【详解】（1）解：设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨；
则
解得：
答：这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；
（2）解：依题意，
∵这批物资从乙厂运往地吨，
∴这批物资从甲厂运往地吨，
由（1）得这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；
∴，
这批物资从甲厂运往地吨，这批物资从乙厂运往地吨，
依题意，得，
∵，
∴随的增大而减小，
当时运费最小，此时（吨）
∴总运费的方案是：甲厂200吨全部运往B地；乙厂运往A地240吨，运往B地60吨．
（3）解：由（2）知：
当时，，
，
，
∴m的最小值为10．
考点四： 计时问题
1．（24-25九年级下·福建福州·期中）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表：
(1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线；
(2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式（写过程）；
(3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，且箭壶为底面半径为的圆柱（容器厚度忽略不计），那么到时，供水壶到箭壶流入了多少毫升水？（结果保留）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数的应用、画函数图象，理解题意，正确求出函数关系式是解此题的关键．
（1）根据表格中的数据描点即可得解；
（2）由各点连线是一条直线，得出是的一次函数，再利用待定系数法求解即可；
（3）先求出供水时间，再求出当时，，最后根据圆柱的体积公式计算即可得解．
【详解】（1）解：描点并连线如图所示：
；
（2）解：∵各点连线是一条直线，
∴是的一次函数，
设与之间的函数关系为，
将和代入函数解析式可得，
解得：，
∴与之间的函数关系为，
当时，，
解得，
∴，
∴与之间的函数关系为；
（3）解：由题意可得：供水时间为，
当时，，
∴供水壶到箭壶流入的水为．
2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）“水钟”是我国古代原始的计时工具，如图1，水从上面的多个贮水壶中慢慢流入下方的受水壶，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏箭”），漏箭上标有表示时间的刻度，随着漏水量的增加，受水壶中的浮子会均匀升高．某数学实践小组仿制了如图2所示的一个类似“水钟”的实验装置进行模拟实验，实验开始前圆柱容器中有一定高度的水．
表格记录了圆柱容器内水面高度（厘米）与时间（时）的一些变化情况：
(1)圆柱容器内水面的高度每小时上升________厘米，刚开始容器内水面的高度是________厘米；
(2)请在如图所示的平面直角坐标系中描出表格的各点，作出与的函数图象，并判断容器内水面高度（厘米）与时间（时）符合一次函数关系吗？
(3)已知圆柱容器内壁深50厘米，实验小组早上8时开启装置进行计时实验，第二天早上8时水是否会溢出容器？请通过计算说明．
【答案】(1)2，1
(2)作图见解析，符合
(3)水不会溢出容器
【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）根据表格数据即可求解；
（2）根据题意描出各点，然后连线即可，从图象可知这些点在同一直线上，故符合题意一次函数关系；
（3）求出函数解析式为，把代入求出的值，与圆柱容器内壁深50厘米比较即可．
【详解】（1）解：由表格可知每小时上升，
∴刚开始容器内水面的高度为，
故答案为：2，1；
（2）解：如图：
从图象可知这些点在同一直线上，故符合题意一次函数关系；
（3）解：设解析式为，当；，
∴，
解得：，
∴解析式为，
∵从早上8时到第二天早上8时经过了24小时，
∴，
∵，
∴水不会溢出．
3．（24-25八年级上·福建宁德·期中）综合与实践：
【问题背景】沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计量时间．综合实践小组在进行项目式学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．
【实验操作】该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1．
任务1：建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时长，纵坐标表示精密电子称的读数，描出以表1中的数据为坐标的各点，
【建立模型】
任务2：观察上述各点的分布规律，依次将各点连接起来，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由．
【结论应用】
任务3：应用上述发现的规律估算：
（1）若漏沙时间为5小时，精密电子称的读数为多少？
（2）若本次实验开始记录的时间是上午，当精密电子秤的读数为78克时是几点钟？（时间为24时制）
【答案】任务1：见解析；任务2：在同一直线上，；任务3：（1）漏沙时间为5小时，精密电子称的读数为36克；（2）经过12小时的漏沙时间为
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，包括描点法画函数图像，待定系数法求解析式等知识，正确求得函数自变量或函数值是解决本题的关键．
任务1：结合表1数据描出各点即可；
任务2：连线可得，这些点在同一线上，并且符合一次函数图像；设一次函数表达式为，根据待定系数法求解即可；
任务3：（1）根据函数表达式，令，求解即可获得答案；（2）根据函数表达式，令时，解得的值，然后结合起始时间是上午8：00即可获得答案．
【详解】解：任务1：如图所示；
任务2：如图所示，连线可得，这些点在同一线上，并且符合一次函数图象．
设一次函数表达式为：，
将点，代入解析式中，
可得，解得，
函数表达式为：；
任务3：（1）由任务2可知函数表达式为：，
当时，，
漏沙时间为5小时，精密电子称的读数为36克；
（2）由任务2可知函数表达式为：，
当，时，，
起始时间是上午，
经过12小时的漏沙时间为．
考点五： 分配问题
1．（2021·浙江杭州·二模）A城有种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，则W关于x的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机，就可以得到关系式．
【详解】解：由题意得：因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机
W＝250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240[40﹣（34﹣x）]
＝140x+12540，
故答案为：W＝140x+12540．
【点睛】本题考查一次函数的应用，属于一般的应用题，解答本题的关键是根据题意得出y与x的函数关系式．
2．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）某企业举行十周年庆典活动，准备给每位员工定制一套某品牌西装和领带，市场上，该品牌西装每套定价600元，领带每条定价80元，在比价过程中，甲乙两家企业分别提供了如下优惠方案．甲：买一套西装送一条领带，乙：西装和领带均打九折付款．现该企业需要定制西装20套，领带x条．
(1)请分别写出甲，乙两家企业的方案各自所需费用y（元）关于x的函数关系式．
(2)请通过计算说明，若只能选择一家企业方案，按照哪种方案购买更合算？
【答案】(1)甲企业方案所需费用y关于x的函数关系式为：；
乙企业方案所需费用y关于x的函数关系式为：；
(2)综上所述，当时，两种所需费用一样；当时，乙企业方案所需费用购买更合算；当时，甲企业方案所需费用购买更合算．
【分析】本题主要查了列函数关系式，一元一次不等式的应用，根据题意，列出函数关系式是解题的关键．
（1）根据两种方案分别列出函数关系式，即可求解；
（2）分三种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：甲企业方案所需费用y关于x的函数关系式为：
；
乙企业方案所需费用y关于x的函数关系式为：
；
（2）解：当，即时，两家企业方案所需费用一样；
当，即时，乙企业方案所需费用购买更合算；
当，即时，甲企业方案所需费用购买更合算；
综上所述，当时，两种所需费用一样；当时，乙企业方案所需费用购买更合算；当时，甲企业方案所需费用购买更合算．
3．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）课题学习
已知竹木工厂生产一种产品，该产品售价为1000元/套，原材料成本价为550元/套（含设备损耗等），但在生产过程中平均每生产一套产品产生1吨废水．并且为了达到国家环保要求，工厂需要对废水进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种处理废水的方案可供选择：
方案一：由工厂直接处理，费用为50元/吨，并且每月需额外支出设备维护及损耗费为20000元；
方案二：由废水处理厂统一处理，费用为150元/吨．
请你为该厂设计根据月生产量选择废水处理的方案，使得既达到环保要求，又获得最高利润（可设每月生产了套产品，获得了元的月利润）．
【答案】，二种方案均可；，选择方案二利润更高；，选择方案一利润更高
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得方案一的利润为，方案二的利润为，然后可分，，，进而分类求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
方案一的利润为：
，得；
方案二的利润为：
，得．
∵当时，
，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
∴当时，二种方案均可；当时，选择方案二利润更高；当时，选择方案一利润更高．
4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）某商店销售一台型电脑销售利润为100元，销售一台型电脑的销售利润为150元．
(1)若上周该商店共销售电脑18台，获得的总利润为2050元，请问型电脑和型电脑各售出多少台？（列方程组解应用题）
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元，求关于的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，当销售总利润要达到13750元，该商店要如何采购两种型号的电脑．
【答案】(1)售出A型电脑13台，售出B型电脑5台
(2)
(3)25台A型电脑、75台B型电脑
【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用．
（1）分别设售出A型电脑的台数和售出B型电脑的台数为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）根据“销售总利润销售一台A型电脑销售利润售出A型电脑的台数销售一台B型电脑的销售利润售出B型电脑的台数”写出W关于m的函数表达式即可；
（3）将代入W关于m的函数表达式，求出对应m的值及 的值即可．
【详解】（1）解：设售出A型电脑x台，售出B型电脑y台，
根据题意，得，
解得，
答：售出A型电脑13台，售出B型电脑5台；
（2）解：根据题意，得，
∴W关于m的函数表达式为；
（3）解：当时，得，
解得，
（台）．
答：该商店应采购25台A型电脑、75台B型电脑．
考点六： 体积问题
1．（2024·山西朔州·二模）在测量液体密度的实验中，根据测得的液体和烧杯的总质量与液体的体积，绘制了如图所示的函数图象（图中为一线段），则当时，m为 g．
【答案】212
【分析】本题考查了一次函数的应用，设，将，代入解析式求得，当时，求出的值即可．
【详解】解：由图象可得：液体和烧杯的总质量与液体的体积为一次函数关系，
设，
将，代入解析式得：，
解得：，
，
当时，，
故答案为：．
2．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）有甲、乙两个圆柱体的蓄水池，将甲池中的水以一定的速度注入乙池甲、乙两个蓄水池中水的深度（米）与注水时间（时）之间的函数图象如图所示，其中，甲蓄水池中水的深度（米）与注水时间（时）之间的函数关系式为结合图象回答下列问题：
(1)求出乙蓄水池中水的深度与注水时间之间的函数关系式；
(2)图中交点的坐标是______，表示的实际意义是______；
(3)当乙蓄水池中水的体积是甲蓄水池中水的体积倍时，求甲池中水的深度．
【答案】(1)
(2)，注水小时两个蓄水池的深度相同为米
(3)米
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）令求出甲与轴的交点坐标，设乙蓄水池中水的深度与注水时间之间的函数关系式为，然后利用待定系数法即可求一次函数解析式；
（2）联立两函数解析式解方程组即可得到点的坐标；
（3）求出甲乙两个蓄水池的底面积的比，再求出乙蓄水池中水的体积是甲蓄水池中水的体积3倍时的高度的比，然后根据两函数解析式列式求出的值，然后代入甲求出相应的的值即可．
【详解】（1）解：设乙与的关系式为，
则函数图象经过点，，
∴，
解得，
；
（2）解：联立，
解得，
点，
表示的实际意义：注水小时两个蓄水池的深度相同为米；
故答案为：，注水小时两个蓄水池的深度相同为米；
（3）解：甲水池的水降低米时乙水池的水上升米，
甲、乙两个蓄水池的底面积的比为，
乙蓄水池中水的体积是甲蓄水池中水的体积倍时的高度的比为，
，
解得，
把代入得，米．
答：甲池中水深米．
3．（23-24八年级上·广东佛山·期中）受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水桶和体积相同的小球进行了如图操作：
(1)已知放入小球后量筒中水面的高度是放入小球个数(个)的一次函数，从图中可以看出函数经过点与点，试确定该函数表达式；
(2)当水桶中至少放入_______个小球时，有水溢出．
【答案】(1)
(2)10
【分析】本题主要考查一次函数实际应用问题，综合考查同学们识图能力、处理信息能力、待定系数法以及函数所反映的对应与变化思想的应用．
（1）利用待定系数法即可得到y与x的一次函数关系式；
（2）根据（1）可以得出，再进行求解即可得出答案．
【详解】（1）设，
把，，代入得：，
解得，
即；
（2）由，
得，
即至少放入个小球时有水溢出．
4．（22-23八年级下·广西防城港·期末）如图1，在底面为正方形且高为的长方体的容器底部，放入一个小长方体铁块，现在以均匀的速度往容器中注水，图2是容器内水面高度随时间改变的函数关系图象，观察图中所提供的信息，解答下列问题：

(1)从开始注水到水面恰好淹没小长方体铁块，共用了___________分钟，铁块的高为___________cm；
(2)求直线的函数关系式：
(3)①求该容器注满水需多少分钟？②直接写出长方体铁块的体积与容器的容积之比．
【答案】(1)3，18
(2)
(3)①②
【分析】（1）由图象得表示在第分钟恰好淹没小长方体铁块，即可求解；
（2）设直线为，把，代入得，即可求解；
（3）①将代入得，即可求解；②可求容器不放铁块时注水的速度为（），从而可求容器不放铁块时注满所需时间，再注满与铁块的体积相同的容器所需时间，即可求解．
【详解】（1）解：由函数图象得
表示在第分钟恰好淹没小长方体铁块，
故答案：，；
（2）解：设直线为，
把，代入得，
，
解得，
所以直线的解析式为；
（3）解：①由（2）知直线的解析式为，
由图1知，当容器注满水时，水面的高度为，
∴把代入得，
，
解得，
答：该容器注满水需要分钟
②容器不放铁块时注水的速度为（），
容器不放铁块时，注满容器所需时间：，
注满与铁块的体积相同的容器所需时间：，
长方体铁块的体积与容器的容积之比为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解自变量、应变量的实际意义是解题的关键．
考点七： 最大利润问题
1．（22-23八年级上·山东青岛·期末）马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 元．
【答案】6000
【分析】设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品箱，该公司获得利润为y元，进而得到y关于m的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解．
【详解】解：设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品箱，依题意得：，
设该公司获得利润为y元，依题意得：
，
即，
∵，y随着m的增大而增大，
∴当时，y取最大值，此时（元），
答：该公司要经营800箱这种农产品，最大利润是6000元．
故答案为：6000．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键．
2．（2020·四川绵阳·中考真题）我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是 万元．（利润＝销售额﹣种植成本）
【答案】125
【分析】设甲种火龙果种植亩，乙钟火龙果种植亩，此项目获得利润，根据题意列出不等式求出的范围，然后根据题意列出与的函数关系即可求出答案．
【详解】解：设甲种火龙果种植亩，乙钟火龙果种植亩，此项目获得利润，
甲、乙两种火龙果每亩利润为1.1万元，1.4万元，
由题意可知：，
解得：，
此项目获得利润，
∵
∴随的增大而减小，
∴当时，
的最大值为万元，
故答案为：125．
【点睛】本题考查一元一次不等式和一次函数，熟悉相关性质是解题的关键．
3．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）某店准备购进甲、乙两种笔记本进行销售，这两种笔记本的进价和售价如下表所示．
(1)该店第一次用2900元购进了甲、乙两种笔记本共800本，求这两种笔记本分别购进多少本；
(2)某校准备在该店购买这两种笔记本共800本，且乙种笔记本的数量不少于甲种笔记本的．该店给出了优惠方案：甲种笔记本打九折，乙种笔记本打八折．该校如何购买最省钱？
(3)请判断在（2）的条件下，学校购买笔记本的最省钱方案是不是该店出售笔记本的利润最大方案，并说明理由．
【答案】(1)甲种笔记本购进550本，乙种笔记本购进250本
(2)该校购买甲种笔记本600本，乙种笔记本200本时最省钱
(3)是，理由见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用
（1）设甲种笔记本购进本，则乙种笔记本购进本，根据“该店第一次用2900元购进了甲、乙两种笔记本共800本”，列出方程求解即可；
（2）设该校购进甲种笔记本本，所需费用为元，则购进乙种笔记本本，根据题意构建一次函数，再列出关于x的不等式得x的取值范围，再根据一次函数的的性质求最值即可；
（3）设该店销售甲、乙两种笔记本的利润和为元，得出关于的一次函数，再利用一次函数的性质解决最值问题．
【详解】（1）解：设甲种笔记本购进本，则乙种笔记本购进本，由题意得：
，
解得：，，
答：甲种笔记本购进550本，乙种笔记本购进250本；
（2）解：设该校购进甲种笔记本本，所需费用为元，则购进乙种笔记本本，
则，
由题意得，
解得，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，费用最少，
即该校购买甲种笔记本600本，乙种笔记本200本时最省钱；
（3）解：学校购买笔记本的最省钱方案是该店出售笔记本的利润最大方案．理由如下：
设该店销售甲、乙两种笔记本的利润和为元，则：
，
∵，
∴随的增大而增大，
又∵，
∴当时，利润最大，
即学校购买笔记本的最省钱方案是该店出售笔记本的利润最大方案．
4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）科技创新环境下，无人机产业蓬勃发展．某无人机配件销售公司有A和B两种配件，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进A配件50件和B配件25件．
(1)求a的值；
(2)若该配件销售部购进A种配件和B种配件共300件，并全部售出，设本次销售获得总利润y元，购进A种配件x件，请写出y与x之间的函数关系式（利润售价进价）；
(3)在（2）的条件下，据市场销售分析，B种配件进货件数不低于A种的2倍．如何进货才能使本次销售获得的总利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)260
(2)
(3)当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并正确列式是解题关键．
（1）根据“用元可购进产品件和产品件”列方程求解即可；
（2）设购进种配件件，则购进种配件件，根据总利润种配件的利润种配件利润即可建立函数关系式；
（3）根据“种配件进货件数不低于种配件件数的倍”列不等式，得出（为正整数），根据一次函数的增减性求解即可．
【详解】（1）解：依题意得：，
解得：，
答：的值为；
（2）解：由题意得，，
∴y与x之间的函数关系式为；
（3）解：由题意得， ，
解得：，且x为正整数，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为：，
此时，
答：当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元．
考点八： 阶梯计费问题
1．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）共享单车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享单车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌共享单车的收费方式对应，品牌共享单车的收费方式对应．
(1)求骑行品牌共享单车超过后的函数表达式；
(2)求两种品牌共享单车收费相差元时的值．
【答案】(1)
(2)两种品牌收费相差元时的值为 10或30
【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂题意，利用数形结合的思想作答是解答本题的关键．
（1）根据图像中的数据，点在该函数图像上，代入所设的表达式中，即可求出函数表达式；
（2）根据图像，先求出品牌电动车每分钟收费情况，然后根据品牌共享电动车超过 后的函数表达式为，列出相应方程，求出答案．
【详解】（1）解：设骑行品牌共享电动车超过 后的函数表达式为，
∵点在该函数图像上，
，
解得：，
即骑行品牌共享电动车超过后的函数表达式为；
（2）解：由图像可得：当分钟时，两种品牌收费相同，此时收费3 元；
品牌电动车每分钟收费为：（元），
由题意可得：或，
解得：或，
即两种品牌收费相差元时的值为 10或30．
2．（20-21八年级上·江苏镇江·期末）某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发．该地区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x(度)与相应电费y(元)之间的函数图象如图所示．
(1)月用电量为50度时，应交电费多少元？
(2)当时，求y与x之间的函数关系式；
(3)月用电量为150度时，应交电费多少元？
【答案】(1)月用电量为度时，应交电费元
(2)
(3)月用电量为度时，应交电费元
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出当时的函数解析式，再将代入即可得解；
（2）利用待定系数法求出当时的函数解析式即可；
（3）将代入（2）的结果中即可得解．
【详解】（1）解：当时，设，
将代入可得：，
解得：，
∴当时，，
当时，，
∴月用电量为度时，应交电费元；
（2）当时，设，
将，代入可得：，
解得：，
∴当时，y与x之间的函数关系式为；
（3）当时，，
即月用电量为度时，应交电费元．
3．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）．
(1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式；
(2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？
(3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？
【答案】(1)
(2)应交水费14元
(3)该户居民用水12立方米
【分析】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据收费方式，分2种情况，列出函数关系式即可；
（2）将代入对应的函数解析式进行求解即可；
（3）令，求出对应的自变量的值即可．
【详解】（1）解：由题意，当时，，
当时，，
∴；
（2）当时，（元）；
答：应交水费14元；
（3）∵，
∴，
∴当时，，解得：；
答：该户居民用水12立方米．
4．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某公司小唐、小宋、小元三位员工每天骑电动车上班（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计）．每次支付费用y元与骑行时间x min之间的对应关系如图所示．其中A种电动车支付费用对应的函数为；B种电动车支付费用是之内，起步价6元，对应的函数为．请根据函数图象信息，解决下列问题：
(1)小唐每天早上骑行A种电动车或B种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为，小唐家到公司的距离为，那么小唐选择______种电动车更省钱（填“A”或“B”）；
(2)一天，小宋骑行A种电动车从家到公司上班，小元骑行B种电动车从家到公司上班，若两人支付费用同为7.6元，求小宋和小元骑行的时间差．
【答案】(1)B
(2)小宋和小元骑行的时间差为1分钟．
【分析】本题考查了一次函数的应用，
（1）首先求出所用时间为分钟，然后根据函数图象，即可求解；
（2）分别求得的函数解析式，根据两人支付费用同为7.6元，代入解析式即可求解．
【详解】（1）∵两种电动车的平均行驶速度均为，小刘家到公司的距离为，
∴所用时间为分钟，
根据函数图象可得当时，更省钱，
∴小唐选择种电动车更省钱；
（2）设，将代入得，
解得：
∴；
当时，，
当时，设，将，代入得，
解得：
∴
∵两人支付费用同为7.6元
∴，
∴当时，
解得；
当时，
解得；
∴．
∴小宋和小元骑行的时间差为1分钟．
5．（24-25八年级上·山东青岛·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，已知3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计120万元；4辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计132万元．
(1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用96万元购进以上两种型号的新能源汽车若干辆（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利4000元，销售1辆B型汽车可获利3000元，在（2）的购买方案中，当这些新能源汽车全部售出时，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)A，B两种型号的汽车每辆进价分别为24万元，12万元；
(2)共3种购买方案：分别为购进A型车1辆，B型车6辆或购进A型车2辆，B型车4辆或购进A型车3辆，B型车2辆；
(3)购进A型车1辆，B型车6辆获利最大，最大利润是22000元．
【分析】（1）设A型汽车每辆进价为x万元，B型汽车每辆进价为y万元，根据“辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计120万元；3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计132万元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，解方程即可得到结论；
（3）设在（）的条件下，这些新能源汽车全部售出时，获得利润为w元，根据总利润两种汽车利润之和列出函数解析式，再由函数的性质求最值．
【详解】（1）解：设A，B两种型号的汽车每辆进价分别为x万元，y万元，
根据题意得：，
解得，
答：A，B两种型号的汽车每辆进价分别为24万元，12万元；
（2）解：设购进A型汽车m辆，B型汽车n辆，则，
，
，n均为正整数，
或或，
共3种购买方案：分别为购进A型车1辆，B型车6辆或购进A型车2辆，B型车4辆或购进A型车3辆，B型车2辆；
（3）解：设在（）的条件下，这些新能源汽车全部售出时，获得利润为w元，
根据题意得：，
，
随m的增大而减小，
当时，w最大，最大值为22000，
此时，
购进A型车1辆，B型车6辆获利最大，最大利润是22000元．
【点睛】本题考查了一次函数、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组，二元一次方程，一次函数解析式．
考点九： 方案选择问题
1．（24-25八年级上·四川甘孜·期末）某公司在两地分别库存挖掘机16台和12台，现在运往甲、乙两地支援建设，其中甲地需要15台，乙地需要13台．从地运一台到甲、乙两地的费用分别是500元和400元．从地运一台到甲、乙两地的费用分别是300元和600元．设从地运往甲地台挖掘机，运这批挖掘机的总费用为元．
(1)请填写下表，并写出与之间的函数关系式；
(2)公司应设计怎样的方案，能使运这批挖掘机的总费用最省？
【答案】(1)表见解析，
(2)A地的挖掘机运往甲地3台，运往乙地13台；B地的挖掘机运往甲地12台，运往乙地0台
【分析】本题考查了一次函数的应用．
（1）根据运送挖掘机的总费用地运往甲的费用地运往甲的费用地运往乙的费用地运往乙的费用，然后确定出y与x的函数关系式；
（2）根据一次函数的性质来确定哪种方案最省．
【详解】（1）解：根据题意填表如下：
；
（2）解：∵且，
∴，
又∵，y随x增大而增大，
∴当时，能使运这批挖掘机的总费用最省，
运送方案：A地的挖掘机运往甲地3台，运往乙地13台；B地的挖掘机运往甲地12台，运往乙地0台．
2．（24-25八年级上·山西太原·期末）北京时间2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得了圆满成功!神舟十八号航天员乘组将进行多次出舱活动，开展微重力基础物理、空间材料科学、空间生命科学、航天医学、航天技术等领域实（试）验与应用等各项任务．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲、乙两种航天载人飞船模型进行销售．据了解，2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元：6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元，甲、乙两种航天载人飞船模型的售价分别为40元、45元．
(1)求甲、乙两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
(2)该超市老板准备购进甲、乙两种航天载人飞船模型共100件，进货时，发现甲种航天载人飞船模型只有40件，乙种航天载人飞船模型满足供应，请你帮老板设计进货方案，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)每件甲种航天载人飞船模型的进价是20元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是30元；
(2)当购进40件甲种航天载人飞船模型，60件乙种航天载人飞船模型时，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是1700元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
（1）设每件甲种航天载人飞船模型的进价是x元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是y元，根据“2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元；6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m件甲种航天载人飞船模型，全部售完后获得的总利润为w元，则购进件乙种航天载人飞船模型，利用总利润=每个甲种航天载人飞船模型的销售利润×购进甲种航天载人飞船模型的数量+每个乙种航天载人飞船模型的销售利润×购进乙种航天载人飞船模型，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每件甲种航天载人飞船模型的进价是x元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每件甲种航天载人飞船模型的进价是20元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是30元；
（2）解：设购进m件甲种航天载人飞船模型，全部售完后获得的总利润为w元，则购进件乙种航天载人飞船模型，
根据题意得：，
即，
∵，
∴w随m的增大而增大，
又∵，
∴当时，w取得最大值，最大值为，
此时．
答：当购进40件甲种航天载人飞船模型，60件乙种航天载人飞船模型时，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是1700元．
3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某商场销售甲乙两种产品，甲产品的售价为每个210元，乙产品的售价为每个150元，每个甲产品的进价比乙产品的进价多40元，商场用6400元购进甲产品的数量与用4800元购进乙产品的数量相等．
(1)求甲乙两种产品的进价：
(2)现计划购进甲乙两种产品共150个，设购进甲产品x个，两种产品全部售完，商场获利y元．要求购进甲产品的数量不高于乙产品的2倍，总利润不低于5700元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润；
(3)在（2）的条件下，商场对甲产品每个售价降低m元，乙产品每个售价增加n元，两个产品进价不变，且，若销售完这批产品的总利润不受进货方案的影响，求m的值．
【答案】(1)甲乙两种产品的进价分别为160元，120元
(2)共有41种方案，其中购进甲100个，乙50个，获得最大利润6500元；
(3)13
【分析】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及与字母无关的问题，理解题意是解答本题的关键．
（1）如果设每个乙种产品进价为x元，由“每个甲种产品的进价比每个乙种产品的进价多40元”，可知每个甲种产品进价为元．题中有等量关系：用6400元购进甲产品的数量与用4800元购进乙产品的数量相等，据此列出方程；
（2）根据题意得、，求得，故得41种方案，当时可得最大利润；
（3）根据题意列式，根据与无关，则，求出
【详解】（1）解：设每个乙种产品进价为x元，则每个甲种产品进价为元，根据题意得，
，
解得，，
经检验，是原方程的根，
∴
答：甲乙两种产品的进价分别为160元，120元；
（2）解：根据题意得，，
解得，；
，
∴，
∴，
∴（种）
当时，有最大值，为，
所以，共有41种方案，其中购进甲100个，乙50个，获得最大利润6500元；
（3）解：∵，
∴，
根据题意得：
∵销售完这批产品的总利润不受进货方案的影响，
∴
∴
考点十： 新情境问题
1．（2025·浙江丽水·二模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示．
(1)分别求出小丽和小明骑行的速度．
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程．
【答案】(1)小丽，小明
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，函数的图象，待定系数法求函数解析式．理解横轴和纵轴表示的实际意义是解题的关键．
（1）结合函数图象，根据速度=路程÷时间，求解即可；
（2）先求出B点坐标，再用待定系数法求解即可；
（3）用待定系数法求出小丽的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解．
【详解】（1）解：小丽的速度：
小明的速度：，，
（2）解：（h），（h），
设线段的函数表达式为
把和代入，
得
解得，
（3）解：设小丽的函数解析式为，
把点代入，得，
，
，
解得，代入，
，
离山庄的路程为．
2．（2025·福建福州·二模）为迎接2025中国（福州）国际渔业博览会，某厂家计划生产A，B两款创意海鲜公仔，总产量（单位：个）为20000．厂家经过市场调研与财务核算，制定了营销策略，相关信息如下表：
(1)请直接写出表格中的①，②；
(2)若A款公仔产量不少于B款公仔产量的3倍，且生产的公仔全部售出，求可获取的最大利润．
【答案】(1)，
(2)可获得的最大利润为300000元
【分析】本题考查列代数式，一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）根据总产量减去A款公仔的产量表示出，根据总利润等于两种公仔的利润之和，列出函数关系式即可；
（2）根据A款公仔产量不少于B款公仔产量的3倍，列出不等式，求出的范围，利用一次函数的性质，求最值即可．
【详解】（1）解：由题意，得：①；
②；
（2）由题意，得：，
解得：，
∵，
∴随着的增大而减小，
∴当时，的值最大为：；
故可获得的最大利润为：300000元．
3．（2025·江苏盐城·二模）五一假期，徐师傅一家驾驶一辆新能源汽车自驾游．该汽车在满电状态下电池能量为，当汽车电池剩余10%的电量时，电量灯变为红色，提示汽车需要充电．徐师傅在满电状态下出发，汽车的剩余电量（%）与行驶路程之间的关系如图所示．

(1)当电量灯变为红色时，汽车行驶路程为______；
(2)若行驶一段时间后，徐师傅发现电量还有，离景区有，徐师傅能否在电量灯变为红色前到达景区？请说明理由；
(3)已知汽车快速充电功率为．徐师傅驾驶满电汽车前往距离的景区，在行驶了后，发现路边有一快速充电站，停车充电一段时间后继续行驶，当到达景区时电量灯恰好变为红色，求在充电站充电的时长．【】
【答案】(1)
(2)不能，理由见见解析
(3)
【分析】本题考查一次函数的应用，读懂题意，准确求出与之间的函数表达式是解决问题的关键．
（1）设与之间的函数表达式为，把 时 ， 时，代入可得出关于、的二元一次方程组，求出解析式，再根据当电量灯变为红色时，即时求出即可．；
（2）先计算出电池剩余电量为，即汽车的剩余电量为，把代入（1）中所求解析式，求出的值，加上还要行驶的路程，然后与满电状态可以行驶的总路程比较即可得答案．
（3）根据行程需要的电量求出需要停车充电电量，再根据快速充电功率计算充电的时长即可．
【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为（、为常数，且）．
将 时 ， 时，分别代入，
得，
解得，
∴与之间的函数表达式为．
当时，，解得：，
故答案为：
（2）解：∵电池剩余电量为，相当于电量 ，
∴，
解得：．
∵，
∴徐师傅不能在电量灯变为红色前到达景区．
（3）当时，，
即：徐师傅驾驶满电汽车前往距离的景区，当到达景区时电量灯恰好变为红色，需要停车充电电量为，
故充电电量为，
充电时间为：，
答：在充电站充电的时长为．
4．（2025·吉林长春·一模）某校航模社团进行无人机表演训练，甲无人机以米/秒的速度从地面起飞，同时，乙无人机以米/秒的速度从距离地面21米的位置起飞，6秒时甲无人机到达指定高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行，当甲、乙无人机同时到达距离地面72米高度时，进行了一段联合表演，表演结束后同时以6米/秒的速度返回地面．甲、乙两架无人机距离地面的高度（米）与飞行时间（秒）之间的函数图象如图所示．
(1)___________，___________，___________；
(2)求线段所在直线的函数关系式；
(3)当甲、乙两架无人机距地面的高度差为18米时，直接写出的值．
【答案】(1)6，3，57
(2)
(3)或
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及速度、路程、时间之间的关系是解题的关键．
（1）甲秒钟飞行了36米，乙秒飞行了米，可求得甲、乙的速度，再求得表演结束后返回地面需要的时间，得到；
（2）根据点到点的飞行速度与秒的飞行速度相同，先求出点的坐标，再利用待定系数法求线段所在直线的函数解析式即可；
（3）先求得那么秒甲的表达式为：，再秒乙的表达式为，分别求出在秒， 秒，秒，由甲、乙两函数差为18，可列出方程，最后算得答案．
【详解】（1）解：6，3，57，理由如下：
甲秒钟飞行了36米，那么甲的速度为：（米/秒），故；
乙秒飞行了（米），那么乙的速度为：（米/秒），故；
表演结束后同时以6米/秒的速度返回地面，那么需要的时间为：（秒），所以（秒），故；
故答案为：6，3，57；
（2）解：观察图象可知，点到点，甲飞行了（米），
根据题意，点到点的飞行速度与秒的飞行速度相同，那么从点飞到点需要的时间为（秒），
点横坐标为，
，
设直线为，代入，，得到
，
解得，
；
线段所在直线的函数关系式为：；
（3）解：设秒乙的表达式为：，代入和，得到
，解得，
；
设秒甲的表达式为：，代入，
可得，解得，
那么秒甲的表达式为：，
当时间在秒，当甲、乙两架无人机距地面的高度差为18米时，有，解得：，
当时间在秒，当甲、乙两架无人机距地面的高度差为18米时，有，解得：，
当时间在秒，当甲、乙两架无人机距地面的高度差为18米时，有，解得：，
答：当甲、乙两架无人机距地面的高度差为18米时，或．
5．（24-25九年级下·吉林松原·期中）新能源纯电动汽车在行驶过程中可以做到零排放和无污染．如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（单位：）关于已行驶路程（单位：）的函数图象．
(1)当蓄电池剩余电量为时，汽车已行驶的路程为___________．
(2)当时，求的电量能使汽车行驶的路程．
(3)当时，求关于的函数解析式．
【答案】(1)150
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式．
（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出蓄电池剩余电量为时，汽车已经行驶的路程；
（2）根据图象中的数据，即可计算出消耗1千瓦时的电量，汽车能行驶的路程即可；
（3）设所求的函数解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可．
【详解】（1）解：由图象可得，蓄电池剩余电量为时，汽车已经行驶的路程为，
故答案为：150；
（2）解：，
答：的电量能使汽车行驶；
（3）解：当时，设所求的函数解析式为，
把点、代入，
得，
解得，
关于的函数解析式为．
6．（2025·陕西榆林·二模）年月日，年度全国十大考古新发现结果揭晓，陕西周原遗址（如图）项目入选．欣欣一家准备前往周原博物馆进行参观，有如下两种出行方案：
设欣欣家到周原博物馆来回总路程为公里，按照方案二来回所需的总出行费用为元．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)已知欣欣家到周原博物馆来回总路程为公里，请你帮助欣欣选择一种比较省钱的出行方案，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)按照方案一，乘坐公共交通出行比较省钱，见解析．
【分析】本题考查了一次函数的应用，找出函数关系式是解题的关键．
（）根据题意可得，与之间的函数关系式为；
（）当时，，然后比较即可．
【详解】（1）解：根据题意可得，与之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
∵，
∴按照方案一，乘坐公共交通出行比较省钱．
7．（2025·浙江丽水·二模）是一种基于人工智能技术的深度搜索引擎或数据分析工具．由于工作需要，某公司在用它处理文本和图片数据时发现，处理的数据总量（单位：）与处理数据的时长（单位：）的部分对应值如下表：
(1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出关于的函数表达式；
(2)现要处理的数据，一共需要多少小时？
【答案】(1)
(2)要处理的数据，一共需要小时
【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法，求自变量或函数值的计算是关键．
（1）根据表格信息，运用待定系数法求解即可；
（2）根据函数值求自变量的值的计算即可求解．
【详解】（1）解：根据表格信息，可知当时长t每增加，数据总量s增加，
∴是的一次函数关系，设关于的函数表达式为，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：当时，，
解得，，
∴要处理的数据，一共需要小时．
考点十一： 跨学科问题
1．（2025·河南安阳·二模）19世纪20年代，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名的欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了方便以后使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将电压为的电源、一个开关、一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值比滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值减小了．
(1)你能帮小组成员计算出这块滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算）
(2)由于实验室器材损耗，学校拟购买电流表和滑动变阻器共45个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个8元，若电流表的数量不少于滑动变阻器数量的，则学校购买这批器材至少要花多少钱？
【答案】(1)滑动变阻器的最大电阻为
(2)学校购买这批仪器至少要花396元
【分析】（1）设滑动变阻器的最大电阻是，根据分式方程的解法求解；
（2）设购买电流表个，则购买滑动变阻器个，总花费为元，根据题意列出不等式求解．
【详解】（1）解：（1）设滑动变阻器的最大电阻是．
由题意得
解得
经检验，是原方程的根．
答：滑动变阻器的最大电阻为．
（2）解：设购买电流表个，则购买滑动变阻器个，总花费为元．
由题意得
解得
．
，
随的增大而增大，
当时，最小，此时，396（元）．
答：学校购买这批仪器至少要花396元．
【点晴】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，列出分式方程和一元一次不等式方程是解答关键．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）物理课上，老师正在展示光的反射规律，某同学借此情境编写了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，是正方体展示盒的截面，其中点，点的坐标分别为，，且轴，点处放置一支激光笔，激光笔发射的光线是直线的一部分．
(1)点为平面镜的中点，若激光笔发射的光线恰好经过点，求所在直线的解析式；
(2)已知在正方体展示盒的上方有一个感光元件，当经过反射的光线照射到点与点之间时（包含端点），感光元件就会发光，求符合条件的的整数值．
【答案】(1)
(2)4或5
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握光的反射定律及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
（1）求出点的坐标并利用待定系数法求出所在直线的解析式即可；
（2）取点关于轴的对称点，根据点的坐标得到的坐标，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点；设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且，将的坐标代入，将用含的代数式表示出来；再分别将点、的坐标代入得到对应的值，从而得到的取值范围，进而求得的整数值．
【详解】（1）解：，，且轴，
，
点为平面镜的中点，
，
点的坐标为，
将和分别代入，
得，
解得，
所在直线的解析式为；
（2）解：如图，取点关于轴的对称点．
，
，
根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点，
设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且，
将代入，
得，
，
，
当反射光线经过时，得，
解得；
当反射光线经过时，得，
解得，
，
为整数，
或5．
3．（23-24八年级下·福建泉州·期末）【综合与实践】杆秤是一种生活中常见的称重工具，它的设计巧妙地运用了物理原理，使得测量物体质量变得简单而准确．杆秤的物理原理，包括杠杆原理、力的平衡以及刻度与读数等方面的内容．某兴趣小组想利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：．其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米．
【方案设计】目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为克，零刻线与末刻线的距离定为厘米．
任务一：确定和的值．
当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡；
当秤盘放入质量为克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡；
（1）求和的值．
任务二：确定刻线的位置．
（2）根据任务一，求关于的函数解析式．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了一次函数的应用；
（1）依据题意，又当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡；当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，可得,且，进而计算可以得解；
（2）依据题意，由（1）可知：，，则，进而可以得解．
【详解】解：（1）由题意得：，，
当，时，，
；
当，时，，
；
联立①②可得，
解得．
（2）由（1）可知：，，
∴，
∴．
∴关于的函数解析式为．
4．（2023·福建厦门·二模）下面是小明同学的一则日记，请仔细阅读，并完成相应的任务：
任务：
(1)根据材料中的内容，求出当时，y与x的函数关系式，并在下面的平面直角坐标系中画出该函数图象；

(2)当完全反应后试管内剩余气体的体积为时，求原混合气体中的体积．
【答案】(1)；图象见解析
(2)或
【分析】（1）当时，进行的反应是②，根据题意可知反应①消耗的，进而得出当时，y与x的函数关系式，根据自变量取值范围画出图象．
（2）分情况讨论①当时，②当时，时，分别代入相应的函数关系式计算．
【详解】（1）解：当时，进行的反应是②，
反应①消耗的 ，
剩下的气体满足
，
当时，y与x的函数关系式为．
函数图象如下图所示：

（2）解：①当时，y与x的函数关系式为，
时，则，
②当时，y与x的函数关系式为，
是，则．
答：原混合气体中的体积为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是理解题意列出函数解析式．
5．（24-25九年级上·广东东莞·期末）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图所示．
(1)求所在直线的函数表达式；
(2)当石块下降的高度为时，求此刻该石块所受浮力的大小．（温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数的函数值，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
（1）用待定系数法可得所在直线的函数表达式；
（2）结合（1），求出石块下降的高度为时，的值，即可得到答案．
【详解】（1）设所在直线的函数表达式为，
将，代入得：
解得
∴所在直线的函数表达式为；
（2）在中，令得，
∵，
∴当石块下降的高度为时，该石块所受浮力为．
考点十二： 新考法问题
1．（2025·吉林长春·二模）一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小华购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x厘米，单层部分的长度为y厘米，经测量，得到下表中数据：
(1)试根据表中x与y的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点；
(2)观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上；如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式；
(3)按小华的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳，请计算此时单层部分的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)此时单层部分的长度为
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确掌握待定系数法求一次函数的解析式，
（1）利用描点法画出图形即可；
（2）观察表格可知，是的一次函数，再用待定系数法可得与的函数关系式为；
（3）根据背带的长度调为得，即可解得答案．
【详解】（1）解：只要描点正确，连线和不连线都给分；

（2）解：在同一条直线上；
设函数关系式为，（）由题意得：
解得
∴y与x的函数关系式
（3）解：
解得
答：此时单层部分的长度为
2．（2025·河南漯河·二模）青少年是祖国的未来，是民族的希望，青少年的饮食搭配越来越受到社会各界的关注，为此某校餐厅开展了“用餐一小步，健康一大步”的主题活动．餐厅为学生们准备了A，B两种品牌的酸奶，每盒酸奶的容量均为，其营养成分表如下：
(1)若一个学生一天内要从这两种品牌的酸奶中摄取的能量和的蛋白质，则应饮用两种品牌的酸奶各多少盒？
(2)已知A品牌酸奶的价格是4元／盒，B品牌酸奶的价格是3元／盒．某班级计划从餐厅购买两种酸奶共300盒，经与餐厅沟通，每盒A品牌酸奶售价不变，B品牌酸奶的售价打九折．若要求购买A品牌酸奶的数量不低于B品牌酸奶数量的2倍，则该班级应该如何设计购买方案，才能使购买酸奶的总费用最少？
【答案】(1)应饮用A品牌酸奶2盒，饮用B品牌酸奶3盒
(2)购买A品牌酸奶200盒，购买B品牌酸奶100盒，才能使购买酸奶的总费用最少
【分析】本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的应用。解题关键在于准确分析题目中的数量关系，合理设未知数，根据等量关系或不等关系列出相应方程、不等式，构建函数模型，并运用函数性质解决最值问题。
（1）以学生摄取能量和蛋白质的量为切入点，设饮用A、B品牌酸奶的盒数分别为、，依据A、B品牌酸奶每盒的能量值和蛋白质含量，结合已知摄取量列出二元一次方程组，求解得出饮用两种品牌酸奶的盒数。
（2）从班级购买酸奶的数量和费用关系入手，设购买A品牌酸奶盒，得出购买B品牌酸奶盒。先根据“A品牌酸奶数量不低于B品牌酸奶数量的2倍”列出一元一次不等式确定的取值范围，再根据单价和购买数量构建总费用关于的一次函数，利用一次函数性质求出费用最小时的值及对应的购买方案。
【详解】（1）解：设饮用A品牌酸奶盒，饮用B品牌酸奶盒．
依题意，可得方程组
解得
答：应饮用A品牌酸奶2盒，饮用B品牌酸奶3盒．
（2）解：设购买A品牌酸奶盒，则购买B品牌酸奶盒．
依题意，可得不等式，
解得．
设购买这两种品牌酸奶的总费用为元，
依题意，可得．
随的増大而増大．
当时，有最小值，此时，
故购买A品牌酸奶200盒，购买B品牌酸奶100盒，才能使购买酸奶的总费用最少．
3．（2025·陕西西安·二模）某餐厅为了追求顾客的消费满意度，推出一种“沙漏计时”单方案，即点餐完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免单．某数学小组观察发现：该沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间3分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为84克，当流入时间10分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为35克．
(1)求沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）之间的函数解析式；
(2)求客人点餐完成后，最晚多长时间菜全部上桌．
【答案】(1)
(2)15分钟
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出一次函数关系式是解题的关键．
（1）设上面玻璃球所剩沙子质量克与流入时间分钟之间的函数解析式为，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，沙漏恰好完成第一次倒置，令，即可求解．
【详解】（1）解：设上面玻璃球所剩沙子质量克与流入时间分钟之间的函数解析式为，
由题知当时，；时，，
，
解得：，
与x的函数解析式为；
（2）解：当时，，
解得：，
答：最晚15分钟菜全部上桌．
4．（2025·贵州贵阳·一模）综合与实践：制作简易计时器
【问题情境】
某小组同学根据古代计时器“漏壶”的原理制作了如图所示的简易计时器，该计时器由一个圆锥和一个圆柱组成，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中．
【实验观察】表格记录的是圆柱容器液面高度y（）与时间x（）的数据：
【探索发现】根据上述的实践活动，该小组同学发现y与x之间满足一次函数关系，请解决以下问题：
(1)根据表中的数据在图中描点：小组长发现其中有一次数据记录错误，请你指出记录错误的是第 次：
【结论应用】
(2)已知圆柱容器液面的最大高度能达到，则这个简易计时器最多可计时多少分钟？
【答案】(1)四
(2)15分钟
【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数的解析式，理解题意是解题的关键．
（1）根据表中的数据在图中描点，由题意可知y与x之间满足一次函数关系，所以函数图象是一条直线，根据描点可知第四次的数据不在其他数据连成的直线上，即可得出结论；
（2）利用待定系数法求出y与x之间满足的一次函数关系，再令，求出对应的值，即可解答．
【详解】（1）解：描点如下：
由题意得，y与x之间满足一次函数关系，所以函数图象是一条直线，
根据描点可知，第四次的数据不在其他数据连成的直线上，
记录错误的是第四次．
故答案为：四．
（2）解：设一次函数关系为，
代入和得，，
解得：，
一次函数关系为，
令，则，
解得：，
答：这个简易计时器最多可计时15分钟．
1．（2025·山西晋中·二模）人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数（次）与其年龄（岁）的关系为．由此可知，正常情况下，随着一个人年龄的增加，这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数的变化情况是（ ）
A．逐渐下降B．逐渐提高C．不变D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是根据一次函数的斜率判断函数的增减性．
分析函数的性质，判断随差增大的变化情况．
【详解】解：，
，
根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小．这里表示年龄，表示运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，所以随着年龄的增加，运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数函渐下降，
故选A．
2．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）甲、乙两人同时登山，两队甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，且乙提速后的速度是甲的3倍，则下列说法正确的是（ ）
A．乙提速后每分钟攀登45米
B．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时4.5分钟
C．整个过程中，有2个时刻甲、乙两人相距80米
D．从甲、乙第一次相距80米到乙追上甲时，甲、乙共攀登了160米
【答案】D
【分析】本题考查的是一次函数的实际应用．根据图象可得甲的速度，进而得出乙提速后的速度；利用乙提速后的速度可得提速后所用时间，进而得出乙攀登到300米时共用时间；分三种情况讨论甲、乙两人相距80米时，列式计算求解．
【详解】解：甲的速度为：（米/分），
（米/分），
即乙提速后每分钟攀登30米，故选项A不符合题意；
设乙用分钟追上甲，
由题意得，
解得，
即从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时分钟，故选项B不符合题意；
由题意得，有3个时刻甲、乙两人相距80米，
在乙提速前即时，，
解得，不符合题意，舍去；
由题意得，或，
解得或，，故选项C不符合题意；
甲、乙第一次相距80米时，甲距离地面米，
乙距离地面米，
乙追上甲时，甲距离地面米，
乙距离地面米，
则甲、乙共攀登了米，故选项D符合题意；
故选：D．
3．（2025·湖北武汉·三模）甲、乙两人同时从地出发，以各自的速度匀速骑车到地，甲先到地后原地休息．甲、乙两人的距离与乙骑车的时间之间的函数关系图象如图，则甲的平均速度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题通过函数图象获取甲、乙两人骑行过程中的信息，利用路程、速度和时间的关系来求解甲的平均速度．解题关键在于准确理解函数图象中横、纵坐标的含义，从中提取出甲、乙两人的运动时间、路程等关键信息，再灵活运用路程、速度、时间的公式进行计算．
【详解】解：从图象可知，在时，甲、乙两人的距离达到最大值，这表明此时甲到达地，而乙还在途中，
∴是甲从地到地所用的时间．
在到这个时间段，甲在地休息，乙继续骑行，的时间乙骑行了．
∴乙的速度乙．
∵乙从地到地共用了，
∴、两地的距离．
甲从地到地用了，根据速度公式，甲的平均速度甲．
故选：D
4．（2025·山西吕梁·二模）如图是第九届亚冬会期间热销的一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成，使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带A总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．对该单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度为，单层部分的长度为，得到如下数据：
则与之间的关系式为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了表格表示函数关系式，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，由表格数据可知，y与x成一次函数关系，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可．
【详解】解：由表格数据可知，双层部分的长度每增加，单层部分的长度就减少，因此y与x成一次函数关系，
设，把，，把，代入得：
，
解得：
∴y与x的函数表达式为．
故选：C．
5．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）朵朵每天从家去学校上学行走的路程为米，某天她从家去上学时以每分米的速度行走了米，为了不迟到她加快了速度，以每分米的速度行走完剩下的路程，那么朵朵距家的路程（米）与她行走的时间（分）之间的函数关系用图象表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数与图象的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据速度、时间、路程三个量分析，小亮前米速度为米/分钟，后米速度为米/分钟，速度增大，小亮的路程分段，“先慢后快，图象先平后陡”即可求解．
【详解】解：∵小亮行走过的路程（米）应随他行走的时间（分）的增大而增大，
∴选项A、B一定错误；
∵他从家去上学时以每分米的速度行走了米，
∴所用时间应是分钟，
∴选项C错误；
∵行走了米，为了不迟到，他以每分米的速度行走完剩下的路程米，
∴时间为分钟，
∴后面一段图象陡一些，
∴即选项D正确．
故选D．
6．（2025·广东佛山·二模）图甲为我国古代的计时工具——漏刻，图乙为它的示意图．漏壶中的水均匀滴入箭壶，木块与箭杆组成的箭舟匀速上浮，从盖孔处看箭杆上的标记h，就能知道对应的时刻t，下表记录了t（分钟）与对应h（厘米）的部分数据，其中有一个h的值记录错误，则错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．设水位单位：关于时间单位：的函数解析式为，然后把，代入解析式求出函数解析式，再将和和和代入求出相应的函数解析式，看是否符合题意，即可解答本题．
【详解】解：设水位单位：关于时间单位：的函数解析式为，
把，代入解析式得：，
解得，
，
当时，，
当时，；
当时，，
当时，；
点不在该函数图象上，与题目中有一个h的值记录错误相符合，
故选：B．
7．（2025·安徽六安·二模）为了保护学生视力，课桌高度与凳子高度按照的关系配套设计，已知一张高的课桌配高的凳子，那么高的凳子应配课桌的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，把，代入求出，得出函数解析式为，然后把代入函数解析式，求出结果即可．
【详解】解：把，代入得：
，
解得：，
∴，
把代入得：，
即高的凳子应配课桌的高度为，
故选：D．
8．（2025·河南周口·一模）某吊绳最大承受拉力对应的重物质量不超过8 吨．当没有吊起任何重物时，吊绳的自然长度是5米，通过实验测定，每吊起1 吨重物，吊绳会伸长0.3米．在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度y（单位：米）与所吊重物的质量x（单位：吨）之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意即可得到函数关系式，熟知相关等量关系是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得，
故选：A．
9．（2025·湖北十堰·三模）小明在实验室探究弹簧秤的伸长量与所挂物体质量的关系．已知弹簧秤原长为，当所挂物体质量不超过时，弹簧的伸长量与所挂物体质量满足一次函数关系．小明记录了两次实验数据：当所挂物体质量为时，弹簧秤长度为；当所挂物体质量为时，弹簧秤长度为．如果所挂物体质量为时弹簧秤长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意得出弹簧的伸长量与所挂物体质量的一次函数关系式，进而将代入，即可求解．
【详解】解：设弹簧的伸长量与所挂物体质量的关系式为，
根据题意得
解得：
∴
当时，
故答案为：．
10．（2025·湖南邵阳·三模）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海七日至北海，雁起北海九日至南海，今凫、雁俱起，问何日相逢？如图是凫、雁起飞后，凫、雁距离南海的路程关于飞行时间的函数图象，则两函数图象的交点的横坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数的图象，正确理解题意、从图象中得出解题所需信息是解题的关键；
根据题意可得：凫的飞行速度是、雁的飞行速度是，则凫、雁相遇时，距离南海的路程，据此建立方程求解即可．
【详解】解：根据题意可得：凫的飞行速度是、雁的飞行速度是，
则凫、雁相遇时，距离南海的路程，
∴，
解得：，
即点M的横坐标是；
故答案为：．
11．（2025·山西吕梁·二模）骑自行车可以放松心情，是一种非常好的“黄金有氧运动”．骑行过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．有一种测量方法：双腿（不穿鞋）站立，测量档部离地面的距离（单位：），得出的数据乘0.883就是相应的骑行时最合适的长度（由长度为的立管和可调节的坐杆组成，如图所示）．若设长度最合适时坐杆的长度为，则与之间的关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的应用．由可得．
【详解】解：∵，，，
∴，
即，
故答案为．
12．（2025·山东·二模）“大明湖畔的夏雨荷”，是给不少人留下了深刻印象的影视形象．2024年12月，济南市大明湖畔迎来了一个高达12米的“夏雨荷”造型花灯，很多游客纷纷前来打卡拍照，与夏雨荷花灯类似的A、B两款簪花发卡尤其受到拍照游客喜爱，很多游客纷纷购买佩戴后与夏雨荷花灯合影留念．已知购买1个款簪花发卡的售价50元，1个款簪花发卡的售价40元．某旅行团计划购买这两种簪花发卡共100个，要求款簪花发卡的数量不少于款簪花发卡数量的3倍．则该旅行团最低消费金额为 元．
【答案】4750
【分析】本题考查了一次函数和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
设购买款簪花发卡个，则款簪花发卡，根据题意得到不等式，求出的取值范围，再设旅行团消费金额为元，根据题意得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解．
【详解】解：设购买款簪花发卡个，则款簪花发卡，
由题意得：，
解得：，
设旅行团消费金额为元，
则，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，最小，为，
故答案为：4750．
13．（2025·山东济南·二模）虹吸原理描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于时间x（单位：s）的函数图象，如图2所示，当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的应用解一元一次方程，能理解题意，并从图象中获取准确信息是解答的关键．利用待定系数法求得，再利用甲容器向乙容器注水，始终有，求得，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：当时，，
∵开始时甲容器液面高，
∴，
∴设，
又∵时，，
∴，解得，
∴，
∵甲容器向乙容器注水，始终有，
∴，
∴甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，即，
∴，
解得，
故答案为：．
14．（2025·浙江杭州·二模）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
信息读取：
(1)甲、乙两地之间的距离为 ；
(2)求慢车和快车的速度；
(3)求线段所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)900
(2)快车的速度为，慢车的速度为
(3)，自变量x的取值范围是
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图像获取信息是解题的关键．
（1）由函数图象可以直接求出甲乙两地之间的距离；
（2）由函数图象的数据，根据速度路程时间就可以得出慢车的速度，由相遇问题求出速度和就可以求出快车的速度进而得出结论；
（3）由快车的速度求出快车走完全程的时间就可以求出点C的横坐标，由两车的距离速度和×时间就可以求出C点的纵坐标，由待定系数法就可以求出结论．
【详解】（1）解：根据图象，得
甲、乙两地之间的距为．
故答案为：900；
（2）解：由题意，得
快车与慢车的速度和为：，
慢车的速度为：，
快车的速度为：．
答：快车的速度为，慢车的速度为；
（3）解：由题意，得快车走完全程的时间按为：，
时两车之间的距离为：．
则．
设线段的解析式为，由题意，得
，
解得：k=225b=900，
则，自变量x的取值范围是．
15．（2025·四川绵阳·一模）临近春节，各种水果深受消费者青睐，销量逐渐攀升，下表是某水果店所销售的国产车厘子与智利车厘子两种商品的相关信息．
(1)已知该水果店某天销售这两种车厘子共122kg，销售额为6600元，求该水果店当天销售这两种车厘子的利润共多少元．
(2)根据销售经验，该水果店春节期间还能再销售上表中两种车厘子共2000kg，其中，智利车厘子的销售量不低于600kg．设这期间销售智利车厘子x kg，销售这两种车厘子获得的总利润为w元，求出w与x之间的函数关系，并求出这段时间，该水果店销售这两种车厘子至少获得的总利润是多少元．
【答案】(1)该水果店当天销售这两种车厘子的利润为2080元
(2)这段时间，该水果店销售这两种车厘子至少获得的总利润是33000元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找数量关系解决问题．
（1）根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
（2）根据题意列出一次函数，结合一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设智利车厘子销售m kg，国产车厘子销售n kg．
由题意，得，
解得，
∴利润为（元）．
答：该水果店当天销售这两种车厘子的利润为2080元．
（2）解：已知销售智利车厘子x kg，则销售国产车厘子，
∴总利润，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∵智利车厘子的销售量不低于600kg
∴当时，利润最小，最小值利润为（元），
答：该水果店销售这两种车厘子至少获得的总利润是33000元．
16．（2025·浙江绍兴·一模）随着日新月异的科技发展，越来越多的领域开始使用智能机器人代替人工劳动．某生产车间实行8小时上班制，工人每日上、下午各工作3.5小时，中午休息1小时．机器人刚开始工作时需开机、预热10分钟，之后正常工作．如果每台智能机器人和每名工人工作时间，工作效率不变，一名工人、一台机器人的每日生产的零件y（个）与上班时间x（小时）的函数关系式如图所示．
(1)求一名工人每小时能生产零件的个数；
(2)当x为何值时，机器人生产的零件数比工人生产的零件数多60个．
【答案】(1)一名工人每小时能生产零件16个
(2)当时，机器人生产的零件数比工人生产的零件数多60个
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据函数图象可直接进行求解；
（2）由图象可得机器人所在函数解析式为，时间在4.5小时到8小时之间的函数解析式为，然后根据题意可进行求解．
【详解】（1）解：由图象可知：
（个）；
答：一名工人每小时能生产零件16个．
（2）解：设机器人所在函数解析式为，由图象可把点代入得：
，
解得：，
∴机器人所在函数解析式为，
由（1）可知：时间在4.5小时到8小时之间工人所生产的零件数为（个），
即当时，则，
∴同理可得：时间在4.5小时到8小时之间的函数解析式为，
∴当时，代入得：，解得：，
不在3.5到4.5之间，所以不符合当工人中午休息时，机器人生产的零件数比工人生产的零件数多60个；
∴，
解得：；
答：当时，机器人生产的零件数比工人生产的零件数多60个．
17．（2025·河南周口·二模）“做天下头等大事，练世间顶上功夫．”某理发店剪发原价为每次20元，现有如下两种收费方案．
方案一：不办理会员卡，每次剪发按照原价收费；
方案二：办理会员年卡（会员卡花费100元，一年内有效），每次理发按原价七五折收费两方案中总费用y与剪发次数x的关系图象如下：
(1)分别写出这两种方案中剪发的总费用y与剪发次数x之间的函数关系式；
(2)求交点P的坐标，并说明其实际意义；
(3)若王林一年剪发18次，他选择哪种方案花费更少？说明理由．
【答案】(1)，
(2)，点P所表示的实际意义：一年内，剪发次数是20次时，两种方案总花费都是400元
(3)王林选择方案一花费更少，见解析
【分析】本题主要考查一次函数的实际运用；
（1）根据题意分别列出函数关系式即可；
（2）依据题意联立方程组并求解即可求出点P的坐标，再结合实际说出实际意义即可；
（3）根据图象进行分析，当时，；当时，即可求出结果．
【详解】（1）解：由已知得：方案一费用与剪发次数的函数关系式为，
方案二费用与剪发次数的函数关系式为；
（2）依据题意联立方程组得：，
解得，
∴点，
点P所表示的实际意义：一年内，剪发次数是20次时，两种方案总花费都是400元；
（3）选择方案一花费更少．
理由：根据图象可知：当时，；当时，；
∴当时，；
∴王林选择方案一花费更少．
18．（2025·河南南阳·二模）宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每个款人形机器人的售价比每个款人形机器人的售价少，当两款人形机器人的预约销售额都为600万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出10个．
(1)求该公司、两款人形机器人在网上每个的售价各是多少万元？
(2)已知款人形机器人每个的成本是12万元，款人形机器人每个的成本是10万元．根据网上预约情况，公司计划再用不超过1080万元的总费用购进这两款人形机器人共100个进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少万元？
【答案】(1)该公司、两款人形机器人在网上每个的售价分别是15万元、12万元
(2)购进款人形机器人40个，购进款人形机器人60个，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是240万元
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键．
（1）设每个款人形机器人在网上的售价是万元，则每个款人形机器人在网上的售价是万元，根据两款人形机器人的预约销售额都为600万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出10个建立方程求解即可；
（2）设购进款人形机器人个，则购进款人形机器人个，总利润为，根据购买资金不超过1080万元列出不等式求出x的取值范围，再列出w关于x的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每个款人形机器人在网上的售价是万元，则每个款人形机器人在网上的售价是万元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：该公司、两款人形机器人在网上每个的售价分别是15万元、12万元；
（2）解：设购进款人形机器人个，则购进款人形机器人个，总利润为，
根据题意得：，
解得：，
，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，利润最大，（万元）．
答：购进款人形机器人40个，购进款人形机器人60个，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是240万元．深度
1
2
3
4
5
…
温度
55
90
125
160
195
…
…
0
50
100
…
…
45
41
37
…
轿车行驶的路程
0
100
200
300
400
…
油箱剩余油量
50
42
34
26
18
…
收货地
发货地
A
B
甲村
15元/吨
20元/吨
乙村
24元/吨
25元/吨
目的地生产厂
A
B
甲
20
25
乙
15
24
供水时间
0
2
4
6
8
箭尺读数
6
18
30
42
54
时间（时）
…
1
2
3
4
5
…
圆柱容器内水面高度（厘米）
…
3
5
7
9
11
…
漏沙时长（时）
0
2
4
6
8
电子秤读数（克）
6
18
30
42
54
甲种
乙种
进价/（元/本）
3
5
售价/（元/本）
4.5
7
种类
A种配件
B种配件
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
用水量（立方米）
收费（元）
不超过10立方米
每立方米2元
超过10立方米
超过的部分每立方米3元
运往地
运出地
甲
乙
总计
A
台
______台
16台
B
______台
______台
12台
总计
15台
13台
28台
运往地
运出地
甲
乙
总计
A
x台
台
16台
B
台
台
12台
总计
15台
13台
28台
成本（元／个）
定价（元／个）
产量（单位：个）
A款公仔
25
35
B款公仔
150
180
①
总利润与的关系式：②
方案
出行方式
所需费用
方案一
乘坐公共交通出行
来回所需的总出行费用为元
方案二
自驾出行
每公里汽车耗油费用为元，来回所需的高速过路费共元，不计其他费用
时长
0.5
1
1.5
2
4
数据总量
32
64
96
128
256
年*月*日 星期日
利用一次函数知识解决化学问题
今天我看到一则化学实验材料：
如图1，在一支的试管中充满了和的混合气体，将其倒立在盛有足量水的烧杯中，这里会发生化学反应．

①
当和的体积比为时，和恰好完全反应．如果反应后仍有剩余，则会和水继续发生化学反应．
②
化学反应②中参与反应的与生成的的体积比为．
根据以上材料，我有如下思考：化学反应结束后试管中剩余气体的体积与化学反应前试管中混合气体中的体积存在怎样的关系？经过分析，我可以建立一次函数模型解决这个问题．
设原混合气体中的体积为，的体积为，完全反应后试管内乘余气体的体积为．
情况一：由反应①可知，当和的体积比为时，和恰好完全反应，此时．
情况二：当时，由反应①可知全部参加反应，过量，参加反应①的的体积，剩余的体积为．
因为不溶于水，故完全反应后试管内剩余气体的体积，即．
在平面直角坐标系中画出当时的函数图象如图2所示．

情况三：当时，由反应①可知全部参与反应，过量，参与反应①的的体积为，剩余的和水发生反应②，产生不溶于水的气体．
双层部分长度x（）
2
8
14
20
单层部分长度y（）
148
136
124
112
品牌
营养成分表
品牌
营养成分表
项目
每
项目
每
能量
能量
蛋白质
蛋白质
脂肪
脂肪
碳水化合物
碳水化合物
钠
钠
记录次数
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
时间x（）
1
2
3
4
5
圆柱容器液面高度y（）
2
4
6
4
10
双层部分长度
2
6
10
14
…
单层部分长度
116
108
100
92
…
分钟
0
1
2
3
4
5
…
厘米
…
商品
智利车厘子
国产车厘子
成本
40元/kg
35元/kg
售价
60元/kg
50元/kg