八年级沪科版数学上册预习 第02讲 平面直角坐标系（提高）（2类型+13考点+过关检测）

这是一份八年级沪科版数学上册预习 第02讲 平面直角坐标系（提高）（2类型+13考点+过关检测），共59页。
类型一 与平面直角坐标系有关的面积类问题
考点一： 与两坐标轴围成的图形面积
1．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴上，的面积是10，则点C的坐标是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形．设点C的坐标是，则，根据，即可求解．
【详解】解：设点C的坐标是，则，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴在x轴上，且，
∵的面积是10，，
∴，
∴，
∴点C的坐标是或．
故选：C
2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知和两点，且与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（ ）
A．2B．2或C．0或2D．
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据三角形的面积结合列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程是解题的关键．根据点A、B的坐标可找出、的长度，再根据三角形的面积公式结合即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵和，
∴在轴上，在轴上，且，，
∴，
即，
解得：或．
故选：B．
3．（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，，点在坐标轴上，且的面积为2，则满足条件的所有点坐标为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，根据点位于不同的数轴分类讨论是解题的关键．分点在轴上和轴上两种情况，利用三角形面积可以求得或的长度，进而求得点的坐标即可．
【详解】解：，，
点、与原点的距离，，
当点在轴上时，，
解得，
点的坐标为或，
当点在轴上时，，
解得，
点的坐标为或，
综上所述，点的坐标为或或，
故答案为：或或．
考点二： 一边在坐标轴上的图形面积
1．（23-24七年级下·新疆喀什·期末）已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】本题考查了图形与坐标，先设点的坐标为，结合点，，列式三角形的面积是，因为三角形的面积是，得出，再解方程，即可作答．
【详解】解：∵点在轴上
∴设点的坐标为
依题意，
解得
∴点的坐标是或
故选：C
2．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】根据三角形的面积求出的长，再分点在点的左边与右边两种情况讨论求解．
【详解】解：点，
，
解得，
若点在点的左边，则，
此时，点的坐标为，
若点在点的右边，则，
此时，点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
3．（24-25七年级下·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，已知点C的坐标为．
(1)求a，b的值；
(2)求三角形ABC的面积．
【答案】(1)，
(2)5
【分析】本题考查了坐标与图形的性质、绝对值、算术平方根的非负性以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握绝对值、算术平方根的非负性．
（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，即可求得，的值；
（2）根据，的值可以确定点A、的坐标，进而求得，的距离，即可求得的面积．
【详解】（1）解：，
，，
，；
（2）解：，，
点，点，
又点，
，，
．
4．（23-24八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点是，设为坐标原点，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握点关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，求出点，连接，根据三角形的面积公式，即可．
【详解】解：如图所示，
∵点关于轴的对称点是，
∴点，
连接，，，
∴，
∴．
故选：B．
5．（21-22七年级下·江西南昌·期中）如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（ ）．
A．25B．250C．2500D．2200
【答案】C
【分析】根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，，，，
∵图上一个单位长度表示10米，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．
考点三： 平行于坐标轴的图形的面积
1．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的四个顶点A，B，C，D是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形的面积是（ ）个平方单位．
A．B．15C．10D．无法计算
【答案】B
【分析】根据平行四边形在坐标系中的位置得到轴，，高为，利用面积公式直接计算可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴轴，，高为，
∴平行四边形的面积，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，正确理解平行四边形的性质是解题的关键．
2．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，若点C的坐标是，则长方形的面积是 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据点C的坐标是，得到，根据长方形的面积公式即可求解．
【详解】解：点C的坐标是，四边形是长方形，
，
长方形的面积是，
故答案为：．
3．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．则四边形的面积 （用含有k的式子表示）
【答案】/
【分析】本题主要考查了坐标与图形，延长交轴于点E，过点C作轴于点F，延长交于点H，过点C作于点G，根据，，，，得出，，，，利用割补法求出四边形的面积即可．
【详解】解：延长交轴于点E，过点C作轴于点F，延长交于点H，过点C作于点G，
∵，，，，
∴轴，轴，
∴，，
∴，，
，
，
∴四边形的面积为：
．
故答案为：．
考点四： 各边都不在坐标轴上的图形的面积
1．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（ ）
A．19B．20C．21D．21.5
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质．过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴，根据题意可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴，
∵点，点，点，
∴，
∴三角形的面积是：．
故选：B
2．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图在平而直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据坐标系，利用梯形的面积减去多余三角形的面积即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴，过点分别作垂直于，垂足为点，
∵，，，
∴，，则
∴三角形的面积是
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．
3．（21-22七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知：，，，求△AOE的面积（ ）
A．3.5B．2.5C．6D．7
【答案】A
【分析】根据点的坐标，求得，根据进行计算即可求解．
【详解】解：，，，
，，
则
故选A
【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．
4．（20-21七年级下·全国·课后作业）如图，连接AB、BC、AC，则△ABC的面积是（ ）
A．3B．3C．2D．2
【答案】C
【分析】可以利用割补法，用长方形AGDE的面积减去的面积求解即可；
【详解】长方形AGDE的面积为：3×2=6，
的面积：3×1÷2=1.5，
的面积：2×1÷2=1，
的面积：2×1÷2=1，
故的面积为：6-1.5-1-1=2.5，
故答案为：C；
5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是 ．
【答案】31
【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，然后用大长方形的面积减去四周四个直角三角形的面积，得出答案即可．
【详解】解：过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，如图所示：
∵四边形各个顶点的坐标分别是，，，，
∴，，，，
∴，，，
，，，，，，
∴
．
故答案为：31．
考点五： 由面积之间的关系求坐标
1．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，，已知三角形的面积是三角形面积的2倍，则m的值为（ ）
A．B．2C．或2D．14或
【答案】D
【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．根据三角形的面积关系列出方程解题即可．先根据点A、B的横坐标相等得出轴以及的长，再根据三角形面积之间的关系得出关于m的方程求解即可．
【详解】解：∵三角形的面积是三角形面积的2倍，
∴，
解得：或，
故选D．
2．（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，点D是x轴上一个动点，当的面积等于的面积时，点D的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形性质，关键是要分两种情况讨论．
求出的面积，当D在x轴正半轴上时，由三角形面积公式得到，因此，当D在x轴负半轴上时，同理求出，于是得到，，即可得到D的坐标．
【详解】解：根据题意可得：的面积，
设交x轴于M，
当D在x轴正半轴上时，
∵的面积的面积的面积的面积，
，
，
当D在x轴负半轴上时，
同理求出，
根据图象可得，
，，
∴的坐标是或，
故答案为：或．
3．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，，且满足，过点A作轴于点．若轴上存在点，满足三角形和三角形的面积相等，则点的坐标为 ．

【答案】或
【分析】本题考查算术平方根、平方数的非负性及坐标与图形，直角坐标系内求三角形面积；利用坐标确定线段的长度是解题的关键．先求得出点A、B坐标，进而求出，根据题意求出结论即可．
【详解】解：，
，
，
，，
，
，
，
或．
故答案为：或．
4．（23-24七年级下·江西南昌·期中）已知点，，点在轴上，且的面积是的面积的3倍，那么点的坐标可以为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是理解题意；设点，则有，，然后根据与的面积关系可进行求解．
【详解】解：设点，则有，，
∵的面积是的面积的3倍，
∴
解得：或，
∴点或；
故答案为或．
5．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点在第四象限，线段轴，且．在第二象限有点．
（1）点C的坐标为 ；
（2）当四边形的面积与三角形的面积相等时，m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形、解一元一次方程．
（1）直接根据点C的位置写坐标；
（2）根据题中等量关系解关于m的方程即可解答．
【详解】解：（1）由图可知，点C的坐标为，
故答案为：；
（2）由图可知，，，
四边形的面积为；
∵四边形的面积与三角形的面积相等，
∴，
解得：．
故答案为：．
考点六： 直线分面积求值
1．（22-23八年级上·河南郑州·期中）如图，、、、，点P在x轴上，直线将四边形面积分成两部分，求的长度（ ）．
A．B．C．D．或
【答案】B
【分析】用分割法求出四边形的面积，分类讨论求出的面积，再求出的值，进而可得的值．
【详解】解：作轴于点P，
∵、、、，
∴，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
①当即时，
即，解得：，
∴；
②当即时，
即，解得：，
∴；
综上可知．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，根据坐标与图形的性质，用分割法求出不规则图形的面积，分类讨论是解本题的关键．
2．（21-22七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，平面直角坐标系中的图案是由六个边长为1的正方形组成的，，是x轴上的动点，当AB将图案分成面积相等的两部分时，a等于（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角形面积公式，结合题意列出方程并求解即可．
【详解】解：如下图，当AB将图案分成面积相等的两部分时，
则有，
即，解得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意列出方程是解题关键．
3．（23-24七年级下·四川凉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，且，．
(1)直接写出点，，的坐标；
(2)若动点从原点O出发沿轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线把四边形分成面积相等的两部分时，求点的运动时间；
(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，连接，使的面积与四边形的面积相等？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)4
(3)，
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了线段长的求法，点的坐标的确定，三角形四边形面积的计算，解本题的关键是面积的计算．
（1）根据线段的长和线段的特点确定出点的坐标；
（2）先求出，从而得到，求出，即可得到答案；
（3）根据四边形的面积求出的面积是32，最后求出点Q的坐标．
【详解】（1）解：∵点A、C在x轴上，．
∴，
∵C在y轴上，，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：∵，
设运动时间t秒，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，
∵，
∴
∴，，
∴，．
4．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，现将点A向下平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A的对应点C．
(1)连接、，点C的坐标为_______，三角形的面积为______；
(2)如图2，点，若点P在x轴上，直线将四边形的面积分成两部分，求点P的坐标
(3)点是一动点，若三角形的面积是三角形面积的，求m的值．
【答案】(1)，；
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）根据点的坐标和平移方式，得到点坐标，进而得到，即可求出三角形的面积；
（2）过点作轴于点，轴于点，根据各点坐标，得出，从而求出四边形的面积，设点坐标，则，
再分两种情况讨论，利用三角形面积公式列方程求解即可；
（3）由题意可知，，点在直线上运动，分两种情况讨论：①当点在第四象限时；②当点在第一象限时，表示出各个线段的长，再利用割补法分别表示出三角形的面积，求出m的值即可．
【详解】（1）解：，点C由点A向下平移2个单位，再向左平移2个单位得到，
点C的坐标为，即，
，
，
三角形的面积为，
故答案为：，；
（2）解：如图，过点作轴于点，轴于点，
，，，，
，，，，
，
，
四边形的面积
，
，
设点坐标，则，
直线将四边形的面积分成两部分，
①当时，此时，
，
解得：，
点坐标为；
②当时，此时，
解得：，
点坐标为，
综上可知，直线将四边形的面积分成两部分，点P的坐标为或；
（3）解：，，
，
三角形的面积是三角形面积的，
，
点是一动点，
点在直线上运动，
①如图，当点在第四象限时，过点作直线轴，过点作于点，过点作轴交轴于点，交直线于点，
，，，，，，
，
解得：；
②当点在第一象限时，
同理可得：，
解得：，
综上可知，三角形的面积是三角形面积的，m的值为或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平移的性质，一元一次方程的应用，割补法求面积等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．
考点七： 新定义问题中的面积
1．（22-23八年级下·广东河源·开学考试）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为，则的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据题意可以求得的值，然后再对进行讨论，即可求得的值，解题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题．
【详解】由题意可得，“水平底”，
当时，，
则，
解得：，
故点的坐标为；
当时，，
故此种情况不符合题意；
当时，，
则，
解得：，
故选：．
2．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）定义：任意三点A，B，C的“矩面积”计算方法：“水平底”a是任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如，三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”h＝6，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为20，则 ．
【答案】5或
【分析】本题考查坐标与图形的性质，根据矩面积的定义表示出“水平底”a和铅垂高h，利用分类讨论对其铅垂高h进行讨论，从而列出关于m的方程，解出方程即可求解．
【详解】解：∵“水平底”，“矩面积”为20，
∴“铅垂高”，
∴或，
∴或，
故答案为：5或．
3．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于任意三点、 、的“半矩面积”给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“半矩面积”．例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“半矩面积”．已知两点，，若点是轴上任意一点，则、、三点的“半矩面积”的最小值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了坐标与图形，读懂题意是解题的关键．由题意得，，可知的最小值为，继而即可求解．
【详解】解：由题意得，，
可知的最小值为，
∴、、三点的“半矩面积”的最小值为：，
故答案为：2．
4．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）对于平面直角坐标系中的点，给出如下定义：若存在点（为正数），称点为点的等距点．例如：如图，对于点，存在点，点．点，点，则点，，，分别为点的等距点．
(1)若点的坐标是，则时，点在第四象限的等距点的坐标为______________．
(2)若点的等距点的坐标是，求当点的横、纵坐标相同时的坐标．
(3)将点的所有等距点用线段依次连接起来，所得到的图形的面积刚好为36，直接写出此时的值．
【答案】(1)
(2)
(3)3
【分析】此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题．
（1）根据等距点的定义可作判断；
（2）根据等距点的定义分两种情况可得，或，再解方程解答即可；
（3）根据题意可知所有等距点用线段依次连接起来所得到的图形是矩形，其边长为，面积为，依据题意可得方程求出a的值．
【详解】（1）解：由题意可得：点的等距点为，，，，
即，，，，
时，点在第四象限的等距点的坐标为．
故答案为：
（2）解：由题意得，
解得，
或，
解得
是正数，
，
当点的横、纵坐标相同时的坐标为；
（3）解：∵点的所有等距点的坐标分别为，，，，
∴所有等距点用线段依次连接起来所得到的图形面积为，
，
由边长的实际意义得．
考点八： 面积中的规律问题
1．（22-23七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点按照图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，…，按照这样的规律运动下去，则三角形的面积是 ．

【答案】1012
【分析】根据图形可得，当点A的下标为奇数时，该点在x轴上，再依次计算出，，的面积，总结出一般规律，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
，，，……，
∵，
∴，
，
，
，
……
，
当时，解得：，
∴，
故答案为：1012．
【点睛】本题主要主要考查了点的坐标变化规律，解题的关键是根据图形和题意，总结出各个三角形面积变化的一半规律．
2．（2021八年级上·全国·专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3，已知A（1，2），A1（2，2），A2（4，2），A3（8，2）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化？找出规律，按此规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是________，B4的坐标是________；
（2）若按（1）中找到的规律将三角形OAB进行n次变换，得到三角形OAnBn，推测An的坐标是________，Bn的坐标是________．
（3）求出△OAnBn的面积．
【答案】（1）(16，2)， (32，0)；（2）(2n，2)， (2n+1，0)；（3）．
【分析】（1）观察图形并结合已知条件，找到An的横坐标、纵坐标的规律，及Bn的横坐标、纵坐标的规律，即可解题；
（2）根据规律：An的横坐标是2n，纵坐标都是2，得到An 的坐标是(2n，2)，Bn的横坐标是2n＋1，纵坐标都是0，得到Bn的坐标是(2n＋1，0)；
（3）分别计算、、的面积，找到面积规律的面积为: .
【详解】解：（1）A（1，2），A1（2，2），A2（4，2），A3（8，2）
的横坐标的横坐标 的横坐标的横坐标，三个点的纵坐标都是2，
的横坐标是，纵坐标是0，
，
又B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0），
的横坐标的横坐标 的横坐标，三个点的纵坐标都是0，
的横坐标，纵坐标是2，
故答案为：(16，2), (32，0)；
（2）由A1（2，2），A2（4，2），A3（8，2）
可以发现它们各点坐标的关系为：横坐标是2n，纵坐标都是2，得到An 的坐标是(2n，2)，
由B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）
可以发现，它们各点坐标的关系为：横坐标是2n＋1，纵坐标都是0，得到Bn的坐标是(2n＋1，0)，
故答案为：(2n，2)，(2n＋1，0)；
（3）的面积为，的面积为，的面积为，
据此规律可得的面积为: .
【点睛】本题考查平面直角坐标系与图形规律，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.
3．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第次移动到An，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半．
每四次一循环，每个循环，点向轴的正方向前进，由于，则可判断点，然后根据三角形面积公式求出．
【详解】解：根据题意得：，，，，，，……，
每四次一循环，每个循环，点向轴的正方向前进，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：A．
【过关测试】
1．（23-24七年级上·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，，的坐标分别为，，．若在内中存在一点，使得的面积是的面积的9倍，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是根据题意列出关于a的方程并解出a的值．根据点的坐标先表示两个三角形面积，列方程求出求出a的值，即可得出结论．
【详解】解：，，，
，
，
的面积是的面积的9倍，
，
解得：，
．
故答案为：
2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，，，，若直线平分四边形的面积，则 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的性质，平行四边形的性质．理解该直线必过点G是解题的关键．
连接和，交于点G．利用中点坐标公式求出G的坐标，根据平行四边形的性质结合题意得到必过G点，代入G点坐标运算求解即可．
【详解】解：如图，连接和，交于点G．
∵四边形是平行四边形，
∴G为中点，
∵，，
∴，即．
∵平分平行四边形的面积，
∴必过G点，
∴，
解得：．
故答案为：．
3．（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）由坐标平面内的三点构成的的面积是 ．
【答案】4
【分析】根据得轴，轴，继而得到直角三角形，计算面积即可，本题考查了点的坐标特征与坐标轴的关系，熟练掌握判定坐标与坐标轴的关系是解题的关键．
【详解】∵
∴轴，轴，
∴是直角三角形，
∴，
故答案为：4．

4．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右向上向右向下的方向依次不断移动，每次移动．其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到第次移动到．则的面积是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查点的坐标的变化规律，由知，据此利用三角形的面积公式计算可得．
【详解】解：由题意知，
，，
，的纵坐标为，
则 的面积是 ，
故答案为：．
5．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知：在平面直角坐标系中点，，．
(1)求的面积；
(2)点P是y轴上一动点，当面积为面积的一半时，求点P的坐标．
【答案】(1)10
(2)或
【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，三角形的面积．
（1）先求出，再根据点C的坐标知点C到的距离为4，即可求的面积；
（2）设点P坐标为，根据三角形面积公式得，，再根据面积为面积的一半得，解方程，进而可得点P的坐标．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
点C到的距离为4，
∴；
（2）解：设点P坐标为，
，，
∵面积为面积的一半，
∴，
∴，
∴，
∴点P坐标为或．
6．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足．
(1)填空： ，
(2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积
(3)在（2）条件下，当时，在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了非负数的和为零的性质，三角形的面积等；
（1）由非负数的和为零的性质得，，即可求解；
（2）由三角形面积得，即可求解；
（3）由三角形面积得，即可求解；
理解非负数的和为零的性质，会在平面直角坐标系中求三角形的面积是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，，
，，
故答案为：，；
（2）解：由（1）得
，，
，
；
（3）解：当时，
，
，
，
解得：，
点P的坐标为或．
7．（24-25七年级下·广东韶关·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三点，且a、b满足关系式，．
(1)求a，b的值．
(2)求四边形的面积．
(3)是否存在点使得的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或
【分析】本题考查了坐标与图形的性质、非负数的性质、梯形的面积、三角形的面积等知识点，掌握直角坐标系中三角形面积的求法是解题的关键．
（1）根据“几个非负数相加和为零，则每一个非负数的值均为零”，求出a，b的值；
（2）由点，，点，可得四边形为直角梯形，根据直角梯形的面积公式计算即可；
（3）根据点，列出，即可求解．
【详解】（1）解：，，，
，，
，；
（2）由（1）得，，，
，
，
，
点、点，
轴，轴，
，
四边形为直角梯形，且，，，
四边形的面积；
（3）存在，理由如下：
的面积，，
，
，
点P的坐标为或．
类型二 与平面直角坐标系有关的规律探索类问题
考点一： 沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究
1．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点…按这样的规律，经过第2025次运动后，蚂蚁的坐标（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了规律型—点的坐标，解决本题的关键是观察点的运动变化发现规律，总结规律．
分别找到横坐标和纵坐标的变化规律，再算出2025与2的商和余数，继而得解．
【详解】解：第1次：，
第2次：，
第3次：，
第4次：，
第5次：，
…，
则横坐标是从1开始的正整数，每个正整数出现2次，
纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次，
则，
∴第2025次的坐标是：，
故选：B．
2．（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，，，，，若把一条长为个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了直角坐标系的应用，根据点的坐标求出四边形的周长，然后求出细线另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【详解】解：，，，，
，
四边形的周长为，
，
细线另一端在绕四边形第 圈的第个单位长度的位置，即细线另一端所在位置的点的坐标是，
故选：A．
3．（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中所示排列，即，根据这个规律，第2027个点的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了点的坐标的规律变化，根据图形，观察不难发现，点的个数按照平方数的规律变化，并且横坐标是奇数时，纵坐标逐渐变小，横坐标是偶数时，纵坐标逐渐变大，然后求出与2027最接近的平方数，求解即可．
【详解】解：∵，
∴第2025个点的横坐标为45，
∵，
∴第2027个点在第2026个点的正上方1个单位处，
∴第2027个点的坐标为．
故选：C．
4．（24-25七年级下·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系上有个点，点A第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点A第2025次跳动至点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平面直角坐标中点的坐标规律问题，找出规律是解题的关键．设第n次跳动至点，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，（n为自然数）”，依此规律结合即可得出点的坐标．
【详解】解：设第n次跳动至点，
观察，发现：，，，，，，，，，，…，
∴，，，（n为自然数）．
∵，
∴，即，
故选：C．
考点二： 沿斜线运动的点的规律探究
1．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中有一个点，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，…，依照此规律跳动下去，点第2025次跳动到点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是从一般到特殊探究规律，利用规律解决问题，学会这种解题的思想方法，属于中考常考题型．
写出、、、的坐标，探究规律即可解决问题．
【详解】解：由题意：
，
，
，
，
，
，
，
……
，，
∵，
∴的坐标为，
故答案为：D．
2．（24-25七年级下·青海西宁·期中）如图，动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的规律运动，则第2025次运动到点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是点的坐标规律，正确找出题目中点的坐标之间的变化规律是解题的关键．根据题意可得：运动点的横坐标为：，纵坐标按照2、0、4、0四个为一组进行循环，，因此第2025次运动到点．
【详解】解：根据题意可知，动点的运动规律是：
第1次从原点运动到点，
第2次运动到点，
第3次运动到点，
第4次运动到点，
，
由此可得：运动点的横坐标为：，纵坐标按照2、0、4、0四个为一组进行循环，
，
第2025次运动到点，即，
故选：D．
3．（24-25七年级下·云南昭通·期中）动点在平面直角坐标系中第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，，按这样的运动规律，经过第次运动后，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了点的坐标规律变化问题，由图象和题意得纵坐标依次按照，，，，循环变化，据此解答即可求解，找到点的坐标规律是解题的关键．
【详解】解：观察图象，结合运动后的点的坐标特点可知，点的横坐标为，纵坐标依次按照，，，，循环变化，
∴点的横坐标为，
∵，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
故选：．
4．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点M从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…按这样的运动规律，经过2025次运动后，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了点在坐标系中的变化规律，分析图形是解题关键，由点的坐标变化得，坐标变化满足每5次一循环，探究出纵坐标为，然后再探究其横坐标的变化规律即可．
【详解】解：由图得，点的坐标变化规律是先沿边长为2的等边三角形的边运动，再沿边长为2的正方形的边运动，点的位置变化满足运动5次一循环，
即点的次运动与第5次运动的位置相同，
第5次坐标，
第10次坐标，
第15次坐标，
，
第次坐标，
第次坐标为即，
故选：．
5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2025个点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了点的坐标规律探索，得出规律第列有个点，且第列最下面的点的坐标为，结合得出第2016个点的坐标为，第2017个点的坐标为，即可得解，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：把第一个点作为第一列，点，作为第二列，点，，作为第三列，依次类推，第一列有1个点，第二列有2个点，第三列有3个点，…，
故第列有个点，且第列最下面的点的坐标为，
∵，
∴第2016个点的坐标为，第2017个点的坐标为，
∵，
∴第2025个点的坐标是，
故选：D．
考点三： 绕原点呈“回”字形运动的点的规律探究
1．（24-25七年级下·广东广州·期中）沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，无人机表演并非简单的编程或灯光秀，而是涉及到多项技术的深度融合，这其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“”方向飞行，，，，…根据这个规律，点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题关键是仔细观察点的坐标变化及运动轨迹，发现以4个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律．根据各个点的位置关系，可得点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上，且，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可．
【详解】解：∵，，，，，，，，，，，……，
由此发现：点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上，
∵，
∴点在第三象限的角平分线上，
∴点．
故答案为：
2．（2025·山东德州·二模）在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点重合）．点，，，，，，，，，…，则点的坐标 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标变化的规律，根据所给信息寻求规律是解题的关键．观察坐标的值和变化的情况，找出规律后求解即可．
【详解】解：∵，，，，，，，，，…，
观察可知，每4个点为一组，
点，
∵，
∴点的纵坐标是0，横坐标是，
∴点的坐标为．
故答案为：．
3．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点；再向正东方向走到达点；再向正南方向走到达点；再向正西方向走到达点；…，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为
【答案】
【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据点的坐标的变化探究出其变化规律是每个一循环，再根据相应位置上的点找到规律解答即可．能根据机器人的运动方式发现点（为正整数）的坐标可表示为是解题的关键．
【详解】解：由题知，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
…，
∴（为正整数）的坐标可表示为，
当时，，，
∴点的坐标为，
∴点的坐标为．
故答案为：．
考点四： 沿曲线运动的点的规律探究
1．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，动点P在平面直角坐标系中，沿曲线的方向从左往右运动，第1秒从原点运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点…按这样的规律，第2024秒运动到点 ．
【答案】
【分析】本题是点坐标规律探究，解题关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环．
分析点的运动规律，找到循环次数即可求解．
【详解】解：分析图象可以发现，点的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．
，
当第2024秒点位置在，
故答案为：．
2．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆、、、…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是坐标系中的规律探究问题，计算点运动过程中走一个半圆所用的时间，根据规律即可求得第秒点位置，找出运动规律是解题的关键．
【详解】由题意可知，点运动一个半圆所用的时间为：（秒），
当时间为秒时，点；
当时间为秒时，点；
当时间为秒时，点；
当时间为秒时，点；
当时间为秒时，点；
；
则当时间为秒时，，
∴点，
故答案为：．
3．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，在直角坐标系中，四边形是正方形，，，，．曲线、、叫做“正方形的渐开线”，其中弧、弧、弧、弧、的圆心依次是点、、、循环，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了点的坐标的变化规律和对“正方形的渐开线”的理解．先分别求出的坐标是，的坐标是，的坐标是，的坐标是，从中找出规律，依规律计算即可．
【详解】解：从图中可以看出的坐标是，的坐标是，的坐标是，的坐标是；
由题意可知，，
点的坐标是的坐标循环后的点．
依次循环则的纵坐标是，，，，横坐标是可以用为自然数）表示．
当时，
．
的坐标是；
故答案为：．
考点五： 平面直角坐标系中图形的变换规律探究
1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形……已知 ．观察每次变换前后三角形的顶点的变化，按照这样的变换规律，则点An的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形，解题的关键是找出点的规律；先由，得A的变化规律是横坐标依次乘2，纵坐标不变，即可作答．
【详解】解：由，
可知点A的变化规律是横坐标依次乘2，纵坐标不变，
所以，…，
所以点的坐标为．
故选：A
2．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，已知平行四边形的顶点．若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意可得每次轴对称变换重复一轮，据此即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键．
【详解】解：将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，点的坐标为，
所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，点的坐标为，
第三次轴对称变换，点的坐标为，
第四次轴对称变换，点的坐标为，
∴每次轴对称变换重复一轮，
∵，
∴经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为为，
故选：．
3．（2025·山东聊城·二模）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点．已知点经过此变换得到点，点经过此变换得到点，点经过此变换得到点，这样依次得到点，，，．若点的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标规律，根据变换点的定义，得到，，，，，从而得到每次一个循环，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：根据题意，
，
，
，
，
，
，
∴变换点每次一个循环，
∵，
∴点的坐标为，
故答案为：．
4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，．

（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是 ，的坐标是 ．
（2）若按（）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉的指数次幂是解题的关键．
（）根据规律直接写出结论；
（）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是4；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可．
【详解】（）解：∵，，，，
∴的横坐标为：，纵坐标为：，
∴点的坐标为：，
又∵，，，，
∴的横坐标为：，纵坐标为：，
∴点的坐标为：，
故答案为：，；
（）解：由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是，
故的坐标为：，
由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是，
故的坐标为：，
故答案为：，．
【过关测试】
1．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴有一点，点A先向上平移1个单位至，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，照此规律平移下去，点A平移至点时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
找到点的坐标规律，然后利用规律解决问题即可．
【详解】解：由题意可知，，，，，．．．，，
∴当时，
∴
．
故选：C．
2．（23-24七年级下·北京丰台·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点A第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…．依此规律跳动下去，点的坐标（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标中点的坐标规律问题，设第次跳动至点，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，（n为自然数）”，依此规律结合即可得出点的坐标，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，（n为自然数）”是解题的关键．
【详解】解：设第次跳动至点，
观察，发现：，，，，，，，，，，…，
∴，，，（n为自然数）．
∵，
∴，即，
故选：B．
3．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了规律型∶点的坐标，正确地找出坐标的变化规律是解题的关键． 根据图形的变化，找到规律，再计算求解．
【详解】解∶由题意得∶个为一个周期， 每跳动十次点A的横坐标增加4， 点A的纵坐标按0，1，1， 0， 0， 3， 3，0，，循环出现，
余5，
．
∴点的坐标为．
故选∶ A．
4．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点……按这样的运动规律，第2025次运动后，动点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查规律性：点的坐标，读懂题意，准确找出点的坐标规律是解答此题的关键．
根据图象可以得出规律，运动后的点的坐标特点可以发现规律，横坐标与次数相等，纵坐标每6次运动组成一个循环：，，，，，，……，再根据规律直接求解即可．
【详解】解：观察图象，结合动第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点……，
由此发现运动后的点的坐标特点：横坐标与次数相等，纵坐标每6次运动组成一个循环：
即，，，，，，……，
∵，
∴动点的坐标是．
故选：C
5．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向平移，如，……，根据这个规律探索可得第个点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了点的坐标规律探索，得出规律第列有个点，且第列最下面的点的坐标为，结合得出第个点的坐标为，第个点的坐标为，即可得解，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：把第一个点作为第一列，点，作为第二列，点，，作为第三列，依次类推，第一列有1个点，第二列有2个点，第三列有3个点，…，
故第列有个点，且第列最下面的点的坐标为，
∵，
∴第个点的坐标为，第35个点的坐标为，
∵，
∴第个点的坐标是，
故选：A．
6．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，三角形都是等边三角形，且点，坐标分别是，依据图形所反映的规律，则的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标，观察图形可以得到，每4个为一组，据此可以得到在x轴正半轴上，纵坐标为0，根据，……得到横坐标为，据此即可求解．
【详解】解：观察图形可以看出，…，每4个为一组，
∵，
∴在x轴负半轴上，纵坐标为0，
∵，
……，
∴当时，的横坐标为4，
当时，的横坐标为5，
当时，的横坐标为6，
……，
当时，横坐标为,
∵，
∴，
则，
∴的坐标是．
故选：A．
7．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）某校某班共有45名学生，在校广播操比赛中排成方阵，先把每名学生都进行编号，号码为1至45号，然后把各自的位置固定下来．如图，在平面直角坐标系中，每个编号都对应着一个点，例如1号的对应点是，3号的对应点是，16号的对应点是⋯⋯若该校全体学生（不少于2520名）按照上述规律排成一个大方阵，则编号是2025号的学生所在位置对应点是 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标，找到所有奇数的平方数所在位置是解题的关键．观察图的结构，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上，即可得到答案．
【详解】解：观察图的结构，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上．
∵，
∴．
∴．
∴编号是2025号的学生的位置对应的坐标是．
故答案为：．
8．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置…，按此规律滚动下去，则第2024次滚动后，顶点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点随滚动次数的变化规律．
列举几次滚动后的点坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2024次滚动后顶点的坐标．
【详解】解：第1次滚动点的坐标为，
第2次滚动点的坐标为，
第3次滚动点的坐标为，
第4次滚动点的坐标为，
滚动5次后，；
滚动6次后，；
滚动7次后，；
滚动8次后，；
∴每滚动4次一个循环，
，
，
，
即，
故答案为：．
9．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点，第9次运动到点，第10次运动到点．，…，依此规律继续运动下去，第2025次运动到点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力，解题的关键是找出点坐标规律．
根据坐标发现当运动次数为（k为正整数）时，点的坐标为，即可求解．
【详解】解：∵， ，，，，
∴当运动次数为（k为正整数）时，点的坐标为，
∵，
∴，即，
故答案为：．
10．（24-25八年级上·四川雅安·期中）在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上蹦到，第二次向右蹦到，第三次向下蹦到，第四次向右蹦到，第五次向上蹦到，…，按照此规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其蹦的路线如图所示．那么按照上述规律，点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标规律探索，根据图象得出每移动4次图象完成一个循环，结合得出点在第个循环的第4个点的位置，即纵坐标与的相同，为，再根据，，，……，得出，求出的坐标是，即可得解．
【详解】解：由题意得：，，，，，，，，……，
∴每移动4次图象完成一个循环，
∵，
∴点在第个循环的第4个点的位置，即纵坐标与的相同，为，
∵，，，……，
∴，
∴的坐标是，
故答案为：．
11．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点O重合）．
(1)写出点的坐标：______；
(2)根据点，，，，…，求出点的坐标；
(3)在上述按规律排列的等腰直角三角形中，是否存在某个等腰直角三角形的顶点的纵坐标为？若存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，理由见解析
【分析】本题考查点的坐标变化规律，得出坐标的变化规律是解题的关键．
（1）观察坐标系中第四象限中的点的坐标特征，即可求解；
（2）根据已知点的坐标特征得出，，进而即可求解；
（3）根据（1）得出，进而代入，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可得，的坐标，，
故答案为：．
（2）根据点，，，，…，
由此可得
∵，
∴点的坐标为
（3）解：由，，，，…，
∴
当
解得：
12．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去．
(1)写出点的坐标：____．
(2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式．
(3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
(3)或
【分析】本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力，解题的关键是找出点坐标规律．
（1）根据题意得动点横坐标为对应的运动次数减3，纵坐标依次为：，每5次一个循环，据此即可求解．
（2）根据（1）中规律求出点和点的坐标，即可求解；
（3）根据（1）中规律求出点的坐标，再根据点距离点5个单位长度，且轴，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：动点在平面直角坐标系中的运动为：
∴横坐标为对应的运动次数减3，
纵坐标依次为：，每5次一个循环，
则点的横坐标为：；
，
∴点的纵坐标为：4；
故答案为：．
（2）解：根据（1）中规律可得：
点的横坐标为：；
，
∴点的纵坐标为：2；
∴，
点的横坐标为：；
，
∴点的纵坐标为：4；
∴，
故从点到点的平移方式是：先向右平移1个单位，再向上平移2个单位．
（3）解：根据（1）中规律可得：
点的横坐标为：；
，
∴点的纵坐标为：；
∴，
∵点距离点5个单位长度，且轴，
∴，即，
或，即，
综上，或．
13．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）【观察发现】如图，一些点按照一定的规律排列：点，点，点，点，点，…
【归纳应用】
(1)直接写出：点的坐标为______；点的坐标为______．
(2)用含（为正整数）的代数式表示点的坐标为______，点的坐标为______．
(3)在（2）的条件下，若点的坐标为，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】本题考查规律型中的点的坐标，
（1）根据点的下标（分偶数和奇数两种情况）以及平移规律“向右平移个单位，再向上平移个单位”，可找出点与点的坐标；
（2）根据（1）中的平移规律即可得出和点的坐标；
（3）根据（2）的结论即可求解；
找出点的变化规律是解题的关键．
【详解】（1）解：当点的下标为偶数或奇数时，发现点平移的规律：向右平移个单位，再向上平移个单位，
∴点的坐标为，点的坐标为，
故答案为：；；
（2）由（1）中的平移的规律可得：
点的坐标为，点的坐标为，
故答案为：；；
（3）由（2）知：点的坐标为，点的坐标为，
当时，
解得：，
由，符合题意；
当时，
解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述，的值为．