2024-2025学年福建省福州三中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省福州三中高一（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=1−3i1+i，i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.一汽车厂生产甲，乙，丙三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表(单位：辆)：
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有甲类轿车10辆，则z的值为( )
A. 300B. 400C. 450D. 600
3.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是( )
A. 35B. 12C. 25D. 310
4.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列表述正确的是( )
A. 若m//α，m⊥n，则n⊥α
B. 若l//m，l⊂α，m⊂β，则α//β
C. 若α∩β=l，m//α，m//β，则m//l
D. 若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥α
5.点O在平行四边形ABCD所在平面外，AC与BD交于点M，则2OA−OB+2OC−OD=( )
A. OMB. 2OMC. 3OMD. 4OM
6.已知正四棱台A1B1C1D1−ABCD的体积为133，AB=3，A1B1=1，则该四棱台的表面积为( )
A. 18B. 10+8 2C. 10+8 3D. 10+8 10
7.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci=“点数为i”，其中i=1，2，3，4，5，6；D1=“点数不大于4”，D2=“点数大于4”，D3=“点数为质数”，下列结论错误的是( )
A. C1与C2互斥B. D1和D2是对立事件
C. D2和D3相互独立D. C3和D1相互独立
8.已知正四棱锥P−ABCD中，各棱长均相等，球O1是该四棱锥的内切球，球O2与球O1相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球O1与球O2的表面积之比为( )
A. 7+4 3B. 9C. 4+2 3D. 3+2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi=xi+c(i=1,2,⋅⋅⋅,n),c为非零常数，则( )
A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样本数据的样本极差相同
10.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点P满足B1P=λB1C1+(1−λ)B1B(其中0≤λ≤1)，则( )
A. 三棱锥A−D1PC的体积随λ的改变而变化
B. A1P//平面ACD1
C. 平面PDB1⊥平面ACD1
D. DP⊥BC1
11.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AC边上的高为ℎ，若ℎ=c−a，b2−a2=ac，则( )
A. 1sinA−1sinC=1B. B=2A
C. a+c=2ℎD. tanB=2csA
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(1,2)，b=(k−1,1)，若向量a与b垂直，则k= ．
13.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=2AC=2，侧棱AA1=2，若点M，N分别是线段A1B，A1C1的中点，则点N到直线CM的距离是______．
14.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.规定：累计负两场者被淘汰；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.设每场比赛双方获胜的概率都为12，则甲连胜四场的概率为______；需要进行第五场比赛的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知|a|=2，a⋅b=1，a与b的夹角为45°．
(1)求|b|，并表示出a在b方向上的投影向量；
(2)若向量a−λb与12λa−3b的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
16.(本小题15分)
已知△ABC，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c+b=2acsB．
(1)求A；
(2)c=3，S△ABC=3 32，D是BC的中点，求AD的长．
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，ACC1A1是正方形，A1A⊥BC．
(1)求证：平面ABC⊥平面ACC1A1；
(2)若AA1=4，AB=3，BC=5，求直线B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值．
18.(本小题15分)
为进一步推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识大宣传活动.举办了“网络防骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计样本成绩的平均数和下四分位数；
(3)若总体划分为2层，通过分层随机抽样抽取样本构成总样本.已知各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为m，x−，s12；n，y−，s22，求总样本平均数ω−，样本方差s2．
19.(本小题17分)
在不透明的甲袋中装有相同的6个红色的乒乓球，其中a个球上标有数字1，b个球上标有数字2，6−a−b个球上标有数字3，在不透明的乙袋中装有相同的3个白色的乒乓球，其中m个球上标有数字1，n个球上标有数字2，3−m−n个球上标有数字3．
(1)若a=b=2，m=n=1，分别从甲、乙袋中随机摸出一个球，求摸出两个球的数字相等的概率；
(2)若a=2，b=4，m=1，n=0，从甲袋中有放回地随机摸出两个球，记下数字之和为p，再从乙袋中有放回地随机摸出两个球，记下数字之和为q，求p0，因此1sinA−1sinC=1，A正确；
B，根据题意可知b2−a2=ac，根据正弦定理得sin2B−sin2A=sinAsinC，
即1−cs2B2−1−cs2A2=sinAsinC，则cs[(B+A)−(B−A)]−cs[(B+A)+(B−A)]
=2sinAsinC，即2sin(A+B)sin(B−A)=2sinAsin(A+B)，又sin(A+B)>0，
因此sin(B−A)=sinA>0，又0