2024-2025学年广东省肇庆市高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省肇庆市高二（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若An2=Cn3，则n=( )
A. 8B. 7C. 6D. 9
2.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，且P(ξ≤1)=0.4，则P(2≤ξ≤3)=( )
A. 0.6B. 0.2C. 0.1D. 0.4
3.已知正项等比数列{an}中，a2a3a4=8，则lg2a1+lg2a5=( )
A. 1B. 2C. 12D. 14
4.已知离散型随机变量X的分布列如表：
若离散型随机变量Y=3X−2，则Y的方差D(Y)=( )
A. 0.6B. 5.4C. 1D. 3.4
5.某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为23，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为( )
A. 2027B. 1227C. 827D. 427
6.从7名工程师中选出4人去3个不同的工地执行任务，其中甲、乙两名工程师要么都去，要么都不去，每个工地要求至少有一名工程师，则不同分配方法的种数为( )
A. 540B. 180C. 360D. 1080
7.记等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2=2，S6=12，记Tn为{1Sn}的前n项和，则T8=( )
A. 95B. 11645C. 145D. 2325
8.已知函数f(x)=ex−1−e1−x−2x+5，若f(4a2)+f(a−1)>6，则实数a的取值范围是( )
A. (−1,34)B. (−∞,−72)∪(1,+∞)
C. (−72,1)D. (−∞,−1)∪(34,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数f(x)=13x3−9x+2，下列说法正确的是( )
A. f(x)的单调递减区间是(−3,3)
B. x=−3是f(x)的极小值点
C. f(x)没有最大值也没有最小值
D. 若函数g(x)=f(x)−a在区间[0,6]上有两个零点，则a的取值范围为(−16,2]
10.记随机事件A，B的对立事件分别为A−，B−，下列说法正确的是( )
A. 若B⊆A，则P(A|B)=1
B. 若P(B|A)=P(B)，则事件A，B相互独立
C. P(B|A)+P(B−|A)=P(A)
D. 若P(B)=23，P(B−|A)=12，P(B−|A−)=16，则P(A)=12
11.自然界中存在很多美到极致的螺旋，如田螺的螺旋、星系的螺旋，我们把这些螺旋称为“斐波那契螺旋”.它按如图所示的规律形成连续不断的弧线，借助正方形的边长形成数列“1，1，2，3，5，8，…”，即从数列第三项开始，每项都等于前面两项之和.设该数列为{an}，则an=an−1+an−2(n≥3)，记Sn是数列{an}的前n项和，Tn是数列{an2}的前n项和，则下列说法正确的是( )
A. S20+1=a21B. a1+a3+a5+⋯+a2n−1=a2n
C. a2+a4+a6+⋯+a30=a31−1D. 若Tn=a2023⋅a2024，则n=2023
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=lnxx，则该函数图象在点(1e,−e)处的切线方程为______．
13.(x2−2 x)5展开式中，常数项为______.(用数字作答)
14.若函数f(x)=ae2x−(2+3a)ex+3x在(1,2)上存在单调递减区间，则a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来x(x=1,2,3,4,5)年的增长数据y(万吨)，如表所示：
(1)经探究x与y之间具有相关关系，求y关于x的经验回归方程y​=b​x+a​；
(2)为了检验M，N两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在A，B两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如表：
根据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为增收情况与使用M，N两种不同设备有关？
参考公式：①b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2,a =y−−b x−；
②χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(其中n=a+b+c+d为样本容量)．
参考数据：
16.(本小题15分)
已知Sn是正项递增等比数列{an}的前n项和，a2=4，S3=14，记Tn是正项递增数列{bn}的前n项和，且2Tn=bn2+bn−2．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设{anbn}的前n项和为Pn，若实数tPn≤(n2+16)⋅2n恒成立，求t的取值范围．
17.(本小题15分)
某商场举行回馈客户抽奖活动，已知有三个盒子，每个盒子都装有大小、形状相同的球，其中第一个盒子中有3个红球，3个黄球，2个蓝球；第二个盒子中有5个红球，3个黄球，2个蓝球；第三个盒子中有3个红球，4个黄球，3个蓝球．
(1)如果一顾客从第一个盒子中随机取出两球，求取到的球一个是红球，一个是蓝球的概率；
(2)已知顾客随机从三个盒子中的某一个盒子中取出的一个球为红球，求该红球来自第一个盒子的概率；
(3)顾客随机从三个盒子中取出一个球，抽奖活动规则是取到红球奖励240元代金券，取到黄球奖励480元代金券，取到蓝球奖励720元代金券，设顾客获得代金券的金额为X元，求X的分布列以及均值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=eaxx，g(x)=ln(x+2)．
(1)若ℎ(x)=12x2−g(x)，求ℎ(x)的极小值；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)当a=1时，证明：xf(x)>g(x)．
19.(本小题17分)
为了增进亲子间的情感交流，促进社区居民的身心健康，营造和谐积极的社区氛围，某区街道办事处联合一小学举办了亲子跳绳户外嘉年华活动.小华和父母于参赛前制定了30天跳绳训练规则.规则如下：小华第1天开始跳绳，若第m天跳绳，则他第(m+1)天跳绳的概率为14，第(m+2)天跳绳的概率为34，设他第n天跳绳的概率为Pn(1≤n≤30,n∈N)．
(1)求P3；
(2)证明{Pn−Pn−1}为等比数列；
(3)若X，Y都是离散型随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(X⋅Y)=E(X)⋅E(Y)，记小华前n天跳绳的天数为X，求E(X)．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：由An2=Cn3可得：n(n−1)=n(n−1)(n−2)3!且n≥3，n∈Z，
则n−2=6，所以n=8．
故选：A．
利用排列数，组合数公式化简即可求解．
本题考查了排列数，组合数公式，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意可知，随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，且P(ξ≤1)=0.4，则μ=2，
所以P(2≤ξ≤3)=P(1≤ξ≤2)=0.5−P(ξ≤1)=0.1，故C正确．
故选：C．
根据正态分布的性质求解即可．
本题考查了正态分布的性质，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：正项等比数列{an}中，a2a3a4=8，
由题意a2a4=a32，所以a33=8，a3=2．
所以lg2a1+lg2a5=lg2a1a5=lg2a32=lg222=2．
故选：B．
由等比数列的性质和题目条件得到a3=2，利用对数运算法则和等比数列性质进行求解
本题主要考查了等比数列性质的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据分布列的性质可得0.3+4a+3a=1，解得a=0.1，
所以E(X)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1，
所以D(X)=(0−1)2×0.3+(1−1)2×0.4+(2−1)2×0.3=0.6．
所以D(Y)=D(3X−2)=9D(X)=5.4．
故选：B．
根据题意先求出a=0.1，再求出E(X)=1，再利用方差的性质即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列的性质，离散型随机变量的期望与方差的求解，属基础题．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意，设A=“该同学能进入面试”，
设该同学答对的题目数量为X，则X～B(3,23)，
则P(A)=P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=C32(23)2×13+(23)3=2027．
故选：A．
由题可知，X～B(3,23)，再利用二项分布求概率即可．
本题考查二项分布的性质和应用，涉及互斥事件的概率计算，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意先选人，甲乙都去有C52种选择，甲乙都不去有C54种选择，
又每个工地要求至少有一名工程师，
所以分配方案为2，2，1，有C42C21C11 A22 A33种方案，
所以不同分配方法的种数为(C52+C54)C42C21C11 A22 A33=540．
故选：A．
根据分组分配原理，先确定甲乙的去留情况，再计算符合条件的分配方式，结合组合数和排列数进行分步计算．
本题考查排列组合的应用，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：根据等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2=2，S6=12，
设Sn=An2+Bn，可得4A+2B=2，即2A+B=1，
又36A+6B=12，即6A+B=2，
解得A=14B=12，所以Sn=n2+2n4，
所以1Sn=4n2+2n=2(1n−1n+2)．
T8=2[(1−13)+(12−14)+(13−15)+(14−16)+⋯+(17−19)+(18−110)]
=2(1+12−19−110)=11645．
故选：B．
设Sn=An2+Bn，则4A+2B=236A+6B=12，解出A，B，最后利用裂项相消法即可求解．
本题考查等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：设g(x)=ex−e−x−2x，则g(−x)=−g(x)，∴g(x)为奇函数，
∵f(x−1)=ex−1−e−(x−1)−2(x−1)+3，
∴g(x)图象向右平移一个单位长度，再向上平移三个单位长度得到f(x)的图象，
∴f(x)的图象关于点(1,3)中心对称，
若f(4a2)+f(a−1)>6，
则f(4a2)>6−f(a−1)=f(2−(a−1))=f(3−a)．
∵f′(x)=ex−1+1ex−1−2≥2 ex−1⋅1ex−1−2=0，
当且仅当ex−1=1ex−1，即x=1时，等号成立，
∴f(x)为增函数，∴4a2>3−a，
解得a>34或af(3−a)，求导结合基本不等式，得到f′(x)≥0，故f(x)为增函数，得到不等式，求出解集．
本题主要考查了函数的单调性，奇偶性及对称性的应用，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：导函数f′(x)=x2−9=(x+3)(x−3)，
当x∈(−∞,−3)∪(3+∞)时，f′(x)>0，
当x∈(−3,3)时，f′(x)0，所以当a≤0时，f′(x)0时，那么只需ln1a>1，即00，∴bn−bn−1=1(n≥2)，
则{bn}是首项为2、公差为1的等差数列，
即有bn=n+1．
(2)令cn=anbn=(n+1)2n，
∵Pn=2×2+3×22+4×22+⋯+(n+1)2n，①
∴2Pn=2×22+3×23+4×24+⋯+(n+1)2n+1，②
①−②得，−Pn=2+2(1−2n)1−2−(n+1)2n+1，即Pn=n⋅2n+1，
tPn≤(n2+16)⋅2n，可得t≤n2+162n=n2+8n，
由n2+8n≥4，当且仅当n=4时，等号成立，故t≤4，
所以t的取值范围为(−∞,4]．
(1)由题意列出方程组a1q=4,a1+a1q+a1q2=14,即可解得an=2n；由2Tn=bn2+bn−2，可得2Tn−1=bn−12+bn−1−2(n≥2)，从而得当n≥2时，2bn=bn2−bn−12+bn−bn−1，即(bn+bn−1)(bn−bn−1−1)=0，从而可求解．
(2)设cn=anbn=(n+1)2n，再利用错位相减法求出Pn=n⋅2n+1，从而得t≤n2+162n=n2+8n，即可求解．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】314；
1547；
分布列见解析，均值为446．
【解析】(1)设顾客从第一个盒子中随机取出两球，取到的球一个是红球，一个是蓝球为事件A，
则P(A)=C31C21C82=314．
(2)设随机取一个球是来自第i(i=1,2,3)个盒子为事件Ai，则P(Ai)=13，
随机取一个球为红球为事件B．
则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=13×38+13×510+13×310=47120
因此P(A1|B)=P(A1B)P(B)=1547．
(3)X的可能取值为240，480，720．
由(2)知P(X=240)=47120，
同理，P(X=480)=13×38+13×310+13×410=43120，
P(X=720)=1−P(X=240)−P(X=480)=14，
则X的分布列为：
E(X)=240×47120+480×43120+720×14=446．
因此X的均值为446．
(1)由条件求出顾客从第一个盒子中随机取出两球的取法数，再求事件A所包含的取法数，根据古典概型概率公式求结论，
(2)设随机取一个球是来自第i(i=1,2,3)个盒子为事件Ai，根据全概率公式求出事件取到红球的概率，再结合条件概率公式求结论；
(3)确定随机变量X的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求X的均值．
本题考查离散型随机变量的均值(数学期望)，属于中档题．
18.【答案】32− 2+ln( 2+1)．
当a=0时，f(x)在(−∞,0)及(0,+∞)上单调递减；
当a>0时，f(x)在(−∞,0)和(0,1a)上单调递减，在(1a,+∞)上单调递增；
当a 2−1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(−2, 2−1)上单调递增；
当−2ln(x+2)，所以xf(x)>g(x)．
(1)根据函数极值和函数导数之间的关系，求出函数导数，求出单调区间，判断极值点，求出极值；
(2)根据函数单调性和函数导数之间的关系，求出函数导数，讨论参数的范围，求出单调区间即可；
(3)本题有两种方法，方法一：可根据函数导数证明恒成立的方法，构造函数，根据构造函数单调性，判断构造函数最小值，证明不等式恒成立；方法二：可以根据放缩法，使用y=x+1作为中间项，证明xf(x)>x+1>g(x)，即可说明题干不等式恒成立．
本题考查导数的综合应用，属于难题．
19.【答案】1316；
证明见解析；
4n7+949×(−34)n−1+1249(1≤n≤30)．
【解析】(1)P1=1，第3天跳绳有两种情况：
第1天跳，第3天跳，其概率为1×34=34；
第1天跳，第2天及第3天都跳，其概率为1×14×14=116．
P3=34+116=1316．
(2)证明：小华第(n−2)天跳绳后，再在第n天跳绳的概率为34Pn−2，
小华第(n−1)天跳绳后，再在第n天跳绳的概率为14Pn−1，
所以Pn=14Pn−1+34Pn−2(n≥3)，
即4Pn=Pn−1+3Pn−2(n≥3)，所以4Pn=4Pn−1−3Pn−1+3Pn−2．
所以4(Pn−Pn−1)=−3(Pn−1−Pn−2)，Pn−Pn−1Pn−1−Pn−2=−34(n≥3)，
所以{Pn−Pn−1}是以P2−P1为首项，−34为公比的等比数列．
(3)因为P2=14，所以P2−P1=−34，所以Pn−Pn−1=(−34)n−1，
所以P2−P1=(−34)1，P3−P2=(−34)2，⋯，Pn−Pn−1=(−34)n−1，
所以Pn=P1+(−34)+(−34)2+⋯+(−34)n−1，
所以Pn=1+(−34)×[1−(−34)n−1]1−(−34)，
所以Pn=47+37×(−34)n−1(1≤n≤30)．
记他前n天中，第i天跳绳的天数为Xi．
由题意得，Xi服从两点分布，且P(Xi=1)=Pi，
因为X=X1+X2+⋯+Xn，
所以E(X)=E[X1+(X2+⋯+Xn)]=E(X1)+E(X2+⋯+Xn)
=E(X1)+E[X2+(X3+⋯+Xn)]=⋯
=E(X1)+E(X2)+⋯+E(Xn)，
所以E(X)=P1+P2+⋯+Pn，
E(X)=1+4(n−1)7−949[1−(−34)n−1]=4n7+949×(−34)n−1+1249(1≤n≤30)．
(1)根据题意，分析第三条跳绳受前两天影响，根据第一天情况，计算第三条跳绳的概率；
(2)根据连续三天跳绳概率之间的关系，写出概率关系式，根据递推公式，构造数列，根据等比数列定义证明是等比数列即可；
(3)根据前两天跳绳概率，结合等比数列通项公式，求出第n天跳绳概率的通项公式，跳绳天数服从两点分布，根据分组求和法求出结果即可．
本题考查离散型随机变量的均值(数学期望)，属于中档题．X
0
1
2
P
0.3
4a
3a
x
1
2
3
4
5
y
26
37
50
64
93
地区
用M设备
用N设备
A
30
20
B
15
35
α
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
240
480
720
P
47120
43120
14