2024-2025学年湖南省岳阳市湘阴县高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省岳阳市湘阴县高一（下）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i为虚数单位，复数z满足z(2+i)=1，则|z|=( )
A. 5B. 3C. 33D. 55
2.已知S⊆{1,2,3,4}，B={1,3}，若S∩B≠⌀，那么符合条件的集合S的个数是( )
A. 4B. 10C. 11D. 12
3.八名学生的高考总分分别为648，667，642，665，671，654，680，675，则这组数据的第75百分位数是( )
A. 667B. 671C. 673D. 675
4.在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，D为BC的中点，则AD⋅BC=( )
A. −16B. 52C. −52D. 16
5.已知x>1，y>2且xy−2x−y=0，则x+y的最小值为( )
A. 4 2B. 2 2+3C. 4D. 6
6.《九章算术》中将正四棱台称为“方亭”.现有一方亭，上底面边长为2，下底面边长为6，侧棱与下底面所成的角为π4，则此方亭的体积为( )
A. 104 23B. 92 23C. 80 23D. 68 23
7.已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(+1)−2为奇函数，对任意的a∈[−3,2]，不等式f(2a+t)+f(a2−1)≤4恒成立，则实数t的取值范围是( )
A. (−∞,−5]B. (−∞,0]C. [0,+∞)D. [−5,+∞)
8.已知大于1的三个实数a，b，c满足(lga)2−2lgalgb+lgblgc=0，则a，b，c的大小关系不可能是( )
A. a=b=cB. a>b>cC. b>c>aD. b>a>c
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，其中n(Ω)=60，n(A)=30，n(B)=20，n(A∪B)=40，则( )
A. P(AB)=112B. P(A∪B)=23C. A与B互斥D. A与B相互独立
10.已知函数f(x)= 3sinxcsx+sin2x，则( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π
B. (π12,0)是f(x)的一个对称中心
C. 函数f(x)在(0,π2)上单调递增
D. 函数y=f(x)−12图象与直线x−3y=0有3个交点
11.如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等腰直角三角形，底面ABCD为矩形，AB⊥PD，PA=PD= 2，若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为O1，其外接球球心为O2，则下列结论正确的是( )
A. 平面PAD⊥平面ABCD
B. 四棱锥P−ABCD的内切球半径为 2−1
C. 四棱锥P−ABCD的体积为2 23
D. O1O22=4−2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=lnx−1的零点是______．
13.已知向量a=(1,0)，b满足a⊥(2a−b)，则b在a上的投影向量的坐标为______．
14.已知15个数x1，x2，…，x15的平均数为6，方差为9，现从中剔除x1，x2，x3，x4，x5这5个数，且剔除的这5个数的平均数为7，方差为5，则剩余的10个数x6，x7，…，x15的方差为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
某市消防救援大队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次逃生及安全常识(综合安全事故、自然灾害等)网络测试，满分为100分.测试完后抽取了400份试卷，把分数按[40,50)，[50,60)，⋯，[90,100]依次分为第一至第六组(所有得分x均满足40≤x≤100)，其中[50,60)与[90,100]的人数均为40人，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为74分．
(1)求图中a的值，并估计本次测试的及格率(“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例)；
(2)分别求图中b的值与c的值．
16.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，csAcsC=a2b−c，a+6cs(B+C)=0．
(1)求角A和边a；
(2)若点M是边BC上的中点，求AM的最大值．
17.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2AC=2，AA1= 3，cs∠BAC=12，P是四边形A1ACC1(含边界)内的动点且BP=2．
(1)求证：BC⊥平面A1ACC；
(2)求点P的轨迹长．
(3)若点P又在线段A1C上，求此时直线AC与直线BP所成角的余弦值．
18.(本小题12分)
几何体ABCDEF是从棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中截取所得，其中E，F分别为CC1，AA1的中点，点M在线段EF上．
(1)若M为EF的中点，求证：AM//平面BDE；
(2)求二面角A−DF−B的正切值；
(3)证明：存在点M，使得AM⊥平面BDF，并求EMEF的值．
19.(本小题12分)
双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥.在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数sinℎ(x)=ex−e−x2和双曲余弦函数csℎ(x)=ex+e−x2．
(1)证明：sinℎ(x+y)=sinℎ(x)csℎ(y)+csℎ(x)sinℎ(y)；
(2)是否存在正实数t，使得2sinℎ(x)在[a,b]上的取值范围是[tea−t,teb−t]？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)求证：函数ℎ(x)=lnx+sinπ4x存在唯一零点x0且2sinℎ(sinπ4x0)0，即关于u的一元二次方程(t−1)u2−tu+1=0有两个不等正根u1，u2，
因此Δ=(−t)2−4(t−1)>0u1+u2=tt−1>0u1u2=1t−1>0t−1≠0，解得t>1且t≠2
因此存在正实数t满足题意，t的取值范围{t|t>1且t≠2}．
(3)证明：ℎ(x)=lnx+sinπ4x，定义域为(0,+∞)，
①当x∈(0,2]时，函数ℎ(x)=lnx+sinπ4x在(0,2]上单调递增，
因为ℎ(1e)=ln1e+sinπ4e=−1+sinπ4e0
因此ℎ(1e)ℎ(1)ln2>0，sinπ4x>sinπe4>sinπ>0，因此ℎ(x)>0，
因此ℎ(x)在(2,e]上不存在零点；
③当x∈(e,+∞)时，因为y=lnx单调递增，lnx>lne>1，因为y=sinπ4x≥−1
因此ℎ(x)>1−1=0，因此ℎ(x)在(e,+∞)上不存在零点；
综上：ℎ(x)有且只有一个零点x0，且x0∈(1e,1)．
因为ℎ(x0)=lnx0+sinπ4x0=0，因此sinπ4x0=−lnx0，
因此2sinℎ(sinπ4x0)=e−lnx0−elnx0=1x0−x0，
因为y=1x−x在(1e,1)上单调递减，因此1x0−x0