湖南省岳阳市湘阴县2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份湖南省岳阳市湘阴县2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了解答题，选择题，多项选择题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。

湖南省岳阳市湘阴县2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题
1、已知复数，则该复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2、设平面向量，点，则点B的坐标为( )
A.（-2，4） B.（2，-4） C.（-4，8） D.（4，-8）
3、如图，在四边形中，，，，且，.

（1）求实数的值；
（2）若M，N是线段上的动点，且，求的最小值.
4、某校高一年级为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.
（1）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（2）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率.
5、如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，且平面平面.

（1）若点E，F分别为棱PC，AB的中点，求证：CDEF；
（2）若直线PC与AB所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
6、望城圣得西服饰集团计划今年夏天在其下属实体店销售一男款衬衫，上市之前拟在该公司的线上专营店进行连续20天的试销，定价为260元/件.试销结束后统计得到该线上专营店这20天的日销售量（单位：件）的数据如图.

（1）若该线上专营店试销期间每件衬衫的进价为200元，求试销期间该衬衫日销售总利润高于9500元的频率.
（2）试销结束后，这款衬衫正式在实体店销售，每件衬衫定价为360元，但公司对实体店经销商不零售，只提供衬衫的整箱批发，大箱每箱有70件，批发价为160元/件；小箱每箱有60件，批发价为165元/件.某实体店决定每天批发大小相同的2箱衬衫，根据公司规定，当天没销售出的衬衫按批发价的8折转给另一家实体店.根据往年的销售经验，该实体店的销售量为线上专营店销售量的80%，以线上专营店这20天的试销量估计该实体店连续20天的销售量.以该实体店连续20天销售该款衬衫的总利润作为决策，试问该实体店每天应该批发2大箱衬衫还是2小箱衬衫？
7、在①；
②；
③；
这三个条件中任选一个，并解答问题.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
（1）求角B的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.
8、插花是一种高雅的审美艺术，是表现植物自然美的一种造型艺术，与建筑、盆景等艺术形式相似，是最优美的空间造型艺术之一.为了通过插花艺术激发学生对美的追求，湖南湘杏学院举办了以“魅力校园、花香溢校园”为主题的校园插花比赛.比赛按照百分制的评分标准进行评分，评委由10名专业教师、10名非专业教师以及20名学生会代表组成，各参赛小组的最后得分为评委所打分数的平均分.比赛结束后，得到甲组插花作品所得分数的频率分布直方图和乙组插花作品所得分数的频数分布表，如下所示：

分数区间
频数
[72，76）
1
[76，80）
5
[80，84）
12
[84，88）
14
[88，92）
4
[92，96）
3
[96，100]
1
定义评委对插花作品的“观赏值”如下所示：
分数区间
[72，84）
[84，92）
[92，100]
观赏值
1
2
3
（1）估计甲组插花作品所得分数的中位数（结果保留两位小数）；
（2）从40名评委中随机抽取1人进行调查，试估计其对乙组插花作品的“观赏值”比对甲组插花作品的“观赏值”高的概率；
（3）若该校拟从甲、乙两组插花作品中选出1个用于展览，从这两组插花作品的最后得分来看该校会选哪一组？请说明理由.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
二、选择题
9、某中学高一、高二、高三年级的学生人数比为，防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，已知样本中高三年级的学生有21人，则n等于( )
A.35 B.45 C.54 D.63
10、某网站举行购物抽奖活动，规定购物消费每满100元就送一次抽奖机会，中奖的概率为10％.那么以下理解正确的是( )
A.某人抽奖100次，一定能中奖10次
B.某人消费1000元，至少能中奖1次
C.某人抽奖1次，一定不能中奖
D.某人抽奖10次，可能1次也没中奖
11、某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，已知两个系统至少有一个能正常运作，小区就处于安全防范状态.若要求小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率不低于，则p的最大值为( )
A. B. C. D.
12、如图，在长方体中，若E，F，G，H分别是棱，，，的中点，则下列结论一定成立的是( )

A.四边形是矩形 B.四边形是正方形
C. D.平面平面
13、在平行四边形中，对角线与相交于点O（O为坐标原点），若向量，对应的复数分别是，，则对应的复数是( )
A. B. C. D.
14、十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐.我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明矾晶体的结构，即为一个正八面体（如图）.假设该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦为( )

A. B. C. D.
三、多项选择题
15、已知复数（i是虚数单位），则下列命题中正确的为( )
A. B.z的虚部是4
C.是纯虚数 D.复数z的共轭复数为
16、空气质量指数分为“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重度污染”“严重污染”六个等级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，这六个等级分别对应的指数范围为，，，，，，如图是湘阴县连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法正确的是( )

A.这14天中有4天空气质量指数为“良”
B.从2日到5日空气质量越来越差
C.这14天中空气质量指数的中位数是103
D.连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日
17、已知复数，复数，其中，a，b为实数，i为虚数单位.定义：复数为“目标复数”，其中和分别为“目标复数”的实部和虚部，则下列结论正确的为( )
A.
B.
C.若，则，
D.若，，且，则锐角的值为
18、如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是( )

A.直线BC与平面所成的角等于
B.点C到平面的距离为
C.异面直线和所成的角为
D.二面角的平面角的余弦值为
四、填空题
19、已知点与，点P在直线上，且，则点P的坐标为________________.
20、有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下：
数据x



个数
800
1300
900
平均数
78.1
85
91.9
请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为__________________.
21、如图，四边形中，，分别是以和为底的等腰三角形，其中，，，则_______________.

五、双空题
22、在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”，如图，棱柱为一“堑堵”，P是的中点，，则在过点P且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于____________，该“堑堵”的外接球的表面积为____________.

参考答案
1、答案：D
解析：因为复数在复平面内对应的坐标是（3，-1），故选D.
2、答案：B
解析：设点B的坐标为（x，y），
所以，
解得，
所以点B的坐标为.
故选B.
3、答案：（1）
（2）的最小值为
解析：（1）以B为原点，所在直线为x轴，
过B且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则，，，
则，，
，
.
（2）通过设点M、N的坐标，将表示为关于x的二次函数，
利用函数的性质求得最值，体现函数思想.
不妨设，，且，
，，
，
当且仅当时，的最小值.
4、答案：（1）
（2）
解析：（1）设“该校男生支持方案一”为事件A，“该校女生支持方案一”为事件B.
依题意知，抽取的样本中共有男生600人，其中支持方案一的有200人，
故；
抽取的样本中共有女生400人，其中支持方案一的有300人，
故.
（2）由（1）可知，“该校男生支持方案一”的概率估计值为；
“该校女生支持方案一”的概率估计值为.
设“抽取的该校2个男生和1个女生中，支持方案一的恰有2人”为事件C，
该事件包括“2个男生均支持方案一而女生不支持方案一”
“2个男生中有且只有1人支持方案一且女生支持方案一”，
故所求概率为.
5、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）如图，取PD的中点G，连接EG，AG.
是PC的中点，
，.
为AB的中心，
，
且.
由四边形AFEG为平行四边形，
.
取AD的中点O，连接PO，
，
，
又平面平面ABCD，且平面平面，
平面ABCD，
则.
又，，
平面PAD，
，
，
.
（2）由（1）知，平面PAD，
，
设，
直线与所成角的正弦值为，
即，
，
即，
.
则.
在中，.
如图，取BC的中点M，连接PM，OM，则，
由（1）知，，则平面POM，
.
则为二面角的平面角.
在中，，，
.

二面角的余弦值为ƥ.
6、答案：（1）0.55
（2）见解析
解析：（1）因为试销期间每件衬衫的利润为（元），
所以要使得日销售总利润高于9500元，
则日销售衬衫的件数大于，
故所求频率为.
（2）由题可估计该实体店20天的日销售量情况为
3天日销售量为（件），
6天日销售量为（件），
7天日销售量为（件），
4天日销售量为（件）.
若选择批发2小箱，则批发成本为（元），
当日销售量为48件时，
日利润为（元）；
当日销售量为80件时，
日利润为（元）；
当日销售量为128件或160件时，
日利润为（元）.
所以这20天销售这款衬衫的总利润为
（元）.
若选择批发2大箱，
则批发成本为（元），
当日销售量为48件时，
日利润为（元）；
当日销售量为80件时，
日利润为（元）；
当日销售量为128件时，
日利润为（元）；
当日销售量为160件时，
日利润为（元）.
所以这20天销售这款衬衫的总利润为
（元）.
因为，
所以该实体店应该每天批发2大箱衬衫.
7、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）选①，由及正弦定理可得，
因为A、，
所以，
所以，
故.
选②，由及正弦定理可得
，
因为，
所以，
所以，
故.
选③，由及正弦定理可得，
由余弦定理的推论可得，
因为，
故.
（2）因为为锐角三角形，且，
所以，
可得，
所以，
由，
得，
所以，.
8、答案：（1）85.82
（2）0.225
（3）84.8
解析：（1）设甲组插花作品所得分数的中位数为x，由频率分布直方图可得甲组得分在前三个分数区间的频率之和为0.3，在最后三个分数区间的频率之和为0.26，
故，
所以，
解得.
估计甲组插花作品所得分数的中位数为85.82.
（2）设“对乙组插花作品的‘观赏值’比对甲组插花作品的‘观赏值’高”为事件C，
“对乙组插花作品的‘观赏值’为2”为事件，
“对乙组插花作品的‘观赏值’为3”为事件，
“对甲组插花作品的‘观赏值’为1”为事件，
“对甲组插花作品的‘观赏值’为2”为事件，
则.
，
，
由频数分布表得，，
.
因为事件与相互独立，其中，，
所以

，
所以估计该评委对乙组插花作品的“观赏值”比对甲组插花作品的“观赏值”高的概率为0.225.
（3）由频率分布直方图可知，甲组揷花作品的最后得分约为
.
由乙组插花作品所得分数的频数分布表，得
分数区间
频数
频率

1
0.025

5
0.125

12
0.300

14
0.350

4
0.100

3
0.075

1
0.025
所以乙组插花作品的最后得分约为

.
9、答案：C
解析：该中学高一、高三、高三年级的学生人数比为6:5:7，
高三年级学生数占总数的，
用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，且高三年级被抽到的人数为21，
.
故选C.
10、答案：D
解析：
11、答案：A
解析：设系统A和系统B在任意时刻发生故障的事件分别为M和N.
方法一：小区处于安全防范状态的概率为
，
解得，故P的最大值为.
故选A.
方法二：小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率为，
解得，
故P的最大值为.
故选A.
12、答案：A
解析：在矩形中，
因为点E，H分别为，的中点，
所以，.
同理可得在矩形中，，.
所以，，
所以四边形是平行四边形.
在长方体中，
有平面，又，
所以平面，又平面，
所以，所以四边形是矩形，故选项A正确.
因为根据题中条件无法判断EH，EF的长度是否相等，
所以四边形不一定是正方形，故选项B错误.
假设，则由，知，
连接，点E，F分别为，的中点，
所以，所以，与和为相交直线矛盾，
故假设不成立，故选项C错误.
因为和为相交直线，
所以平面与平面不平行，故选项D错误.
故选A.
13、答案：D
解析：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以，
对应的复数为，对应的复数为，
对应的复数为，即.
故选D.
14、答案：C
解析：如图，连接AC，BD交于点O，连接EF，
易知EG过点O，取AB的中点G，连接EG，FG，
根据正八面体的几何特征，
可知，，
又平面ABE，平面ABF，平面平面，
为二面角的平面角.
易知平面ABCD，则，
是直角三角形，又，，
，
.
在等边三角形AEB中，，
同理.
在中，，
（点拨：灵活运用余弦定理求三角形的内角的余弦值），故选C.
15、答案：AD
解析：，故A正确；
z的虚部为-4，故B不正确；
，为实数，故C不正确；
复数z的共轭复数是，故D正确.
故选AD.
16、答案：ABD
解析：根据题图分析数据，对选项逐一判断.
对于A，1日，3日，12日，13日，共4天空气质量指数为“良”，故A正确；
对于B，从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故B正确；
对于C，中位数为，故C错误；
对于D，方差小说明了个数据的波动较小，由题图可知D正确.
故选ABD.
17、答案：ACD
解析：由题意知

，
故，，故A正确，B错误；
若，即，则，，故C正确；
若，，且，则，
即，
即，
因为为锐角，所以，
故D正确.
故选ACD.
18、答案：AB
解析：如图，取的中点H，连接CH，易证平面，所以是直线BC与平面所成的角，为，故A正确.
点C到平面的距离即为CH的长度，为，故B正确.
易证，所以异面直线和所成的角为（或其补角），连接AC，易知为等边三角形，所以，所以异面直线和所成的角为，故C错误.
连接DH，易知，所以，
又，，平面平面，
所以为二面角的平面角，易求得，
又，，
所以由余弦定理的推论可得
，
故D错误.
故选AB.
19、答案：或
解析：点P在直线上，且，
或，
当时，设P的坐标为，
则，，
，
解得，
.
当时，同理可得出P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或.
20、答案：85.23
解析：这3000个数据的平均数为，
样本平均数估计总体平均数，可知这4万个数据的平均数约为85.23.
21、答案：
解析：，分别是以AD和BD为底的等腰三角形，
且，
，
，
，
.
在中，，
.
在中，
，
.
22、答案：；
解析：如图，分别取，，的中点E，F，G，连接FG，EP，EF，PG，

则，且.
在直三棱柱中，
易知且，
E，P分别为，的叶点，
且，
四边形为平行四边形，
且，
，目，
，F，G，P四点共面.
E，F分别为，的中点，
，又平面，平面，
平面.
，且F，G分别为，的中点，
，
，
四边形即为符合要求的等腰梯形.
当E不是的中点时，不平行于平面，
则四边形不是等腰梯形，故等腰梯形有且仅有一个.
取的中点D，连接DF、DG，
，，
且点D为的中点，
且，
四边形为平行四边形，
可得，
同理可得，
、、均为等边三角形.
.
将三棱柱补成正方体，
则其外接球即为正方体的外接球，
外接球的半径，表面积为.