2024-2025学年重庆市永川区八年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年重庆市永川区八年级下学期期末考试数学检测试卷，共49页。试卷主要包含了5mm 签字笔．，94km 能等内容，欢迎下载使用。
永川区 2024—2025 学年下期期末教学质量监测
八年级数学试题
注意事项：
1 ．考试时间：120 分钟，满分：150 分．试题卷总页数：6 页．
2 ．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效．
3 ．需要填涂的地方，一律用 2B 铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用 0.5mm 签字笔．
4 ．答题前，务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
一、选择题（本大题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）在以下的每个小题中， 都给出了代号为 A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确 答案的代号填在答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1 ．下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A ． B ． C ． D ． ·、
2 ．以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A ． ，2 ， B ．1 ， ，2 C ．3 ，6 ，7 D ．6 ，8 ，12
3．如图为某电动车厂家某款电动车在去年 5 月到 12 月间销量 y （台） 随月份 t （月） 变化的图像， 则下列说法正确的是( )
A ．5 到 8 月之间， 电动车销量 y （台） 随月份 t （月） 的增大而增大
B ．5 月份销量最低
C ．9 月份销量最高
D ．8 月和 11 月销量相同
4 ．下列四个命题中，是假命题的是( )
A ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 B ．对角线互相垂直的矩形是正方形
C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D ．对角线相等的四边形是矩形
5 ．一组数据：3 ，4 ，4 ，4 ，5 ．若拿掉一个数据 4，则发生变化的统计量是( )
A ．极差 B ．方差 C ．中位数 D ．众数
6 ．估计 -1的值应在( )
A ．5 和6 之间 B ．4 和5 之间 C ．3 和4 之间 D ．2 和3 之间
7．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 5 个正方形，第②个图案中有 9 个正方形，第③个图案中有 13 个正方形，第④个图案中有 17 个正方形，此规律排列下 去，则第⑨个图案中正方形的个数为( )
A ．32 B ．34 C ．37 D ．41
8 ．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，菱形 ABCD 的周长为 20 ，AC = 8 ， DE 丄 BC 于E ，连接OE ，则线段OE 的长度为( )
A ．2 B ．3 C ．5 D ．6
9．如图，已知正方形ABCD 的边长为 8，点M在DC 上，DM = 2 ，点N 是AC 上的一个动 点，那么DN + MN 的最小值是( )
A ．10 B ．8 C ．6 D ．4
10 ．已知S1 = (m +1)(m + 7) ，S2 = (m + 2)(m + 4) ，m 为正整数．下列说法：
① S1 始终大于S2 ；
② 若y = S1 - S2 ，则y 随m 的增大而增大；
③ 若满足条件S1 - S2 < n ≤ 2023 的整数n 有且只有4 个，则m 的值为1010 ．
其中正确的个数是( )
A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3
二、填空题（本大题 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）在每个小题中，请将正 确答案直接填在答题卡相应的横线上．
11 ．函数y = 中，自变量x 的取值范围是 ．
12 ．已知一组数据 1 ，3 ，9 ，8 ，3，则这组数据的中位数是 ．
13．如图，一次函数y = kx + b (k ≠ 0) 的图象经过点A(-1, -2) 和点B(-2,0)，一次函数y = 2x 的图象过点A ，则关于 x，y 方程组的解为 ．
14 ．如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是(1, 3)，则CE 的长是 ．
15 ．若一次函数y = (a + 4)x + a + 2 与y 轴交于负半轴，关于 x 的不等式组 的 解集为x < 1，则符合条件的所有整数 a 的和为 ．
16 ．对于一个四位自然数N ，如果 N 满足：各数位上的数字均不等于 0 且互不相等，千位
上的数字是百位上的数字的 3 倍，十位数字比个位数字大 1，则称 N 为“智能数”，则最大的 “智能数”是 ；对于一个“智能数”N = abcd ，若将它的千位数字和百位数字组成的两位 数记为x ，十位数字和个位数字组成的两位数记为 是一个完全平方数时，则满足条件的自然数N 为 ．
三、解答题（本大题 8 个小题，每小题 10 分，共 80 分）解答时每小题必须给 出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17 ．计算：
18．学习了特殊平行四边形后，小明同学在数学研修活动中进行了拓展性研究．他利用菱形， 借助直尺和圆规，作出了矩形．请根据她的思路完成以下作图与填空：
(1)尺规作图：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC, BD 相交于点O ．在CB 的延长线上截取 BE = BC ，连接AE ，再过点B 作AE 的垂线交AE 于点F （只保留作图痕迹，不写作法，不 另外添加字母和符号）；
(2)求证：四边形AOBF 为矩形． 证明：Q BF 丄 AE ，: ①______． Q 四边形ABCD 是菱形，
:AD ⅡBC ，AD = BC ，AC 丄 BD ， : 上AOB = 90° ,
Q BE = BC ，: ②______，
又Q AD Ⅱ BC ，: 四边形ADBE 为③______．
: AF Ⅱ OB ，:上FBO = ④______．
:上AFB = 上AOB = 上FBO = 90° , : 四边形AOBF 为矩形．
19 ．有关人员开展了Deepseek1 ，Deepseek2 两款AI 聊天机器人的使用满意度评分测验，并 从中各随机抽取10 份，并对数据(百分制)进行整理、描述和分析(成绩均不低于70 分，用x 表示，共分三组：A ．90 ≤ x ≤ 100 ，B ．80 ≤ x < 90 ，C ．70 ≤ x < 80 )，下面给出了部分信息： 抽取的对Deepseek1 款评分数据是：76 ，78 ，80 ，82 ，87 ，87 ，87 ，93 ，93 ，97 ．
抽取的对Deepseek2 款评分数据在B 组中的数据是：80 ，83 ，88 ，88 ． 抽取的对DeepSeek1 和Deepseek2 的评分统计表
抽取的Deepseek2 的评分扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中a = ______ ，b = ______ ，m = ______；
(2)根据以上数据，你认为DeepSeek1 和Deepseek2 哪款AI 聊天机器人更受欢迎？请说明理由 (写出一条理由即可)；
(3)该区选取500 人参与DeepSeek1 款AI 聊天机器人进行评分，选取400 人参与Deepseek2 款 AI 聊天机器人进行打分，请通过计算，估计此次测验中对AI 聊天机器人“非常喜欢”(x ≥ 90)
的共有多少人？
20．如图，在。ABCD 中，AE 平分 ÐBAD ，交BC 于点 E，BF 平分Ð ABC ，交于点 F，AE 与BF 交于点 P，连接 EF，PD ．
(1)求证：四边形ABEF 是菱形；
类型
平均 数
中位 数
众 数
DeepSeek1
86
87
b
Deepseek2
86
a
90
(2)若AB = 8，AD = 12，上ABC = 60° ,求线段DP 的长．
21．如图，在矩形ABCD 中，AB = 3，BC = 4 ，动点 P，Q 同时从 B 点出发，点 P 沿着B → C 方向运动，点 Q 沿着B → A → D 方向运动，有一点到达终点，另一点停止运动，已知点 P 的速度是每秒 1 个单位长度，点 Q 的速度是每秒 2 个单位长度，若运动时间为 x 秒，将AQ 的长度记为y1 ， △BPD 的面积记为y2 ．
(1)直接写出y1，y2 与 x 之间的函数表达式，并注明自变量 x 的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出y1，y2 的图象并写出y1 的一条性质；
(3)若函数y = kx + 2 与y1 有两个交点，求 k 的取值范围．
22．某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：A- B- C - D ．已知点 B 在点A 的北偏东45° 方向3.6km 处，点 C 在点 B 的正东方2.4km 处，点 D 在点 C 的南偏东30° 方向， 点 D 在点A 的正东方．(参考数据： ， ， ≈ 2.449 )
(1)求线段 CD 的长度；(结果精确到 0.01km)
(2)已知送货司机在送货过程中全程保持 10m/s 的速度匀速行驶，若现在有急件需要在 16 分 钟内从 A 点运送到 D 点，则送货司机按既定路线A- B- C - D 进行运送能否按时送达？(送 货司机在各站点停留的时间忽略不计)
23 ．如图，在平面直角坐标系中，直线y= -x + 3 分别与 x 轴，y 轴交于点A，B，点P(1, m) 在直线y = -x + 3 上．
(1)求点A ，B 的坐标；
(2)若点 C 是 x 轴的负半轴上一点，且S△△AOB ，求直线PC 的表达式；
(3)在（2）的条件下，若E 是直线AB 上一动点，过点E 作EQⅡx 轴交直线PC 于点Q，EM 丄 x 轴，QN 丄 x 轴，垂足分别为 M，N，是否存在点 E，使得四边EMNQ 为正方形？若存在， 请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．
24 ．在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，且上B=60° , 上BAD = 2上ACB ，E 为平面上的 一点．
(1)如图 1，若 AE 丄 BC ，垂足为点 E ，CE = 1，求 AD 的长；
(2)如图 2，若点 E 在边BC 上，且上AEB = 75° , CE = a ，求 AD 的长；
(3)如图3，若点 E 在对角线BD 所在直线上，EF∥AB 交BC 于点F ，点G 是CE 的中点，连 接FG，AG，AF ，求证
1 ．C
【分析】此题考查最简二次根式问题， 在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根 式的被开方数中，被开方数不能含有分母；（2）在二次根式的被开方数中不能含有开得尽方 的因数或因式．
根据最简二次根式的定义判断即可．
解 不是最简二次根式，不符合题意；
B 、 = 2 ，不是最简二次根式，不符合题意；
C 、 ·、是最简二次根式，符合题意；
D 、 ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C．
2 ．B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理．
如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形就是直角三角形，由此即可 判断．
【详解】解：A 、22 + ( )2 ≠ ( )2 ，不能构成直角三角形，故 A 不符合题意；
B 、 ，能构成直角三角形，故 B 符合题意；
C 、32 + 62 ≠ 72 ，不能构成直角三角形，故 C 不符合题意；
D 、62 + 82 ≠ 122 ，不能构成直角三角形，故 D 不符合题意．
故选：B
3 ．C
【分析】】根据图象，结合电动车销量y（台）随月份 t（月）的增减情况解答即可． 【详解】解：由图象可知：
6 到 7 月之间，电动车销量y（台）随月份 t（月）的增大而减小，原说法错误，故选项 A 不合题意；
7 月份销量最低，原说法错误，故选项 B 不合题意；
9 月份销量最高，故选项 C 符合题意；
8 月和 12 月销量相同，原说法错误，故选项 D 不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图象， 观察函数图象的纵坐标得出水位高度，观察函数图象的横坐 标得出时间，利用数形结合的方法是解答本题的关键．
4 ．D
【分析】本题主要考查了平行四边形， 矩形，菱形，正方形的判定，熟知平行四边形，矩形， 菱形，正方形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定分别 判断各选项．
【详解】解：A ． 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形．根据菱形的判定定理，对角线 互相垂直平分的四边形是菱形，故 A 为真命题．
B ． 对角线互相垂直的矩形是正方形．矩形的对角线原本相等且平分，若再满足垂直，则 符合正方形的对角线性质，故 B 为真命题．
C ． 对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定定理，对角线互相平 分的四边形是平行四边形，故 C 为真命题．
D．对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但非矩形，需先满足平行 四边形条件，故 D 为假命题．
故选：D．
5 ．B
【分析】依据定义和公式分别计算新旧两组数据的极差、方差、中位数、众数， 由此即可求 解．
【详解】原数据 3 ，4 ，4 ，4 ，5 的极差为 5-3=2， 原数据 3 ，4 ，4 ，4 ，5 的中位数为 4，
原数据 3 ，4 ，4 ，4 ，5 的众数为 4，
原数据 3 ，4 ，4 ，4 ，5 的平均数为
原数据 3 ，4 ，4 ，4 ，5 的方差为 新数据的 3 ，4 ，4 ，5 的极差为 5-3=2，
新数据的 3 ，4 ，4 ，5 的中位数为（4+4）÷2=4， 新数据的 3 ，4 ，4 ，5 的众数为 4，
新数据的 3 ，4 ，4 ，5 的平均数为
新数据的 3 ，4 ，4 ，5 的方差为
:添加一个数据 4，方差发生变化， 故选 B．
【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、极差， 熟练掌握相关概念和公式是解题的 关键．
6 ．A
【分析】本题考查了无理数的大小估算， 根据无理数的大小估算方法即可求解，掌握无理数 的大小估算方法是解题的关键．
【详解】解：: 36 < 40 < 49 ，
故选：A ．
7 ．C
【分析】第 1 个图中有 5 个正方形，第 2 个图中有 9 个正方形，第 3 个图中有 13 个正方
形，…… , 由此可得：每增加 1 个图形，就会增加 4 个正方形，由此找到规律，列出第 n 个 图形的算式，然后再解答即可．
【详解】解：第 1 个图中有 5 个正方形；
第 2 个图中有 9 个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；
第 3 个图中有 13 个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；
第 4 个图中有 17 个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；
. . .
第 n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1； 当 n=9 时，代入 4n+1 得：4×9+1=37．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字 之间的规律是解决问题的关键．
8 ．B
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形 的性质是解题的关键．由菱形的性质和周长得出 AD = AB = 5 ，AC 丄 BD ， OB = OD ，在 Rt△AOD 中，由勾股定理得到OB = 3 ，得出 BD = 2OB = 6 ，再由直角三角形
斜边上的中线性质即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，菱形ABCD 的周长为 20， : AD = AB = 5 ，AC 丄 在Rt△AOD 中，
由勾股定理得 : BD = 2OB = 6 ．
∵ DE 丄 BC 于 E， : 上DEB = 90° . 又∵ OD = OB ，
故选：B
9 ．A
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题，连接
BD, BN, BM ，对称性得到BN = DN ，进而得到DN+ MN = BN + MN ≥ BM ，勾股定理求出 BM 的长即可．
【详解】解：连接BD, BN, BM ，
∵正方形ABCD 的边长为 8，
: AC 垂直平分BD ，上BCD = 90° , BC = CD = 8 ， : BN = DN ，
: DN + MN = BN + MN ≥ BM ，
在Rt△BCM 中，BC = 8, CM = CD - DM = 6 ，
: DN + MN 的最小值是 10；
故选：A．
10 ．D
【分析】本题考查了多项式乘法， 一次函数的性质，不等式的应用，通过展开并比较S1 和S2 的差值，即可判断 ① , 通过一次函数的性质即可判断 ② ；分析其符号及变化趋势，再结合 不等式条件确定m m 的值，即可判断 ③ ,掌握相关知识的应用是解题的关键．
【详解】解：:S1 = (m +1)(m + 7) = m2 + 8m + 7 ，S2 = (m + 2)(m + 4) = m2 + 6m + 8 ， : S1 - S2 = (m2 + 8m + 7)- (m2 + 6m + 8) = 2m -1 ，
: m 为正整数，2m -1 ≥ 1 > 0 ， :S1 > S2 ，说法 ① 正确；
由y = S1 - S2 = 2m -1， : 2 > 0 ，
: y 随m 的增大而增大，说法 ② 正确； 由 S1 - S2 = 2m -1，
: 2m -1 < n ≤ 2023，
:整数n 的取值为2m, 2m + 1,…, 2023 ，共有 2023 - 2m +1 = 2024 - 2m （个）， 由当仅有4 个整数时，2024 - 2m = 4 ，
解得m = 1010 ，
验证此时n 的取值为2020、2021、2022、2023 ，符合条件，说法 ③ 正确， 综上， ①②③ 均正确，共3 个，
故选：D ．
11 ．x ≥ 2
【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.
【详解】解：依题意，得 x - 2 ≥ 0 ，
解得：x ≥ 2 ，
故答案为x ≥ 2 ．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面 考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分 式的分母不能为 0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题 中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
12 ．3
【分析】本题考查了求中位数； 中位数是一组数据从小到大或从大到小排列后，数据的个数 是奇数时，中位数是处于中间的一个数，数据的个数为偶数则中位数是中间两个数值的平均 数，先排序，再根据中位数的定义，即可求解．
【详解】解：从小到大排列为1 ，3 ，3 ，8 ，9
:中位数为3
故答案为：3 ．
13 ．
【分析】此题考查了利用一次函数图象解方程组，数形结合是解题的关键．根据两个一次函 数图象交点的坐标即可得到答案．
【详解】解：:一次函数y = kx + b (k ≠ 0) 和y = 2x 的图象经过点A(-1, -2) ，
:关于x，y 方程组 的解为
故答案为 ．
14 ． /10
【分析】本题考查矩形的性质， 点的坐标特征以及勾股定理的应用，解题关键是利用矩形性 质将求CE 的长转化为求对角线OD 的长．
根据点D 坐标得到Rt△OAD 两直角边长度，运用勾股定理计算出OD 的长度，利用矩形对 角线相等的性质，将求CE 的长转化为求OD 的长即可．
【详解】解： 如图所示： 连接OD 、CE ，过点D 向x 轴作垂线，垂足为A ，向y 轴作垂线， 垂足为B ，
∵点 D 的坐标是(1, 3) ，O 是原点，
: OA = BD = 1 ，OB = 3 ， 在Rt△OBD 中，
∵四边形COED 是矩形，
15 ．-21
【分析】本题考查的是一次函数的性质，一元一次不等式组的解法，理解题意是解本题的关 键；先根据一次函数的性质可得a < -2 且a ≠ -4 ，再根据一元一次不等式组的解集可得
a ≥ -7 ，再进一步可得答案．
【详解】解：∵一次函数y = (a + 4)x + a + 2 与y 轴交于负半轴， : a + 2 < 0 ，且 a + 4 ≠ 0 ，
: a < -2 且a ≠ -4 ，
不等式组整理得 ，
由解集为x < 1 ，得到 即a ≥ -7 ， :-7 ≤ a < -2 ，且 a ≠ -4 ，
:整数a = -7 ，-6 ，-5 ，-3 ， :-7 - 6 - 5 - 3 = -21，
故答案为：-21．
16 ． 9387 9365
【分析】本题考查了整式的运算， 不定方程，完全平方公式，理解新定义是解题的关键；首 先确定最大的“智能数” ，a = 9 ，则b = 3 ，各数位上的数字均不等于 0 且互不相等，则c 最 大为8 ，d = 7 ，即可得出最大的“智能数”；根据已知可得b = 1, 2, 3 ，d = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 ，根 据 是整数，得出N = 3187 或N = 9365 ，进而根据2G(N) + (a + d) + 3 是一个完 全平方数时，进行判断，即可求解．
【详解】解：对于一个“智能数”N = abcd ，
a 最大为9 ，则b = 3 ，各数位上的数字均不等于 0 且互不相等，则c 最大为8 ，d = 7 ， :最大的“智能数”是9387 ；
依题意，x = 10a + b, y = 10c + d ，a = 3b, c = d +1 : x = 31b, y = 11d +10 ，
:2G(N) + (a + d) + 3 是一个完全平方数，
: 3b - 4d - 3 是7 的倍数，
: 0 < a ≤ 9 ，a = 3b ，则b = 1, 2, 3 ，
: 0 < c ≤ 9 ，c = d +1，则d = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 ，
经检验，当b = 1 ，d = 7 时，3b - 4d - 3 = 3 - 28 - 3 = -28 是7 的倍数， : a = 3, c = 8 ，则 N = 3187 ；
当b = 2 ，d = 6 时，3b - 4d - 3 = 6 - 24 - 3 = -21 是7 的倍数， : a = 6, c = 7 ，则 a,d 重复，不合题意，
当b = 3 ，d = 5 时，3b - 4d - 3 = 9 - 20 - 3 = -14 是7 的倍数， : a = 9, c = 6 ，则 N = 9365 ；
当N = 3187 时，a = 3, b = 1, c = 8, d = 7 ，
: x = 31b = 31, y = 11d +10 = 87 ，则 x -y = -56， : 2G(N) + (a + d) + 3 = -16 + 3 + 7 + 3 = -3 ，不是完全平方公式，舍去 当N = 9365 时，a = 9, b = 3, c = 6, d = 5 ，
: x = 31b = 93, y = 11d +10 = 65 ，则 x -y = 28， : 2G(N) + (a + d) + 3 = 8 + 9 + 5 + 3 = 25 = 52 是完全平方公数，
:满足条件的自然数N = 9365
故答案为：9387 ，9365 ．
17 ．
【分析】本题考查二次根式的混合运算，准确掌握运算法则和二次根式的化简是解题的关键．
（1）先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式，即可得解；
（2）先计算平方差公式和二次根式的除法，再计算加减法，即可解答． 解
解
18 ．(1)见解析
① 上AFB = 90° ; ② BE = AD ；③平行四边形；④ 上AFB
【分析】本题考查了尺规作图， 菱形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，矩形的判 定等，解题的关键是根据要求尺规作图．
（1）根据题意画图即可；
（2）根据垂直的性质可得上AFB = 90° , 根据菱形的性质可得BE = AD ，根据平行四边形的 性质可得AF ⅡOB ，根据平行线的性质可得 上AFB = 上AOB = 上FBO = 90° ,根据矩形的判 定可得四边形AOBF 为矩形．
【详解】（1）解：如图即为所求：
作法：延长CB ，以 B 为圆心，BC 的长为半径，在CB 的延长线上画弧，即为点E ；连接 AE ，分别以A ，E 为圆心，BC 的长为半径，在AE 的上方画弧，两弧交于一点，连接该点
与点B ，与 AE 交于一点，即为点F
（2）证明：∵ BF 丄 AE ， : 上AFB = 90° ,
∵四边形ABCD 是菱形，
: ADⅡBC ，AD = BC ，AC 丄 BD ， : 上AOB = 90° ,
∵ BE = BC ，
: BE = AD ，
又∵ ADⅡBC ，
:四边形ADBE 为平行四边形，
: AF Ⅱ OB ，
:上FBO = 上AFB ，
:上AFB = 上AOB = 上FBO = 90° ,
:四边形AOBF 为矩形．
故答案为：① 上AFB = 90° ; ② BE = AD ；③平行四边形；④ 上AFB ．
19 ．(1)88 ，87 ，40
(2)Deepseek2 更受欢迎，理由见解析
(3) 310 人
【分析】本题主要考查了中位数、众数， 样本估计总体，从统计图上获得所需信息是解题的 关键．
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据平均数、中位数的意义求解即可；
（3）分别用两款及其人数的总人数乘样本中非常喜欢人数所占比例，再求和即可．
【详解】（1）解：Deepseek2 中C 组数据个数为10× 20 % = 2( 个) ，而B 组数据的个数为4 ，
所以这组数据的中位数为 A 组数据的个数为10 - 2 - 4 = 4( 个) ，
则 × 100% = 40% ，即 m = 40 ，
DeepSeek1 评分的众数b = 87 分， 故答案为：88 ，87 ，40 ；
（2）Deepseek2 机器人更受欢迎，
由表知，两款AI 机器人评分的平均数相等，而Deepseek2 评分的中位数大于Deepseek1 ， 所以Deepseek2 评分的高分人数多于Deepseek1 ，
所以Deepseek2 更受欢迎；
答：估计此次测验中对AI 聊天机器人“非常喜欢”(x ≥ 90) 的共有310 人．
20 ．(1)见解析
【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定 与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得AB = BE 、AB = AF ，则AF = BE ，易证四边 形ABEF 是平行四边形，再结合AB = BE 即可证明结论；
（2）根据菱形的性质可证明 △ABE 为等边三角形可得AB = AE = 8 ，即AP = 4 ；如图：过点 P 作PM 丄 AD 于 M，则 进而得到DM = 10 ，最后根据勾股定理求解 即可解答．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， : AD Ⅱ BC ．
: 上DAE = 上AEB ．
∵ AE 平分 ÐBAD ， : 上DAE = 上BAE ．
: 上BAE = 上AEB ．
: AB = BE ．
同理：AB = AF ． : AF = BE ．
:四边形ABEF 是平行四边形， ∵ AB = BE ，
:四边形ABEF 是菱形．
（2）解：∵四边形ABEF 是菱形，
: AE 丄 BF ，
: 上ABC = 60° ,
: 上ABF = 30°, 上BAP = 上FAP = 60° , △ABE 为等边三角形， : AB = 8 ，
: AB = AE = 8 ， : AP = 4 ，
如图：过点 P 作PM 丄 AD 于 M，
Q 上APM = 90° - 上FAP = 30° ,
: AD = 12 ， : DM = 10 ，
(2)见解析
【分析】（1）当0 ≤ x < 1.5 时，点 Q 在AB 上运动，则y1 = AQ = AB - BQ = 3 - 2x, 当1.5 ≤ x ≤ 3.5
时，点 Q 在AD 上运动，同理可解；由 即可求解；
（2）通过取点、描点、连线、绘制图象即可求解；
（3）从图象看，当函数 y = kx + 2 过点(3.5，4) 和(1.5，0) 时，两条直线恰好有 2 个交点，进而
求解．
【详解】（1）当 0 ≤ x < 1.5 时，点 Q 在AB 上运动， 则y1 = AQ = AB - BQ = 3 - 2x,
当1.5 ≤ x ≤ 3.5 时，点 Q 在AD 上运动，
同理可得：y1 =2x - 3 (1.5 < x ≤ 3.5) ，
对于
当x = 0 时，y1 =3，当 x = 1.5 时，y1 = 0 ，当 x = 3.5 时，y1 = 4 ， 对于
当x = 0 时，y2 = 0 ，当 x = 2 时，y2 = 3 ，
通过对上述点描点、连线、绘制图象如下：
从图象看，当0 ≤ x < 1.5 时，y1 随 x 的增大而减小，当1.5 ≤ x ≤ 3.5 ，y1 随 x 的增大而增大 （答案不唯一）；
（3）从图象看，当函数 y = kx + 2 过点(3.5，4) 和(1.5，0) 时，两条直线恰好有 2 个交点， 将(3.5，4) 代入y = kx + 2 得：4 = 3.5k + 2 ，则 ，
将(1.5，0) 代入y = kx + 2 得：0 = 1.5k + 2 ，则 ，
:k 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了一次函数综合运用，涉及到矩形性质，一次函数的基本性质，主要考查 学生分析问题和解决问题的能力．
22 ．(1) 2.94km (2)能
【分析】本题考查解直角三角形的应用， 矩形的判定与性质，正确构造直角三角形从而利用
解直角三角形的相关知识求解是解题的关键．
（1）分别过点 B 、C 作BE 丄 AD 于 E，CF 丄 AD 于 F，得到四边形 BEFC 是矩形，
BE = CF ，利用AB = 3.6km ，上BAE = 45° 求出BE ，即CF ，从而利用上DCF = 30° 求出CD ；
（2）先算出总路程，再除以速度得到送货时间，与 16 分钟比较即可得解． 【详解】（1）分别过点 B 、C 作BE 丄 AD 于 E，CF 丄 AD 于 F，
依题意可知：BC∥AD ，上BAE = 45° , 上DCF = 30° , AB = 3.6km ，BC = 2.4km ，
: 上CBE = 上AEB = 上BEF = 上EFC = 上CFD = BCF = 90° , :四边形BEFC 是矩形，BE = CF ，
: AB = 3.6km ，上BAE = 45° ,
又:上DCF = 30° ,
（2）16 分钟= 960 秒，
: AB = 3.6km ，BC = 2.4km ，CD ≈ 2.94km ， : AB + BC + CD ≈ 3.6 + 2.4 + 2.94 = 8.94 (km) ，
:从 A 点运送到 D 点的时间为 :送货司机按既定路线A- B- C - D 进行运送能按时送达．
23 ．(1)点 A 的坐标为(3, 0)；点 B 的坐标为(0, 3)；
(2)直线PC 的表达式为
(3)存在，当点 E 的坐标为 或 时，四边开形EMNQ 为正方形 【分析】（1）分别将 x = 0 、y = 0 代入y = -x + 3 即可解答；
（2）如图，过点 P 作PH丄 x 轴于点H ．先求出 P 点坐标，再求出OA 、OB 的长，然后根 据S△PAC = S△AOB 求得 C 点坐标，再运用待定系数法即可解答；
（3）如图 2，设点 E 的坐标为(t, -t + 3) ，可得 Q 点纵坐标，再代入可得 Q 点得 坐标，然后表示出EQ 、EM 的长，再令其相等求解即可．
【详解】（1）解：将 x =0 代入y = -x + 3 ，得 y = 3 ， :点 B 的坐标为(0, 3)
将y = 0 代入y = -x + 3 ，得 -x + 3 = 0 ，解得 x = 3 ， :点 A 的坐标为(3, 0)．
（2）解：:点P(1, m) 在直线y = -x + 3 上， : m = -1 + 3 = 2 ，
:点 P 的坐标为(1, 2) ．
如图，过点 P 作PH丄 x 轴于点 H．
: A (3, 0) ，B (0, 3) ， : OA = 3 ，OB = 3 ．
解得 ，
设直线PC 的表达式为y = kx + b ． 将 代入，
得 解得
直线PC 的表达式为 ．
（3）解：存在，E 的坐标为 或 理由如下： ∵EQⅡx 轴，EM 丄 x 轴
: ME 丄 EQ ∵QN 丄 x 轴
:四边开形EMNQ 为矩形
如图 2，设点 E 的坐标为(t, -t + 3) ，
∵EQⅡx 轴，
:点 Q 的纵坐标也为-t + 3．
把y = -t + 3 代入 得 解得 :点 Q 的坐标为
∵当EQ = EM 时，矩形EMNQ 为正方形，
解得 或 ．
当 时 当 时 ，
:当点 E 的坐标为 或 时，四边开形EMNQ 为正方形．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、 待定系数法求一次函数解析式以及正方形的性质等知识点，灵活运用一次函数的性质、待定 系数法、正方形的性质成为本题的关键．
24 ．(1) AD = 2
(2) ( + 2)a
(3)见解析
【分析】（1）先证明平行四边形ABCD 是菱形，得出△ABC 是等边三角形，进而根据等边三 角形的性质，即可求解；
（2）过点 E 作EF 丄 BC 交AC 于点F ，由（1）可得△ABC 是等边三角形，得出
上EAF = 15° = 上AEF 则AF = EF ，根据含 30 度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得 FC, EF ，即可求解；
（3）延长 FG 交CD 于点H ，连接 AH ，倍长中线法证明 △EFG≌△CHG (AAS) ，进而证明
△ABF≌△ACH (SAS) ，即可证明 △FAH 是等边三角形，进而根据含 30 度角的直角三角形的 性质，勾股定理即可得证．
【详解】（1）解：:四边形ABCD 是平行四边形， : ADⅡBC
: 上ACB = 上DAC
又: 上BAD = 2上ACB ，
: 上BAD = 2上DAC = 上DAC + 上BAC : 上DAC = 上BAC
: 上ACB = 上BAC : AB = BC
:平行四边形ABCD 是菱形， : 上B=60° ,
: △ABC 是等边三角形， : AE 丄 BC ，
∵ CE = 1 ， : AD = 2 ；
（2）解：如图，过点 E 作EF 丄 BC 交AC 于点F ，
则上FEC = 90°
由（1）可得△ABC 是等边三角形， : 上C = 60°
∵ 上AEB = 75° ,
: 上AEF = 180° - 上AEB - 上FEC = 15° 又上AEB = 上ACB + 上EAF = 75°
: 上EAF = 15° = 上AEF
: AF = EF ∵ EC = a
,
: AD = BC = AC = AF + FC = ( + 2)a ，
（3）证明：如图，延长 FG 交CD 于点H ，连接 AH ，
∵四边形ABCD 是菱形，
: AB ⅡCD
∵ EF∥AB
: EF ∥ CH
: 上HCG = 上FEG, 上EFG = 上CHG ，
又∵点G 是CE 的中点， : GE = GC
: △EFG≌△CHG (AAS)
: FG = GH ，HC = EF ，
∵点E 在对角线BD 所在直线上，
: 上ABE = 30° 又∵EF∥AB
: 上BEF = 上ABE = 30° : 上FBE = 上FEB
: FB = FE
: CH = BF
又∵四边形ABCD 是菱形， : 上D = 上B = 60°, AD = DC ， : △ADC 是等边三角形，
: 上ACH = 上ABF = 60° 又∵AB = AC
: △ABF≌△ACH (SAS)
: AF = AH, 上BAF = 上CAH
: 上FAH = 上CAH + 上FAC = 上BAF + 上FAC = 上BAC = 60° : △FAH 是等边三角形
∵ FG = GH : AG 丄 FG
即AG = FG ．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含 30 度角的直角三角 形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．