2024-2025学年浙江省杭州市八区县市八年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年浙江省杭州市八区县市八年级下学期期末考试数学检测试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
平测试八年级数学试题卷
一、选择题（本大题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 ．下列各图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A ． B．
C ． D．
2 ．要使二次根式、x一1有意义，下列选项中，则 x 可取的数是( )
A ．1 B ．0 C ．-1 D ．-2
3 ．下列方程中，一定是关于 x 的一元二次方程是( )
A ．2ax + x +1 = 0 B ．
C ．xy + x = 0 D ．x2 + x = 0
4．某合唱团成员的平均年龄为 52，方差为 10，在人员没有变动的情况下，两年后这批成员 平均年龄、方差分别是( )
\l "bkmark1" A ．平均年龄为 52，方差为 10 B ．平均年龄为 54，方差为 10
\l "bkmark2" C ．平均年龄为 52，方差为 12 D ．平均年龄为 54，方差为 12
5 ．函数 的图象经过点（－4 ，6），则下列个点中在 图象上的是 ( )
A ．（3 ，8 ） B ．（－3 ，8） C ．（－8 ，－3） D ．（－4 ，－6）
6 ．一元二次方程x2 - 4x -1 = 0 配方后可化为( )
A ．(x + 2)2 = 3 B ．(x + 2)2 = 5 C ．(x - 2)2 = 3 D ．(x - 2)2 = 5
7 ．用反证法证明“△ABC 中至少有一个内角大于或等于60° ”时，应先假设( )
A ．这个三角形中有一个内角大于60°
B ．这个三角形中有一个内角大于等于60°
C ．这个三角形中每一个内角都大于60°
D ．这个三角形中每一个内角都小于60°
8 ．顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形叫做这个四边形的中点四边形．如果一个四 边形的中点四边形是矩形，那么原四边形的对角线需满足的条件是( )
A ．互相平分且相等 B ．互相平分且垂直 C ．相等 D ．互相垂直
9 ．若点A(m - 5, y1 ) ，B (m -1, y2 ) ，C (m + 5, y3 ) （其中1 < m < 5 ）都在反比例函数 的图象上，则y1 ，y2 ，y3 的大小关系是( )
A ．y1 < y2 < y3 B ．y2 < y3 < y1 C ．y1 < y3 < y2 D ．y3 < y1 < y2
10 ．如图，在。ABCD 中，AC，BD 相交于点 过点 A 作AE 丄 BC 的 垂线交BC 于点 E，记 BE 长为 x ，BC 长为y ．当 x，y 的值发生变化时，下列代数式的值不 变的是( )
A ．x + y B ．x - y C ．xy D ．x2 + y2
二、填空题（本大题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
11 ．计算 ．
12 ．杭州雷峰塔其基座的平面示意图可抽象成八边形，如图所示，则这个八边形的内角和 为 ．
13 ．已知两个连续正奇数的积是143 ，设其中较小的正奇数是 x，可列方程 ．
14．方方参加“校园之声”歌唱比赛，其音准与节奏、音色与音质、表现力与情感表达的分数 分别是 90 分、80 分、80 分．若将三项得分依次按 2：5：3 的权重确定最终成绩，则方方的 最终成绩为 分．
15 ．如图，在反比例函数 ）的图像上，有点P1，P2，P3，P4 ，它们的横坐标依次 为 1 ，2 ，3 ，4 ．分别过这些点作 x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到 右依次为S1，S2，S3 ，则S1 + S2 + S3 = ．
16 ．如图，在矩形 ABCD 中， AB = 6 ，BC = 8 ，点E 是 AD 上一点，现将 CDE 沿 CE 翻折， 得到 △CEF ．作FM 丄 AB ，FN 丄 BC ，当四边形MBNF 是正方形时，则BN 的值为 ．
三、解答题（本大题有 8 个小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤）
17 ．计算：
(1) -
(2) + ×
18 ．解下列方程：
(1) x2 = x ；
(2) 2x2 + 6x + 3 = 0 ．
19 ．在平面直角坐标系中，A (a，- 3) ，B (a - 4，1) 是反比例函数y = 的图象上两个点．
(1)求反比例函数解析式；
(2)判断 A ，B 两点是否关于原点成中心对称，并说明理由．
20．为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校八年级 a 名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图 1 和图 2．
请根据相关信息，解答下列问题，
(1) a = ，图 2 中的m = ，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分 别为 和 ．
(2)求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
(3)根据样本数据，若该校八年级共有学生 600 人，估计该校八年级学生每周参加科学教育 的时间至少为9h 的人数为多少？
21 ．如图，已知四边形ABCD 是菱形，上ABC = 72° ,以点 A 为圆心，AB 为半径画弧线， 分别交BC ，CD 于点 F，E，连接 AE ，AF ，EF ，BD ．
(1)求上EAF 度数；
(2)求证：BD∥EF ．
22 ．已知y 与z 成正比例，z 与x 成反比例．当x = -4 时，z = 3 ，y = -4 ．
(1)求y 关于x 的函数表达式；
(2)在平面直角坐标中，y 关于x 的函数图象上有A ，B 两点，且点A 的横坐标为2 ，点B 的 横坐标为4 ，求 OAB 的面积．
23．某租赁公司拥有汽车 100 辆．据统计，当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出．每 辆车的月租金每增加 50 元时，未租出的车将会增加 1 辆．租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元．
（1）当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到
306600 元？
24 ．如图，在四边形ABCD 中，ADⅡBC ，AE T BC 于点 E，CF T AB 于点 F，AE 与CF 相交于点 G，连接 GD ，已知 71 = 72 ， Ð 3=Ð 4 ．
(1)求证：四边形ABCD 是平行四边形；
(2)若AG = 3 ，DG = 5 ，求 GE 的值；
(3)若 F 是AB 的中点，连接EF ，求证：DG T EF ．
1 ．B
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的 定义逐项分析即可．
【详解】解：A ．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B ．该图是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C ．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D ．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选 B．
2 ．A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非 负，解不等式即可确定 x 的取值范围，进而选出正确选项．
【详解】要使二次根式 、有意义，需满足被开方数x -1≥ 0 ．
解得x ≥ 1，
因此 x 可取的数是 1．
故选 A．
3 ．D
【分析】本题考查了一元二次方程的识别，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数， 且未知数的最高次数为 2 的整式方程）逐一判断各选项即可．
【详解】A ．2ax + x +1 = 0 ，不含关于 x 二次项，不是一元二次方程，排除．
B ． ，分母含未知数x ，不是整式方程，排除．
C ．xy + x = 0 ，含两个未知数x 和y ，不是一元方程，排除．
D ．x2 + x = 0 ，仅含未知数x ，最高次数为 2，且为整式方程，符合定义． 故选 D．
4 ．B
【分析】本题考查平均数和方差的变化规律，解题关键是熟练掌握平均数和方差的含义．
对于平均数和方差，根据“当每个数据增加相同数值时，平均数同步增加，而方差保持不变” 即可判定．
【详解】解：平均年龄计算：原平均年龄为 52 ，两年后每位成员年龄增加 2 ，故新平均年 龄为52 + 2 = 54 ．
方差分析：方差反映数据离散程度，由于每位成员年龄均增加2 ，数据与平均数的差值不变， 因此方差保持原值10 不变．
综上，两年后平均年龄为54 ，方差仍为10 ，故选 B．
故选：B．
5 ．B
【详解】根据题意得：k= -4× 6 = -24 ，即两坐标之积为-24.则 B 选项符合：-3× 8 = -24 . 故选 B.
6 ．D
【分析】常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可． 【详解】解：移项得 x2 - 4x = 1 ，
配方得x2 - 4x + 4 = 1+ 4 ，
∴ (x - 2)2 = 5 ， 故选：D．
【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基 本步骤是解题的关键．
7 ．D
【分析】本题考查了反证法， 明确反证法的意义和反证法的步骤是解答的关键．根据反证法 的步骤，第一步应假设结论的反面成立，据此解答即可．
【详解】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立， 即假设这个三角形中每一个内角都小于60° .
故选：D．
8 ．D
【分析】此题主要考查了矩形的判定定理，画出图形进而应用平行四边形的判定以及矩形判 定是解决问题的关键．
由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接 对角线互相垂直的四边形各边的中点所得四边形是矩形．
【详解】根据题意画出图形如下：
AC 与BD 的位置关系是互相垂直．
证明：点 E、F、H、G 分别是AD 、AB 、BC 、CD 的中点， 连接EF ，FG ， HG，EH ，EH 与BD 交于点 M，
∵四边形EFGH是矩形，
: 上FEH = 90° ,
∵E、F、分别是 AD 、AB 的中点， : EF Ⅱ BD ，
: 上FEH = 上OMH = 90° ,
:E、H、分别是 AD 、CD 的中点， : EH Ⅱ AC，
又∵点 E、H 分别是AD 、CD 各边的中点， : 上OMH = 上COB = 90° ,
即AC ^ BD ．
故选：D．
9 ．B
【分析】本题考查了反比例函数的性质， 由反比例函数的解析式可得反比例函数在每个象限 内，y 随着x 的增大而增大，结合1 < m < 5 得出x1 < 0 < x2 < x3 ，即可得解，熟练掌握反比例 函数的性质是解此题的关键．
【详解】解： ∵点A(m - 5, y1 ) ，B (m -1, y2 ) ，C (m + 5, y3 ) （其中1 < m < 5 ）都在反比例函数 的图象上，
:反比例函数在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，
∵1< m < 5 ，
: m - 5 < 0 ，m -1 > 0 ，m + 5 > 6 ，
: x1 < 0 < x2 < x3 ，
: y2 < y3 < y1 ，
故选：B．
10 ．C
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识， 过点 D 作DF 丄 BC 交BC 的延长线于点 F，证明 △ABE≌△DCF (AAS)，得到
AE = DF, BE = CF = x ，由勾股定理可得，AE2 = 4 - (y - x )2 ，DF2 = 12 - (y + x )2 ，则 4 - (y - x )2 = 12 - (y + x )2 ，整理后即可得到答案．
【详解】解：过点 D 作DF 丄 BC 交BC 的延长线于点 F，
: AE 丄 BC 的垂线交BC 于点 E， : 上AEB = 上DFC = 90° ,
:四边形ABCD 是平行四边形， : AB = DC, AB∥CD ，
: 上ABE = 上DCF ，
: △ABE≌△DCF (AAS) : AE = DF, BE = CF = x ，
由勾股定理可得，AE2 = AC2 - CE2 = AC2 - (BC - BE )2 = 4 - (y - x )2 ， DF2 = BD2 - BF2 = BD2 - (BC + CF )2 = BD2 - (BC + BE )2 = 12 - (y + x )2 ，
: 4 - (y - x )2 = 12 - (y + x )2 ， : (y + x )2 - (y - x )2 = 8
: x2 + 2xy + y2 - y2 + 2xy - x2 = 8 即4xy = 8 ，解得xy = 2 ，
:当 x，y 的值发生变化时，代数式的值不变的是xy ，
故选：C
11 ．2
【分析】本题考查的是求解一个数的算术平方根，直接根据算术平方根的含义求解即可. 解 ，
故答案为：2
12 ．1080° ##1080 度
【分析】本题考查了多边形的内角和问题，掌握n 边形的内角和为(n - 2)×180° 是解题的关 键．
根据多边形的内角和公式即可求解．
【详解】解：这个八边形的内角和为 (8 - 2)×180° = 1080° , 故答案为：1080° .
13 ．x (x + 2) = 143
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键． 首先，设其中一个奇数为x ，则另一个奇数为x + 2 ，列式即可求解；
【详解】解：设其中一个奇数为x ，则另一个奇数为x + 2 ， 根据两个连续正奇数的积是143 ，
可得：x (x + 2) = 143 ，
故答案为：x (x + 2) = 143 ；
14 ．82
【分析】本题主要考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 根据加权平均数的计算方法求解即可．
【详解】解：方方的最终成绩 （分）．
故答案为：82．
15 ．
【分析】本题考查了反比例函数的性质，k 的几何意义，正确进行图形分割是解题的关键． 【详解】
解：由题意，可知点P1，P2，P3，P4 坐标分别为： (1, 2) , (2,1) , (çè 3, ÷, ç4, ．
解法一：
∵S1 = 1 × (2 -1) = 1，
1 1 3 : S1 + S2 + S3 = 1 + + = ．
3 6 2
解法二：∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点 P1 向 x 轴、y 轴引垂线构成的长方 形面积减去最下方的长方形的面积，
: S1 +S2 +S3
故答案为： ．
16 ．4 + 或4 -
【分析】本题考查了矩形的性质， 折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推 理是本题的关键．根据折叠性质FC = CD = AB = 6 ，在 Rt△NFC 中，由勾股定理得，
NF2 + NC2 = CF2 ，即 BN2 + (8 - BN)2 = 62 ，解得 BN = 4 + 或4 - ．
【详解】解：由对折可知， FC = CD = AB = 6 ，
Q 四边形MBNF 是正方形， :NB = FN ，
在Rt△NFC 中，
NF2 + NC2 = CF2 ，
即BN2 + (8 - BN)2 = 62 ，
解得BN = 4 + 或4 - ．
故答案为：4 + 或4 - ．
17 ．(1) (2) 5
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算等知
识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的性质化简，然后再根据算乘法，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： -
= 3 - 2
= 、 ．
（2）解： + ×
= + 2× 2 = + 4
= 5 ．
18 ．(1) x1 = 0 ，x2 = 1
【分析】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键．
（1）用因式分解法解方程；
（2）用公式法解方程．
【详解】（1）解：x2 = x ， 整理得x2 - x = 0 ，
因式分解得x (x -1) = 0 ， : x1 = 0 ，x2 = 1；
（2）解：2x2 + 6x + 3 = 0 ， : a = 2 ，b = 6 ，c = 3，
Δ = b2 - 4ac = 62 - 4 × 2 × 3 = 12 > 0 ，
(2)A(1，- 3) 关于原点对称的点坐标是(-1，3) ，与点B(-3，1) 不是关于原点成中心对称
【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、 关于原点对称的点的坐标等知识点，熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是解题的关键．
（1）由A(a，- 3) ，B (a - 4，1) 是反比例函数 的图象上两个，则k = -3a = a - 4 可得 a 的 值即可解答；
（2）由（1）a = 1 ，则A(1，- 3) 、B (-3，1) ，再根据关于原点对称的点的坐标特征即可解答． 【详解】（1）解：∵ A(a，- 3) ，B (a - 4，1) 是反比例函数 的图象上两个，
: k = -3a = a - 4 ，解得：a = 1．
: k = -3a = -3 ．
:反比例函数为 ．
（2）解：A ，B 两点不关于原点成中心对称，理由如下：
由（1）知 a = 1，
: A(1，- 3) 、B (-3，1)．
:A ，B 两点不关于原点成中心对称．
20 ．(1)50；34；8 ；8 (2)8.36
(3)估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为9 h 的人数约为276 人
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图， 用样本估计总体，众数、中位数、平均数， 解 答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据 6h 的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和8h 的人数 即可求出 m ； 根据条形统计图中的数据，可以得到这 50 个样本数据的众数、中位数；
（2）根据平均数的定义进行解答即可；
（3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是9 h 的学生占30% ，每周参加科学教 育的时间是10 h 的学生占16% ，用八年级共有学生数乘以(30% +16%) 即可得到答案．
【详解】（1）解：a = 3 ÷ 6% = 50 （人）) ， m% = 17 ÷ 50 × 100% = 34% ，
:m = 34 ，
在这组数据中，8 出现了 17 次，次数最多，
:众数是 8，
将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第 25 ，26 名学生的分数都是 8， : 中位数是(8 + 8) ÷ 2 = 8 ，
故答案为：50, 34,8,8 ．
解
:这组数据的平均数是 8.36．
（3）解：Q在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是9 h 的学生占30% ，
:根据样本数据，估计该校八年级学生 600 人中，每周参加科学教育的时间是9 h 的学生占 30% ，每周参加科学教育的时间是10 h 的学生占16% ，
则600× (30% +16%) = 276 （人）．
:估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为9 h 的人数约为276 人．
21 ．(1) 36°
(2)见解析
【分析】本题考查菱形的性质， 等腰三角形的性质，平行线的判定，关键是由菱形的性质推
出上上ABC ，由等腰三角形的性质求出 上BAF 和 ÐDAE 的度数．
（1）由菱形的性质推出 AB = AD, ADⅡBC, 上ADC = 上ABF = 72° ,由等腰三角形的性质推 出上AFB = 上ABF = 72° , 由三角形内角和定理求出上BAF = 36° , 同理：上DAE = 36° , 由平 行线的性质求出上BAD = 108° ,即可得到 Ð EAF 的度数；
（2）由等腰三角形的性质得到∠AFE = ∠AEF = 72° ,由菱形的性质推出
上上ABC = 36° ,由三角形的外角性质得到 上AMN = 上ABM + 上BAM = 72° ,因此
上AMN = 上AFE ，推出 BD∥EF ．
【详解】（1）解：:四边形ABCD 是菱形，
: AB = AD, ADⅡBC, 上ADC = 上ABF = 72° , 由题意得到AF = AE = AB ，
:上AFB = 上ABF = 72°
:上BAF = 180° - 72° - 72° = 36°
同理：上DAE = 36° ,
: ADⅡBC ，
:上BAD + 上ABC = 180° ,
:上BAD = 108° ,
:上EAF = 108° - 36° - 36° = 36° .
（2）证明：: AE = AF, 上EAF = 36° ,
:四边形ABCD 是菱形，
Q 上BAF = 36° ,
:上AMN = 上ABM + 上BAM = 72° ,
:上AMN = 上AFE ，
:BDⅡEF ．
22 ．
(2)12
【分析】本题主要考查正比例函数、反比例函数的定义及性质，以及利用坐标求图形面积 （割补法），熟练掌握函数的定义、用待定系数法求函数表达式和割补法求平面图形面积是 解题的关键．
（1）根据正比例和反比例的定义设出函数关系式，再代入已知值求出比例系数，进而得到y 关于x 的函数表达式；
（2）先根据函数表达式求出 A 、B 两点坐标，再通过分割图形（用矩形面积减去几个直角 三角形面积）的方法计算 △OAB 的面积 ．
【详解】（1）解：: y 与z 成正比例，设y = k1z （ k1 ≠ 0 ）； z 与x 成反比例，设z =
（k2 ≠ 0 ）
: y = k1 . = ，令k = k1k2 ，则 把x = -4 ，y = -4 代入y = 得： k = (-4)× (-4) = 16
: y 关于x 的函数表达式为
（2）解：当 x = 2 时，代入 得 : A (2,8)
当x = 4 时，代入 得 : B (4, 4)
= 32 - 8 - 4 - 8
= 12
23 ．(1) 当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出 88 辆车;(2) 当每辆车的月租金为 3900 元或 4200 元时，月收益达到306600 元
【分析】（1）根据题意列出算式，计算即可得到结果；
（2）设每辆车的月租金为（3000+x）元，根据题意列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：（1）根据题意得 则当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出 88 辆车．
（2）设每辆车的月租金为（3000+x）元， 根据题意得
×50=306600，
解得：x1=900 ，x2=1200，
:3000+900=3900（元），3000+1200=4200（元），
则当每辆车的月租金为 3900 元或 4200 元时，月收益达到306600 元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
24 ．(1)见解析
(2) x = 1
(3)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质， 全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性 质，角平分线的性质和平行线的判定与性质，掌握以上知识是解决本题的关键．
（1）根据角的等量变换得到 上AFG = 上DCG ，再根据平行线的判定得到 AB∥CD ，然后根 据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求解；
（2）通过平行和垂直的性质可得∠DAG = 90° ,再根据勾股定理可得 AD = 4 ，过点 C 作
CH TDG ，然后分别证得 △CGE≌△CGH (AAS) 和 △ABE≌△DCH (AAS) ，然后设GE = GH = x ， 根据DH = AE 即可求解；
（3）根据中位线性质可得 EFⅡAC ，再证明四边形 ABCD 是菱形，然后即可求解；
【详解】（1）证明：如图：
∵ 上1= 上5 ，上1= 上2 ， 73= 74 ， : 上2 = 上5 ，
: 上AFG = 上DCG ，
∵ CF 丄 AB ，
: 上AFG = 90° ,
: 上AFG = 上DCG = 90° ,
: 上AFG + 上DCG = 180° , : AB∥CD ，
∵AD // BC
:四边形ABCD 是平行四边形
（2）解：∵ ADⅡBC ，AE 丄 BC ， : AE 丄 AD ，上AEB = 90 ° ,
:∠DAG = 90° ,
: AG2 + AD2 = DG2 ，
∵ AG = 3 ，DG = 5 ，
过点 C 作 CH TDG ，如图：
:ÐCHG = ÐDHC = ÐAEB = 90° ,
: 上1= 上2 ，上AEC = 上CHG = 90° , CG = CG ， : △CGE≌△CGH (AAS) ，
: GH = GE ，CH = CE ，
:四边形ABCD 是平行四边形， : DC = AB ，
:ÐDHC = ÐAEB ， 73= 74 ， : △ABE≌△DCH (AAS) ，
: AE = DH = 5 ，CH = BE ， : CH = BE = CE ，
:E 为BC 中点，
: DH = DG-GH ， AE = AG + GE ， :设GE = GH = x ，由 DH = AE ，
得3+ x = 5 - x ， 解得：x = 1 ， 即GE = 1；
（3）解：连接 EF ，AC ，如图：
:E 为BC 中点(已证) ， F 是AB 中点， : EFⅡAC ，
:F 是AB 中点，CF 丄 AB ，
: AC = BC ，
同理: E 是 BC 中点，AE 丄 BC ， : AC = AB ，
: AB = BC ，
:四边形ABCD 是平行四边形，
:四边形ABCD 是菱形， : AC 丄 BD ，
: EFⅡAC ，AC 丄 BD ， : EF 丄 BD ；