2024-2025学年浙江省金华市八年级下学期期末教学质量评价卷数学检测试卷

这是一份2024-2025学年浙江省金华市八年级下学期期末教学质量评价卷数学检测试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1 ．下列属于一元二次方程的是( )
A ．x + y = 1 B ．2x +1 = 4 C ．x2 + x = 2 D ．
2 ．下列图标中，属于中心对称图形的是( )
A ． B ． C ． D．
3 ．在二次根式 中，字母 x 的取值范围是( )
A ．x ≥ 0 B ．x ≤ 0 C ．x ≥ -1 D ．x ≤ -1
4 ．下列计算正确的是( )
A ． B ．
C ． D ．
5 ．已知样本数据 2 ，3 ，3 ，5 ，7，下列说法不正确的是( )
A ．平均数是 4 B ．众数是 3 C ．中位数是 3 D ．方差是 3
6 ．用反证法证明命题“已知：在△ABC 中，AB = AC ，求证：上B < 90° ”时，应假设( )
A ．上B > 90° B ．上B ≥ 90° C ．上B ≤ 90° D ．上B ≠ 90°
7．据相关统计，2022 年中国新能源汽车销售量约 688 万辆，2024 年中国新能源汽车销售量 约 1286 万辆．设从 2022 年至 2024 年的年平均增长率为 x，则所列方程正确的是( )
\l "bkmark1" A ．688(1 + x) 2 = 1286 B ．688(1 ― x) 2 = 1286
\l "bkmark2" C ．1286(1 + x) 2 = 688 D ．1286(1 ― x) 2 = 688
8 ．如图，已知点 O 是▱ABCD 两条对角线 AC ，BD 的交点，BD = 20 ，AO = 8 ，AD = 15 ， 则 △OBC 的周长为( )
A ．29 B ．33 C ．34 D ．43
9 ．已知反比例函数 1)的图象上有A(n, y1 ) ，B(n — 2,y2)两点，则下列说法正确 的是( )
A ．若n < 0 ，则 y1 < y2 B ．若0 < n < 1，则 y1 > y2
C ．若n > 2 ，则 y1 > y2 D ．若1 < n < 2 ，则 y1 > y2
10．如图，已知菱形 ABCD 的边长为 ·、 ，匕ABC = 80。，延长 BC 至点 E，射线 CF 在上DCE 的内部且满足上DCF = 50 ，过点 D 作DG 丄 CF 交 CF 于点 G，过点 G 作GH丄 CE 交 CE 于 点H ．若GH = 1，则线段 BD 的长为( )
A ．3 B ．2 C ．3 D ．2
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．
11 ．当a = -1 时，二次根式 ·、 的值为 ．
12 ．已知某兴趣小组 6 名同学的一次“人工智能编程”培训成绩( 单位：分) 依次为：88 ，92， 89 ，95 ，91 ，86，则这组数据的中位数为 ．
13 ．已知关于 x 的一元二次方程x2 - 2mx + 3m = 0 的一个根为 2，则 m 的值为 ．
14 ．若平行四边形的两邻边长分别 4 和5，两条较短边之间的距离为 3，则两条较长边之间 的距离为 ．
15 ．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O ，AB = 6 ，点 E 为 BC 边上一点，连结 AE，将 △ABE 沿 AE 翻折，使点 B 恰好与点 O 重合，则 BE 的长为 ．
16 ．在平面直角坐标系中，反比例函数y1 = 和y2 = (x > 0,a > 0,b > 0)的图象如图所 示．已知矩形 OABC 的边 OA ，OC 分别在 x 轴正半轴和y 轴正半轴上，y1 分别交 BC，AB 于点 D ，E，y2 分别交 BC，AB 于点 F，G，直线 FG 与y 轴交于点 P，连结 PD ．若
AB = a ，OA = b ，则 △PFD 的面积为 ．
三、解答题：本题共 7 小题，共 52 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤．
17 ．计算：
(1) × ;
(2) — + × .
18 ．解方程：
(1) 3x2 = x ；
(2) 2x2 - 3x - 5 = 0 ．
19 ．如图，已知四边形 ABCD 为平行四边形，过点 A 作AE 丄 BD 交 BD 于点 E，过点 C 作 CF 丄 BD 交 BD 于点F ．
(1)求证：AE = CF ．
(2)若上ABD = 30 ，AB = 4 ，BC = 6 ，求 EF 的长．
20 ．浙江新能源汽车数量不断上升，据相关信息，2025 年全省将建成公共充电桩超 230 万 个．某小区为优化公共充电桩管理，随机记录了某日 50 辆新能源汽车的充电情况．
(1)填空：a = ______．
(2)本次调查的50 辆新能源汽车用电价格的众数为______元/度，中位数为______元/度．
(3)若该地区每天需要充电的新能源汽车数量约为 10 万辆，请估计在 6 点至 10 点时间段内 进行充电的新能源汽车数量．
21．如图，已知点 A 为反比例函数y1 = (x > 0)图象上的一点，过点 A 作AB 丄 y 轴交y 轴 于点 B 且OB = 4 ，连结 OA．
(1)求点A 的坐标．
(2)将 △ABO 沿 x 轴正方向平移得到 △A ' B ' O ' ，记线段AIOI的中点为 C，若反比例函数 y2 = (k > 0,x > 0)的图象恰好经过点B' 和点 C，求 k 的值．
22 ．根据以下素材，探索完成任务．
时间段
6 点-10 点
10 点-14 点
14 点-18 点
18 点-22 点
22 点-6 点
数量( 辆)
4
20
a
10
12
价格( 元/度)
1.15
0.60
1.20
0.90
0.55
智能农业种植基地设计
背 景
随着科技的日益更新，利用智能化设备和技术，可以有效提高农业种植的生产效率，提 升农产品的质量．
23 ．如图，正方形 ABCD 中，已知AB = 6 ，对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E 为射线 OB 上的一个动点( 不与点 B 重合) ，点 M 为线段 ED 的中点．现将线段 OM 绕点 M 顺时针旋转 90得到线段 MF，连结 AE，EF，AF，OF ．
素
材
1
如图，某智能农业种植基地计划搭建一座矩形温室大棚用于高效种植 作物．已知大棚的种植面积为 1200 平方米，且矩形的长 AD 比宽 AB 多 10 米．
素
材
2
基地想在矩形中心引入智能光照控制系统P( 视为一个点) ，当系统 P 到矩形内任意一点( 包括边上) 的距离不超过 28 米时视为达标，以确保 光照均匀覆盖；否则视为不达标并需要重新改进系统．
素
材
3
为了更智能地对农作物浇水，在基地内部安装了一个矩形智能灌注设 备，要求设备四周预留相同宽度的空间，已知该矩形灌注设备的面积 为 24 平方米．
任
务
1
设矩形大棚的宽为 x 米，则长为______米，根据素材 1 的信息可列方程：______．
任
务
2
根据素材 2 的要求，请问：该设计是否达标？如果达标，请说明理由；如果不达标，请 给出改进方案．
任
务
3
设素材 3 中灌注设备四周预留的宽度为 a 米，求 a 的值．
(1)若点 M 在线段 OD 上且MD = 4 ，求线段 OF 及 EF 的长．
(2)当点 E 在线段 OB 上运动时，请判断 △AEF 的形状，并说明理由．
(3)在点 E 的运动过程中，当AE = 2OF 时，求线段 BE 的长．
1 ．C
【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、未知数的最高次数是 1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、不是整式方程，即不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C．
根据一元二次方程的定义判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一 元二次方程．
2 ．A
【详解】解：选项 B 、C、D 中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180 后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项 A 中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180后与原来的图形重合，所以 是中心对称图形．
故选：A．
根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合， 那么这个图形叫做中心对称图形得出结论即可．
本题考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
3 ．C
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，牢记二次根式被开方数是非负数是正确解决本题 的关键．
根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式再解之即可．
【详解】解：被开方数为非负数，可得 x +1≥ 0 ， 解得x ≥ -1．
故选 C．
4 ．B
【详解】解：2 与 ·、5 不是同类二次根式，无法合并，则 A 不符合题意，
则 B 符合题意，
则 C 不符合题意，
·/5 与、2 不是同类二次根式，无法合并，则 D 不符合题意， 故选：B．
利用二次根式的加减法则进行判断即可．
本题考查二次根式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
5 ．D
【详解】解：A．平均数是(2 + 3 + 3 + 5 + 7) ÷ 5 = 4 ，故本选项说法正确，不符合题意；
B ．3 出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是 3，故本选项说法正确，不符合题意；
C．把这组数据从小到大排列为：2 ，3 ，3 ，5 ，7，最中间的数是 3，则中位数是 3，故本选 项说法正确，不符合题意；
D．这组数据的方差是：[(2 ― 4)2 + (3 ― 4)2 + (3 ― 4)2 + (5 ― 4)2 + (7 ― 4)2] = 3.2，故本 选项说法错误，符合题意；
故选：D．
根据平均数、中位数、众数和方差的计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案． 此题考查了平均数、中位数、众数和方差，熟练掌握定义和计算公式是解题的关键．
6 ．B
【分析】本题考查的是反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况， 如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的 步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 【详解】解：用反证法证明：“ 已知在 △ABC 中，AB = AC ，求证：上B < 90° . ”时，
第一步应假设：上B ≥ 90° ,
故选：B．
7 ．A
【详解】解：Q2022 年新能源汽车年销售量为 688 万辆，2024 年新能源汽车手销售量将达 到 1286 万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为 x，
: 688(1 + x) 2 = 1286．
故选：A．
利用预计 2024 年新能源汽车年销售量= 2022 年新能源汽车年销售量 × (1 + ― 这两年新能 源汽车销售量年平均增长率)2 ，即可列出关于 x 的一元二次方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
8 ．B
【详解】解：Q 四边形 ABCD 是平行四边形， : OC = AO = 8 ，BC = AD = 15 ，OB = OD ， ” BD = 20，
:△OBC 的周长 = BC + OC + OB = 15 + 8 + 10 = 33． 故选：B．
由平行四边形的性质推出OC = AO = 8 ，BC = AD = 15 ， 即可求出 △OBC 的周长．
本题考查平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等，对角线互相平分．
9 ．D
【详解】解：A、若 n < 0 ，则 n -1< 0 ，A(n，y1) ，B(n — 2，y2)两点都在第二象限， y1 > y2 ，原说法错误，不符合题意；
B、若0 < n < 1 ，点A(n，y1)在第四象限，B(n — 2，y2)在第二象限， y2 > y1 ，原说法错误， 不符合题意；
C、若n > 2 ，反比例函数图象在第一三象限，A(n，y1) ，B(n — 2，y2)两点都在第一象限， y1 < y2 ，原说法错误，不符合题意；
D、若1< n < 2 ，A(n，y1)在第一象限，B(n — 2，y2)在第三象限，y1 > y2 ，原说法正确， 符合题意；
故选：D．
根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
10 ．D
【详解】解：如图，连接 AO，交 BD 于 O，
Q 四边形 ABCD 是菱形，匕ABC = 80，
:BO = DO ，AC 丄 BD ，上BCD = 100 ，上BDC = 40 ，
”匕DCF = 50， : 匕GCH = 30， Q GH 丄 CE ，
: CG = 2GH = 2，
QDG 丄 CF ，上DCF = 50 ， : 匕CDG = 40 = 匕BDC，
:OD 平分上BDG ，
又Q AC 丄 BD ，DG 丄 CG ， : OC = CG = 2，
: BD = 2OD = 2， 故选：D．
由菱形的性质可得BO = DO ，AC 丄 BD ，上BCD = 100 ，上BDC = 40 ，由直角三角形的性 质可得CG = 2GH = 2，由角平分线的性质可得OC = CG = 2，由勾股定理可求 OD 的长，即 可求解．
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，灵活运用 这些性质解决问题是解题的关键．
11 ．1
解：当a = -1 时 故答案为：1．
利用代入法，代入所求的式子即可．
本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．
12 ．90
【详解】解：把 6 名同学的一次“人工智能编程”培训成绩从小到大排列为，86 ，88 ，89， 91 ，92 ，95，
位于正中间的两个数均为 89 ，91，
:这组数据的中位数为 故答案为：90．
根据中位数的定义求解即可．
题主要查了中位数，解题的关键是中位数的定义．
13 ．4
【详解】解：Q 关于 x 的一元二次方程x2 - 2mx + 3m = 0 的一个根为 2， : 4 — 4m + 3m = 0，
解得m = 4．
故答案为：4．
将x =2 代入方程求出 m 值即可．
本题考查了一元二次方程的解，代入求值是关键．
14 ．
【详解】解：在平行四边形 ABCD 中，AF 丄 BC 于点 F，AE 丄 CD 于点E． 由题意得，AB = 4 ，BC = 5 ，AE = 3 ，
则S平行四边形 = BC × AF = CD × AE，即4 × 3 = 5 × AF， 解得：
即两短边的距离为
故答案为： ．
根据平行四边形的面积等于底× 高，可得出两短边的距离．
本题考查了平行四边形的性质，属于基础题，掌握平行四边形的面积公式是关键．
15 ．2
【详解】解：Q将 △ABE 沿 AE 翻折，点 B 恰好落在对角线 AC 上的点 O 处， : AB = AO = 6 ，BE = EO ，匕B = 匕AOE = 90。，
: OC = OA = 6 ，
: BC = = = 6， 在Rt△EOC 中，
CE2 = OC2 + EO2，
: (6 — BE)2 = 62 + BE2， :BE = 2 ，
故答案为：2 ．
由折叠的性质可得AB = AO = 6 ，BE = EO ，匕B = 匕AOE = 90。，则 AC = 12 ，由勾股定理 可求 BE 的长．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
【详解】解：Q 四边形 OABC 是矩形，AB = a ，OA = b ， : A(b ，0) ，B(b ，a) ，C (0，a ) ，
Q AB / /y 轴，BC / /x 轴，
: 点 E，G 的横坐标为 b，点 D ，F 的纵坐标为 a， Q 点 F，G 在反比例函数y2 = 的图象上，
: F( ，a) ，G(b ，1)，
Q 点 D ，E 在反比例函数y1 = 的图象上， : D( + 1 ，a) ，E(b ， + 1)，
: DF = + 1 — = 1 ，FC = ，
如下图：过点 G 作GH丄 y 轴于点 H，
则FC//GH，点 H 坐标为(0，1)，
:△PCF 一△PHG ，CH = a — 1 ，GH = b ，
即， 解得；PC = 1，
:△PFD 的面积为
故答案为： ．
根据AB = a ，OA = b 可得点A，B 的坐标，再由BC / /x 轴，AB / /y 轴，结合反比例函数 和 的表达式可求出点 D，E，F，G 的坐标( 用含 a，b 的代数式表示) ，进而可得线段 FC，FD 的长，过点 G 作GH 丄 y 轴于点 H，可得 GH = b ，由点 C，G 坐标可得点 H 坐标， 进而可求出线段 CH 的长，设 PC 长为 m ，由 △PCF 一△PHG 可求出线段 PC 的长，进而可得
△PFD 的面积．
本题考查了平行于坐标轴的直线上点的坐标的特征，反比例函数的性质，以及反比例函数与 三角形相似的综合应用，在求线段 PC 的长时也可以通过求直线 FG 的表达式，进而求出直 线 FG 与y 轴的交点 P 的坐标来求解，这种方法思路简单计算稍复杂，而解析中利用相似求 解的思路稍复杂，但是计算简单，两种方法各有优点，学生可根据自己的情况选择合适的方 法．
17 ． (2) 7
【解析】(1) ×
= 2 ；
(2) — + v25 × v8
= —3 + 5 × 2 = —3 + 10
= 7．
(1) 先算乘法，然后化简二次根式即可；
(2) 先化简，计算乘法，再算加法即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18 ．(1) x1 = 0 ，
【解析】(1)3x 2 = x，
3x2 - x = 0 ， x (3x -1) = 0 ，
则x = 0 ，3x -1 = 0 ，
解得：x1 = 0 ， (2)2x 2 ― 3x ― 5 = 0， (2x ― 5)(x + 1) = 0．
:2x - 5 = 0 或x + 1 = 0．
(1) 运用因式分解法计算可以得解．
(2) 运用因式分解法计算可以得解．
本题主要考查了一元二次方程的解法，关键是掌握因式分解法解方程．
19 ．(1)见解析
(2)EF 的长是4 ― 2
【解析】(1) 证明：Q AE 丄 BD 于点 E，CF 丄 BD 于点 F， :上AEB = 上CFD = 90 ，
Q 四边形 ABCD 为平行四边形，
: AB / /CD ，AB = CD ，
:上ABE = 上CDF ，
在VABE 和VCDF 中，
匕ABE = 匕CDF
匕AEB = 匕CFD，
AB = CD
:△ABE ≥△CDF (AAS )，
: AE = CF．
(2) 解：Q 上AEB = 90 ，上ABD = 30 ，AB = 4 ，
: BE = = = 2， “ 匕BFC = 90。，BC = 6 ，AE = CF = 2 ，
: EF = BF — BE = 4 — 2，
:EF 的长是4 — 2．
(1) 由AE 丄 BD 于点 E，CF 丄 BD 于点 F，得 上AEB = 上CFD = 90，由平行四边形的性质得
AB / /CD ，AB = CD ，所以 上ABE = 上CDF ，可根据“AAS”证明 △ABE ≥△CDF ，则 AE = CF ；
(2) 由上AEB = 90 ，上ABD = 30 ，AB = 4 ，得 所以 由上BFC = 90 ，BC = 6 ，AE = CF = 2 ，得
BF = = 4，求得EF = BF — BE = 4 — 2．
此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明
△ABE ≥△CDF 是解题的关键． 20 ．(1)4
(2) 0.6 ，0.6
(3)估计在 6 点至 10 点时间段内进行充电的新能源汽车有 8000 辆 【解析】(1)a = 50 — 4 — 20 — 10 — 12 = 4(辆) ，
故答案为：4；
(2) 根据表格数据可知，50 辆新能源汽车用电价格的众数为0.6 元/度，中位数为 = 0.6( 元/度) ，
故答案为：0.6 ，0.6 ；
(3)100000 × = 8000(辆) ，
答：估计在 6 点至 10 点时间段内进行充电的新能源汽车有 8000 辆．
(1) 用50 — 4 — 20 — 10 — 12计算即可；
(2) 用众数，中位数的定义计算即可；
(3) 用 100000 乘以样本中 6 点至 10 点时间段内进行充电的新能源汽车所占百分比即可．
本题考查众数，用样本估计总体，中位数，关键是掌握众数，中位数的定义．
21 ．(1) A(3, 4)
(2) k = 6
将y = 4 代入可得x = 3 ， : A(3，4)，
(2) 设 △ABO 平移距离为 m，则BI(m，4) ，OI(m ，0) ，AI(3 + m，4)， “AIOI的中点为 C，
Q反比例函数图象过点B' 和点 C，
: 4m = 3 + 2m， 解得 ，
:k = 6．
(1) 将y = 4 代入解析式求出点A 的横坐标即可；
(2) 设 △ABO 平移距离为 m ，根据平移性质得到BI(m，4) ，OI(m ，0) ，AI(3 + m，4)，利用 中点坐标公式得到c( ，2)，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于 m 的方程求 出 m 值即可得到点B' 坐标，继而求出k 值即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
22 ．任务 1 ：(x +10) ，x(x + 10) = 1200 ；任务 2：该设计达标，理由见解析；任务 3：
a = 14
【详解】(x +10) x(x + 10) = 1200
【解析】解：任务 1：由题意，Q矩形大棚的宽为 x 米，则长为(x +10) 米， : x(x + 10) = 1200．
故答案为：x(x + 10) = 1200．
任务 2：该设计达标．理由如下：
由题意，结合任务 1 ，x(x + 10) = 1200， : x 2 + 10x — 1200 = 0．
: x = —40(不合题意，舍去) 或x = 30．
: AD = 40m ，AB = 30m．
:对角线BD = 50m．
: AP = BP = CP = DP = 25m．
Q 当系统 P 到矩形内任意一点( 包括边上) 的距离不超过 28 米时视为达标， :该设计达标．
任务 3：由题意，设素材 3 中灌注设备四周预留的宽度为 a 米， : (30 — 2a)(40 — 2a) = 24．
:a = 14 或a = 21(此时30 — 2a < 0，不合题意，舍去)．
任务 1：依据题意，由矩形大棚的宽为 x 米，则长为(x +10) 米，则x(x+ 10) = 1200，进而 可以判断得解；
任务 2：依据题意，结合任务 1 ，x(x + 10) = 1200，进而计算可得AD = 40m ， AB = 30m ， 则对角线BD = 50m ，故AP = BP = CP = DP = 25m，再根据当系统 P 到矩形内任意一点( 包括边上) 的距离不超过 28 米时视为达标，进而可以判断得解；任务 3：依据题意，设素材
3 中灌注设备四周预留的宽度为 a 米，则(30 — 2a)(40 — 2a) = 24，进而计算可以得解． 本题主要考查了一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程是关键．
23 ．(1) OF = 2 ；EF = 2
(2) △AEF 的形状是等腰直角三角形，见解析
(3)线段 BE 的长为6 + 6 或6 - 6 【解析】(1) Q 四边形 ABCD 为正方形，
: AB = AD ，上 丄 BD ， : BD = v2AB = v2 × 6V2 = 12，
: OD = OB = 6，
Q 点 M 为线段 ED 的中点， : EM = MD = 4，
: OM = OD — MD = 2，
: OM = MF = 2 ，OE = 2 ， “ MF 丄 OM，
(2)△AEF 的形状是等腰直角三角形，说明理由：
连接 FD，如图，
“△OMF为等腰直角三角形，
: 匕MOF = 45。， Q AC 丄 BD ，
:上AOD = 90 ，
: 匕AOF = 匕MOF = 45。． 在 △AOF 和 △DOF 中，
OF = OF
匕AOF = 匕DOF，
OA = OD
:△AOF ≥△DOF (SAS ) ，
:FA = FD ，
:上FAD = 上FDA ，
Q 点 M 为线段 ED 的中点，MF 丄 OM，
:MF 为线段 DE 的垂直平分线，
:FE = FD ，
:FE = FA ，匕FED = 匕FDE．
“ 匕FDA + 匕FDE = 匕ADB = 45。，
: 匕AFD = 180。— 匕FAD — 匕FDA = 135。，匕DFE = 180。— 匕FED — 匕FDE = 135。， : 匕AFE = 360。— 匕DFA — 匕DFE = 90。，
:△AEF 的形状是等腰直角三角形；
(3) ①在点 E 的运动过程中，当AE = 2OF 时，如图，
设OM = MF = a，则OF = a ， “ OD = OB = 6，M 为线段 ED 的中点，
: DM = EM = 6 — a，
: OE = EM — OM = 6 — 2a， : AC 丄 BD ，
: OA2 + OE2 = AE2，
: 62 + (6 — 2a)2 = (2a)2，
: a = —3 ± 33(负数不合题意，舍去) ， : OE = 12 — 6，
: BE = OB — OE = 6 — 6．
②在点 E 的运动过程中，当AE = 2OF 时，如图，
设OM = MF = a，则OF = a ，AE = 2OF = 2a．
“ OD = OB = 6，M 为线段 ED 的中点，
: DM = EM = 6 + a，
: OE = EM + OM = 6 + 2a， Q AC 丄 BD ，
: OA2 + OE2 = AE2，
: 62 + (6 + 2a)2 = (2a)2，
: a = 3 ± 33(负数不合题意，舍去) ， : OE = 12 + 6，
: BE = OE — OB = 6 + 6．
综上，线段 BE 的长为6 + 6 或6 — 6．
(1) 利用正方形的性质得到AB = AD ，上BAD = 90 ，OB = OD = BD ，AC 丄 BD ，利用等 腰直角三角形的性质得到OD = OB = 6，利用线段的中点的意义，等腰直角三角形的性质和 勾股定理解答即可得出结论；
(2) 连接 FD，利用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质得到 FA = FD ，利用 线段的垂直平分线的性质得到FE = FD ，则FE = FA ；利用正方形的性质和三角形的内角和 定理求得匕AFE = 360。— 匕DFA — 匕DFE = 90。，则结论可得；
(3) 利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点 E 在线段 OB 上时，设
OM = MF = a ，则OF = a，AE = 2OF = 22a ，利用勾股定理列出方程解答即可；②当 点 E 在线段 OB 的延长线上时，设OM = MF = a，则OF = a ，AE = 2OF = 2√2a，利用 勾股定理列出方程解答即可．
本题主要考查了正方形的性质，线段的垂直平分线的性质，旋转的性质，全等三角形的判定 与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论的思想方 法，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．