2024-2025学年山西省大同市七年级下学期7月期末联考数学检测试卷

这是一份2024-2025学年山西省大同市七年级下学期7月期末联考数学检测试卷，共33页。试卷主要包含了5=3等内容，欢迎下载使用。
2024－2025 学年第二学期期末教学质量检测
七年级数学
注意事项：
1.本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，全卷共 6 页，满分 100 分，考试时间90 分 钟．
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时， 将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第 I 卷 选择题（共 30 分）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每个小题给出的 四个选项中只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
所在的象限是 ( )
A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第 /2 象限 D ．第 2025 象限
2 ．以下问题不适合全面调查的是( )
A ．调查我国某架六代战机歼 36 的电路安全
B ．调查某中学某班学生的心理健康状况
C ．调查全国中小学生课外阅读情况
D ．调查某海参足球队队员的控球能力
3 ．下列方程组中是二元一次方程组的是( )
A ． B ．
C ． D ．
ì 2x -1 ≥ 1
l4x - 3 < 5
4 ．不等式组 í 的解集是( )
A ．1 ≤ x < 2 B ．x < 2 C ．x ≥ 1 D ．无解
5 ．若a2 = ，ab < 0 ，则 a + b = ( )
A ．-8 B ． ±2 C ． ±8 D ． ±8 或 ±2
6．如图，在 △ABC 中，AB = AC ，上2 = 40° , 直线a Ⅱb ，顶点 C 在直线 b 上，直线 a 交AB 于点 D，交 AC 于点 E，若 上1 = 145° ,则 Ð A 的度数是( )
A ．40° B ．35° C ．30° D ．25°
7 ．我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之， 余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子 剩余 4.5 尺，将绳子对折再量木头，木头剩余 1 尺，问木头长多少尺？若设木头长 x 尺，绳 子长y 尺，可列出方程组为( )
A ． B ．
C ． D ．
8 ．若点P(a +1，- 2 + 2a )在第二象限，则 a 的取值范围在数轴上表示为( )
A ． B．
C ． D．
9 ．如图所示，数轴上表示 3 、、的对应点分别为 C、B，点 C 是AB 的中点，则点 A 表示 的数是( )
B ．6 - ·、 C ． －3 D ． ·、 ＋3
ì 2x > 4
lx -1< a
10 ．已知关于 x 的不等式组 í 只有 2 个整数解，则 a 的取值范围是( )
A ．4 < a < 5 B ．3 < a < 4
C ．3 ≤ a < 4 D ．3 < a ≤ 4
第 II 卷 非选择题（共 70 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）
11．要表示一个家庭一年用于“教育” ， “服装”，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年 总支出的百分比，从“扇形统计图” ，“条形统计图” ，“折线统计图”中选择一种统计图，最适 合的统计图是 .
12．如图是利用网格画出的太原市地铁 1，2，3 号线路部分规划示意图．若建立适当的平面 直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0 ， -1），表示桃园路的点的坐标为（ -1 ，0），则 表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是 ．
13 ．大同东方航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过
115cm ．某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的长为40cm ，宽与高的比为 4：11 ， 则符合此规定的行李箱宽的最大值为 cm ．
14 ．若关于 x，y 的方程组 的解为 则方程组
的解为 ．
15 ．用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入铁钉所受的阻力也越来越
大．当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的 ，已知这个铁 钉被敲击 3 次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是
2cm ，若铁钉总长度为acm ，则a 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共 7 个小题，共 55 分．解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤）
16 ．计算
17 ．下面是小王同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：3(3x - 1) > 2(x - 2) - 3．．．．．第一步
9x - 3 > 4x - 4 - 3 ．．．．．第二步 9x - 4x > -4 - 3 - 3．．．．．第三步 5x > -10 ．．．．．第四步
x > -2 ．．．．．第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据____________（运算律）进行变形的； @第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______________________；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
18．安全重于泰山！为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火 器共 50 个．其中水基灭火器的单价为 120 元/个，干粉灭火器的单价为 90 元/个．若学校购 买这两种灭火器的总价不超过 4800 元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
19 ．自改革开放以来，我国在各个方面取得了飞速发展．特别是随着互联网、移动终端的迅 速发展，数字化阅读越来越普及，在我国公交、地铁上的“低头族”越来越多．某研究机构针 对“您如何看待数字化阅读”问题进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），并将调查结
果绘制成图 1 和图 2 所示的统计图（均不完整）．请根据统计图中提供的信息，解答下列 问题：
(1)本次接受调查的总人数是 人．
(2)请将条形统计图补充完整．
(3)在扇形统计图中，观点E 的百分比是 ，表示观点 B 的扇形的圆心角 度．
(4)假如你是该研究机构的成员，请根据以上调查结果，就人们如何对待数字化阅读提出建 议．
20．交通便利是发展的重要条件．风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通 要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过 30 吨的车辆禁止通行．现有一辆自重 16 吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由 2 个 A 部件和 3 个 B 部件组成，这种设备 必须成套运输．已知 1 个 A 部件和 2 个 B 部件的总质量为 2 吨，2 个 A 部件和 1 个 B 部件 的质量相等．
(1)求 1 个 A 部件和 1 个 B 部件的质量各是多少；
(2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
21 ．阅读理解
解不等式(x -1)(x + 2) > 0
ì x -1 > 0 ì x -1< 0
lx + 2 > 0 lx + 2 < 0
解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为 í 或 í
ì x -1 > 0
lx + 2 > 0
解不等式组 í 得x > 1
ì x -1< 0
lx + 2 < 0
解不等式组 í 得x < -2
:原不等式的解集为x > 1 或x < -2 ． 问题解决：
(1)上述解题过程中，用到的数学思想是（ ）（选两项）
A ．转化思想 B ．统计思想 C ．分类讨论思想 D ．类比思想
(2)根据以上材料，不等式(x -1)(x + 2) < 0 的解集为________________________．
(3)已知关于x ，y 的二元一次方程组的解满足xy > 0 ，则 m 的取值范围是
.
________________
22 ．综合与探究
【问题探究】
如图①,已知 AB ⅡCD ，我们发现 上E = 上B + 上D ．我们怎么证明这个结论呢？
同学甲：如图②,过点 E 作EF Ⅱ AB ，把 上BED 分成上BEF 与上DEF 的和，然后分别证明
上BEF = 上B ，上DEF = 上D ；
同学乙：如图③,过点 B 作BF P DE ，则 上E = 上EBF ，再证明 上ABF = 上D ． 【问题解答】
（1）按同学甲的思路，补充证明过程及依据； 证明：过点E 作EF Ⅱ AB ，: 上B = 上BEF
∵ CD Ⅱ AB
: EF P CD （____________________）
: ……
（2）按同学乙的思路，写出证明过程；
【问题迁移】
（3）如图④,已知 AB∥CD ，EF 平分 Ð AEC ，FD 平分上EDC ，CG 平分上ECH ．请猜 想上EGC ， Ð EFD ，上CED 之间数量关系，并证明．
1 ．B
【分析】本题考查根据点的坐标判断点所在象限，熟练掌握平面直角坐标系各象限内点的坐 标符号特征是解题的关键．
根据平面直角坐标系各象限内点的坐标符号特征判断．
【详解】解：∵点的坐标为 其中
:点在第二象限内， 故选：B．
2 ．C
【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用情况．全面调查适用于范围小、精确度要求高 的对象；抽样调查适用于范围大、难以全面调查的情况．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多， 而抽样调查得到的调查 结果比较近似判断即可．
【详解】解： A 调查某架战机的电路安全，涉及国家安全且对象唯一，必须全面检查，适合 全面调查，故此选项不符合题意．
B、某班学生人数有限，可逐一调查心理健康状况，适合全面调查，故此选项不符合题意．
C、全国中小学生数量庞大，全面调查成本过高，需采用抽样调查，因此不适合全面调查， 故此选项符合题意．
D、某足球队队员数量有限，可逐一测试控球能力，适合全面调查，故此选项不符合题意． 故选：C．
3 ．D
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握“方程组中共含有两个未知数，含未 知数的项的最高次数是 1，两个方程都是整式方程，具备这几个条件的方程组是二元一次方 程组”是解题的关键．根据二元一次方程组的定义，需满足：①两个未知数；②每个方程均 为一次整式方程．
【详解】解：A、含三个未知数x, y, z ，不符合“二元”条件，不是二元一次方程组，故此选 项不符合题意．
B、第一个方程为分式方程，非整式方程，不是二元一次方程组，故此选项不符合 题意．
C 一个方程为二次方程x2 - x - 2 = 0 ，非一次方程，不是二元一次方程组，故此选项不符合
题意．
D、两个方程均为一次整式方程，且仅含x, y 两个未知数．第二个方程y = 2 可视为 0x + y = 2 ，符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，故此选项符合题意． 故选：D．
4 ．A
【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握确定不等式组解集的方法是解题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小 小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解： 解不等式 2x -1≥1：得 x ≥ 1． 解不等式 4x - 3 < 5 ：得 x < 2 ．
: 1 ≤ x < 2 ．
故选：A．
5 ．B
【分析】本题考查算术平方根， 代数式求值，根据已知条件分别求出 a 和 b 的可能值，结合 ab < 0 求出a 和 b 的值，代入a + b 计算即可．
【详解】解：: a2 = 25 ， : a = 5 或a = -5 ．
得 b = 3 ， : b = 3 或b = -3 ．
: ab < 0
:当a = 5 时， b = -3 ， : a + b = 5 + (-3) = 2 ．
当a = -5 时，b = 3 ， : a + b = -5 + 3 = -2 ．
综上，a + b 值为2 或-2 ，即 ±2 ， 故选：B．
6 ．C
【分析】本题考查等腰三角形的性质， 平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三 角形的性质、平行线的性质是解题的关键．
过点 B 作BE Ⅱ a ，根据平行线的性质求得 上ABE = 35° , 上CBE = 40° ,从而求得
上ABC = 75° , 再根据等腰三角形的性质求得上ACB = 上ABC = 75° , 然后利用三角形内角和 定理求解即可．
【详解】解：过点 B 作BE Ⅱ a ，如图，
∵ 上3 = 180° - 上1 = 180° -145° = 35° : 上ABE = 上3 = 35°
∵ aⅡb
: BE Ⅱb
: 上CBE = 上2 = 40°
: 上ABC = 上ABE + 上CBE = 35° + 40° = 75° ∵ AB = AC
: 上ACB = 上ABC = 75°
: 上A = 180° - 上ABC - 上ACB = 30° 故选：C．
7 ．A
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系并列方程是解题关键．
根据“用绳子去量长木，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余 1 尺”，即可 列出关于 x，y 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：根据题意，得 故选：A．
8 ．D
【分析】本题考查的是象限内点的坐标特征， 解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的 解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找； 大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
先根据第二象限内点的坐标特征列出不等式组，再分别求出每一个不等式的解集，根据确定
不等式组的解集的原则确定出不等式组的解集，然后用数轴表示出解集即可． 【详解】解：∵点P(a +1，- 2 + 2a )在第二象限，
: í
ìa +1< 0
l-2 + 2a > 0
解a +1 < 0 得：a < -1 ， 解-2 + 2a > 0 得a > 1 ， :不等式组无解，
在数轴上表示为：
故选：D．
9 ．B
【分析】本题考查了实数与数轴， 数轴上两点间的距离，正确理解数轴上两点间的距离是解 题的关键．
设 A 表示的数是 a，根据点 C 是AB 的中点，得 求解即可．
【详解】解：设 A 表示的数是 a， ∵点 C 是AB 的中点，
解得：
故选：B．
10 ．D
【分析】本题考查根据一元一次不等式组解集情况求参，求出不等式组解集是解题的关键． 先求出不等式组的解集为2 < x < a + 1 ，再根据不等式组只有 2 个整数解，则整数解为 3 ， 4， 从而得出关于 a 的不等式组4 < a +1≤ 5 ，解之即可．
ì2x > 4
lx -1< a
【详解】解：解不等式组： í
解不等式2x > 4 得：x > 2 ，
解不等式x -1 < a 得：x < a +1 ， :不等式组的解集为2 < x < a + 1
ì 2x > 4
lx -1< a
∵不等式组 í 只有 2 个整数解，
:整数解为 3 ， 4， : 4 < a +1≤ 5 ，
解得：3 < a ≤ 4 ，
故选：D．
11 ．扇形统计图
【分析】根据条形统计图适用于看出数量的多少，折线统计图适用于看出数量的增减变化， 扇形统计图适用于看出各部分数量占总量的百分比进行解答即可.
【详解】要表示一个家庭一年用于“教育” ，服装，“食品” ，“其他”这四项的支出各占家庭本 年总支出的百分比，最适合的统计图是扇形统计图，
故答案为扇形统计图.
【点睛】本题考查了统计图的选择，熟练掌握各统计图的作用是解题的关键.(1)条形统计图 作用：从条形统计图中很容易看出各种数量的多少.(2)拆线统计图作用：折线统计图不但可 以表示出数量的多少,而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况.(3)扇形统计图作用：通过 扇形统计图可以很清楚地表示各部分数量同总数之间的关系.
12 ．（3 ，0）
【分析】根据题意结合已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出太原火车站的点坐标 【详解】解:如图所示:
根据双塔西街点的坐标为（0 ，-1），可知大南门为坐标原点，从而求出太原火车站的点（正 好在网格点上）的坐标为:（3 ，0）．
故答案为：（3 ，0）．
【点睛】本题考查坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
13 ．20
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设该行李箱的宽为4xcm ，则该行李 箱的高为11xcm ，根据行李箱的长、宽、高之和不超过115cm 建立不等式求解即可．
【详解】解：设该行李箱的宽为 4xcm ，则该行李箱的高为 11xcm ， 由题意得，4x +11x + 40 ≤ 115 ，
解得x ≤ 5 ， : 4x ≤ 20 ，
:符合此规定的行李箱宽的最大值为20cm ， 故答案为：20 ．
14 ．
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设方程组 的 x + 1 = s，x - y = t ，则根据题意可得 进而得到 ，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设方程组 的x + 1 = s，x - y = t ，则原方程组可变为
í
ì 4s + 3at
∵关于 x，
:关于 s，
= 2025
= 2024
ì x
= 2025
= 2024
= 1
= 2
ì 4x + 3ay
的解为 í
,
ly
l-bx + 2y
y 的方程组 í
ìs = 1
= 2025
= 2024
ì 4s + 3at
的解为 í ,
lt = 2
l-bs + 2t
t 的方程组 í
= 0
= -2
ìx
ly
解得 í
,
,
l-bs + 2t
故答案为
15 ．3 < a ≤
【分析】由题意可得出 a 的最大长度为 2+1+0.5=3.5cm，以及敲击 2 次后铁钉进入木块的长 度是 2+1=3cm，得出最小长度，即可得出答案．
【详解】解： ∵每次钉入木块的钉子长度是前一次的 ．已知这个铁钉被敲击 3 次后全部进 入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是 2cm，
根据题意得：敲击 2 次后铁钉进入木块的长度是 2+1=3cm， 而此时还要敲击 1 次故长度要大于 3cm，
第三次敲击进去最大长度是前一次的二分之一，也就是第二次的一半=0.5cm 所以 a 的最大长度为 2+1+0.5= cm，
故 a 的取值范围是：3＜a≤ .
故答案为：3＜a≤ .
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确的分析得出 a 的最大长度 2+1+0.5=3.5cm，与最小长度是解决问题的关键．
16 ．(1)4
ìx
ly
(2) í
= -2
= 1
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解二元一次方程组：
（1）利用乘法分配律进行计算即可；
（2）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：原式 = 3 +1 = 4 ；
（2）解： ① + ② ,得： 4x = -8 ，解得：x = -2 ； 把x = -2 代入 ② ,得： -2 + 2y = 0 ，解得：y = 1； .
17 ．任务一：①乘法分配律；②二；不等号右边去括号时 x 前面的系数多乘了 2 ；任务二：
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 任务一：①根据题意可得，第二步依据是乘法分配律；②第二步中，不等号右边去括号时 x 前面的系数多乘了 2；
任务二：按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 的步骤解不等式即可得到答 案．
【详解】解：任务一：①由题意得，第二步是依据乘法分配律进行变形的；
②第二步开始出现错误，错误原因是不等号右边去括号时 x 前面的系数多乘了2； 任务二
3(3x - 1) > 2(x - 2) - 3
9x - 3 > 2x - 4 - 3 9x - 2x > -4 - 3 + 3 7x > -4
18 ．10 个
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设购买这种型号的水基灭火器 x 个， 则购买干粉灭火器(50 - x)个，根据购买这两种灭火器的总价不超过 4800 元建立不等式求解 即可．
【详解】解：设购买这种型号的水基灭火器 x 个，则购买干粉灭火器(50 - x)个，
由题意得，120x + 90 (50 - x ) ≤ 4800 ， 解得x ≤10，
:x 的最大值为 10，
答：最多可购买这种型号的水基灭火器 10 个．
19 ．(1)5000
(2)图见解析
(3) 4% ，18
(4)应该充分利用数字化阅读获取信息方便的优势，但不要成为“低头族”而影响人际交往（答 案不唯一）
【分析】（1）用观点 A 的人数除以其所占的百分比，即可求解；
（2）求出观点 C 的人数，补全条形统计图，即可求解；
（3）用观点E 的人数除以总人数可得观点E 的百分比；用360° 乘以观点B 所占的百分比， 即可求解；
（4）如应该充分利用数字化阅读获取信息方便的优势，但不要成为“低头族”而影响人际交 往．
【详解】（1）解：本次接受调查的总人数是 2300 ÷ 46% = 5000 人， 故答案为：5000
（2）解：观点 C 的人数为5000 - 2300 - 250 - 750 - 200 = 1500 人，
补充条形统计图，如下图：
（3）解：观点 E 的百分比是 ，
表示观点B 的扇形的圆心角为 故答案为：4% ，18
（4）解：应该充分利用数字化阅读获取信息方便的优势，但不要成为“低头族”而影响人际
交往（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
20 ．(1)1 个 A 部件的质量为0.4 吨，一个 B 部件的质量为0.8吨
(2)卡车一次最多可运输 4 套这种设备通过此大桥．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理 解题意列出方程组和不等式是解题的关键．
（1）设 1 个 A 部件的质量为 x 吨，一个 B 部件的质量为y 吨，根据 1 个 A 部件和 2 个 B 部 件的总质量为 2 吨，2 个 A 部件和 1 个 B 部件的质量相等建立方程组求解即可；
（2）设卡车一次可运输 m 套这种设备通过此大桥，根据车的自身重量加上设备的重量不超 过 30 吨建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：设 1 个 A 部件的质量为 x 吨，一个 B 部件的质量为y 吨， 由题意得
解得
答：1 个 A 部件的质量为0.4 吨，一个 B 部件的质量为0.8吨；
（2）解：设卡车一次可运输 m 套这种设备通过此大桥， 由题意得，(2 × 0.4 + 3 × 0.8)m + 16 ≤ 30 ，
解得m ≤ 4.375 ，
∵m 为正整数，
:m 的最大值为 4，
答：卡车一次最多可运输 4 套这种设备通过此大桥．
21 ．(1)AC
(2)-2 0
（2）方程题意可得不等式组 í 或 í ,分别解两个不等式组即可得到答案；
（3）先利用加减消元法解方程组得到，根据xy > 0 得到(m + 1)(2 - 2m) > 0 ，则
ìm +1 > 0 ìm +1< 0
.
l2 - 2m > 0 l2 - 2m < 0
í 或 í ,分别解不等式组即可得到答案
【详解】（1）解：由题意得，上述解题过程中，用到的数学思想是分类讨论思想和转化思想， 故选：AC；
（2）解：(x -1)(x + 2) < 0
ìx -1 > 0 ìx -1< 0
根据两数相乘，异号为负，原不等式可以转化为 í 或 í
lx + 2 < 0 lx + 2 > 0 ，
ìx -1 > 0
lx + 2 < 0
解不等式组 í ,可知该不等式组无解，
ìx -1< 0
lx + 2 > 0
解不等式组 í 得-2 0 l2 - 2m < 0
根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为 í 或 í ,
ìm +1 > 0
l2 - 2m > 0
解不等式组 í 得-1 < m < 1，
ìm +1< 0
l2 - 2m < 0
解不等式组 í 可知该不等式组无解，
综上所述，原不等式的解集为-1 < m < 1．
22 ．（1）见解析（2）见解析（3）上CED = 2上EGC - 2上EFD ，证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点，构造平行线：
（1）根据平行公理的推论，平行线的性质进行作答即可；
（2）设 FB 交CD 的延长线于点G ，根据平行线的性质，得到 上D = 上BGD = 上ABF ，即可 得证；
（3）利用（1）中结论，以及角的和差关系即可得出结论． 【详解】解：（1）证明：过点 E 作EF Ⅱ AB ，
: 上B = 上BEF : CD Ⅱ AB
: EF P CD （平行于同一条直线的两直线平行）， : 上DEF = 上CDE ，
: 上BED = 上BEF + 上DEF = 上ABE + 上CDE ；
（2）过点 B 作BF P DE ，FB 交CD 的延长线于点G ，则 上E = 上EBF ，上CDE = 上CGB ， : AB∥CD ，
: 上ABF = 上CGB ， : 上CDE = 上ABF ，
: 上E = 上EBF = 上ABE + 上ABF = 上ABE + 上CDE ；
（3）上CED = 2上EGC - 2上EFD ，证明如下：
由（1）可知：上EFD = 上AEF + 上CDF ，上EGC = 上AEF + 上CHG ， : AB∥CD ，
: 上DEB = 上CDE ，上ECH = 180° - 上AEC ，
: 上CED = 180° - 上AEC - 上BED ，
: EF 平分 Ð AEC ，FD 平分上EDC ，CG 平分上ECH ，
: 上BED = 上CDE = 2上CDF ，上AEC = 2上AEG ，上上HCE ， 设上AEG = a, 上CDF = β ,
: 上BED = 上CDE = 2 β , 上AEC = 2a ，
上CED = 180° - 2a - 2β ,
: 上CED = 2上EGC - 2上EFD ．