2024-2025学年山东省烟台市福山区[五四制]八年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年山东省烟台市福山区[五四制]八年级下学期期末考试数学检测试卷，共45页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
2024-2025 学年第二学期期末学业水平考试
初三数学试题
温馨提示：
1 ．考试时间 120 分钟，满分 120 分．
2 ．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验．
一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分）每小题都给出标号 为 A ，B ，C ，D 四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．
1 ．已知xy < 0 ， 则化简二次根式 的正确结果是 ( )
A ． · B ． C ． D ．
2 ．下列计算正确的是( )
A ． B ．
C ．( -1)2 = 4 - 2 D ．
3 ．实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则 的值为( )
A ．-a - b B ．-a + b C ．a - b D ．a + b
4 ．如图，把一块含45° 角的三角板放入2× 4 的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角 顶点与数轴上表示-1的点重合，则数轴上点 A 所表示的数为( )
A ． B ．1.8 C ． D ．
5 ．已知关于 x 的一元二次方程x2 - mx + n = 0，其中 m ，n 在数轴上的对应点如图所示，则 这个方程的根的情况是( )
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根 D ．无法确定
6 ．用12 米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提 出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是( )
A ．方案1 B ．方案2 C ．方案3 D ．都一样
7 ．如图，小区物业规划在一个长60m ，宽22m 的矩形场地ABCD 上，修建一个小型停车场， 阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽xm 的道路，中间是宽2xm的道路．如果阴影部分的 总面积是600m2 ，那么x 满足的方程是( )
A ．(60 + 2x)(22 + 2x) = 600 B ．(60 - 2x)(22 - 2x) = 600
C ．(60 - 2x)(22 - x) = 600 D ．60 × 22 - (60 - 2x)(22 - 2x) = 600
8 ．如图，在矩形ABCD 中，在BC 上取一点 E，沿 AE 将 △ABE 向上折叠，使 B 点落在AD 上的点 F 处，DF = 1，若四边形FECD(EF > DF ) 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为( )
A ． B ． C ． D ．
9 ．如图，在同一平面直角坐标系中，函数 与函数y = kx -1 的图象大致是( )
B．
A．
C．
D．
10 ．如图，正方形 ABCD 的顶点B 在x 轴上，点A ，点 C 在反比例函数图象上，
若直线BC 的函数表达式为 ，则反比例函数表达式为( )
A ． B ． C ． D ．
二、填空题（共 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分）
11 ．如果 那么 a 的取值范围是 ．
12．二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分 割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图，一把 二胡的弦长为80cm ，求“千斤”下面一截琴弦长为 cm （保留根号）．
13 ．如图，矩形 ABCD 中，BC=2，将矩形 ABCD 绕点 D 顺时针旋转 90°, 点 A，B ，C 分别 落在点 A'，B'，C'处，且点A'，C'，B 在同一条直线上，则AB 的长为 ．
14 ．如图，一次函数 与反比例函数 相交于点A ，点B ，AC 丄 x 轴于点C ， BD 丄 y 轴于点D ，P 是线段AB 上的一点，连接PC ，PD ，若△BDP ∽△ACP ，则点P 的 坐标为 ．
15 ．已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边AB 的中点，DF 与对角线AC 交于点 G，过 G 作GE 丄 AD于点 E，若 AB = 2 ，且 上1= 上2 ，则下列结论：① DF 丄 AB ；② CA = 3GD ；③ CG = DF + GE ；④ S四边形BFGC = 3 - 1 中，说法正确的是 ．
16 ．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的顶点O(0，0) ，B (2，0) ，已知△OAB ¢ 与
△OAB 位似，位似中心是原点O ，且△OAB ¢ 的面积是 △OAB 面积的 4 倍，则点A 对应点A¢ 的坐标为： ．
三、解答题（本大题共 9 个题，满分 72 分，解答题要写出必要的计算步骤或文
字说明或说理过程）
17 ．计算：
（1）
（2）(2 + 3)2 - (2 - 3)2 ． 用适当的方法解方程：
（3）
（4）x (x - 4) = 8 - 2x ．
18 ．如图，已知点 O 是坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为(3, -1) , (2,1)
(1)以 O 点为位似中心在y 轴的左侧将 △OAB 放大到原图的 2 倍，画出对应的 △OA¢B¢ , 并写 出点 A 的对应点A¢ 的坐标；
(2)直接写出 △OA¢B¢ 的面积．
19 ．关于x 的一元二次方程x2 + 2mx + m2 + m = 0有两个不相等的实数根．
(1)求m 的取值范围．
(2)设 x1 、x2 是方程的两根，且x + x = 12 ，求 m 的值．
20 ．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点 O ，DE Ⅱ AC,CE Ⅱ BD ．
(1)求证：四边形OCED 是菱形；
(2)若BC = 3, DC = 2 ，求四边形OCED 的面积．
21 ．已知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AB、AD 上，BE=DF，CE 的延长线
交 DA 的延长线于点 G ，CF 的延长线交 BA 的延长线于点 H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果 BE2=AB•AE，求证：AG=DF．
22．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计 了某品牌头盔 1 月份到 3 月份的销量，该品牌头盔 1 月份销售 150 个，3 月份销售 216 个， 且从 1 月份到 3 月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为 30 元/个，测算在市场中，当售价为 40 元/个时，月销售量为 600 个， 若在此基础上售价每上涨 1 元/个，则月销售量将减少 5 个，为使月销售利润达到 8625 元， 而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少？
23 ．图①、图②、图③分别是 6×6 的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为 1，小 正方形的顶点称为格点，点 A 、B 、C、D 、E、P、Q 、M、N 均在格点上，仅用无刻度的直 尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，画线段 AB 的中点 F．
(2)在图②中，画 △CDE 的中位线 GH，点 G、H 分别在线段 CD、CE 上，并直接写出△CGH 与四边形 DEHG 的面积比．
(3)在图③中，画 △PQR ，点 R 在格点上，且 △PQR 被线段 MN 分成的两部分图形的面积比 为 1 ：3．
24 ．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数的图象经过点 A（4 ，3 ），
点 B 在y 轴的负半轴上，AB 交x 轴于点 C，C 为线段 AB 的中点．
（1）求 m 的值和点 C 的坐标；
（2）若点 D 为线段 AB 上的一个动点，过点 D 作 DE∥ y 轴，交反比例函数图象于点 E，交x 轴于点 F．求当△ODE 面积为 6 时，点 E 的坐标．
25．如图，在Rt△ABC 中，上ACB = 90° , AC = 8 ，BC = 6 ，CD 丄 AB 于点 D．点 P 从点 D 出发，沿线段DC 向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发，沿线段CA 向点 A 运动．两点同时出
发．速度都为每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到 C 时，两点都停止．设运动时间为 t 秒．
(1)求线段CD 的长；
(2)设 △CPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时 刻 t，使得S△CPQ : S△ABC = 9 :100 ？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由．
1 ．C
【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件可 得y < 0 ，结合题意可得 x > 0 ，y < 0 ，再利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：: xy < 0 ，
:x 与y 异号，
又 ， : y < 0 ，
: x > 0 ， y < 0 ，
故选：C．
2 ．D
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的除法、二次根式的混合运算等知识点， 掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
根据二次根式的性质、二次根式的除法、二次根式的混合运算法则逐项判断即可．
解 故 A 选项错误，不符合题意；
B ． ÷ = ，故 B 选项错误，不符合题意；
2
．．((-+- 1)=( +- 2252，+ )=C2选-，误故，，；符合题意．
故选：D．
3 ．A
【分析】本题考查了实数与数轴， 二次根式的性质．先判断a - < 0, b + < 0 ，然后根据 二次根式的性质化简即可．
解
= - (a - )- (b + )
= -a - b ．
故选 A．
4 ．C
【分析】本题考查了数轴上的点与实数一一对应和勾股定理，正确理解题意是解题的关键；
本题需要通过勾股定理求得BC = 2 ，进而得到 然后即可求解；
【详解】解：如图： ， 由题意可知，BA = BC ， Ð BDC=90° , BD = CD = 2 ，
∴数轴上点 A 所表示的数为 ， 故选：C；
5 ．A
【分析】计算判别式的值即可判断．
【详解】解： Δ = b2 - 4c = (-m)2 - 4n = m2 - 4n ， 由数轴得m > 0 ，n < 0 ，
∴ m2 > 0 ，-4n > 0 ， ∴ Δ > 0 ，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式： 一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根与 Δ = b2 - 4ac 有 如下关系：当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当 Δ = 0 时，方程有两个相等的两 个实数根；当 Δ < 0 时，方程无实数根．
6 ．C
【分析】本题主要考查了用二次函数求图形面积的最大值， 求弧的半径，熟练掌握以上知识 是解题的关键．
先分别算出各种方案中图形的面积，再比较大小求解．
【详解】解：设围成的图形的面积为 ym2 ，
方案一：设与墙相邻的边长为x 米，则另一边为(12 - 2x)米，
由题意得：y = x (12 - 2x ) = -2(x - 3)2 +18 ， 当x =3 时，y 有最大值为18；
方案二：如图：
设等腰三角形底边长为d ，高为 h ， ∵ △ABC 为等腰三角形，
: AD2 + CD2 = AC2 ，即 整理得
令d2 = T ，则 :当T = 72 时，S2 有最大值，最大值为324 ，
:当d = 6 时， S 有最大值，最大值为18；
方案三：设圆的半径为r 米，则： τr = 12 ，
解得： ，
∵ 23 > 18 ，
故选：C．
7 ．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方 程是解题的关键．
根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为
(60 - 2x)m ，宽为(22 - 2x )m 的矩形，结合阴影部分的总面积是600m2 ，即可列出关于 x 的 一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵矩形场地ABCD 的长为长60m ，宽 22m，且所修建停车位的两侧是宽xm 的 道路，中间是宽2xm的道路，
:停车位（即阴影部分）可合成长为(60 - 2x)m ，宽为 (22 - 2x )m 的矩形．
根据题意，得(60 - 2x)(22 - 2x) = 600 ． 故选：B．
8 ．C
【分析】根据矩形的性质可得：上FAB = 上B = 上C = 上D = 90° , 根据折叠的性质可知AB = AF ， 上AFE = 上B = 90° ,可证四边形 ABEF 是正方形，因为四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，可得
可得方程 解方程即可求出AD 的长．
【详解】解：Q 四边形ABCD 是矩形，
:上FAB = 上B = 上C = 上D = 90° ,
根据折叠的性质可知AB = AF ，上AFE = 上B = 90° , : 四边形ABEF 是正方形，
: AB = BE = EF = AF ，
设AD = x ，则 AB = CD = BE = EF = AF = x -1 ， Q 四边形FECD(EF > DF ) 与矩形ABCD 相似， :四边形EFDC∽矩形ADCB 相似，
解得： 不合题意，舍去），
经检验 是分式方程的解，且符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的翻折、矩形的性质、正方形的判定和性质、相似多边形的性质， 解决本题的关键是根据相似多边形的性质得到对应边成比例，根据对应边成比例求出边长．
9 ．A
【分析】分情况讨论：k＞0 和k＜0 时，根据图像的性质，即可判定.
【详解】当k＞0 时，函数 的图像位于第一、三象限，函数y = kx -1 的图像第一、三、 四象限；
当k＜0 时，函数 的图像位于第二、四象限，函数y = kx -1 的图像第二、三、四象限； 故答案为 A.
【点睛】此题主要考查一次函数和反比例函数的性质，熟练掌握，即可解题.
10 ．D
【分析】解方程求得B(8, 0) ，G(0, -4) ，得到OB = 8 ，OG = 4 ，过A 作AE 丄 x 轴于E ，过C 作CF 丄 x 轴于F ，根据正方形的性质得到AB = BC ，上ABC = 90° , 根据全等三角形的性质 得到AE = BF ，BE = CF ，根据相似三角形的性质得到 设CF = a ，
BF = 2a ，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论． 解：在 中，令y = 0 ，则x = 8 ，
令x = 0 ，则 y = -4 ， :B(8, 0) ，G(0, -4) ， : OB = 8 ，OG = 4 ，
过A 作AE 丄 x 轴于E ，过C 作CF 丄 x 轴于F ，
Q 四边形ABCD 是正方形，
:AB = BC ，上ABC = 90° ,
:上EAB + 上ABE = 上ABE + 上CBF = 90° ,
:上EAB = 上CBF ，
在 △AEB 与 △BFC 中，
:△AEB≌△BFC (AAS)，
: AE = BF ，BE = CF ，
Q 上BOG = 上BFC = 90° , 上OBG = 上CBF ， :△OBG∽△FBC ，
:设CF = a ，BF = 2a ，
: AE = 2a ，BE = a ，
: A(8 - a, 2a) ，C(8 + 2a, a) ，
Q 点A ，点C 在反比例函数y = (k > 0, x > 0) 图象上，
: 2a(8 - a) = a(8 + 2a) ，
:a = 2 ，a = 0 （不合题意舍去）， : A(6, 4) ，
:k = 4 × 6 = 24 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题， 待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的 性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助 线是解题的关键．
11 ．a≤5
【分析】由题意可得 5-a≥0，解不等式即可求出答案.
【详解】由题意得：5-a≥0，
解得：a≤5，
故答案为 a≤5.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的双重非负性是解题的关键.
12 ．(40 - 40)
【分析】本题考查黄金分割， 根据黄金分割的定义即可解决问题．熟知黄金分割的定义是解 题的关键．
【详解】解： 因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面 一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为xcm ， 所以 ，
解得x = 40 - 40 ，
所以“千斤”下面一截琴弦长为(40 5 - 40)cm ． 故答案为
13 ． -1
【分析】由 C′DⅡBC ，可得比例式 设 AB ＝a ，构造方程即可．
【详解】设 AB ＝a，根据旋转的性质可知 C′D ＝a ，A′C ＝2＋a， :C′DⅡBC，
即 = ，
解得 a = −1− /5 （舍去）或−1+ ·/5 ．
所以 AB 长为 -1．
故答案为 -1．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定和性质， 解题的关键是找到图形中 相似基本模型“A”型．
14 ．(3,1)
PB BD
【分析】联立方程求得点A 与点B 的坐标，根据相似三角形的性质即可求得 = = 2 ，
PA AC
,利用两点间距离公式建立方程求解即可．
【详解】解：∵一次函数与反比例函数 相交于点A ，点 B ，
令 整理得 解得：x1 = 1 ，x2 = 4 ，
当x = 1 时，y = 2 ，当 x = 4 时， ， 故
∵ △BDP∽△ACP ，
设 ，
解得：x1 = 3 ，x2 = 7 （不符合题意，舍去）
:点P (3,1) ．
故答案为：(3,1)．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，相似三角形的性质，两点间距离公式等， 熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
15 ．①②③
【分析】①中，根据菱形性质及上1 = 上2 ，可得AG = GD ，再结合GE 丄 AD可得E 是AD 中 点，进而通过证 △AFG 和△AEG 全等，可进一步求证；
②中，结合DF 丄 AB 及F 是AB 中点，可证△ABD 是等边三角形，进而得到相关特殊角的
度数；通过直角三角形中，30° 所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理，可分别求出 CA 和GD 的长度，结论可证；
③中，结合②中已求角度及线段长度，同理根据“30° 所对的直角边等于斜边的一半，以及 勾股定理”可求证；
④中，根据S四BFGC = S△ABC - S△AFG 以及相关线段长度，即可求解四边形BGFC 面积．
【详解】解：对于① , :四边形ABCD 是菱形， : AB = AD, 上FAG = 上EAG = 上1，
: 上1= 上2 ，
: 上EAG = 上2 ， : AG = GD ，
: GE 丄 AD ，
: E 是AD 中点，即 ， : F 是AB 中点，
在 △AFG 和△AEG 中，
: △AFG≌△AEG(SAS) ， : 上AFG = 上AEG = 90° ,
: DF 丄 AB ，
故①说法正确；
对于②,如图，连接 BD ，交 AC 于点O ，
由①中DF 丄 AB ，又 F 是AB 中点， : DF 垂直平分AB ，
: AD = BD = AB，即△ABD 是等边三角形， : 上BAD = 上BCD = 60° ,
: 上BAC = 上DAC = 上1= 上2 = 30° ,
在菱形ABCD 中，AC 丄 BD, BO = DO, AO = CO ，
在Rt△AFG 中，由上BAC = 30° , : AG = 2FG, AG2 = AF2 + FG2 ，
: CA = 3GD ，
故②说法正确；
对于③ , 由②知 在Rt△AFD 中，由上2 = 30°, AD = 2 ，
: CG = DF + GE ， 故③说法正确；
对于④ , : S四BFGC = S△ABC - S△AFG ，
故④说法错误；
综上所述，①②③正确．
故答案为：①②③.
【点睛】本题考查了菱形的性质， 等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂 直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质．解题关键是熟练掌握特殊 三角形及菱形的性质与判定，菱形中多关注等边三角形问题，直角三角形中注意含30° 的边 长问题，非特殊四边形的面积注意转化成特殊图形求解．
16 ．(-2，- 2)或(2，2)
【分析】过 A 作AC 丄 x 轴于C ，根据等边三角形的性质以及点 B 的坐标，可求出点A 的坐 标，再由面积比可以得到位似比，从而根据位似变换的性质，求出A¢ 的坐标．
【详解】解：Q 等边三角形OAB 的顶点O(0，0) ，B (2，0)， : OA = OB = 2 ，
过A 作AC 丄 x 轴于C ，
Q △AOB 是等边三角形，
Q △OAB ¢ 与 △OAB 位似，位似中心是原点O ，且△OAB ¢ 的面积是 △OAB 面积的 4 倍，
: △OAB ¢ 与 △OAB 位似为2 :1，
: 点A 的对应点A¢ 的坐标是(1 × 2， × 2) 或(1 × (-2)， × (-2))，即 (2，2)或(-2，- 2)， 故答案为：(2，2)或(-2，- 2)．
【点睛】本题主要考查的是位似变换的性质， 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点 为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或-k ．
2 ；（2）
17 ．（1）
24 ；(
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， 解一元二次方程的根，掌握二次根式的性质化 简，二次根式的混合运算法则，公式法、因式分解法求一元二次方程的根的方法是关键．
（1）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减混合运算法则计算即可；
（2）运用乘法公式去括号，再根据二次根式的加减混合运算法则计算即可；
,代入计算即可；
x
（3）先判定 Δ > 0 ，再运用求根公式
（4）运用因式分解法求一元二次方程的根即可．
1
2
3 × 6
12 - 6
+
【详解】解：（1） ·、 , - J 、
= 2 3 - 3 2 + 3 2
= 2 ；
( )
2 3 + 3 2 2 - (2- 3)2
（2）
= 12 +12 6 +18 -12 +12 6 -18
= 24 ；
1
a = 1，b = - ，c = - ，
4
:b2 - 4ac = (- )2 - 4× 1 × (çè - = 4 > 0 ，
: 该方程的解为
（4）x (x - 4) = 8 - 2x ， x (x - 4) = 2 (4 - x) ，
x (x - 4) = -2(x - 4) ， x (x - 4) + 2(x - 4) = 0 ， (x + 2)(x - 4) = 0 ，
x + 2 = 0 或 x - 4 = 0 ，
解得x1 = -2，x2 = 4 ．
18 ．(1)见解析，(-6, 2)
(2)10
【分析】（1）直接根据位似图形的定义及性质得出对应点的坐标，进而得出答案；
（2）利用 △OA¢B ¢ 所在矩形面积减去周围三角形面积，进而即可求解．
【详解】（1）如图所示， △OA¢B ¢ 即为所求，点 A 的对应点A¢ 的坐标为(-6, 2) ；
（2） △OA¢B ¢ 的面积为
【点睛】本题考查了位似变换及三角形面积的求法，正确得出对应点位置是解题的关键．
19 ．(1) m < 0
(2) -2
【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况与判别式的关系、及根与系数的关系及解一元 二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．
（1）由一元二次方程的根的情况与判别式的关系可得 Δ > 0 ，由此可解得 m 的值．
（2）根与系数的关系及已知条件可得关于 m 的一元二次方程，解得m 的值并根据（1）中 的所得的m 的取值范围作出取舍即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
Δ = (2m)2 - 4(m2 + m) > 0 ， 解得：m < 0 ．
:m 的取值范围是m < 0 ．
（2）解：根据题意得：x1 + x2 = -2m ，x1x2 = m2 + m ，
Q x + x = 12 ，
: (x1 + x2 )2 - 2x1x2 = 12 ， : (-2m)2 - 2(m2 + m) = 12 ，
:解得：m1 = -2 ，m2 = 3 （不合题意，舍去），
:m 的值是-2 ．
20 ．(1)见解析 (2)3
【分析】（1）先根据矩形的性质求得OC = OD ，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是 菱形分析推理；
（2）根据矩形的性质求得 △OCD 的面积，然后结合菱形的性质求解． 【详解】（1）解：∵ DE Ⅱ AC, CE Ⅱ BD ，
:四边形OCED 是平行四边形， 又∵矩形ABCD 中，OC = OD ， :平行四边形OCED 是菱形；
（2）解：矩形 ABCD 的面积为BC . DC = 3 × 2 = 6 ， : △OCD 的面积为
:菱形OCED 的面积为
【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定， 属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判 定方法，正确推理论证是解题关键．
21 ．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】(1)先证明△CDF≥△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边 CD/ / BH，得到 ∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H 即可求解．
(2) 由 BE2=AB•AE，得到 再利用 AG/ / BC，平行线分线段成比例定理得到=
,再结合已知条件即可求解．
【详解】解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形， :CD=CB ，∠D=∠B ，CD/ / AB．
∵DF=BE，
:△CDF≥△CBE(SAS)， :∠DCF=∠BCE．
∵CD/ / BH，
:∠H=∠DCF，
:∠BCE=∠H．且∠B=∠B， :△BEC一△BCH．
(2)∵BE2=AB•AE，
∵AG/ / BC，
∵DF=BE，BC=AB， :BE=AG=DF，
即 AG=DF．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质， 全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比 例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22 ．(1) 20%
(2)45 元
【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系且熟练掌 握知识点是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为 x ，根据题意列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y 元，根据题意列出方程计算求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为 x ．依题意，
得：150 (1+ x)2 = 216 ，
解得：x1 = 0.2 = 20% ，x2 = -2.2 （不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20% ．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y 元．
依题意，得：(y - 30) 600 - 5 (y - 40) = 8625 ， 整理，得：y2 -190y + 6525 = 0 ，
解得：y1 = 145 （不合题意，舍去）， y2 = 45
答：该品牌头盔的实际售价应定为 45 元．
23 ．(1)见解析
(2)见解析，面积比为 1 ：3
(3)见解析
【分析】（1）根据网格的特点，找到A, B 之间单元网格的对角线，交AB 于点F ，则点F 即 为所求；
（2）根据（1）的方法找到CD, CE 的中点G, H ，连接GH ，根据相似三角形的性质即可求 出 △CGH 与四边形 DEHG 的面积比；
（3）根据（2）的结论，可知，只要MN 经过 △PQR 的中位线，根据R 在网格上，找到符合 题意的点R 即可求解．
【详解】（1）如图①:
（2）如图②:
Q GH Ⅱ
: △CGH 与四边形 DEHG 的面积比为 1 ：3．
（3）如图③,画出一种即可．
【点睛】本题考查了网格与相似三角形， 相似三角形的性质，三角形中位线的性质，根据网 格的特点找到线段的中点是解题的关键．
24 ．（1）m = 12 ，C（2 ，0）；（2）点 E 的坐标为（2 ，6）．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得 m 的值，根据 A 点的坐标即可求得 C 的坐标；
（2）根据待定系数法求得直线 AB 的解析式，设出 D 、E 的坐标，然后根据三角形面积公 式得到一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）∵反比例函数 的图象经过点 A（4 ，3 ）点， 即m = 12 ，
过点 A 作x 轴的垂线，垂足为 G，
则有∠AGC=∠BOC=90° , OG=4， ∵点C 是 AB 的中点，
:AC=BC，
又∵∠ACG=∠BCO， :△ACG≥△BCO ， :OC=CG=2，
:C（2 ，0）；
（2）由（1）知△ACG≥△BCO， :OB=AG=3，
:B（0 ，-3），
设直线 BA 的解析式为y = kx + b(k ≠ 0) ， :A（4 ，3 ），B（0 ，-3），
解得
:直线 AB 的解析式为
令点 E（ t ， ），则点 D 为（t ， t - 3 ），
整理，得t2 - 2t = 0 ， : t1 = 2 ，t2 =0(舍去)
所以，点 E 的坐标为（2 ，6）．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征， 反比例函数系数 k 的几何意义，一元 二次方程的应用，根据三角形面积得到一元二次方程是解题的关键．
25 ．(1) CD = 4.8
(2)在运动过程中存在某一时刻t ，使得S△CPQ : S△ABC = 9 :100 ，t 的值为：3 或 1.8；理由见详 解
【分析】（1）由勾股定理求得AB = 10 ，由三角形面积公式得出 即可 得出结果；
（2）由勾股定理求得AD = 6.4 ，过点Q 作QH ^ CD 于H ，则QH∥AD ，则 △CHQ∽△CDA ，得
QH CQ QH t 1
出 = ，即 = ，求出QH = 0.8t ，S = QH . CP ，即可得出结果；
AD AC 6.4 8 2
△CPQ : S△ABC = 9 :100 ，即 进而求解即可 【详解】（1）解：Q 上ACB = 90° , AC = 8 ，BC = 6 ，
解得：CD = 4.8 ；
解：由 可得 过点Q 作QH ^ CD 于H ，如图所示：
QCD 丄 AB ，
:QH∥AD ，
:△CHQ∽△CDA ，
即 ， :QH = 0.8t ，
S△CPQ : S△ABC = 9 :100 ，即 ， 整理得：5t2 - 24t + 27 = 0 ，
解得：t1 = 3 ，t2 = 1.8 ，
:在运动过程中存在某一时刻t ，使得S△CPQ : S△ABC = 9 :100 ，t 的值为：3 或 1.8．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式、解一元二次方 程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键．