2024-2025学年山东省威海乳山市八年级下学期期末考试数学检测试卷[五四制]

这是一份2024-2025学年山东省威海乳山市八年级下学期期末考试数学检测试卷[五四制]，共30页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部等内容，欢迎下载使用。
初三数学
亲爱的同学：
你好！答题前，请仔细阅读以下说明：
1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间 120 分钟．
2 ．不允许使用计算器．
3 ．本次考试另设 10 分卷面分．希望你能愉快地度过这 120 分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共 30 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一个是正确的．每小题选对得 3 分，选错、不选或多选，均不得 分）
1 ．下列计算正确的是( )
B ． C ． D ．
2 ．下列给出的四条线段，是成比例线段的为( )
A ．1cm, 2cm, 3cm, 4cm
B ．1cm, 2cm, 3cm, 6cm
C ． cm ， cm ， cm ， cm
D ．1cm,3cm, 4cm, 7cm
3 ．用配方法解方程x2 - 4x + 1 = 0 ，下列变形正确的是( )
A ．(x - 2)2 = 1 B ．(x + 2)2 = 1 C ．(x - 2)2 = 3 D ．(x + 2)2 = 3
4 ．菱形ABCD 的对角线长分别为 6 ，8，则该菱形的周长是( )
A ．20 B ．25 C ．30 D ．40
5 ．身高 1.6 米的小明利用影长测量学校旗杆的高度，如图，当他站在点 C 处时，他头顶端 的影子正好与旗杆顶端的影子重合在点 A 处，测量得到 AC=2 米，CB=18 米，则旗杆的高度 是( )
A ．8 米 B ．14.4 米
C ．16 米 D ．20 米
6 ．若x =3 是关于 x 的方程x2 + mx - 3 = 0 的解，则m = ( )
A ．0 B ．1 C ．2 D ．-2
7 ．如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，点 C，D 分别落在C¢ , D¢ 处，EC ¢ 交AD 于点
G ．若上AFE = 55° ,则 上EGD = ( )
A ．65° B ．70° C ．75° D ．85°
8 ．若xy < 0 ，则 化简后的结果是 ( )
A ． B ． C ． D ．
9 ．对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，若 a + c = 0 ，则该方程根的情况是( )
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根 D ．无法判断根的情况
10 ．如图，在正方形ABCD 中，点 E，F 分别在边AD ，CD 上，AF⊥BE ，垂足为 G，若
AE = 3ED ，则 的值为 ( )
A ． B ． C ． D ．
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，只要求填出最后结果）
11 ．式子、在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．
12．对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，若9a - 3b + c =0 ，则该方程的一个根是 ．
13 ．如图， △OAB 的顶点 A 的坐标为(-4, 2) ，以 O 为位似中心画△OA¢B ¢ ,使其与 △OAB 的相似比是1: 2 ，则点 A 的对应点A¢ 的坐标为 ．
14 ．已知 △ABC 的两边长为 3 和 6，若第三边的长为方程 x2 - 7x + 10 = 0 的一个根，则该三 角形的第三条边长为 ．
15 ．点 E，F 是线段AB 的两个黄金分割点，若AB = 10 ，则线段 EF 的长为 ．
16．如图，M，N 是正方形ABCD 的边CD，AB 的中点，点 E 在MN 上，AE = AD ，DE 交BC 于点 F，若 BF = 4 ，则正方形 ABCD 的边长为 ．
三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分，写出必要的运算、推理过程）
17 ．计算
18 ．已知 a ，b ，c 是△ABC 的三边 求 △ABC 的面积．
19 ．商店购进某种商品的价格为 60 元/件，在试销期间发现，当每件商品售价为 70 元时，
每天可销售 30 件；当每件商品售价高于 70 元时，每涨价 1 元，日销售量就减少 1 件．每件
商品的售价定为多少时，商店每天的盈利会达到 400 元？
20 ．如图，四边形ABCD 和BGEF 均为菱形，G 为AB 的中点，点 F 在CB 的延长线上，连 接DE ，P 为 DE 的中点，连接BP ，AB = 2 ，上C = 120° ,求 BP 的长．
21 ．【观察】 = 2 ，
【归纳】（1）若 n 为自然数，且n ≥ 1，将上述规律用含 n 的式子表达出来；
【推理】（2）对（1）中的结论进行证明．
22 ．已知：关于 x 的方程x2 - 5x + 6 - p2 = 0 ．
(1)求证：方程必有两个不相等的实数根；
(2)若x1，x2 是该方程的根，且x - 4x1 + x2 = 3 ，求p 的值．
23 ．如图，以正方形ABCD 的边CD 为边，在正方形外部作等边 △CDE ，AE 与BD 交于点 F，连接CF ．
(1)求 Ð BFC 的度数；
(2)若AB = 2 ，求 BF 的长．
24 ．已知：点 E 在四边形ABCD 的边BC 上，且不与点 B 重合，上AEF = 90° ,连接CF ．
(1)如图Ⅰ,若四边形 ABCD 是正方形，EF = AE ，求 上ECF 的度数；
(2)如图Ⅱ, 若四边形 ABCD 是矩形， FG 丄 BC ，垂足为 G ，EF = 2AE ， FG = 2CG，求证：
BC = 2AB ．
1 ．D
【分析】根据二次根式的性质和运算法则解答即可．
故本选项不符合题意；
B. 故本选项不符合题意；
C. 故本选项不符合题意；
D. 故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简以及加法乘法运算，掌握二次根式的性质和运算 法则是解答本题的关键．
2 ．B
【分析】本题考查的知识点是成比例线段的定义， 熟记定义是解此题的关键．根据成比例线 段的定义，若 a ，b ，c ，d 是成比例线段，则有，可得 ad = bc ，再逐项判断即可．
【详解】解：A 、2 × 3 ≠ 1 × 4 ，故选项错误；
B 、2 × 3 = 1 × 6 ，故选项正确；
C 、 故选项错误； D 、3 × 4 ≠ 1 × 7 ，故选项错误．
故选：B．
3 ．C
【分析】根据配方法可直接进行排除选项．
【详解】解：用配方法解方程x2 - 4x + 1 = 0 可得：(x - 2)2 = 3 ； 故选 C．
【点睛】本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
4 ．A
【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质．
根据菱形的对角线互相垂直且平分这一性质解题即可． 【详解】解：由于菱形的两条对角线的长为 6 和 8，
:菱形的边长为
:菱形的周长为：4 × 5 = 20 ． 故选：A．
5 ．C
【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可． 【详解】设旗杆高度为 h ，由题意得 解得：h=16
故选 C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用， 解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边 成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
6 ．D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是解本题的关键． 将已知解代入方程求解参数即可．
【详解】解：将 x =3 代入方程x2 + mx - 3 = 0 ，
得：32 + m . 3 - 3 = 0 ， 即9 + 3m - 3 = 0 ，
化简得6 + 3m = 0 ，
解得m = -6 ÷ 3 = -2 ， 因此，m 的值为-2 ．
故选：D．
7 ．B
【分析】本题考查了矩形与折叠，根据矩形的性质、平行线的性质可求出 上CEF = 55° ,根 据折叠可求出上GEB = 70° ,然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】解:∵四边形ABCD 是矩形， : AD Ⅱ BC ，
: 上CEF = 上AFE = 55° ,
∵折叠，
: 上GEF = 上CEF = 55° ,
: 上GEB = 70° ,
∵ AD Ⅱ BC ，
: 上EGD = 上GEB = 70° ,
故选:B．
8 ．D
【分析】根据 ·、有意义可得y ≥ 0 ，再结合 x < 0 ，化简 ·、 ．
解 有意义， : y ≥ 0 ，
∵xy < 0
: x < 0 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，由x < 0 得到x = -x 是解题的关键．
9 ．A
【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况，掌握一元二次方程是解题的关键． 根据判别式 Δ = b2 - 4ac ，结合条件 a + c =0 ，推导 Δ 的符号，从而判断根的情况． 【详解】Qa + c = 0 ，
: a = -c ，
将c 代入判别式 Δ = b2 - 4ac ，
得： Δ = b2 - 4a . (-a ) = b2 + 4a2 ， Qa ≠ 0 ，4a2 > 0 ，b2 ≥ 0 ，
:Δ = b2 + 4a2 > 0 ，
:方程有两个不相等的实数根． 故选：A．
10 ．C
【分析】此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三 角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明 △ABE ≌△DAF 及 △GAE ∽△DAF 是解题的关 键．设AB = m ，证明△ABE≌△DAF (ASA ) ，可得 利用勾股定理求出 ,然后证明 △GAE ∽△DAF ，对应边成比例得 AG = m ，求出
进而可以解决问题．
【详解】解：设 AB = m ， ∵四边形ABCD 是正方形，
: AB = DA = m ，上BAE = 上D = 90° , ∵ AE = 3ED ，
∵ AF⊥BE 于点 G，
: 上AGE = 90° ,
: 上ABE = 上DAF = 90° - 上AEB ， : △ABE≌△DAF (ASA ) ，
∵ 上AGE = 上D = 90° , 上GAE = 上DAF ， : △GAE ∽△DAF ，
故选：C．
11 ．x ≥ -2
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件， 求不等式的解集，掌握二次根式被开方为非负 数是解题的关键．
根据二次根式被开方数为非负数得x + 2 ≥ 0 ，再运用不等式的性质求解即可．
【详解】解：式子 、/x + 2 在实数范围内有意义，
: x + 2 ≥ 0 ，
解得，x ≥ -2 ，
故答案为：x ≥ -2 ．
12 ．x = -3
【分析】本题考查一元二次方程的解，根据当x = -3 时，有9a - 3b + c =0 可得答案． 【详解】解：∵当x = -3 时，a (-3)2 + b . (-3) + c = 0 ，即9a - 3b + c = 0 ，
: x = -3 是该方程的一个根， 故答案为：x = -3
13 ．(-2,1) 或(2, -1) ## (2, -1) 或(-2,1)
【分析】此题考查了位似变换， 以及坐标与图形的性质，关键是掌握若位似比是 k，则原图 形上的点(x, y) ，经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx, ky) 或(-kx, -ky) ．据此求解即可． 【详解】解：∵点 A 的坐标为(-4, 2) ，相似比是1: 2 ，
:点 A 的对应点A¢ 的坐标为或 即(-2,1) 或(2, -1) ． 故答案为：(-2,1) 或(2, -1) ．
14 ．5
【分析】本题考查三角形的三边关系， 解一元二次方程，求出第三边的范围，因式分解法求 出方程的根，进行判断即可．
【详解】解：由题意，6 - 3 BC) ，且使 AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB : AC = AC : BC) ，把这种分割叫做黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄 金分割点，熟记黄金比是解题的关键．先由黄金分割的比值求出BE = AF = 5 - 5 ，
BF = AE = 15 - 5 ，再由 EF = BE - BF 进行计算即可．
【详解】解：如图，
点 E，F 是线段AB 的两个黄金分割点，
:BF = AE = 10 - (5 - 5) = 15 - 5 ，
:EF = BE - BF = 5 - 5 - (15 - 5) = 10 - 20 ，
故答案为：10 - 20 ．
16 ．2 + 2## 2 + 2
【分析】本题主要考查了正方形的性质， 相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质 与判定，由正方形的性质可得AB = CD = BC = AD，AB∥CD，CD⊥BC ，上BAD = 90° ,可 证明四边形ANMD 是矩形，得到MN = AD，MN⊥CD ，证明 △DEM ∽△DFC ，得到CF = 2ME ； 设ME = x，CF = 2x ，BC = AD = AE = EN = 2x + 4 ，则EN = 2x + 4 - x = x + 4，AN = x + 2 ， 由勾股定理得(2x + 4)2 = (x + 2)2 + (x + 4)2 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：:四边形ABCD 是正方形，
: AB = CD = BC = AD，AB∥CD，CD⊥BC ，上BAD = 90° , :M，N 是正方形ABCD 的边CD，AB 的中点，
: DM = AN ，
:四边形ANMD 是平行四边形， :平行四边形ANMD 是矩形，
: MN = AD，MN⊥CD ， : MN Ⅱ BC ，
: △DEM ∽△DFC ，
: CF = 2ME ；
设ME = x，CF = 2x ，BC = AD = AE = EN = 2x + 4 ， : EN = 2x + 4 - x = x + 4，AN = x + 2 ，
在Rt△AEN 中，由勾股定理得AE2 = AN2 + EN2 ，
: (2x + 4)2 = (x + 2)2 + (x + 4)2 ， 解得x = -1或x = - -1 ， : BC = 2x + 4 = 2 + 2 ，
:正方形ABCD 的边长为2 3 + 2 ，
故答案为：2 + 2 ．
17 ．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．解题关键是明确二次根式混合运算的计算顺序和 法则．
( 1 ö
运用分配律，根据二次根式的乘除法和加减法法则，去括号法则，计算即可． 解
= × + × - çè ÷ - 2 ÷ ,÷
= + 2 - 2 +
18 ．54
a b c
【分析】本题考查了比例的性质，勾股定理的逆定理.根据等式的性质设 = = = k ，
3 4 5
求出a = 9 ，b = 12 ，c = 15 ，进而证明 △ABC 是直角三角形，根据面积公式计算即可．
解：设 ， : a = 3k, b = 4k, c = 5k ，
: a + b + c = 36 ，
: 3k + 4k + 5k = 36 ，
解得：k = 3 ，
: a = 9 ，b = 12 ，c = 15 ，
: a2 + b2 = 81+144 = 225 = c2 ，
:△ABC 是直角三角形，
:△ABC 的面积为
19 ．每件定价为 80 元时，商店每天的盈利会达到 400 元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
设售价定为 x 元，根据题意列方程计算即可． 【详解】解：设售价定为 x 元，由题意得
(x - 60) 30 - (x - 70)×1 = 400 ．
解得，x1 = =x2 80 ．
答：每件定价为 80 元时，商店每天的盈利会达到 400 元．
20 ．
【分析】连接 BD，BE ．作CO 丄 BD 于点 O，根据菱形的性质求出 上DBE = 90° ,由三线合 一求出CO = 1，利用勾股定理求得 BO = ，得出 BD = 2BO = 2 ，同理求得 BE = 1，由 勾股定理求出DE = 、/13 ，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可求解．
【详解】连接 BD，BE ．作CO 丄 BD 于点 O，
:四边形ABCD 和BGEF 均为菱形，
1 1
:上ABD = 上ABC, 上ABE = 上ABF ，CD = BC = AB = 2 ， 2 2
: 上C = 120° ,
: 上CBO = 上COB = 30° ,
: CO 丄 BD ，
: BD = 2BO = 2 ．
同理可求：BE = 1，
:点 P 为DE 的中点，
【点睛】本题考查了菱形的性质， 勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，正 确作出辅助线是解答本题的关键．
见解析．
【分析】本题考查了二次根式的性质的应用，解此题的关键是能根据已知得出规律．
（1）根据已知的等式即可写出第 n 个式子；
（2）根据二次根式的运算法则进行验证．
【详解】解：（1）根据已知等式可得
: n ≥ 1，
22 ．(1)见解析；
(2) p = ±2 ．
【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程．
（1）直接根据根的判别式证明即可；
（2）根据由题意得 x - 5x1 = p2 - 6 ，x1 + x2 = 5 ，求出 p2 - 6 + 5 = 3，解方程即可．
【详解】（1）解： Δ = 25 - 4 (6 -p2 ) = 1+ 4p2 ．
∵1+ 4p2 > 0 ，
:方程必有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得 x - 5x1 = p2 - 6 ，x1 + x2 = 5 ，
∵ x - 4x1 + x2 = 3 ，
: (x - 5x1 )+ (x1 + x2 ) = 3 ．
: p2 - 6 + 5 = 3．
解得p = ±2 ．
23 ．(1) 60° ;
(2) ·、i2 + ．
【分析】（1）由正方形的性质得到 上ADC = 90° , AD = CD ，上BDC = 45° ,由等边三角形 的性质得到上CDE = 60° , CD = DE ，进而求出上DAE = 15° , 证明 △ADF≌△CDF (SAS) ，进 而可求得 Ð BFC 的度数；
（2）作 CG 丄 BD ，垂足为 G，由正方形的性质求出 BG = CG = 、/2 ，设GF 为 x，由 30 度
角的性质得到CF 为2x ，根据勾股定理求出 即可求出BF 的长．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是正方形，
: 上ADC = 90° , AD = CD ，上BDC = 45° , ∵ △CDE 是等边三角形，
: 上CDE = 60° , CD = DE ，
: 上ADE = 150° , AD = DE ，
: 上DAE = 15° ,
∵正方形ABCD ，
: AD = CD ，上ADF = 上CDF = 上45° , DF = DF ， : △ADF≌△CDF (SAS)，
: 上DCF = 上DAE = 15° ,
: 上BFC = 上BDC + 上DCF = 60° ;
（2）解：作 CG 丄 BD ，垂足为 G，
:正方形ABCD ，
: 上ABD = 上CBD = 上45° ,
: 上GCB = 上CBD = 上45° , : BG = CG = 、 ，
: 上CGF = 90° , 上BFC = 60° ,
: 上FCG = 30° ,
设GF 为 x，则CF 为2x ，
在Rt△CFG 中，可得x2 + 2 = 4x2 ，
解得 负值舍去）．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，30 度 角的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
24 ．(1)135° ;
(2)见解析．
【分析】（1）在 AB 上截取AQ = EC ，连接EQ，证明 △AQE≌△ECF (SAS) ，再由 AB - AQ = BC - EC ，证明△BQE 为等腰直角三角形，即可求解；
（2）在 AB 上取点 Q，连接EQ，使上AEQ = 上EFC ．先证明 △AQE∽△ECF ，再证明
△BQE∽△GCF ，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图Ⅰ ,
在AB 上截取AQ = EC ，连接EQ ．
∵四边形ABCD 是正方形，上AEF = 90° : 上B = 90° = 上AEF ，BA = BC ，
:上QAE = 上CEF = 90° - 上AEB ， ∵ EF = AE ，
: △AQE≌△ECF (SAS) ．
:上AQE = 上ECF ．
∵ AB = BC, AQ = EC ， : BE = BQ ．
∵ 上ABC = 90° ,
:上BQE = 上BEQ = 45° .
:上AQE = 上ECF = 135° .
（2）解：如图Ⅱ ,
在AB 上取点 Q，连接EQ，使上AEQ = 上EFC ．
同上可得：上QAE = 上CEF ． : △AQE∽△ECF ．
上AQE = 上ECF ． :上BQE = 上GCF ．
∵ EF = 2AE ， :EC = 2AQ ．
∵四边形ABCD 是矩形，FG 丄 BC ，
: 上B = 上G = 90° , : △BQE∽△GCF ．
: FG = 2CG， :BE = 2BQ ．
: BC = 2AB ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质， 全等三角形的判定与性质，等腰三角形 的性质，正方形和矩形的性质等知识点．熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的 判定与性质是解题的关键．