2024-2025学年江西省赣州市赣县区下学期七年级数学期末考试试卷

这是一份2024-2025学年江西省赣州市赣县区下学期七年级数学期末考试试卷，共23页。试卷主要包含了小器一容三斛；大器一等内容，欢迎下载使用。
考试试卷
一．选择题（本大题共 6 小题）
1 ．下列调查中，最适合全面调查的是( )
A ．调查全国中学生对人工智能的了解情况
B ．对即将发射的“神舟二十号”载人飞船的零部件质量情况的调查
C ．调查信阳地区2025 年空气质量情况
D ．对信阳市初中学生每天写作业时间的调查
2 ．四个数 中，无理数的个数有 ( )
A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个
3 ．点P(0,-3) 向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，则所得到的点的坐标为( )
A ．(-3, 0) B ．(-1, 6) C ．(-3, -6) D ．(-1, 0)
4 ．解不等式2x -1≤ -5 ，其解集在数轴上表示正确的是( )
A ． B ．
C ．
D ．
5 ．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就 ．其中记载：“今有大 器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛 ．问大、小器各容几何？”译文：今有 5 个大 容器和 1 个小容器可以装 3 斛（斛，音 hú,是古代的一种容量单位），1 个大容器、5 个小 容器可以装 2 斛．问：大容器、小容器分别可以装多少斛？设 1 个大容器装 x 斛，1 个小容 器装y 斛，根据题意，可列方程组为( )
A ． B ． C ． D ．
6 ．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳“出行方式已融入人们的日常生活，如 图是某单车车架的示意图，线段AB ，CE ，DE 分别为前叉、下管和立管，EF 为后下
叉．已 知 ABⅡDE ，AD P EF ， ÐBCE = 70。， ÐCEF = 130。，则 Ð A 的度数为( )
A ．100° B ．110° C ．120° D ．130°
二．填空题（共 7 小题）
7 ．-8 的立方根是 ．
8 ．“x 的 3 倍与-2 的和小于零”用不等式表示为 ．
9 ．将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么 ……”的形式 为 .
10．如图，光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水中时，要发生 折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线，在水中也是平行的．若上1 = 56° ,
上2 = 112° ,则 上3 的大小为 度．
11 ．某数值转换器的程序如图所示，当输入的 x 为 16 时，输出的y 是
12 ．已知平面直角坐标系下，点 A，C 的坐标为A(1, -2), C(3, 0) ，点 B 在坐标轴上．若 △ABC 的面积为 3，则点 B 的坐标为 ．
三．（本大题共 5 小题）
13 ．（1）计算： + × (-2)2 ；
（2）解方程组 ．
14 ．解不等式组 并把解集在数轴上表示出来．
15 ．如图，点 D 在三角形ABC 的边BA 的延长线上， AG 丄 BC 于点 G ，DF 丄 BC 于点 F，
交AC 于点 E，上D = 上1 ．求证：AG 平分 ÐBAC ．请补充完整如下的推理过程：
证明：∵ AG 丄 BC，DF 丄 BC
: 上AGC = 上DFC = °（垂线的定义）．
: AG ⅡDF ( ).
: 上BAG = 上 ( ).
上CAG = 上 ( ). ∵ 上D = 上1 ，
:∠BAG = ∠CAG （等量代换）．
: AG 平分 ÐBAC （角平分线定义）．
16．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P 到x 轴、y 轴的距离的较大值称为点P 的“长 距”，点Q 到x 轴、y 轴的距离相等时，称点Q 为“龙沙点”．
(1)点A(-1, 4) 的“长距”为______；
(2)若点B(4a -1, -2) 是“龙沙点”，求a 的值；
17 ．如图，AB∥CD ，点 E 在AC 上，连接DE ，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图
（保留作图痕迹）．
(1)在图 1 中．以点 A 为顶点作一个与上C 相等的角．
(2)在图 2 中，在CD 的上方，作一个与上D 相等的角．
四．（本大题共 3 小题）
18 ．已知某正数的两个不同的平方根是3a - 14 和a + 2 ，b +1 的立方根为-2 ，c 是 的整数
部分；
(1)求 a ，b ，c 的值；
(2)求a - b + 2c 的平方根．
19 ．“弘扬长征精神，传承红色基因” ．2025 年 4 月，赣州市举办了“新长征，再出发”25 公 里徒步活动．某公司为组织员工参加本次活动，订购了 A 、B 两款“新长征，再出发”纪念徽 章．据了解，8 个 A 款徽章和5 个 B 款徽章共计 80 元；12 个 A 款徽章和 10 个 B 款徽章共 计 140 元．
(1)求一个 A 款徽章和一个 B 款徽章各需多少元？
(2)该公司计划购进 A、B 两款徽章共 100 个，要求购买的总费用不超过 680 元，求最多可以 购买 B 款徽章多少个？
20 ．在平面直角坐标系中，三角形ABC 经过平移得到三角形A’B’C’，位置如图所示．
(1)分别写出点A ，A’的坐标：A（ ， ）， A’( , );
(2)求出三角形ABC 的面积为 ；
(3)若点M(m, 4 - n)是三角形ABC 内部一点，则平移后对应点M’的坐标为(10 - 2n, m -1) ，
求 m 和 n 的值．
五．（本大题共 2 小题）
21．在 2025 年春晚机器人精彩表演引发人工智能热潮后，某学校对学生进行“对人工智能的 了解程度”抽样调查，分为“不了解”、“比较了解”、“了解”、“非常了解”四个等级．每个被调 查的学生必须选择并且只能在这四个等级中选择一项，将收集的数据整理并绘制如下两幅统 计图，完成下列问题：
(1)这次调查共抽取了____________名学生，m = ____________．
(2)补全条形统计图；
(3)在扇形统计图，“比较了解”所对应的圆心角度数是多少度？
(4)若该校共有学生 2000 名，请你估计该校“对人工智能的了解程度”是“了解”等级的学生有 多少人？
22 ．定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式 （组）的“梦想解”．例：已知方程2x - 3 = 1 与不等式x + 2 > 0 ，方程的解为x =2 使得不等式 也成立，则称“ x = 2 ”为方程2x - 3 = 1 和不等式x + 2 > 0 的“梦想解”．
已知 则方程3x + 2 = 5 的解是它与①②③中 的不等式________ 的“梦想解”；
(2)若关于x, y 的二元一次方程组 的解是该方程组与不等式组-1 < x + y < 4 的“梦想解”，求 m 的整数解．
六．（本大题共 1 小题）
23 ．课本再现：
一般地，平行线具有性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
性质2 ：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
性质3 ：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
(1)【初步探究】如图 1，已知点 A 是BC 外一点，连接AB ，AC ，求 上BAC + 上B + 上C 的度 数．李华通过做辅助线实现等角转换，请你根据这一思路完成这题．
(2)【方法运用】如图 2 ，已知 AB PED ，试说明 上B ，上BCD ，上D 之间的关系，并证明．
(3)【解决问题】如图 3 ，已知 AB P CD ，点C 在点D 的右侧，上ADC＝68° ,点 B 在点A 的 左侧，上ABC＝52° , BE 平分上ABC ，DE 平分上ADC ，BE ，DE 所在的直线交于点E ，点 E 在AB 与CD 两条平行线之间，求上BED 的度数．
1 ．B
【分析】本题考查了全面调查，判断是否适合选择全面调查要根据所考查的对象的特征灵活 判断，熟练掌握全面调查是解题的关键．根据全面调查的特点，逐一判断即可．
【详解】A、调查全国中学生对人工智能的了解情况， 调查的对象范围广，不适合采用全面 调查，故选项 A 不符合题意；
B、对即将发射的“神舟二十号”载人飞船的零部件质量情况的调查，涉及安全性，适合采用 全面调查，故选项 B 符合题意；
C、调查信阳地区2025 年空气质量情况，调查的对象范围广，不适合采用全面调查，故选项 C 不符合题意；
D、对信阳市初中学生每天写作业时间的调查，调查的对象范围广，不适合采用全面调查， 故选项 D 不符合题意，
故选：B．
2 ．C
【分析】本题考查的是无理数的识别，根据无理数的定义（无限不循环小数），判断每个数 是否为无理数，再统计个数即可.
【详解】解： 0：整数，属于有理数， τ：无限不循环小数，属于无理数，
：开方不尽的平方根，属于无理数， 分数，属于有理数，
综上，无理数有 τ 和 /2 ，共 2 个， 故选 C
3 ．D
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，按照“上加下减，左减右加”的平移规律求 解即可．
【详解】解：点 P(0,-3) 向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位所得到的点的坐标为 (0 - 1, -3 + 3) ，即 (-1, 0) ，
故选：D．
4 ．D
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出解集即可．
【详解】解：2x -1 ≤ -5 ， 移项，合并，得：2x ≤ -4 ， 系数化 1，得：x £ -2 ；
数轴上表示如图：
;
故选 D．
【点睛】本题考查用数轴表示不等式的解集．解题的关键是正确的求出不等式的解集．
5 ．C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据题意，利用不同数量的大容器和小容 器的总容量，分别列出两个方程，从而得到方程组．
【详解】解： 设 1 个大容器的容积为 x 斛，1 个小容器的容积为y 斛，则根据题意可列方程 组为：
故选：C．
6 ．C
【分析】本题考查了平行线的性质，理解平行线的性质是解答关键．
根据两直线平行内错角相等求出上CED ，进而求出上DEF 的度数，再利用两直线平行内错角 相等求出 7ADE 的度数，最后利用两直线平行同旁内角互补求解．
【详解】解：Q AB ⅡDE ，上BCE = 70° ,
:上CED = 上BCE = 70° .
Q 上CEF = 130° ,
:上DEF = 上CEF - 上CED = 130° - 70° = 60° .
Q AD ∥ DE ，
:上ADE = 上DEF = 60° .
Q AB Ⅱ DE ，
:上A = 180° - 上ADE = 180° - 60° = 120° .
故选：C．
7 ．-2
【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（ -2）3= -8，
: -8 的立方根是 -2， 故答案为 -2．
【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
8 ．3x + (-2) < 0
【分析】此题主要考查了由实际问题列出不等式， 解题的关键是抓住题目中的关键词，正确 选择不等号．
首先表示“x 的 3 倍与-2 的和”，再表示“小于零”即可．
【详解】“x 的 3 倍与-2 的和小于零”用不等式表示为3x +(-2) < 0 ， 故答案为：3x +(-2) < 0 ．
9 ．如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行
【分析】命题由题设和结论两部分组成， 通常写成“如果 …那么 …”的形式．“如果”后面接题 设，“那么”后面接结论．
【详解】命题可以改写为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行
【点睛】任何一个命题都可以写成“如果 …那么 …”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面 接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果” 、“那么”后面， 要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意．
10 ．68
【分析】本题考查平行线的性质．根据平行线的性质，同位角相等，同旁内角互补，进行求 解即可．掌握平行线的性质，是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵ AB∥CD ，
: 上BAC + 上3 = 180° ,
∵ AC Ⅱ BD ，
: 上BAC = 上2 = 112° ,
: 上3 = 180° -112° = 68° , 故答案为：68．
11 ．
【分析】由算术平方根的定义得到输入 16 时输出为 4，再进行下一步运算，知道得到为、 可输出．
【详解】解：16 的算术平方根是 4 ，4 是有理数，继续返回取算术平方根为 2 ，2 是有理数， 继续返回取算术平方根为 ，、2 是无理数可输出，所以y 是 ·
故答案为 ．
【点睛】此题考查了求一个数的算术平方根，有理数与无理数的定义，正确掌握实数的分类 及运算是解题的关键．
12 ．(0，0) 或(6，0) 或(0, -6)
【分析】本题考查坐标与图形、解一元一次方程，先确定点 A 、C 的位置，再分类讨论：当 点 B 在 x 轴上时，①点 B 在点 C 左侧或点 B 在点 C 右侧；当点 B 在y 轴负半轴上，利用三 角形面积公式列方程求解即可．
【详解】解：当点 B 在 x 轴上，
∵S△ABC = 3 ，
: BC = 3，
当点 B 在点 C 左侧时，B (0, 0)；当点 B 在点 C 右侧时，B (6, 0)，
当点 B 在y 轴负半轴上， : S△ABC = 3 ，
解得OB = 6 ， : B (0, -6)，
故答案为：(0，0) 或(6，0) 或(0, -6) ．
【分析】本题考查实数的运算，解二元一次方程组，
（1）先根据立方根、算术平方根和有理数的乘方进行计算，然后计算乘法，最后进行加减 运算；
（2）先由①+② ×2 得：3x + 2y + 2 (5x -y ) = 10 + 21 × 2 ，解得 x = 4 ，再代入②求出y 的值
即可．
解题的关键是掌握相应的定义、运算法则和解二元一次方程的方法（代入消元法和加减消元 法）．
解
= -3 + 5× 4
= -3 + 20
= 17 ；
（2） ，
① + ②×2，得：3x + 2y + 2 (5x -y ) = 10 + 21 × 2 ，
解得：x = 4 ，
把x = 4 代入②,得： 5 × 4 -y = 21， 解得：y = -1，
:该方程组的解是
14 ．2 ≤ x < 4 ；数轴表示见解析
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取 它们的公共部分得不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可．
解 解不等式①得，x ≥ 2 ；
解不等式②得，x < 4 ，
所以，不等式组的解集为：2 ≤ x < 4 ， 在数轴上表示如下 ：
15 ．90；同位角相等，两直线平行；D；两直线平行，同位角相等；1；两直线平行，内错 角相等．
【分析】本题主要考查的是平行线的性质和判定，根据垂线定义得出上AGC = 上DFC = 90° ,
根据平行线的判定得出AG ⅡDF ，根据平行线的性质得出上BAG = 上D，上CAG = 上1 ，证明 ∠BAG = ∠CAG ，即可得出答案．
【详解】证明：∵ AG 丄 BC，DF 丄 BC ， : 上AGC = 上DFC = 90° （垂线的定义）．
: AG ⅡDF （同位角相等，两直线平行）．
: 上BAG = 上D （两直线平行，同位角相等）．
上CAG = 上1（两直线平行，内错角相等）． ∵ 上D = 上1 ，
:∠BAG = ∠CAG （等量代换）．
: AG 平分 ÐBAC （角平分线定义）．
故答案为：90；同位角相等，两直线平行；D；两直线平行，同位角相等；1 ；两直线平行， 内错角相等．
16 ．(1)4
或a = -
【分析】本题主要考查了新定义运算，熟练掌握新定义，是解题的关键．
（1）根据“长距”定义进行求解即可；
（2）根据“龙沙点”的定义列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵ -1 = 1 < 4 ，
:点A(-1, 4) 的“长距”为 4， 故答案为：4 ；
（2）解：Q 点Q 到x 轴、y 轴的距离相等时，称点Q 为“龙沙点”， : 当点B(4a -1, -2) 是“龙沙点” ， 4a -1 = -2 ，
:4a -1 = ±2 ，
当4a -1 = 2 ，
解得： ； 当4a -1 = -2 ， 解得：
17 ．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了利用平行线的性质作一个角等于已知角.
（1）延长CA 到 F，根据 AB∥CD ，则 上FAB = 上C ，或延长 BA 到 F，根据 AB∥CD ，则
上FAC = 上C ．
（2）延长 DE 交BA 的延长线与点 F， 根据AB∥CD ，则 上F = 上D ，或者延长 DE 到 G， 延长BA 与 H，两线交于 F，根据对顶角相等得出 上GFH = 上AFE ，即可得出 上GFH = 上D 【详解】（1）解：如图，上FAB 或上FAC 即为所求．
或
（2）如图，上F 即为所求．（或 上GFH 为所求）
或
18 ．(1) a = 3 ，b = -9 ，c = 2 ；
(2) ±4 ．
【分析】（1）利用正数的两个不同平方根互为相反数这一性质，列出关于a 的方程 (3a -14) + (a + 2) = 0 ，求解得出a 的值。
根据立方根的定义，由b +1 的立方根为-2 ，得到b +1 = (-2)3 ，进而求出b 的值。通过估算、 的大小，确定其整数部分，得到c 的值。
（2）把（1）中求得的 a 、b 、c 的值代入a - b + 2c ，计算出该式的值。
再根据平方根的定义，求出这个值的平方根。
本题主要考查了平方根的性质（正数的两个平方根互为相反数 ）、立方根的定义以及无理数
的估算，熟练掌握这些概念和性质是解题的关键。
【详解】（1）解：∵某正数的两个平方根分别是3a - 14 和a + 2 ， : (3a -14) + (a + 2) = 0 ，
: a = 3 ，
∵ b +1 的立方根为-2 ， : b + 1 = (-2)3 = -8 ， : b = -9 ，
∵c 是 的整数部分， : c = 2 ，
: a = 3 ，b = -9 ，c = 2 ；
（2）解：当 a = 3 ，b = -9 ，c = 2 时， a - b + 2c = 3 - (-9) + 2× 2 = 16 ，
: 3a - b + c 的平方根是 ±4 ．
19 ．(1)一个 A 款徽章需 5 元，一个 B 款徽章需 8 元；
(2)最多可以购买 B 款徽章60 个．
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意， 设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
（1）设一个 A 款徽章需 x 元，一个 B 款徽章需y 元，根据“8 个 A 款徽章和5 个 B 款徽章共 计 80 元；12 个 A 款徽章和 10 个 B 款徽章共计 140 元”，可列出关于 x，y 的二元一次方程 组，解之即可得出结论；
（2）设购买 B 款徽章 m 个，则购买 A 款徽章(10 - m) 个，根据“购买的总费用不超过 680 元” 列不等式，即可得出各购买方案．
【详解】（1）解：设一个 A 款徽章需 x 元，一个 B 款徽章需y 元， 根据题意得
解得：
答：一个 A 款徽章需 5 元，一个 B 款徽章需 8 元；
（2）解：设购买 B 款徽章 m 个，则购买 A 款徽章(100 - m) 个，
根据题意得：5 (100 - m) + 8m ≤ 680 ，
解得：m≤60 ，
:m 的最大值为 60．
答：最多可以购买 B 款徽章60 个．
20 ．(1)1 ，0；-4 ，4 (2)7
(3) m = 3，n = 6
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，三角形面积，解二元一次方程组，熟知点 坐标的平移规律是解题的关键．
（1）根据坐标系中点的位置写出对应点的坐标即可；
（2）利用割补法求解即可；
（3）根据平移方式建立方程组求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，三角形 A’B’C’是由三角形ABC 先向左平移 5 个单位，再向
上平移 4 个单位得到的， :点 A 的坐标为(1, 0) ，
:点A’的坐标为(-4, 4) ， 故答案为：1 ，0；-4 ，4；
解：S△ 故答案为：7；
（3）解：由题意得 解得 ．
21 ．(1)50 ，10．
(2)见解析
(3)108°
(4)800 人
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图、求扇形统计图的圆心角、用样本估计整 体等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）用“非常了解”的人数除以其所占的百分比即可求得抽取的学生，然后求出“不了解”所 占的百分比即可解答；
（2）用抽取的学生数减去其他三个等级求得“了解”的人数，然后补全条形统计图即可；
（3）用360° 乘以其所占的百分比即可解答；
（4）用学生数乘以“了解”等级所占的百分比即可解答．
【详解】（1）解：这次调查共抽取了10 ÷ 20% = 50 ，“不了解”所占的百分比为5 ÷50 × 100% = 10% ， 即m = 10 ．
故答案为：50 ，10．
（2）解：“了解”等级的人数为：50 -5-15-10 = 20 ，
故补全条形统计图如下：
（3）解：“比较了解”所对应的圆心角度数是 ． 故答案为：108° .
（4）解：该校“对人工智能的了解程度”是“了解”等级的学生有人． 答：该校“对人工智能的了解程度”是“了解”等级的学生有 800 人.
22 ．(1)②
(2)16,17
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、解一元一次方程等知识点，掌握相关解 法是解题的关键．
（1）先求出方程的解和不等式的解集，然后进行判断；
（2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出关于 m 的不等式组，最后解不等 式组即可．
【详解】（1）解：解不等式 得x > 1 ，
解不等式 得x < 7 ，
解不等式2(x + 3) < 4 得x < -1， 解方程3x + 2 = 5 得x = 1 ，
:方程3x + 2 = 5 的解时它与不等式②的“梦想解”；
（2）解：解方程组 得 : x + y = 2m - 31，
:方程组的解是不等式组-1 < x + y < 4 的梦想解， :-1 < 2m - 31 < 4 ，
:15 < m < 17.5 ，
:m 的整数解为16,17 ．
23 ．(1)180° ;
(2) 360° ;
(3) 60° .
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质， 解决本题的关键是作已知直线的 平行线，根据平行线的性质找角之间的关系．
(1) 过点A 作DE P BC ，根据平行线的性质可知 上B = 上EAB ，上C = 上DAC ，根据平角的定 义可知上EAB + 上BAC + 上DAC = 180° ,等量代换可证结论成立；
(2) 过点C 作CF P AB ，根据平行线的性质可知 上B = 上BCF ，上D = 上DCF ，根据周角定义 可知上B + 上BCD + 上D = 上BCF + 上BCD + 上DCF = 360° ;
(3) 过点E 作EF P AB ，根据平行线的性质可知上ABE = 上BEF ，上CDE = 上DEF ，根据角平 分线的定义可知上BEF = 上ABE = 26° , 上DEF = 上CDE = 34° ,从而可知
上BED = 上BEF + 上DEF = 60° .
【详解】（1）解：如下图所示，过点 A 作DE P BC ，
:上B = 上EAB ，上C = 上DAC ， Q 上EAB + 上BAC + 上DAC = 180° ,
:上B + 上BAC + 上C = 180° ;
（2）解：上B + 上BCD + 上D = 360° ,
证明：如下图所示，过点C 作CF Ⅱ AB ，
Q AB Ⅱ ED ，
: AB Ⅱ ED Ⅱ CF ，
:上B = 上BCF ，上D = 上DCF ，
:上B + 上BCD + 上D = 上BCF + 上BCD + 上DCF = 360° , :上B + 上BCD + 上D = 360° ;
（3）解：如下图所示，过点 E 作EF Ⅱ AB ，
Q AB Ⅱ CD ，
: AB Ⅱ CD Ⅱ EF ，
:上ABE = 上BEF ，上CDE = 上DEF ，
Q BE 平分上ABC ，DE 平分上ADC ，上ABC = 52° , 上ADC = 68° ,
:上BEF = 上ABE = 26° , 上DEF = 上CDE = 34° ,
:上BED = 上BEF + 上DEF = 26° + 34° = 60° .