吉林省长春市宽城区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份吉林省长春市宽城区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）若分式在实数范围内有意义，则实数x应满足的条件是（ ）
A．x＝3B．x≠3C．x＝﹣2D．x≠﹣2
解：由题可知，
x﹣3≠0时有意义，
解得x≠3．
故选：B．
2．（3分）下列运算一定正确的是（ ）
A．2a•3a＝6aB．a2•a3＝a6
C．（ab）2＝a2b2D．（a3）2＝a5
解：A．2a•3a＝6a2，故本选项不符合题意；
B．a2•a3＝a5，故本选项不符合题意；
C．（ab）2＝a2b2，故本选项符合题意；
D．（a3）2＝a6，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．（3分）我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003，将0.0000003用科学记数法表示为（ ）
A．0.3×10﹣6B．3×10﹣6C．3×10﹣7D．3×10﹣8
解：0.0000003＝3×10﹣7，
故选：C．
4．（3分）若a+b＝3，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）
A．0B．1C．4D．9
解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴a3b+2a2b2+ab3
＝ab（a2+2ab+b2）
＝ab（a+b）2
＝1×32
＝1×9
＝9，
故选：D．
5．（3分）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．等腰三角形的两底角相等
C．三个角都相等的三角形是等边三角形
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
解：A、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；
B、逆命题为：两角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，不符合题意；
C、逆命题为：等边三角形的三个角都相等，正确，是真命题，不符合题意；
D、逆命题为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题，不符合题意．
故选：A．
6．（3分）如图是用尺规作图“作一个角等于已知角”，通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'＝∠AOB，其中判定△C'O'D'≌△COD的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
解：由作图可知，
在△O′C′D′和△OCD中，
，
∴△O′C′D′≌△OCD（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB．
故选：D．
7．（3分）如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则（ ）
A．d1与d2一定相等B．d1与d2一定不相等
C．l1与l2一定相等D．l1与l2一定不相等
解：根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知：当点P在∠AOB的平分线上时，d1与d2一定相等，
故选：A．
8．（3分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸
解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10（寸），OECD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，
即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）分解因式：a2﹣3a﹣4＝ （a﹣4）（a+1） ．
解：a2﹣3a﹣4＝（a﹣4）（a+1），
故答案为：（a﹣4）（a+1）．
10．（3分）用反证法证明“若|a|≤2，则a2≤4”是真命题时，第一步应先假设 a2＞4 ．
解：反证法证明“若|a|≤2，则a2≤4”是真命题时，第一步应先假设a2＞4，
故答案为：a2＞4．
11．（3分）“永不言弃”的英语翻译是“Never give up”，短语中“e”在所有字母中出现的频率为 ．
解：在11个字母中，“e”出现了3次，即频数是3，
∴短语中“e”在所有字母中出现的频率为，
故答案为：．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 3 ．
解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠FAC＝90°，
∴∠FAC＝∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AF＝BE，AE＝CF，
∵BE＝4，CF＝1，
∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，
∴EF＝AF﹣AE＝4﹣1＝3，
故答案为：3．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DAE的度数是 35° ．
解：∵DF垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝100°﹣30°＝70°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE∠CAD70°＝35°，
故答案为：35°．
14．（3分）如图，在等边△ABC中有一点P，连结PA、PB、PC，将BP绕点B逆时针旋转60°得到BD，连结PD、AD．给出下面四个结论：①△BPC≌△BDA；②△BDP是等边三角形；③PA＝PD；④若∠BPC＝150°，则PA2＝PB2+PC2．上述结论中，所有正确结论的序号是 ①②④ ．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝CB，∠ABC＝60°，
∴∠ABP+∠CBP＝60°．
由旋转得，BD＝BP，∠DBP＝60°，
∴△BDP是等边三角形，∠ABP+∠ABD＝60°，
∴∠CBP＝∠ABD，
∴△BPC≌△BDA（SAS）．
故结论①②正确；
∵△BDP是等边三角形，
∴BP＝PD．
由已知条件无法得出PA＝BP，
即无法得出PA＝PD，
故结论③不正确；
∵△BPC≌△BDA，
∴AD＝PC，∠BPC＝∠BDA＝150°．
∵△BDP是等边三角形，
∴∠BDP＝60°，
∴∠ADP＝∠BDA﹣∠BDP＝90°，
∴△ADP为直角三角形．
由勾股定理得，PA2＝PD2+AD2＝PB2+PC2．
故结论④正确．
综上所述，正确结论的序号是①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：．
解：
＝2﹣1+4
＝5．
16．（6分）计算：．
解：原式


．
17．（6分）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+（2x﹣1）2﹣2x（2x﹣1），其中．
解：原式＝x2﹣1+4x2﹣4x+1﹣4x2+2x
＝x2﹣2x，
当x时，原式＝（）2﹣23﹣2．
18．（7分）如图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中，找到一个格点D，连结DB、DC，使△DBC≌△ACB．
（2）在图②中，在边AC上确定一点P，使点P到边AB、BC的距离相等．
（3）在图③中，在边AB上确定一点E，在边BC上确定一点F，连结EF，使EF垂直平分BC．
解：（1）如图1中，△BDC即为所求；
（2）如图2中，点P即为所求；
（3）如图3中，直线EF即为所求．
19．（7分）某市要提升城市园林绿化水平，现需要购买甲、乙两种绿植．已知甲种绿植单价是乙种绿植单价的3倍，用6750元购买的甲种绿植比用3000元购买的乙种绿植少50株．求甲、乙两种绿植的单价．
解：设乙种绿植的单价是x元，则甲种绿植的单价是3x元，
根据题意得：50，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴3x＝3×15＝45，
答：甲种绿植的单价是45元，乙种绿植的单价是15元．
20．（7分）某校为了解学生十一放假期间参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查．家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等，学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次被抽取的学生人数；
（2）把条形统计图补充完整（要求在条形图上方注明人数）；
（3）求扇形统计图中“2项”部分所对应扇形圆心角的度数．
解：（1）本次被抽取的学生人数为：30÷30%＝100（人）；
（2）“3项”的人数为：100﹣3﹣30﹣42﹣10＝15（人），
补全条形统计图如下：
（3）在扇形统计图中，“2项”部分所对应扇形的圆心角度数是360°151.2°．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠A＝60°，∠ADC＝150°，连结BD．
（1）求证：△BCD是直角三角形；
（2）若CD＝6，BC＝10，求四边形ABCD的周长．
（1）证明：∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∵∠ADC＝150°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝150°﹣60°＝90°，
∴△BCD是直角三角形；
（2）解：由（1）可知，△ABD是等边三角形，△BCD是直角三角形，
∴AD＝AB＝BD，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD8，
∴AD＝AB＝BD＝8，
∴四边形ABCD的周长＝AD+AB+BC+CD＝8+8+10+6＝32．
22．（9分）如图，将一个边长为（a+b）的正方形分成四部分，观察图形，解答下列问题：
（1）请根据图中阴影部分面积写出一个关于a、b的代数恒等式： a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ．
（2）应用代数恒等式解决下列问题：
①若图中的a、b（a＞b）满足a2+b2＝19，ab＝3，求a+b的值；
②已知（4﹣3x）2+（2+3x）2＝48，求（4﹣3x）（2+3x）的值．
解：（1）由题意得：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（2）①∵a2+b2＝19，ab＝3，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝19+2×3＝19+6＝25，
∵a+b＞0，
∴a+b＝5；
②设4﹣3x＝a，2+3x＝b，则a+b＝4﹣3x+2+3x＝6，
∴（a+b）2＝36，
∵（4﹣3x）2+（2+3x）2＝48，
∴a2+b2＝48，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝36﹣48＝﹣12，
∴ab＝﹣6，
∴（4﹣3x）（2+3x）的值为﹣6．
23．（10分）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容．
例4：如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．求证：AD＝ED．
证明：∵CE∥AB（已知），
请结合图①将上面的证明过程补充完整．
【问题解决】如图②，在上面例题的图中，过点D作DF⊥AB于点F，若AB＝9，BC＝10，BF＝3，求线段AE的长．
【问题拓展】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，D是边BC的中点，∠EDF＝90°，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连结EF，则线段BE、CF、EF之间的数量关系为 BE2+CF2＝EF2 ．
【教材呈现】证明：∵CE∥AB（已知），
∴∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（两直线平行，内错角相等），
∵D是边BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
∴∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（两直线平行，内错角相等）．
，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AD＝ED；
【问题解决】解：∵BC＝10，D是边BC的中点，
∴BD＝5，
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∵BF＝3，AB＝9，
∴AF＝AB﹣BF＝9﹣3＝6，DF4，
∴AD2，
∴AE＝2AD＝4；
【问题拓展】解：BE2+CF2＝EF2，证明如下：
如图③，延长FD至G，使DG＝DF，连接EG，BG，
∵∠EDF＝90°，
∴ED是FG的垂直平分线，
∴EF＝EG，
由【教材呈现】同理得：△BDG≌△CDF，
∴∠C＝∠DBG，CF＝BG，
∵∠A＝90°，
∴∠EBG＝∠EBC+∠C＝90°，
∴∠EBC+∠DBG＝90°，
∴EG2＝BE2+BG2，
∴BE2+CF2＝EF2；
故答案为：BE2+CF2＝EF2．
24．（12分）在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连结CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角△CMN，连结NB．
（1）当△ABC是等腰直角三角形且∠ACB＝90°时．
问题初现；如图①，若点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则BN与AM所在直线的位置关系是 AM⊥BN ；
深入探究：如图②，若点M在线段AB的延长线上，判断BN与AM所在直线的位置关系，并说明理由；
（2）当△ABC不是等腰三角形且∠ACB＜90°时，如图③．若点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，∠ABC＝45°，判断BN与AM所在直线的位置关系，并证明你的结论．
解：（1）问题初现；如图1，∵△ABC，△CMN为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠MCN＝90°，AC＝BC，CM＝CN，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠ACM＝∠BCN，
在△ACM和△BCN中，
，
∴△ACM≌△BCN （SAS），
∴∠A＝∠CBN＝45°，
∴∠MBN＝∠ABC+∠ABN＝45°+45°＝90°，
∴AM⊥BN；
故答案为：AM⊥BN；
②当点M在线段AB的延长线上时，AM与BN位置关系是AM⊥BN，
∵△ABC，△CMN为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠MCN＝90°，AC＝BC，CM＝CN，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠ACM＝∠BCN，
∵AC＝BC，CM＝CN，
∴△ACM≌△BCN （SAS），
∴∠CAM＝∠CBN＝45°，
∵∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠ABN＝45°+45°＝90°，
即AM⊥BN；
（2）BN⊥AM．
证明：如图3，过点C作CE⊥CB，交BA的延长线于点E，
∵∠ABC＝45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE＝CB，
∵△MCN是等腰直角三角形，
∴CM＝CN，∠MCN＝90°，
∴∠ECM+∠BCM＝90°，且∠BCM+∠BCN＝90°，
∴∠BCN＝∠ECM，且CM＝CN，
∴△CNB≌△CME（SAS），
∴∠NBC＝∠MEC＝45°，
∴∠MBN＝45°+45°＝90°，
∴BN⊥AM．