2024-2025学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级下学期7月期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级下学期7月期末数学检测试卷，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题（17 等内容，欢迎下载使用。
青竹湖湘—外国语学校 2024-2025 学年第二学期期末试卷
初二数学
时量：120 分钟 总分：120 分
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1 ．据教育部教育考试院官方微信消息，2025 年全国高考报名人数达到 1335 万人，1335 万 这个数用科学记数法表示为( )
A ．1335 × 104 B ．133.5 × 105 C ．1.335 × 106 D ．1.335 × 107
2 ．下列方程中是一元二次方程的是( )
A ． B ．x2 + y2 = 1
C ．x2 = 1- x D ．
3 ．下列命题中，正确的是( )
A ．平行四边形的对角线互相平分 B ．四条边相等的四边形是正方形
C ．有一个角是直角的四边形是矩形 D ．对角线相等的平行四边形是菱形
4 ．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人 10 次射击成绩的平均数x （单位： 环）及方差S2 （单位：环2 ）如右表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳 定的运动员参加比赛，应选择( )
A ． 甲 B ． 乙 C ．丙 D ．丁
5 ．已知直线 与两坐标轴的交点分别为A 、B ，则 △AOB 的周长为 ( )
A ．12 B ．10 C ．9 D ．8
6 ．如图，四边形ABCD 是正方形，延长BC 到点 E，使CE = AC ，连结 AE 交CD 于点 F， 则上AFC 等于（ ）度．
甲
乙
丙
丁
x
9
8.8
8.8
9
S2
0.6
0.8
0.6
1.8
A ．112.5 B ．125 C ．135 D ．150
7 ．用配方法解方程x2 - 6x -1 = 0 时，配方结果正确的是( )
A ．(x - 3)2 = 10 B ．(x - 3)2 = 8 C ．(x - 6)2 = 10 D ．(x -1)2 = 1
8 ．如图，在 △ABC 中，上ACB = 90° , 分别以AC ，AB 为边向外作正方形，面积分别为S1 ， S2 ，若S1 = 3 ，S2 = 7 ，则 BC 的长为( )
A ．4 B ．2 C ．、 D ．3
9 ．如图，一次函数y1 = x + b 与一次函数y2 = kx + 4 的图象交于点P(1，3)，则关于 x 的不等 式x + b > kx + 4 的解集是( )
A ．x > 3 B ．x < 3 C ．x >1 D ．x < 1
10 ．已知抛物线y = ax2 + bx + c 的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有( )
① abc > 0 ；② b2 > 4ac ； ③ a - b + c 0 ；⑤ a + c < 1 ．
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11 ．使函数y = 有意义的x 的取值范围是 ．
12 ．因式分解：xy2 - 2xy + x = ．
13 ．如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，M 、N 分别为BC 、OC 的中点．若 MN = 4 ，则 AC 的长为 ．
14 ．把抛物线y = -x2 +1先向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位后所得抛物线为 ．
15 ．为美化校园，学校安排甲、乙两人种植麦冬草，已知两人每小时共种植 40 株麦冬草， 且甲种植 50 株麦冬草所用时间是乙种植 15 株麦冬草所用时间的 2 倍，求甲、乙两人每小时 各种植多少株麦冬草？设甲每小时种植 x 株麦冬草，则可得方程 ．
16．某中学将晨练及体育课外活动、期中成绩、期末成绩按照2 : 4 : 4 的比例确定学期体育综 合成绩．若小云这三项的成绩（百分制）依次是 95 ，90 ，80，则小云这学期的体育综合成 绩是 ．
三、解答题（17 、18 、19 题每题 6 分，20、21 题每题 8 分，22、23 题每题 9 分，
24 、25 题每题 10 分，共 72 分．）
17 ．计算
18 ．（1）解不等式
（2）解方程：x2 - 6x + 8 = 0 ．
19 ．已知关于 x 的一元二次方程x2 - 4x - m = 0 有实数根．
(1)求 m 的取值范围；
(2)若两实数根分别为x1 和x2 ，且 x12 + x22 - x1x2 = 6 ，求 m 的值．
20 ．学校八年级开展了一次交通知识竞赛，成绩分别为 A 、B 、C、D 四个等级，其中相应 等级的得分依次记为 10 分、9 分、8 分、7 分．现抽取部分学生的竞赛成绩整理并绘制成如 下不完整统计图，请根据提供的信息解答下列问题：
(1)抽取了______名学生的竞赛成绩，这些成绩的中位数为______分，众数是______分，扇 形图中 D 级对应扇形的圆心角为______ ° ;
(2)补全条形统计图；
(3)该校八年级共有 1000 人参加本次知识竞赛，且规定 9 分及以上的成绩为优秀，请估计八 年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有多少人？
21 ．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点 O，过点 C、D 分别作BD ，AC 的平行 线，两线相交于点 E．
(1)求证：四边形OCED 为矩形；
(2)连接AE ，若 BD = BC = 6 ，求△ACE 的面积．
22．某地 2023 年种植黄桃 100 亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到 2025 年种植 了 121 亩．
(1)假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率；
(2)一水果店以每件 20 元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量y（件）
与销售单价 x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
①求y 与 x 之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
@若要使每天的销售利润最大，销售单价应定为多少元，每天能获得的最大销售利润是多 少元？
23 ．如图，在矩形ABCD 中，已知 ，点 E、F 分别为BC 、CD 上两点，连接AE 、 AF ．
(1)如图 1，当 k = 1 时，连接EF ，且 上EAF = 45° .
①已知CE = 6 ，CF = 8 ，求 EF 的长； @已知BE = CE = 3，求 DF : CF 的值；
(2)如图 2，若 AF 平分 ÐDAE ，且 DF = CF ，延长 AF 交BC 延长线于点 Q，若 AE = 8 ， AF = 6 ，求 k 的值．
24．定义：已知直线 l：y = k (x - x0 ) + y0 （k 为常数）绕定点P(x0, y0 ) 旋转，则称直线 l 为“旋 转簇直线”，点P(x0, y0 ) 为“旋转簇直线”的不动点，
(1)求直线 l：y = kx - 2k + 3 的不动点坐标；
销售单价 x（元）
22
24
27
销售量y（件）
200
180
150
(2)已知直线与 x、y 轴分别交于点A 、B．
①如图 1，直线 l：y = kx - 2k + 3 （k 为常数）绕不动点 P 旋转时，与y 轴正半轴相交于点 Q，且点 Q 在点 B 上方，当上APQ = 45° 时，求点 Q 坐标；
@）如图 2，直线l2 与 x 正半轴交于点 C，与直线l1 相交于第一象限内的点 D，且恒有
,试问直线l2 是否为“旋转簇直线”，若是，请求出不动点的坐标；若不是，请 说明理由．
25 ．已知点A(x1, y1 )、点B(x2, y2 )，若满足点 ，则称点 A、B 关于点P(x0, y0 ) 对称；若函数C1 图象上所有点关于点P(x0, y0 )对称的点均在函数C2 的图象上，则称函数C1 与函数C2 关于点P(x0, y0 )对称．
(1)已知点A(3,4) ，则点 A 关于原点O(0,0) 、关于点P(-1,2) 的对称点的坐标分别是______， ______，关于点Q(a, b) 对称的点的坐标是______（用含 a 、b 的式子表示）；
(2)已知抛物线C1 ：y = -x2 - 2x + 3 与抛物线C2 ：y = x2 + mx + 5 关于点 R 对称，抛物线C1 的 顶点为 M，若将点 M 向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到的点M ¢ , M ¢ 恰好在 抛物线C2 上，求点 R 的坐标；
(3)已知抛物线C3 ：y = x2 - 2mx + 5 关于点S(m, 2) 对称的抛物线为C4 ，当 0 ≤ x ≤ 1时，抛物
线C4 的最大值和最小值之差为 3，求 m 的值．
1 ．D
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中
1 ≤
a < 10 ，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的
绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解： 1335 万即1335× 104 ，
将 1335 改写为1.335× 103 （因1 ≤ 1.335 < 10 ），
原式可表示为1.335× 103 × 104 = 1.335 × 103+4 = 1.335 × 107 ．
故选：D．
2 ．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次 数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程”，逐项判断即可，熟练掌握一元二次方程的定义是 解题的关键．
【详解】解：A、未知数的最高次数不是 2，不是一元二次方程，不符合题意；
B、有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C．
3 ．A
【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定和性质．熟练掌握平行四 边形、矩形、菱形、正方形的判定和性质、是解题的关键．
根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定和性质，依次判定即可．
【详解】A、平行四边形的对角线互相平分， 故 A 选项正确，符合题意；
B、四条边都相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故 B 选项错误，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故 C 选项错误，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形， 故 D 选项错误，不符合题意．
故选：A
4 ．A
【分析】本题考查了平均数和方差，根据平均数和方差的统计意义，平均数越大成绩越好， 方差越小发挥越稳定．先比较平均数选出成绩好的运动员，再比较比较方差选择发挥稳定的．
【详解】:甲和丁的平均数均为 9 环，高于乙（8.8环）和丙（8.8环） :从甲和丁中选择．
:甲的方差为 0.6，丁的方差为 1.8 ．方差越小表明发挥越稳定， :甲比丁更稳定．
:甲的平均数最高且方差最小，符合“成绩好且发挥稳定”的要求，故选甲．
故选 A．
5 ．A
【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理；先求出直线AB 与两坐标 轴的交点，再求出AB 的长度，即可得出答案．
【详解】解：当 x =0 时，y = -3 ，
当y = 0 时 则 △AOB 的周长为3 + 4 + 5 = 12 ．
故选：A．
6 ．A
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角的性 质．解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据正方形的性质得到上BCA = 上上BCD = 45° , 然后根据三角形外角的性质和 等边对等角求出上上ACB = 22.5° ,然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】:四边形ABCD 是正方形 : 上BCD = 90°
: CE = AC
: 上AFC = 180° - 上CAF - 上ACF = 112.5° .
故选：A．
7 ．A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将x2 - 6x -1 = 0 移项配方即可得出答案． 【详解】解：x2 - 6x -1 = 0 ，
x2 - 6x = 1，
x2 - 6x + 9 = 1+ 9 ， (x - 3)2 = 10 ，
A. (x - 3)2 = 10 ，符合：
B. (x - 3)2 = 8 ，不符合：
C. (x - 6)2 = 10 ，不符合：
D. (x -1)2 = 1，不符合：
故选：A．
8 ．B
【分析】本题主要考查了勾股定理， 正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用 正方形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】解：Q 分别以AC ，AB 为边向外作正方形，面积分别为S1 ，S2 ，
: S1 = AC2 ，S2 = AB2 ．
QS1 = 3 ，S2 = 7 ，
: AC2 = 3 ，AB2 = 7 ．
Q 上ACB = 90° ,
故选：B
9 ．C
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：用函数图象，写出一次函数y1 = x + b 的图
象在一次函数y2 = kx + 4 的图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：根据图象得，当 x >1 时，y1 > y2 ， 即：关于 x 的不等式x + b > kx + 4 的解集为x >1． 故选 C．
10 ．D
【分析】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与 b 的关系，
以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根 据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y 轴交于负半轴，对称轴位于 x 轴负半轴， 与 x 轴有 2 个交点，
: b > 0 ，b2 > 4ac ，故②正确；
: abc < 0 ，故①错误；
当x = -1 时，y = a - b + c < 0 ，故③正确；
: 2a > b ，即 2a - b > 0 ，故④正确；
当 x = 1 时， y = a + b + c = 2 ， : a + c = 2 - b ，
: 2 - b - b < 0 ，即b > 1， : 2 - b < 1 ，
: a + c < 1，故⑤正确；
故选：D．
11 ．x ≥ -3 ## -3 ≤ x
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方 数是非负数，据此列出关于 x 的不等式，解不等式即可．
【详解】解：根据题意，得：
x + 3 ≥ 0 ，
解得：x ≥ -3 ．
故答案为：x ≥ -3 ． 12．x（y-1）2
【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．
【详解】解：xy2-2xy+x =x（y2-2y+1）
=x（y-1）2，
故答案为：x（y-1）2．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公 因式，必须先提公因式．
13 ．16.
【分析】根据中位线的性质求出BO 长度，再依据矩形的性质AC = BD = 2BO 进行求解问题． 【详解】QM 、N 分别为BC 、OC 的中点，
:BO = 2MN = 2 × 4 = 8 ， Q 四边形ABCD 是矩形， Q AC = BD = 2BO = 16 ， 故答案为16 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分 关系．
14 ．y = -(x + 1)2 + 4
【分析】该题考查了抛物线的图象与平移变化， 牢记平移规则“左加右减、上加下减”是解答 本题的关键．
根据平移的性质，向左平移 1 个单位，即用x +1代替原自变量x ，再向上平移 3 个单位，即 函数关系式等号右边加 3，化简即可．
【详解】解：抛物线 y = -x2 +1先向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位得：
y = -(x + 1)2 +1+ 3 = -(x + 1)2 + 4 ，
故答案为：y = -(x + 1)2 + 4 ．
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用： 设甲每小时种植 x 株麦冬草，则乙每小时种 植(40 - x)株麦冬草，根据“甲种植 50 株麦冬草所用时间是乙种植 15 株麦冬草所用时间的 2 倍”，列出方程即可．
【详解】解： 设甲每小时种植 x 株麦冬草，则乙每小时种植(40 - x)株麦冬草，根据题意得：
故答案为 16 ．87 分
【分析】本题考查加权平均数的意义和计算方法， 理解加权平均数的意义，掌握加权平均数 的计算方法是正确解答的前提．
按照2 : 4 : 4 的比例算出本学期的体育成绩即可．
【详解】解：小云这学期的体育综合成绩是 （分）， 故答案为：87 分．
17 ．4
【分析】先计算负整数次幂、零次幂、分母有理化，再进行加减运算．
本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整数次幂、零次幂以及二次根式的运算法则是解题的 关键．
解
= 4 ．
18 ．（1）x ≤ 4 ；（2）x1 = 2, x2 = 4
【分析】此题考查了一元二次不等式的解法、一元一次不等式的解法．
（1）根据不等式求解的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，即可求 解；
（2）利用因式分解的方法求解一元二次方程即可． 解
去分母得：3 (x - 2) ≤ 2(7 - x ) ，
去括号得：3x - 6 ≤ 14 - 2x ，
移项合并同类项得：5x ≤ 20 ，
解得：x ≤ 4 ；
（2）解方程：x2 - 6x + 8 = 0
: (x - 2)(x - 4) = 0 ， : x - 2 = 0, x - 4 = 0 ，
解得：x1 = 2, x2 = 4 ．
19 ．(1) m ≥ -4 ；
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系．
（1）由一元二次方程有实数根可得 Δ = b2 - 4ac = 4 + 4m ≥ 0 ，解不等式即可；
（2）由x1 和x2 是方程x2 - 4x - m = 0 的两个实数根，根据根与系数的关系可得x1 + x2 = 4 ， x1x2 = -m ，又由x12 + x22 - x1x2 = (x1 + x2 )2 - 3x1x2 = 6 ，可得方程42 + 3m = 6 ，求解方程即可．
【详解】（1）解：:关于 x 的一元二次方程x2 - 4x - m = 0 有实数根，
: Δ = b2 - 4ac = 16 + 4m ≥ 0 ， 解得：m ≥ -4 ；
（2）解：: x1 和x2 是方程x2 - 4x - m = 0 的两个实数根， : x1 + x2 = 4 ，x1x2 = -m ，
: x12 + x22 - x1x2 = (x1 + x2 )2 - 3x1x2 = 6 ，
: 42 + 3m = 6 ，
解得：
20 ．(1)40 ，9 ，9 ，36
(2)见解析
(3)估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有650 人
【分析】本题主要考查了条形统计图， 扇形统计图，用样本估计总体，求中位数、众数和圆 心角的度数，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据 A 组人数除以 A 组所占的百分比即可求出抽取的学生总人数，根据中位数、众数 的定义即可求出中位数，众数；求出 D 级人数所占的百分比，再利用360° 乘以这个百分比， 即可求出 D 级对应扇形的圆心角的度数；
（2）用被调查总人数减去 A 、B 、D 三个等级的人数，得到 C 等级人数，即可补全条形图；
（3）根据总人数乘以优秀学生所占的百分比即可求出本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的
学生人数．
【详解】（1）解：一共抽取了12 ÷30% = 40 人， 则中位数为第 20 位和第 21 位的平均数，
∵第 20 位和第 21 位的成绩都为 9 分，
:中位数为分；
C 等级人数为：40 -12 -14 - 4 = 10 （人）， ∵40 个数据中，9 分出现的次数最多，
:众数为 9；
∵D 级所占的百分比为： × 100% = 10% ， :D 级对应扇形的圆心角为：360°× 10% = 36° ; 故答案为：40 ，9 ，9 ，36．
（2）解：C 等级人数为：40 -12 -14 - 4 = 10 （人），
补全条形图如下：
:估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有650 人．
21 ．(1)见解析 (2) 9
【分析】本题主要考查菱形的性质， 矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质，矩形 的判定和性质是解题的关键．
（1）由四边形OCED 对边分别平行，易证四边形OCED 为平行四边形，根据菱形的性质可 得上COD = 90° ,即可证明；
（2）根据矩形的性质得 上OCE = 90° ,由菱形的性质结合勾股定理求出 AC = 2OC = 6 ，
CE = OD = 3 ，根据三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵ CE P BD, DE P AC ，
:四边形OCED 是平行四边形， ∵四边形ABCD 是菱形，
: AC ^ BD ，
: 上COD = 90° ,
:四边形OCED 是矩形；
（2）解：∵四边形OCED 是矩形，
: OC = DE, OD = CE ，上OCE = 90° , ∵四边形ABCD 是菱形，
: AC 丄 BD ，OB = OD ，OC = OA ， ∵ BD = BC = 6 ，
: OB = OD = 3 ，
: AC = 2OC = 6 ，CE = OD = 3 ，
:△ACE 的面积
22 ．(1)种植黄桃亩数的年平均增长率为10%
(2)①y 与x 之间的函数关系式为：y = -10x + 420 (20 ≤ x ≤ 42) ；
②销售单价应定为 31 元，每天能获得的最大销售利润，最大销售利润是 1210 元．
【分析】本题考查了一元二次方程、一次函数和二次函数的应用，掌握待定系数法和找到相 等关系是解题的关键．
（1）根据“2023 年植黄桃 100 亩，到 2025 年种植了 121 亩”列方程求解；
（2）①根据待定系数法求解；
②根据题意列出函数解析式，再根据二次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设种植黄桃亩数的年平均增长率为 x ，
根据题意得：100(1+ x)2 = 121， :1+ x = 1.1或1+ x = -1.1，
解得：x1 = 0.1 = 10%, x2 = -2.1 （不符合题意，舍去）．
答：种植黄桃亩数的年平均增长率为10% ；
（2）解：①设y 与x 之间的函数关系式为：y = kx + b ， 则
解得：
: y 与x 之间的函数关系式为：y = -10x + 420 (20 ≤ x ≤ 42) ； ②设每天的销售利润为 w，
由题意得：w = (x - 20)(-10x + 420) = -10(x - 31)2 +1210 ， :-10 < 0 ，
:当x =31 时，利润最大，最大利润为 1210，
答：销售单价应定为 31 元，每天能获得的最大销售利润，最大销售利润是 1210 元．
23 ．(1)①10；②
【分析】（1）①首先由k = 1 得到AD = AB ，证明出四边形 ABCD 是正方形，然后利用勾股 定理求解即可；
②如图所示，延长CB 到点 G 使BG = DF ，证明出 △ADF≌△ABG (SAS) ，得到 EF = EG = BE + BG = 3 + BG = 3 + DF ，然后利用勾股定理求出 DF = 2 ，得到 CF = 6 - DF = 4 ，进而求解即可；
（2）如图所示，连接 EF ，设 DF = CF = a ， AD = BC = b ，证明出 △ADF≌△QCF (SAS)， 得到QC = AD = b ，AF = QF ，然后表示出CE = BC - BE = b - (2b - 8) = 8 - b ，勾股定理得 到FC2 + CE2 = EF2 ，表示出 a2 + b2 -16b = -36 ，由 AD2 + DF2 = AF2 得到b2 + a2 = 36，然 后代入求出b = ， 进而求解即可．
【详解】（1）①:在矩形ABCD 中，已知 = k ， :当k = 1 时
: AD = AB
:四边形ABCD 是正方形 : 上C = 90°
∵ CE = 6 ，CF = 8
②如图所示，延长CB 到点 G 使BG = DF
∵四边形ABCD 是正方形，BE = CE = 3，
: AD = AB = CD = BC = BE + CE = 6 ，上D = 上ABC = 90° ∵ 上ABC = 上ABG = 90°
: 上D = 上ABG
∵ BG = DF
: △ADF≌△ABG (SAS)
: EF = EG = BE + BG = 3 + BG = 3 + DF ∵ 上C = 90°
: FC2 + CE2 = EF2
: (6 - DF)2 + 32 = (3 + DF)2 : DF = 2
: CF = 6 - DF = 4
（2）如图所示，连接 EF
∵ DF = CF
:设DF = CF = a ，
∵四边形ABCD 是矩形
: AB = CD = 2a ，设 AD = BC = b : ADⅡBC
: 上DAQ = 上Q
∵ DF = CF ，上D = 上FCQ : △ADF≌△QCF (SAS)
:QC = AD = b ，AF = QF :BQ = BC + CQ = 2b
∵ AF 平分 ÐDAE : 上DAF = 上EAF ∵ 上DAQ = 上Q
: 上Q = 上EAF : AE = QE = 8
: BE = BQ - EQ = 2b - 8
: CE = BC - BE = b - (2b - 8) = 8 - b ∵ AF = QF
: EF 丄 AQ
: EF2 = AE2 - AF2 = 28
∵ 上ECF = 90°
: FC2 + CE2 = EF2
: a2 + (8 - b)2 = 28
: a2 + b2 -16b + 64 = 28 : a2 + b2 -16b = -36
∵ÐD = 90°
: AD2 + DF2 = AF2 : b2 + a2 = 36
:代入得，36 -16b = -36
即
: 2a = 3
: AB = 3 ，
【点睛】此题考查了正方形的性质和判定， 矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判 定，等角对等边等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
24 ．(1) (2, 3)
②直线l2 是“旋转簇直线”，不动点的坐标(2,1)
【分析】（1）由直线 l：y = kx - 2k + 3 = k (x - 2) + 3 ，令 x - 2 = 0 ，即可解答；
（2）①先求出A(-4, 0)，过点 A 作AE 丄 AP ，垂足为A ，分别过点P ，点 E 作 x 轴的垂线， 垂足分别为H, G ， 由题意得 上APE = 45° , 易证 △APE 是等腰直角三角形，得到 AP = AE ， 再证明 △AEG≌△APH (AAS)，推出AG = PH, EG = AH ，由（1）知P(2, 3) ，则H(2, 0)，进 而求出EG = 6, AG = 3，求出OG = OA + AG = 7 ，得到E(-7, 6) ，再利用待定系数法即可求 出直线 l，即可求出点 Q 的坐标；②设直线l2 的解析式为y = mx + b ，点C(c, 0)，代入直线l2
得到直线l2 的解析式为y = mx - mc ，联立 求出 再根
据 代入数据即可解答．
【详解】（1）解：∵直线 l：y = kx - 2k + 3 = k (x - 2) + 3 ， 令 x - 2 = 0 ，则 y = 3 ，
:直线 l：y = kx - 2k + 3 的不动点坐标为(2, 3)；
①解：令 解得：x = -4 ；
: A(-4, 0)，
如图 1，过点 A 作AE 丄 AP ，垂足为 A ，分别过点 P ，点 E 作 x 轴的垂线，垂足分别为 H, G ，
∵ 上APE = 45° , 上PAE = 90° , : 上AEP = 45° ,
: △APE 是等腰直角三角形， : AP = AE ，
∵ 上EGA = 上PAE = 90° ,
: 上EAG + 上AEG = 上EAG + 上PAH = 90° , : 上AEG = 上PAH ，
∵ 上EGA = 上PHA = 90° , : △AEG≌△APH (AAS)， : AG = PH, EG = AH ，
由（1）知P(2, 3) ，则H(2, 0)， : PH = 3, AH = OA + OH = 6 ，
: EG = 6, AG = 3，
: OG = OA + AG = 7 ， : E (-7, 6) ，
将点E(-7, 6) 代入直线 l：y = kx - 2k + 3 ，则 6 = -7k - 2k + 3 ，
解得： ，
:直线 l 的解析式为 将x = 0 代入 则
②直线l2 是“旋转簇直线”，不动点的坐标(2,1) ， 设直线l2 的解析式为y = mx + b ，点C(c, 0)，
将点C(c, 0) 代入直线l2 得0 = mc + b ，解得：b = -mc ，
:直线l2 的解析式为y = mx - mc ， 联立
解得：
:
,
∵ AC = 4 + c ， 4 + = 1，
AC AD
4
+ = 1
: 4 + c ·、i5m (çè , : 2m - mc = -1，
: mc = 2m +1，
:直线l2 的解析式为y = mx - 2m +1 = m (x - 2) +1， 令x - 2 = 0 ，则 y = 1，
:直线l2 是“旋转簇直线”，不动点的坐标(2,1) ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形全等 的判定与性质，两点距离公式，等腰直角形的性质，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助 线是解题的关键．
25 ．(1) (-3, -4) ，(-5, - 0) ，(2a - 3,2b - 4)
(3) -1或 2
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的中心对称变换，点的平移．
（1）先由新定义求出点A(x1, y1 ) 关于P(x0, y0 )对称的坐标为(2x0 - x1，2y0 - y1 )，然后据此求 解即可；
（2）由C1 的顶点 M 关于 R 的对称点M ¢ 必为C2 的顶点得到 根 据平移规律求出 M 平移后的坐标代入即可求解；
（3）先求出C4 的关系式，然后分当m ≤ 0 时，当m ≥ 1 时，当0 < m < 1 时三种情况求解即可． 【详解】（1）: A(x1, y1 )、点B(x2, y2 ) ，若满足点 则称点 A、B 关于点P(x0, y0 ) 对称，
: x2 = 2x0 - x1，y2 = 2y0 - y1 ，
:点A(x1, y1 ) 关于P(x0, y0 )对称的坐标为(2x0 - x1，2y0 - y1 )，
:点A(3, 4) 关于原点O(0, 0) 的对称点的坐标为(2 × 0 - 3, 2×0 - 4) 即(-3, -4) ， 点A(3, 4) 关于点P(-1, 2) 的对称点的坐标(2 × (-1) - 3, 2 ×2 - 4) 即(-5, -0)，
点A(3, 4) 关于点Q(a, b) 的对称点的坐标(2a - 3, 2b - 4) ， 故答案为：(-3, -4) ，(-5, -0) ，(2a - 3, 2b - 4) ；
（2）∵ y = -x2 - 2x + 3 = - (x +1)2 + 4 ， : M (-1, 4) ．
∵抛物线C1 ：y = -x2 - 2x + 3 与抛物线C2 ：y = x2 + mx + 5 关于点 R 对称，
: C1 的顶点 M 关于 R 的对称点M ¢ 必为C2 的顶点， 设 R 点坐标为(h, k )
∵ C2 ：y = x2 + mx + 5 的顶点为 的坐标为(2h +1,2k - 4) ，
将点M (-1, 4) 向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得M ¢(1,3) ，代入 C2 得， 3 = 12 + m × 1+ 5 ，
解得m = -3 ，
（3）设C4 上任一点为(x, y)，则其关于S(m, 2) 对称点为(2m - x，4 -y ) ，代入 C3 ，得 C4 ：y = -x2 + 2mx -1，对称轴为直线 x = m ，
∵ -1< 0 ，
:抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大． 当m ≤ 0 时，
x = 0 时取得最大值-1 ，x = 1 时取得最小值2m - 2 ， ∵抛物线C4 的最大值和最小值之差为 3，
:-1- (2m - 2) = 3 ， : m = -1，符合题意； 当m ≥ 1 时，
x = 1 时取得最大值2m - 2 ，x = 0 时取得最小值-1，
∵抛物线C4 的最大值和最小值之差为 3，
: 2m - 2 - (-1) = 3 ，
: m = 2 ，符合题意；
当 0 < m < 1 时，
x = m 时取得最大值m2 -1 ，x = 0 时取得最小值-1或x =1 时取得最小值2m - 2 ， ∵抛物线C4 的最大值和最小值之差为 3，
: m2 -1- (-1) = 3 或m2 -1- (2m - 2) = 3 ，
: m1 = -3, m2 = 3 或 均不符合题意；
综上可知，m 的值为-1或 2．