2024-2025学年湖北省咸宁市嘉鱼县、赤壁市八年级下学期期末教学质量监测数学检测试卷

这是一份2024-2025学年湖北省咸宁市嘉鱼县、赤壁市八年级下学期期末教学质量监测数学检测试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
期末教学质量监测数学试题
（本试题卷共 6 页，满分 120 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：
1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准 考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置．
2 ．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3 ．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在 试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4 ．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共 10 题，每题 3 分，共 30 分．在每题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求）
1 ．下列各式中，一定是二次根式的是( )
A ． ·、 B ． C ． ·、 D ．、
2 ．四边形ABCD 是平行四边形，若上B + 上D = 100° ,则 ÐD 的度数为( )
A ．40° B ．50° C ．60° D ．80°
3 ．如图，在 Ð A 的基础上用尺规作图：①以点A 为圆心，任意长为半径作弧，与 Ð A 的两 边分别交于点B，D ；②分别以点B，D 为圆心，AD 长为半径作弧，两弧相交于点 C；③ 分别连接DC，BC ．可以直接判定四边形ABCD 是菱形的依据是( )
A ．四条边相等的四边形是菱形 B ．一组邻边相等的平行四边形是菱形
C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
4 ．下列计算正确的是( )
A ． + = B ．3 - 2 = 1 C ． D ．
5 ．如图，一次函数y = kx + b 的图象经过点(2,3)，则关于x 的不等式kx + b > 3 的解集为 ( )
A ．x > 2 B ．x < 2 C ．x > 3 D ．x < 3
6 ．某小组 6 名学生的中考体育分数（单位：分）如下：33 ，36 ，36 ，38 ，39 ，40，则该组 数据的众数、中位数分别为( )
A ．40 ，33 B ．36 ，38 C ．36 ，37 D ．36 ，39
7 ．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，点 E 、F 分别为OC 、BC 的中点．若 AC = 12 ，则 EF 的长为( )
A ．6 B ．4 C ．3 D ．2.5
8．如图，在。ABCD 中，将 △ADC 沿 AC 折叠后，点 D 恰好落在 DC 延长线上的点 E 处．若
上B=60° , AB = 1，则 。ABCD 的周长为( )
A ．4 B ．4 C ．6 D ．6
9 ．如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一 定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接 触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数y （单位：N ）与铁块下降的高度x （单位：
cm ）之间的函数关系的大致图象是( )
A．
C．
B．
D．
10 ．一次函数y1 = ax + b 与y2 = cx + d 的图象如图所示，下列结论中正确的有( )
①对于函数y = ax + b 来说，y 随x 的增大而减小；②函数y = ax + d 的图象不经过第一象限；
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
二、填空题（共 5 题，每题 3 分，共 15 分）
11 ．写一个二次根式，使它与 是同类二次根式： ．
12 ．将直线y = x + 1 向下平移 2 个单位长度，平移后直线的解析式为 ．
13．某公司招聘一名英文翻译，某应聘者的听、说、读、写成绩分别为 73 分、80 分、82 分、 83 分．最后成绩中，听、说、读、写成绩按照2 :1: 3 : 4 的比确定，那么该应聘者最后的成 绩为 分（结果保留整数）．
14 ．如图，在平面直角坐标系中，。ABCO 的顶点 B ，C 的坐标分别为(-3, 4) ，(-4, 2) ，则
顶点 A 的坐标为 ．
15．如图，在正方形纸片ABCD 中，点 M，N 分别是BC，AD 上的点，将该正方形纸片沿直 线MN 折叠，使点 B 落在CD 的中点 E 处．若AB = 4 ，则 △CEM 的面积是 ．
三、解答题（共 9 题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16 ．计算
17 ．如图，在。ABCD 中，AE 丄 CD 于点E, CF 丄 AB 于点 F，求证：四边形 AECF 是矩形．
18 ．如图，在。ABCD 中，点 E，F 在对角线BD 上，且BE = DF ．
(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；
(2)若增加一个条件，可使四边形AECF 是菱形，则该条件可以是________．
19 ．今年央视春晚节目《秧 BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的 桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小 达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取A 、B 两种型号的智能机器人各 10 台，统计它们每 天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
A 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
B 型号的智能机
器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示：
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表：
请你根据以上数据，解答下列问题：
(1)填空：表中a = _____ ，b = _____；
(2)请计算表中c 的值，（需要写出计算过程）
(3)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提 出一条合理化建议．
20 ．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y = kx + b 的图象经过点A(6,0) ，与 y 轴交于点 B(0, -3) ，与正比例函数 y = 2x 的图象相交于点 C．
分拣快递数量（万 件）
16
17
20
22
23
机器人台数（台）
1
1
5
2
1
众数/万 件
中位数/万 件
平均数/万 件
方差/万件
2
A 型 号
14 和 16
b
15
c
B 型 号
a
20
20
4.2
(1)求此一次函数的解析式；
(2)求出△OBC 的面积．
21 ．2025 年 4 月 23 日是第 30 个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分 享读书的乐趣，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园” “阅读·梦飞翔”主题活动， 为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》12 套和《昆虫记》6 套， 总费用为 810 元；八年级订购《骆驼祥子》9 套和《昆虫记》7 套，总费用为 795 元．
(1)求《骆驼祥子》和《昆虫记》每套各是多少元？
(2)学校准备再购买《骆驼祥子》和《昆虫记》共 26 套，总费用不超过 1230 元，购买《骆 驼祥子》的数量不超过《昆虫记》的 3 倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所 需的费用．
22 ．根据以下信息，探索完成任务．
如何设计窗户限位器位置
信
息
1
问题背景
平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是 这种平开窗的实物展示图．
信
息
2
数学抽象
把上述实物图抽象成如下示意图．已知滑撑支架的滑动轨道AB 固定在窗 框底边，EF 固定在窗页底边，点 B ，C，D 三点固定在同一直线上．当 窗户关闭时，点 E 与点A 重合，DE 和DB 均落在AB 上；当点 O 向点 B 滑动时，四边形OCDE 始终为平行四边形，其中OE = 8cm ，DE = 16cm ， BC = 17cm ．
23 ．在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点（点 E 不与点 B ，C 重合）， AE 丄 EF ，垂足为点 E，EF 与正方形的外角上DCG 的平分线交于点 F．
(1)如图 1，若点 E 是BC 的中点，猜想AE 与EF 的数量关系是______．证明此猜想时，可取
AB 的中点 P，连接EP ．根据此图形易证△AEP≌△EFC ．则判断△AEP≌△EFC 的依据是
.
______
(2)点 E 在BC 边上运动．
①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
@如图3，连接 AF，DF ，若正方形 ABCD 的边长为 2，直接写出 △AFD周长的最小值为
信
窗户打开一定角度后，OC 与AB 形成一个角上COB ．出于安全考虑，部
息
安全规范
分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在
3
30° 以内（即上COB ≤ 30° ).
问题解决
任
务
1
求解关键 数量
填空：滑撑支架中CD 的长度为_______ cm ，滑动轨道 AB 的长度是 _______ cm ．
任
务
2
确定安装 方案
为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道AB 上安装一个 限位器 P，控制平开窗的开启角度，当点 O 滑动到点 P 时上COB = 30° , 则限位器 P 应装在离点A 多远的位置？（结果保留根号）
.
______
24 ．如图，直线 3 图象与y 轴、x 轴分别交于 A 、B 两点，点 C、D 分别是线段 OA 、线段 AB 上一动点（点 C 与点A 不重合），且 AD = CD ．
(1)求点A ，B 坐标和上BAO 度数；
(2)设OC 的长度为m (0 < m < 3) ，
①用含 m 的代数式表示CD 的长度；
@过点 D 作DE 丄 OB ，垂足为点 E 如图 2，当CD ≥ DE 时，求 m 的取值范围．
1 ．D
【分析】此题主要考查了二次根式， 关键是掌握二次根式定义．根据二次根式的定义，被开 方数必须位非负数，且式子有意义．需逐一分析各选项是否满足条件．
【详解】解： 选项 A： ·、 ，当x ≥ 0 时是二次根式，但x 可能为负数，此时无意义，故不一 定是二次根式．
选项 B： 是立方根，不符合题意
选项 C： ，被开方数为负数，在实数范围内无意义，故不是二次根式．
选项 D： ·、 ，绝对值 x ≥ 0 恒成立，无论x 取何值，被开方数均非负，故一定是二次根式． 故选 D．
2 ．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
: 上B = 上D ，
又∵ 上B + 上D = 100° , : 上D + 上D = 100° , : 上D = 50° .
故选：B．
3 ．A
【分析】本题考查了菱形的判定，熟记菱形的判定定理是解题关键．由作法可知，①可得 AB = AD ，②可得AD = CD = BC ，则 AB = AD = BC = CD ，即可得到答案．
【详解】解：由作法可知 AB = AD = BC = CD ，
则判定四边形ABCD 是菱形的依据是四条边相等的四边形是菱形， 故选：A．
4 ．C
【分析】本题考查二次根式的运算．根据二次根式相关运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A. 、 3 不能合并，原计算错误；
B. 原计算错误；
计算正确；
D. 原计算错误； 故选：C．
5 ．A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握利用数形结合的思想解决 一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．关于x 的不等式kx＋b > 3 的解集即为
y = kx＋b 在y = 3 上方时对应的自变量的取值范围，结合函数图象即可解决．
【详解】解：∵一次函数y = kx＋b 的图象经过点(2,3)，
:关于x 的不等式kx＋b > 3 的解集即为y = kx＋b 在y = 3 上方时对应的自变量的取值范围，
:关于x 的不等式kx＋b > 3 的解集x > 2 故选：A．
6 ．C
【分析】本题考查了众数和中位数， 根据众数和中位数的定义进行计算，众数是数据中出现 次数最多的数；中位数是将数据从小到大排列后，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置 的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数就是这组 数据的中位数．
【详解】解：数据中出现次数最多的数是 36（出现 2 次），因此众数为36； 将数据从小到大排列为 33 ，36 ，36 ，38 ，39 ，40，
共有 6 个数据，中位数为第 3 、4 个数的平均值，即 ，
综上，众数为 36，中位数为 37， 故选：C．
7 ．C
【分析】此题考查了矩形的性质， 三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识 点．
首先得出 ，然后证明出 EF 是△OBC 的中位线，即可得到 ． 【详解】∵矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，
: BD = AC = 12
∵点E 、F 分别为OC 、BC 的中点
: EF 是△OBC 的中位线
故选：C．
8 ．C
【分析】由平行四边形的性质可得 上B = 上D = 60° , AB = CD = 1，与折叠的性质可得 AE = AD ，CD = CE = 1，又由 上D = 60° ,可证 △AED 是等边三角形，可得
AD = AE = DE = 2 ，即可求得。ABCD 的周长． 【详解】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形， :上B = 上D = 60° , AB = CD = 1，
Q将 △ADC 沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处，
: AE = AD ，CD = CE = 1，又Q 上D = 60° , :△AED 是等边三角形，
: AD = AE = DE = 2 ，
: 。ABCD 的周长= 2 (AB + AD ) = 2 × (1+ 2) = 6 ， 故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换， 平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握折叠的 性质是本题的关键．
9 ．C
【分析】本题考查了函数图象， 根据题意，分三个阶段分析即可得出答案，解题的关键是明 确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：在铁块接触水面前，F拉 = G ， :此过程中弹簧测力计的读数不变，
: F拉 = G - F浮 ，
:从铁块慢慢浸入水面开始，浮力增大，拉力减小， 当铁块完全浸入水面后，浮力不变，拉力不变，
:符合题意是C 选项， 故选：C．
10 ．D
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质．①根据函数图 象直接得到结论；②根据a 、d 的符号即可判断；③当x =3 时，y1 = y2 ；④当x =1 时，根 据图象得不等式．
【详解】解：由图象可得：对于函数 y1 = ax + b 来说，y 随x 的增大而减小，故①正确；
由于a < 0 ，d < 0 ，所以函数 y = ax + d 的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限， 故②正确；
Q 一次函数y1 = ax + b 与y2 = cx + d 的图象的交点的横坐标为3 ，
: 3a + b = 3c + d ，
: 3a -3c = d -b ，
故③正确；
当x = 1 时，y1 = a + b ，y2 = c + d ，
由图象可知y1 > y2 ，
: a + b > c + d ，
:d < a + b - c ，故④正确； 综上，①②③④正确，
故选：D．
11 ．2 （答案不唯一）
【分析】本题考查了同类二次根式， 被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式，据此解
答即可求解，掌握同类二次根式的定义 是解题的关键．
【详解】解：与 3 是同类二次根式的可以是2 3 ，
故答案为：2 ．
12 ．y = x -1
【分析】本题主要考查函数图象的平移变换，解答本题的关键在于熟练掌握函数图象平移的 法则“左加右减，上加下减”，根据平移的法则即可得出平移后的函数表达式．
【详解】解：直线 y = x + 1 向下平移 2 个单位长度后直线的解析式为y = x +1- 2 = x -1， 故答案为：y = x -1 ．
13 ．80
【分析】本题主要考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式
其中xi 为数据，wi 为权重 ）是解题的关键．本题需根据加权 平均数的计算方法，将听、说、读、写成绩按照给定的比例计算出最后成绩， 即各成绩乘以 对应权重后求和．
【详解】解： 首先确定各项成绩的权重：听、说、读、写成绩的比为2 :1: 3 : 4 ，那么总权重 为2 +1+ 3 + 4 = 10 ．
:最后成绩
故答案为：80 ．
14 ．(1, 2)
【分析】此题考查了平行四边形的性质、坐标系中点的平移等知识．根据题意得到点 C 到 点 B 的平移方式和点 O 到点A 的平移方式相同，据此进行解答即可．
【详解】解：:四边形ABCO 是平行四边形， :BC Ⅱ OA, BC = OA ，
:点 C 到点 B 的平移方式和点 O 到点A 的平移方式相同， :顶点 B ，C 的坐标分别为(-3, 4) ，(-4, 2) ，
:点 C 到点 B 的平移方式是向右平移 1 个单位，向上平移 2 个单位，
: O(0, 0) 向右平移 1 个单位，向上平移 2 个单位得到A(1, 2) ， 故答案为：(1, 2)
15 ．
【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理．由折叠的性质得BM = EM ， 设BM = EM = x ，在 Rt△CEM 中，利用勾股定理列式计算求得 再利用三角形面积 公式求解即可．
【详解】解：:正方形纸片ABCD ，AB = 4 ，
: AB = BC = CD = 4 ，上C = 90° , 由折叠的性质知，BM = EM ，
设BM = EM = x ，
:点 E 是CD 的中点，
在Rt△CEM 中，EM = x ，CM = 4 - EM = 4 - x ， 由勾股定理得CE2 + CM2 = EM 2 ，
: 22 + (4 - x )2 = x2 ，
解得 即CM = ，
: △CEM 的面积是
故答案为： ．
16 ．
【分析】根据分母有理化，零指数幂公式，绝对值的化简，二次根式的化简解答即可． 【详解】解：原式 = 3 +1+ ( -1)-
【点睛】本题考查了分母有理化， 零指数幂公式，绝对值的化简，二次根式的化简，熟练掌 握运算法则是解题的关键．
17 ．见解析
【分析】本题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定方法是 解题的关键．证明上EAF = 上AEC = 上AFC = 90° ,即可得出结论；
【详解】证明：: AE 丄 CD ，CF 丄 AB ，
: 上AEC = 上AFC = 90° ,
在。ABCD 中，AB Ⅱ CD ，
: 上EAF = 180° - 上AEC = 90° , : 上EAF = 上AEC = 上AFC = 90° , :四边形AECF 为矩形．
18 ．(1)见解析
(2) AE = CE （答案不唯一）
【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等 知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明 △ABE≌△CDF(SAS) ，得 AE = CF ，上AEB = 上CFD ，则 上AEF = 上CFE ，再证明 AE Ⅱ CF ，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的判定即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
: AB = CD ，ABⅡCD ， :上ABE = 上CDF ，
在 △ABE 和△CDF 中，
:△ABE≌△CDF(SAS) ，
: AE = CF，上AEB = 上CFD ，
:上AEF = 上CFE ， : AE Ⅱ CF ；
:四边形AECF 是平行四边形；
（2）添加条件：AE = CE ，理由如下：
由（1）可知，四边形 AECF 是平行四边形， Q AE = CE ，
:平行四边形AECF 是菱形，
故答案为：AE = CE （答案不唯一）．
19 ．(1)20 ，15
(2)1.4
(3)购买 B 型机器人，见解析
【分析】本题考查了众数、中位数、平均数和方差， 以及利用相关数据作出决策，熟练掌握 统计的基本知识是解题的关键；
（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据方差的定义求解即可；
（3）从众数、中位数和平均数三个方面进行分析即可得出结论．
【详解】（1）解：B 型号的智能机器人每天可分拣 20 万件的有 5 台，数量最多， 所以众数a = 20 ；
A 型号机器人分拣的快递件数从小到大排列后，最中间的两个数据是 15 ，15， 所以中位数
故答案为：20 ，15；
（3）因为从众数、中位数和平均数来看，B 型机器人的相应数据都高于 A 型机器人， 所以应该购买 B 型机器人．
20 ． (2)3
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、求两条直线的交点等知识， 熟练掌握 一次函数的相关知识是解题的关键；
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先联立两个函数的解析式求出点 C 的坐标，再根据三角形的面积公式求解．
【详解】（1）解：∵一次函数y = kx + b 的图象经过点A(6, 0) ，与 y 轴交于点B(0, -3) ， 解得 ，
:此一次函数的解析式为
（2）解：解方程组 得
:点 C 的坐标是(-2, -4)，
:△OBC 的面积
21 ．(1)《骆驼祥子》单价为 30 元，《昆虫记》单价为 75 元
(2)《骆驼祥子》19 套，《昆虫记》7 套，费用为 1095 元
【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组和一次函数的应用，根据等量关系 列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键．
（1）设《骆驼祥子》每套 x 元，《昆虫记》每套y 元，根据《骆驼祥子》12 套和《昆虫记》 6 套，总费用为 810 元；八年级订购《骆驼祥子》9 套和《昆虫记》7 套，总费用为 795 元， 列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设学校购买《骆驼祥子》m 套，则购买《昆虫记》(26 - m) 套，由题列出一元一次不 等式组，解出未知数范围，设所需费用为 W 元，则W = 30m + 75 (26 - m) = -45m +1950 ，根 据一次函数性质求出结果即可．
【详解】（1）解：设《骆驼祥子》每套 x 元，《昆虫记》每套 y 元，
根据题意，得：{ 0
解得{ ，
答：《骆驼祥子》单价为 30 元，《昆虫记》单价为 75 元．
（2）解：设学校购买《骆驼祥子》m 套，则购买《昆虫记》(26 - m) 套，
根据题意得{ +(-()-m)≤1230 ，
解得
设所需费用为 W 元，则W = 30m + 75 (26 - m) = -45m +1950 ， ∵ -45 < 0 ，
: W 随 m 的增大而减小，
:当m = 19 时，W 有最小值为W = -45× 19 +1950 = 1095 （元）
此时，26 - m = 7 （套）．
答：学校购买《骆驼祥子》19 套，《昆虫记》7 套，所需费用最小为 1095 元．
22 ．【任务 1】8 ，41；【任务 2】限位器 P 应装在离 A 点(26 - 8)cm 的位置
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，含 30 度角的直角三角形的性质．
（1）根据题意，可得CD = OE，AB = DE + DB ，从而得到结果；
（2）作CH丄 AB ，在 Rt△OCH 中，求出CH，OH ，从而得到 BH长，即可得到结果． 【详解】解：【任务 1】∵四边形OCDE 始终为平行四边形，OE = 8cm
: CD = OE = 8cm
∵当窗户关闭时，点E 与点A 重合，DE 和DB 均落在AB 上， : AB = DE + DB = DE + CD + BC = 16 + 8 +17 = 41(cm) ，
故答案为：8 ，41；
【任务 2】
解：过点 C 作CH丄 AB 交AB 于点 H，
依题意得上COB = 30° ,
∵四边形OCDE 为平行四边形， : ED = CO = 16
∵ CH 丄
又∵CH 丄 AB ，CB = 17 ，
:根据勾股定理可得
:限位器 P 应装在离 A 点 的位置．
23 ．(1) AE = EF ，ASA
(2)①成立，理由见解析；② △AFD的周长的最小值是2 + 2 5 【分析】（1）取 AB 的中点 P，连接 EP ．先证AP = EC ，再证
上APE = 上ECF，上BAE = 上CEF ，然后由 ASA 证△AEP≌△EFC，即可得出结论；
（2）①在AB 上取一点 P，使 BP = BE ，连接PE ，由 ASA 证△AEP≌△EFC ，即可得出 结论；
②过 D 作DH丄 CF 交DG 于点 H，连接FH、AH ，证 △DCH 是等腰直角三角形，则点 H 与D 关于CF 对称，得DF = HF ，AF + DF = AF + FH ，当 A、F、H 三点共线时，AF + FH
即AF + DF 最短，此时AF + DF = AH ，BH = BC + CH = 2 ，再由勾股定理得 AH = 2 ，
此时周长最小值c = AD + AF + DF = 2 + 2 ．
【详解】（1）解：如图 1，取 AB 的中点 P，连接 EP ．
则 ∵点 E 是BC 的中点，
∵四边形ABCD 是正方形，
: AB = BC，上B = 上BCD = 90° ,
: AP = EC，上BAE + 上AEB = 90°, BP = BE，上DCG = 90° , : △BPE 是等腰直角三角形，
: 上BPE = 45° ,
: 上APE = 180° - 上BPE = 180° - 45° = 135° , ∵ CF 平分上DCG ，
: 上DCF = 上GCF = 45° ,
: 上ECF = 180° - 上GCF = 180° - 45° = 135° , : 上APE = 上ECF ，
∵ AE 丄 EF ，
: 上AEF = 90° ,
: 上AEB + 上FEC = 90° , : 上BAE = 上CEF ，
在△AEP 和 △EFC 中，
ï
íAP = EC ， ïl上APE = 上ECF
ì上PAE = 上CEF
: △AEP≌△EFC (ASA ) ， : AE = EF ，
故答案为：AE = EF ，ASA ；
（2）解：①成立，理由如下：
如图 2，在 AB 上取一点 P，使 BP = BE ，连接PE ，
则AP = EC ，
由（1）得：上PAE = 上CEF ， : BP = BE，上B = 90° ,
: △BPE 是等腰直角三角形， : 上BPE = 45° ,
: 上APE = 180° - 上BPE = 180° - 45° = 135° ,
: 上APE = 上ECF ，
在△AEP 和 △EFC 中，
: △AEP≌△EFC (ASA ) ， : AE = EF ；
②如图3，过 D 作DH丄 CF 交DG 于点 H，连接FH、AH ，
: 上DCF = 45° ,
∴ 上CDH = 45° ,
∴ △DCH 是等腰直角三角形， ∴点 H 与 D 关于CF 对称， ∴ DF = HF ，
∴ AF + DF = AF + FH ，
当 A、F、H 三点共线时，AF + FH 即AF + DF 最短， 此时AF + DF = AH ，BH = BC + CH = 4 ，
在Rt△ABH 中，由勾股定理得
此时 △AFD 周长的最小值c = AD + AF + DF = 2 + 2 ；
故答案为：2 + 2 ．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、 等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识， 熟练掌握正方形的 判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
24 ．(1)点 A 的坐标为(0, 3)，点 B 的坐标为(3 , 0) ，上BAO = 60°
(2)① CD = 3 - m(0 < m < 3) ；②当CD ≥ DE 时 m 的取值范围为0 < m ≤ 1
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 A ，B 的坐标及OA ，OB 的长度， 在Rt△AOB 中，利用勾股定理可求出AB 的长度，由 的中点 K，连接 KO ，可得 △AKO 是等边三角形，进而求出上BAO 的度数；
（2）①结合（1）结论可求出 AC = 3 - m ，证明 △ADC 为等边三角形 ，根据等边三角形 的性质即可求解；
②根据含30° 的直角三角形的性质求出 结合CD ≥ DE得出3 - m ≥ , 解 不等式即可求解．
解：当x = 0 时
:OA = 3 ，点 A 的坐标为(0, 3)， 当y = 0 时
解得：x = 3 ，
: OB = 3 ，
: 点B 的坐标为(3 , 0)，
在Rt△AOB 中，上AOB = 90° , : AB = = 6 ，
如图，取AB 的中点K ，连接KO ，
: AK = AO = KO ，
: △AKO 是等边三角形， : 上OAB = 60° ;
（2）解：①在图2 中， QOA = 3 ，OC = m ，
: AC = 3 - m ，
Q AD = CD ，上BAO = 60° , :△ADC 为等边三角形 ，
:CD = AD = AC = 3 - m(0 < m < 3) ； @ Q BD = AB - AD ，
:BD = 6 - (3 - m) = 3 + m ，
在Rt△AOB 中，上AOB = 90° , 上OAB = 60° , :上ABO = 30° ,
Q DE 丄 OB ，
1 3 + m
:DE = BD = ， 2 2
当CD ≥ DE 时，即3 - m ≥ ,
解得：m ≤ 1 ，
又 0 < m < 3 ，
:0 < m ≤ 1，
:当CD ≥ DE 时，m 的取值范围为：0 < m ≤ 1 ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、解含 30 度角的直角三角形、 等边三角形的判定与性质、解不等式等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键．