2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市南香坊区八年级下学期期末测试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市南香坊区八年级下学期期末测试数学检测试卷，共50页。
数学学科（八年级）
考生须知：
1 ．本试卷满分为 120 分，考试时间为 120 分钟．
2 ．答题前，考生先将自己的“姓名” 、“考场” 、“座位号”在答题卡上填写清楚．
3 ．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答 案无效；在草稿纸上、试题纸上答题无效．
4．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔 书写，字体工整、字迹清楚．
5 ．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第 I 卷选择题（涂卡）
一、选择题（每小题 3 分，共计 30 分）
1 ．下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A ． B ． C ． D ．
2 ．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( )
A ．1.5 ，2 ，3 B ．5 ，24 ，25 C ．6 ，8 ，10 D ．8 ，12 ，15
3 ．若把直线y = 2x + 3 向上平移 3 个单位长度，得到的图象对应的函数解析式是( )
A ．y = 5x + 3 B ．y = 2x - 3 C ．y = 2x + 6 D ．y = 2x
4 ．如图，在数轴上找到分别表示原点，数 1 的点O 和点B ，过点B 作AB 丄 OB ，且AB = 2 ， 再以点O 为圆心，以OA 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 表示的数是( )
A ．2 B ． -1 C ． +1 D ．J5
5 ．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念， 全班共送了 2070 张相片，如果全班有 x 名学生，根据题意，列出方程为( )
A ．x(x－1) ＝2070 B ．x(x＋1) ＝2070 C ．2x(x＋1) ＝2070 D ．
6 ．如图，已知点 E 、F 分别是四边形 ABCD 的边 AD 、BC 的中点，G 、H 分别是对角线 BD 、AC 的中点，要使四边形 EGFH 是菱形，则四边形 ABCD 需满足的条件是( )
A ．AB=CD B ．AC=BD C ．AC⊥BD D ．AD=BC
7 ．定义新运算：m*n = m2 - mn - 3 ，例如：2*3 = 22 - 2× 3 - 3= -5，则关于x 的一元二次方 程x*3 = 1 的根的情况是( )
A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根
C ．有实数根 D ．有两个不相等的实数根
8 ．如图，矩形ABCD 中， AB = 6，BC = 8， 以D 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 CD ， BD 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于长为半径画弧交于点G ，作射线DG 交BC 于点H ，则 CH长为( )
A ．2 B ．3 C ． D ．
9 ．如图，正方形ABCD 的边长为 8，点 E 在正方形ABCD 内， △ABE 是等边三角形，在对 角线AC 上有一动点P ，则 PD + PE 的最小值为( )
A ．6 B ．8 C ．6 D ．8
10 ．如图 1，点E 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A - D - B 方向运动到对角线BD 的中点O ， 如图 2 是 △ECD 的面积y 随点E 运动的路程x 变化的图象，则m 的值为( )
A ．2 B ．4 C ．5 D ．6
第 II 卷 非选择题
二、填空题（每小题 3 分，共计 30 分）
11 ．函数 中， 自变量 x 的取值范围是 ．
12 ．已知x = -1 是方程x2 - ax + 6 = 0的一个根，则a = ．
13 ．已知点A(4, y1 ), B (-2, y2 ) 都在直线 上，则y1
14 ．某科技馆“数学乐园”展厅的 WiFi 密码被设计成如图所示的数学问题，某同学在参观时 经过认真思索，输入密码一次就顺利地连接到网络，他输入的密码是 ．
15 ．某新能源汽车 1 月售价 25 万元/辆，3 月降至20.25 万元/辆，则月平均降价率为 ．
16 ．一次函数y = ax + 3 与y = bx -1 的图象如图所示，其交点为A(-3, m) ，则不等式 ax - bx + 3 > -1 的解集是 ．
17．如图是由三角形组合而成的一组图案，第 1 个图案有 4 个三角形，第 2 个图案有 7 个三 角形，第 3 个图案有 10 个三角形，第 4 个图案有 13 个三角形， … ,按照此规律，第 10 个 图案中三角形的个数为 ．
18 ．如图，在菱形ABCD 中，上ABC = 120° ,将菱形折叠，使点 A 恰好落在对角线BD 上的 点G 处（不与B, D 重合），折痕为 EF ，若 DG = 2 ，BG = 4 ，则点 E 到BD 的距离为 ．
19 ．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2, 3)，点 B 的坐标为(-2, 0) ，点 P 从原点出发， 沿x 轴正方向运动，当 △ABP 为等腰三角形时，点P 的坐标为 ．
20 ．如图，在正方形ABCD 中，点E 为AD 上的一点，连接BE ，点 H 为BE 的中点，BE 的 垂直平分线交AB 于点F ，交CD 于点G ，EM 丄 EF ，交CD 于点M ，连接 BM 交FG 于点 N ．则下列结论：① 上BFG = 上EFG ；② BE = FG ；③ BH = HN ；④若AB = 3AE ，则 BC = 2CM ．其中一定正确的有 ．（填序号）
三、解答题（其中 21 、22 每题 7 分，23 、24 每题 8 分，25-27 每题 10 分）
21 ．计算：
22 ．解方程：
(1)3x (x -1) = 2 (x -1) ；
(2) 2x2 - 7x + 3 = 0 ．
23 ．如图是由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格 点．线段AB 的端点均在格点上．
(1)以线段AB 为边作一个平行四边形ABCD ，使得平行四边形 ABCD 的面积为 16；
(2)在（1）的条件下，在线段 AB 上画点E ，使 DE ^ AB （仅用无刻度的直尺作图，并保留 作图痕迹．），并直接写出线段DE 的长．
24 ．如图 1 ， △ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥ BC 交CE 的延长线于点F ．
(1)求证：四边形ADBF 是平行四边形；
(2)如图 2，若 ÐBAC = 90 ，AC = 8，四边形 ADBF 的面积为 点M 在线段BC 上，
AM = 7 ，请直接写出 BM 的长．
25．某食品配送公司需将 152 箱食品运送到两个社区中心A 和B ．公司有大卡车和小卡车共
15 辆，恰好能一次性运完所有食品．已知每辆大卡车载货 12 箱，每辆小卡车载货 8 箱．大 卡车运往中心A 的费用为 800 元/辆，运往中心B 的费用为 900 元/辆；小卡车运往中心A 的 费用为 400 元/辆，运往中心B 的费用为 600 元/辆．根据上述信息，解答下列问题：
(1)求这 15 辆车中，大卡车和小卡车各有多少辆；
(2)现安排其中 10 辆卡车前往中心A ，其余卡车前往中心B ．设前往中心A 的大卡车为x 辆， 前往A 、B 两中心的总运费为y 元，求出y 与x 的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，若运往中心A 的食品不少于 100 箱，如何调配卡车使总运费最少，并 求出最少费用．
26 ．已知，如图 1，在矩形 ABCD 中，连接AC，BD 交于点O ，过点 D 作 DE∥AC交BC 延 长线于点E ．
(1)求证：DE = 2OD ；
(2)如图 2，点 F 为四边形ABED 外一点，连接FB，FE ，点G 为BF 的中点，连接CG ，若
ÐF = 2ÐBAC，CG∥BD ．求证：四边形BDEF 为菱形；
(3)如图3，在（2）的条件下，点 P 在EF 上，点Q 在BE 上，连接PQ，以PQ 为边作等边
△PQR ，连接 BR 交CG 于点H ，点 H 为CG 中点，若Ð BRQ = Ð F + Ð BQR， Ð BDE =
Ð ACB，PQ = ·、 ，求 PF 的长．
27．如图1，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 分别交x 轴的正半轴，y 轴的 正半轴于点A ，点 B ，OA = OB = m ，且 m2 一 16m + 64 = 0 ．
(1)求直线AB 的解析式；
(2)如图2 ，点C 为x 轴负半轴上一点，点D 为y 轴正半轴上一点，P、Q 为直线AD 上两点， 且PA = PC ，CQ = OQ ， ，点P 的横坐标为t (t > 0) ，设△PCQ 的面积为S ，求S 与 t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；
(3)如图3，在（2 ）的条件下，点M在线段AQ 的延长线上，连接BM ，以BM 为斜边在MB 的下方作等腰直角 △BMN ，连接PN ，ON ，若S△CPQ = 4 ，上ONP = 45° , 求直线BM 的解析 式．
1 ．A
【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；② 被开方数不含分母．
【详解】 · , 被开方数 2 是质数，无平方因子，且不含分母，符合最简二次根式条件，故 A 正确．
= 7 ，可化简为整数，不是二次根式，故 B 错误．
,被开方数含分母 10，需有理化为，故原式非最简，故 C 错误． ,被开方数含分母 2，需有理化，原式非最简，故 D 错误．
故选 A．
2 ．C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，若三角形三边长满足较小两边的平方和等于最大边的 平方，则该三角形为直角三角形．依次验证各选项即可．
【详解】最大边为 3，计算得：1.52 + 22 = 2.25 + 4 = 6.25 ≠ 32 = 9，不满足条件，故 A 错误． 最大边为 25，计算得：52 + 242 = 25 + 576 = 601 ≠ 252 = 625 ，不满足条件，故 B 错误．
最大边为 10 ，计算得：62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102 ，满足条件，能构成直角三角形，故 C 正确．
最大边为 15，计算得：82 +122 = 64 +144 = 208 ≠ 152 = 225，不满足条件，故 D 错误． 故选 C．
3 ．C
【分析】本题考查一次函数图形的平移，根据一次函数平移的规律“上加下减”，将原直线的 截距向上平移 3 个单位，直接调整常数项即可．
【详解】解：原直线为 y = 2x + 3 ，向上平移 3 个单位长度，根据“上加下减”原则，只需在 函数表达式末尾加上平移的单位数，即y = 2x + 3 + 3 = 2x + 6 ．
故选 C．
4 ．D
【分析】本题主要考查了实数与数轴， 勾股定理．先利用勾股定理求出OB = /5 ，结合数轴 即可求解．
【详解】解：∵ AB = 2 ，OB = 1 ，AB 丄 OB ，
由勾股定理得OA = = ·、 ，
:点 P 表示的数为 ·、 ， 故选：D．
5 ．A
【详解】解：根据题意得：每人要赠送（x -1）张相片，有 x 个人， :全班共送：（x -1）x=2070，
故选 A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找等量关系是解决问题的关键．
6 ．A
【分析】由点 E 、F 、G 、H 分别是四边形 ABCD 中 AD 、BC 、BD 、AC 的中点，根据三角 形中位线的性质，可得 又由当 EG=FH= EH=FG 时，四边 形 EGFH 是菱形，即可求得答案．
【详解】解：:点 E 、F 、G 、H 分别是任意四边形 ABCD 中 AD 、BC 、BD 、AC 的中点，
:当EG=FH= EH=FG 时，四边形 EGFH 是菱形， :当 AB=CD 时，四边形 EFGH 是菱形．
故选：A．
【点睛】此题考查了菱形的判定以及三角形中位线的性质．此题难度适中，熟练掌握菱形的 判定方法是解答本题的关键．
7 ．D
【详解】本题主要考查一元二次方程根的情况和新定义运算题型，根据新运算的定义，方程 转化为标准一元二次方程，计算判别式判断根的情况．
【分析】解：由新运算定义，方程x *3 = 1可化为： x2 - 3x - 3 = 1 ． 整理为标准形式：x2 - 3x - 4 = 0 ．
计算判别式： Δ = (-3)2 - 4× 1 × (-4) = 9 +16 = 25 ． 因 Δ = 25 > 0 ，方程有两个不相等的实数根；
故选 D．
8 ．B
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，尺规作图作角平分线，角平分线的性质． 先根据矩形的性质结合勾股定理求出BD = 10 ，作 HI丄 BD ，由作图知 HI = HC ，证明
△DHI≌△DHC ，设 HI = HC = x ，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：∵矩形ABCD 中，AB = 6，BC = 8 ， : AD = BC = 8 ，上A = 上C = 90° , AB = CD = 6
作HI 丄 BD ，由作图可知 DG 是上BDC 的角平分线，即HI = HC ，
: △DHI≌△DHC (HL)，
: ID = CD = 6 ，
: BI = BD - DI = 4 ， 设HI = HC = x ，
则BH = 8 - x ，
: x2 + 42 = (8 - x )2 ， 解得x = 3 ，
故选：B．
9 ．B
【分析】本题考查的是正方形的性质和轴对称一最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短” 是解答此题的关键． 设BE 与AC 交于点P¢ , 连接BD ，由于点 B 与 D 关于AC 对称，此时 PD + PE = BE 最小，而BE 是等边 △ABE 的边，BE = AB ，由正方形 ABCD 的边长为 8，从 而得出结果．
【详解】解:设BE 与AC 交于点P¢ ,连接 BD ，
Q 四边形ABCD 为正方形，
: AC 丄 BD ，且 AC 平分BD ．
: 点 B 与 D 关于AC 对称，
:P¢D = P¢B ．
:P¢D + P¢E = P¢B + P¢E = BE 最小．
Q 正方形ABCD 的边长为 8 ， △ABE 是等边三角形，
:BE = AB = 8 ．
故选:B．
10 ．C
【分析】本题主要考查了函数的实际应用，找到函数图像上特殊点对应的点E 在菱形图形上 运动过程中的特殊点，根据菱形的面积的两种表示方式即可得到答案；
【详解】解：由图 1 和图 2 可知，当 时，点E 与点A 重合，相当于S△ ,
当y = 6 时，点E 和点O 重合，相等于S△OCD = 6 ， : S菱形ABCD = 6 × 4 = 24 ，
解得：m = 5 ，
故选：C．
11 ．x ≥ 1
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件， 可得x —1 ≥ 0，解不等式即可，熟知根号下需要 大于等于 0，是解题的关键．
【详解】解：根据二次根式的意义，有x —1≥ 0 ， 解得x ≥ 1，
故自变量 x 的取值范围是x ≥ 1，
故答案为：x ≥ 1．
12 ．-7
【分析】本题考查了一元二次方程的解．直接把x = -1 代入方程，即可求出a 的值． 【详解】解：把 x = -1 代入方程x2 - ax + 6 = 0中，
则(-1)2 - a × (-1) + 6 = 0 ，
:1+ a + 6 = 0 ，
:a = -7 ，
故答案为：-7 ．
13 ．>
【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，根据一次函数的增减性进行判断即可。 解
: y 随着x 的增大而增大，
∵点A(4, y1 ), B (-2, y2 ) 都在直线 上，且4 > -2 ， : y1 > y2 ；
故答案为：>
14 ．13c12b5a
【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理即可解答．
【详解】解：第一个三角形 密码是5c4b3a ；
第二个三角形 密码是10c8b6a ；
第三个三角形 密码是13c12b5a ；
:他输入的密码是13c12b5a ．
故答案为：13c12b5a ．
15 ．10%
【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用．
设月平均降价率为 x，新能源汽车 1 月售价 25 万元/辆，3 月降至20.25 万元/辆，据此列出 一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设月平均降价率为 x，
由题意得：25 (1— x )2 = 20.25 ，
解得：x1 = 0.1 = 10% ，x2 = 1.9 （不符合题意，舍去）， : 月平均降价率为10% ．
故答案为：10%
16 ．x > —3
【分析】本题考查了一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式．根据不等式ax + 3< bx —1 表示的是直线AB 位于直线BC 的上方，结合函数图象即可得．
【详解】解： 如图，一次函数y = ax + 3 的图象为直线AB ，一次函数y = bx —1 的图象为直线 BC ，
∵不等式ax + 3 > bx —1 表示的是直线AB 位于直线BC 的上方，且两条直线的交点为B(—3, m) ， :结合函数图象可知，不等式ax — bx + 3 > —1 的解集为x > —3 ，
故答案为：x > —3 ．
17 ．31
【分析】本题考查图形类规律探究， 观察可知，后一个图形比前一个图形多 3 个三角形，进 而推出第n 个图案有4 + 3 (n —1)个三角形，进行求解即可．
【详解】解：观察可知，后一个图形比前一个图形多 3 个三角形， :第n 个图案有4 + 3 (n —1) 个三角形，
:第 10 个图案中三角形的个数为4 + 3× (10 —1) = 31；
故答案为：31．
18 ．
【分析】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形， 掌握翻转 变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是 解题的关键．作EH丄 BD 于 H ，，根据折叠的性质得到 EG = EA，根据菱形的性质、等边 三角形的判定定理得到△ABD 为等边三角形，得到AB = BD ，设BE= x ，则EG = AE = 6 — x ， 在Rt△EHB 中，BH = x ， 则 ， 根据勾股定理列出方程，解方 程即可．
【详解】解：作 EH丄 BD 于 H ，
由折叠的性质可知，EG = EA ， 由题意得，BD = DG + BG = 6 ，
四边形ABCD 是菱形，
: AB = AD ，上ABD = 上CBD = 上ABC = 60° , :△ABD 为等边三角形，
: AB = BD = 6 ，
设BE = x ，则 EG = AE = 6 — x ，
在Rt△EHB 中，BH = BE . cs 上ABD = x . cs 60° = x ， EH = BE . sin 上ABD = x . sin 60° = x ，
: GH = BG — BH = 4 — x
在Rt△EHG 中，EG2 = EH2 + GH2 ，
解得，
故答案为：
19 ．
【分析】本题考查了等腰三角形的存在性问题，解题的关键是：分情况讨论．
根据题意表示出PA2 = (x — 2)2 + (0 — 3)2 ，PB2 = (x + 2)2 ，AB2 = (2 + 2)2 + (3 — 0)2 ，然后分情 况分析求解即可．
【详解】解： 解：:点A 的坐标为(2, 3) ，点B 的坐标为(—2, 0) ，点P 从原点出发，沿x 轴正 方向运动，
:设P(x, 0) ，
: PA2 = (x — 2)2 + (0 — 3)2 ，PB2 = (x + 2)2 ，AB2 = (2 + 2)2 + (3 — 0)2 ， 当PA = PB 时，(x — 2)2 + (0 — 3)2 = (x + 2)2 ，
解得： ，
当PA = AB 时，(x — 2)2 + (0 — 3)2 = (2 + 2)2 + (3 — 0)2 ，
解得：x = 6 ， : P (6, 0)；
当PB = AB 时，(x + 2)2 = (2 + 2)2 + (3 — 0)2 ，
解得：x = 3 ， : P (3, 0) ；
:点P 的坐标为(çè , 0 ，(6, 0) ，(3, 0)， 故答案为
20 ．①②③④
【分析】中垂线的性质结合等边对等角， 判断①, 过点C 作CI Ⅱ FG ，易得四边形CGFI 为
平行四边形，得到FG = CI ，证明 △ABE≌△BCI ，得到 BE = CI ，进而得到 BE = GF ，判断
②,作 BK 丄 EM ，证明 △AEB≌△KEB, 上CBM≌△KBM ，进而得到
上ABE = 上KBE, 上CBM = 上KBM ，进而推出 上EBM = 45° ,得到△BHN 为等腰直角三角形， 得到BH = HN ，判断③；设AE = 1 ，CM = KM = x ，得到DM = 3 — x, EM = x +1，在Rt△DEM 中，利用勾股定理求出CM 的长，判断④即可．
【详解】解：:点H 为BE 的中点，BE 的垂直平分线交AB 于点F ，交CD 于点G ， : FB = EF, FG 丄 BE ，
: 上BFG = 上EFG ；故①正确；
过点C 作CI Ⅱ FG ，则：CI 丄 BE ， :正方形ABCD ，
: 上A = 上ABC = 上BCD = 上CDA = 90°, AB = BC = CD = AD, AB Ⅱ CD ， : FI Ⅱ CG ，
:四边形CGFI 为平行四边形， : CI = FG ，
: CI 丄 BE ，
: 上BCI + 上EBC = 90° = 上ABE + 上EBC ， : 上BCI = 上ABE ，
: A = 上ABC = 90°, AB = BC ， : △ABE≌△BCI ，
: BE = CI ，
: BE = FG ；故②正确；
作BK 丄 EM ，则：上BKE = 上BKM = 90° = 上A = 上BCM ， : EF 丄 EM ，
: 上FEM = 90° = 上BKE ，
: 上FEB = 上EBK = 90° — 上BEK ， : 上ABE = 上FEB ，
: BE = BE ，
: △ABE≌△KBE ，
: AB = BK ，AE = EK ， : BC = BK ，
∵ BK = BK ，
: △BKE≌△BCM (HL)，
: 上CBM = 上KBM ，MK = CM ，
: 上ABE + 上EBK + 上CBM + 上KBM = 2上EBM = 90° , : 上EBM = 45° ,
∵ FG 丄 BE 于点H ，
:△BHN 为等腰直角三角形， : BH = HN ，故③正确；
当AB = 3AE 时，不妨设AE = 1 ，则：CD = AD = AB = 3 ，EK = AE = 1， : DE = AD — AE = 2 ，
设CM = MK = x ，则：EM = EK + KM = 1+ x ，DM = CD — CM = 3 — x ， 在Rt△DEM 中，由勾股定理，得：(x +1)2 = 22 + (3 — x)2 ，
解得： ，
故④正确；
故答案为：①②③④.
【点睛】本题考查正方形的性质， 平行四边形的判定和性质，中垂线的性质，等腰三角形的 判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线构造特殊图形和全 等三角形，是解题的关键．
21 ．(1) 3 —
(2) ·、i6
【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式去括号 再合并即可；
（2）原式根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： + 2— ( — )
= 2 + 2 — 3 +
= 2 + + 2 — 3 = 3 —
（2）解：2 × ÷ 5
= 2 ÷ 5
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．
（1）方程移项后运用因式分解法求解即可；
（2）方程运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：3x (x —1) = 2 (x —1) ， 3x (x —1) — 2(x —1) = 0 ，
(x —1)(3x — 2) = 0 ， x —1 = 0,3x — 2 = 0 ，
解得：
（2）解：2x2 — 7x + 3 = 0 ，
(2x —1)(x — 3) = 0 ， 2x —1 = 0, x — 3 = 0
解得，
23 ．(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质， 勾股定理与网格问题，全等三角形的判定和性质，熟
练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）作一个底边和高均为 4 的平行四边形即可；
（2）取点 A 右 2 的格点，连接点D 与该点形成的线段与AB 的交点即为点E （构造两个全 等的直角三角形，根据对应角相等，同角的余角相等，推出上AED = 90° ), 勾股定理求出AB 的长，等积法求出DE 的长即可．
【详解】（1）解：由题意，作图如下：
（2）由题意，如图点 E 即为所求，
由勾股定理，得 ∵SABCD = AB . DE = 16 ，
24 ．(1)见解析
(2) BM 的长为 11 或 13
【分析】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质， 勾股定理，掌握分类讨论思想是解题的关键．
（1）由中点得到 ，AE = DE ，由平行线的性质得到 上AFE = 上DCE ，
上FAE = 上CDE ，从而证得 △AEF≌△DEC (AAS)，得到 AF = CD = BD ，进而得证结论；
（2）由平行四边形的性质得到S△ 由三角形中线的性质得到 S△ABC = 2S△ABD = 32 ，进而根据面积公式求出 AB = 8，再有勾股定理得到
过点 A 作AN 丄 BC 于点 N，根据 △ABC 的面积求得AN = 4 ，进 而在Rt△ABN 中，求出BN = = 12，在 Rt△ANM 中，求得
. 最后根据当点 M 在CN 上，或点 M 在DN 上，分别求解即可．
【详解】（1）证明：∵点D 是BC 的中点，
∵点E 是AD 的中点， : AE = DE ，
∵ AF ∥ BC ，
: 上AFE = 上DCE ，上FAE = 上CDE ， : △AEF≌△DEC (AAS)，
: AF = CD ， : AF = BD ，
∵ AF ∥ BC ，即 AF Ⅱ BD，
:四边形ADBF 是平行四边形．
（2）解：∵ SYADBF = 32 ，
∵点 D 是BC 的中点，
: S△ABC = 2S△ABD = 32 ， ∵ 上BAC = 90° ,
: AB = 8 ，
:在Rt△ABC 中，BC = = 16 ．
过点 A 作AN 丄 BC 于点 N，
即 ，
:在Rt△ABN 中 : AM = 7 ，
:在Rt△ANM 中
当点 M 在CN 上，如图中的点M1 时，BM = BN + NM = 12 +1 = 13 ；
当点 M 在DN 上，如图中的点M2 时，BM = BN — NM = 12 —1 = 11． 综上所述，BM 的长为 11 或 13．
25 ．(1)大卡车 8 辆，小卡车 7 辆
(2) y = 100x + 9400 （3 ≤ x ≤ 8 ，且 x 为整数）
(3)5 辆大卡车前往中心A ，3 辆大卡车前往中心 B ，5 辆小卡车前往中心A，2 辆小卡车前往 中心 B，这样调配卡车总运费最少，最少费用为 9900 元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数解决实际问题．
（1）设大卡车有a 辆，小卡车有b 辆，根据“配送公司需将 152 箱食品运送到两个社区中心 A 和B ，大卡车和小卡车共 15 辆”列出方程组，求解即可；
（2）根据运费等于单辆车运费乘以卡车数量即可列出函数解析式；
（3）根据题意求出 x 的取值范围，根据一次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：设大卡车有a 辆，小卡车有b 辆，根据题意得
解得
答：大卡车有 8 辆，小卡车有 7 辆．
（2）解：y = 800x + 900 (8 — x)+ 400(10 — x)+ 6007 — (10 — x)
= 800x + 900 (8 — x)+ 400(10 — x)+ 600(x — 3)
= 100x + 9400 ，
ìx ≥ 0
ï8 — x ≥ 0
∵x 应满足 íï10 — x ≥ 0 ，
ïl7 — (10 — x) ≥ 0
: 3 ≤ x ≤ 8 ，
: y 与x 的函数解析式为y = 100x + 9400 （ 3 ≤ x ≤ 8 ，x 为整数）
（3）解：由题意，得12x + 8(10 — x) ≥ 100 ， : x ≥5 ，
∵ 3 ≤ x ≤ 8
:5 ≤ x ≤ 8 ，且x 为整数
∵在函数y = 100x + 9400 中，y 随x 减小而减小，
:当x = 5 时，y 有最小值，为y = 100 × 5 + 9400 = 9900 ， 此时8 — x = 3 ，10 — x = 5 ，7 — (10 — x) = 2 ．
答：5 辆大卡车前往中心A ，3 辆大卡车前往中心 B ，5 辆小卡车前往中心A ，2 辆小卡车前 往中心 B，这样调配卡车总运费最少，最少费用为 9900 元．
26 ．(1)见解析
(2)见解析
(3) PF = 4
【分析】（1）由矩形的性质证明 AC = BD = 2OD ，再证明四边形 ACED 为平行四边形，从而 可得结论；
（2）由（1）得，OA = OB = OC = OD ，证明上F = 上EDB ，结合AD = BC ，证明BC = CE ， 结合点G 为BF 中点，证明EF Ⅱ CG ，证明四边形BDEF 为平行四边形，进一步求解即可；
（3）证明△BDE 为等边三角形， △BCG 为等边三角形，可得上CBH = 上CBG = 30° ,证明
Ð EPQ = Ð RQB ，在BQ 上取一点M ，使QM = EP ，连接RM ，可得 △PEQ≌△QMR ，证明
EQ = MR = MB ，可得PF = 2MR ，求解Ð BQR = 45° ,作RN 丄 BQ 于点N ，证明 NQ = NR ，可得 NR = /3 ，再进一步求解即可.
【详解】（1）证明：Q 四边形ABCD 为矩形
: AC = BD，AC = 2AO = 2CO，BD = 2BO = 2DO，AD∥BC
: AD∥CE，AC = BD = 2OD : DE Ⅱ AC ，
: 四边形ACED 为平行四边形，
:DE = AC ， :DE = 2OD ；
（2）证明：由（1）得，OA = OB = OC = OD
:上OAB = 上OBA ，
: ÐDOA = 2Ð CAB ，
Q AC Ⅱ DE ，
: Ð EDB = ÐDOA = 2Ð CAB ，
Q Ð F = 2ÐBAC ，
:上F = 上EDB ，
Q 四边形ABCD 为矩形， : AD = BC ，
Q 四边形ACED 为平行四边形， : AD = CE ，
:BC = CE ，
Q 点G 为BF 中点，
:EF∥CG ， QCG∥BD ，
:EF Ⅱ BD ，
: Ð F + Ð FBD = 180° ,
Q 上F = 上EDB ，
:上EDB + 上DBF = 180° ,
:BF Ⅱ DE ，
又Q EF Ⅱ BD ，
: 四边形BDEF 为平行四边形， 由（1）得，DE = BD ，
: 四边形BDEF 为菱形；
（3）解：Q AC Ⅱ DE ， :上ACB = 上DEB ，
Q Ð BDE = Ð ACB ，
:上BDE = 上BED ，
:BD = BE ，
Q BD = DE ，
:BD = DE = BE ，
:△BDE 为等边三角形，
: ÐDBE = ÐDEB = Ð BDE = 60° , Q 四边形BDEF 为菱形，
: Ð BEF = Ð BED = 60°, Ð F = Ð BDE = 60°, Ð EBF = Ð EBD = 60°, EF = BD = BE ，
Q EF Ⅱ CG ，
: Ð BCG = Ð BEF = 60° ,
:上BCG = 上CBG ，
: GB = GC ，
又Q 上CBG = 60° ,
:△BCG 为等边三角形， Q 点H 为CG 中点，
: Ð CBH = Ð CBG = 30° , Q △PQR 为等边三角形，
:PQ = QR = PR = 、 ，上PQR = 60° , Q Ð PEQ+ Ð EQP+ Ð EPQ = 180° ,
Ð PQR + Ð EQP + Ð RQB = 180° ,
Ð PEQ = Ð PQR = 60° ,
: Ð EPQ = Ð RQB ，
在BQ 上取一点M ，使QM = EP ，连接 RM ，
△PEQ≌△QMR ，
: Ð RMQ = Ð PEQ = 60°, EQ = MR ， Q Ð RMQ = Ð CBH + ÐMRB ，
: Ð RBM = ÐMRB = 30° ,
:MR = MB ，
:EQ = MR = MB ，
Q EF = BE ，EF = EP + FP ，BE = EQ + QM + BM ，QM = EP ，EQ = MB ，
:PF = 2MR ，
Q Ð BRQ = Ð F + Ð BQR ， Ð F = 60°, Ð QBR = 30° , Ð BQR+ Ð QBR+ Ð BRQ = 180° , : Ð BQR = 45° ,
作RN 丄 BQ 于点N ，
: Ð QNR = ÐMNR = 90° , Q Ð NQR+ Ð QRN = 90° , : Ð NQR = Ð QRN ，
:NQ = NR ，
QQN2 + RN2 = QR2 ，
:NR = ·、 ，
Q Ð NMR + ÐMRN = 90° , : ÐMRN = 30° ,
QMN2 + RN2 = MR2 ，
:MR = 2 ，
:PF = 4 .
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质， 菱形的判定，矩形的性质，等边三角形的 判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，本题的难度大，作出合适的辅助 线是解本题的关键.
27 ．(1)直线AB 解析式为y = —x + 8 ；
(3)直线BM 解析式为y = x + 8 ．
【分析】（1）由 m2 — 16m + 64 = 0，则 (m — 8)2 = 0 ，求出 m = 8 ，得出 A(8, 0) ，B (0,8) ，然 后利用待定系数法即可求解；
（2 ）先求出直线 AD 解析式为 ，作 PG 丄 AC 于点G ，QH 丄 OC 于点H ，设
则 ，OG = t ，AG = OA — OG = 8 — t ，AC = 16 — 2t ， OC = 8 — 2t ，OH = 4 — t ，所以 则 最后由 S△PCQ = S△ACQ — S△ACP 即可求解；
由 得 作OE 丄 ON 交NP 延长线于点E ，连接 AE ，证明
△BON≌△AOE (SAS)，则有 BN = AE ， Ð BNO = Ð AEO ，设 Ð BNO = Ð AEO = a ，证明
△MNP≌△AEP (AAS) ，所以 AP = MP ，作 PL 丄 AC 于点L ，作 MR 丄 PL 于点R ，则有
△PMR≌△PAL ，作MF 丄 x 轴于点F ，则有四边形MFLR 为矩形，所以MF = RL = 2 ，从而得 出 ，然后利用待定系数法即可求解．
【详解】（1）解：∵ m2 — 16m + 64 = 0 ，
: (m — 8)2 = 0 ， : m = 8 ，
: OA = OB = 8 ，
: A (8, 0) ，B (0,8) ，
设直线AB 解析式为y = kx + b (k ≠ 0)
解得： ，
:直线AB 解析式为y = —x + 8 ；
解
: A (8, 0) ，
:设直线AD 解析式为y = k1x + b1 ， 解得 :直线AD 解析式为
作PG 丄 AC 于点G ，QH 丄 OC 于点H ， , 设
: OG = t ，AG = OA — OG = 8 — t ，AC = 16 — 2t ，OC = 8 — 2t ，OH = 4 — t ，
: S△PCQ = S△ACQ — S△ACP
解：由 得， 当S = 4 时
: P (çè ,1 ，
作OE 丄 ON 交NP 延长线于点E ，连接 AE ，
: 上NOE = 90° ,
: 上ONP = 45° , 上ONP + 上OEN = 90° , : 上ONP = 上OEN = 45° ,
:OE = ON ，
: 上AOB = 90° ,
: 上AOB — 上AON = 上NOE — 上AON ，
: 上BON = 上AOE ，
: AO = BO ，
: △BON≌△AOE (SAS)，
: BN = AE ， Ð BNO = Ð AEO ， 设 Ð BNO = Ð AEO = a ，
: △BMN 为等腰直角三角形， : 上MNB = 90° , MN = BN ， : MN = AE ，
: 上MNP = 上MNO + 上ONP = 上BNO — 上BNM + 上ONP = a — 45° ,
ÐAEP = ÐAEO — ÐOEN = a — 45° , : ÐMNP = ÐAEP ，
: △MNP≌△AEP (AAS) ，
: AP = MP ，
作PL 丄 AC 于点L ，作 MR 丄 PL 于点R ， : ÐPRM = ÐPLA = 90° ,
: PA = PM ， ÐMPR = ÐAPL ， : △PMR≌△PAL (AAS)，
: PR = PL = 1，
: RL = PR + PL = 2 ，
作MF 丄 x 轴于点F ，
:四边形MFLR 为矩形， : MF = RL = 2 ，
设直线BM 解析式为y = k2x + b2 ， 解得 :直线BM 解析式为
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质， 等腰三角形的性质，因式分解，偶次幂的非负性等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．