2024-2025学年河南省郑州市中原区七年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年河南省郑州市中原区七年级下学期期末考试数学检测试卷，共36页。试卷主要包含了5km/h等内容，欢迎下载使用。
2024-2025 学年下学期
七年级期末考试数学试卷
一．选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1 ．2025 年 4 月 24 日，我国神舟二十号载人飞船成功升空．中国航天取得了举世瞩目的成 就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标中，是轴对称图 形的是( )
A．
B．
C．
D．
2 ．下列运算正确的是( )
3
3 ．中国在芯片领域取得了显著成就，华为的麒麟 9000 芯片采用 5 纳米工艺制造，中芯国际 在芯片制造技术上不断突破，已量产14nm芯片，14nm等于0.000000014m ，数据 0.000000014 可用科学记数法表示为( )
A ．-1.4 × 108 B ．1.4 × 10-8 C ．-14 × 109 D ．14 × 10-9
4 ．如图 1 所示，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折 射现象．将图 1 简化为图 2，下列描述正确的是( )
A ．上1 和上2 是对顶角 B ．上2 和上DOE 互余
C ．上COF 和∠DOF 互补 D ．上COE = 上GOD
5 ．从边长为a 的大正方形纸板挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的 等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分 的面积，可以验证成立的公式为( )
A ．(a - b)2 = a2 - b2 B ．(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
C ．(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 D ．a2 - b2 = (a + b)(a - b)
6 ．如图，已知点B，E，C，F 在同一条直线上，AB = DE ，BE = CF ，添加下列条件后能 证明 △ABC ≌△DEF 的是( )
A ．AB ⅡDE B ．上A = 上D C ．AC Ⅱ DF D ．上ACB = 上F
7 ．如图，在 △ABC 中，上B = 34° , 上ACB = 78° ,根据尺规作图痕迹，可知上a = ( )
A ．66° B ．77° C ．78° D ．101°
8 ．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的 折线图．该事件最有可能的是( )
A ．掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是 2
B ．从一副扑克牌中任意抽取1张，这张牌是“红心”
C ．暗箱中有1个红球和2 个黄球，这些球除了颜色外无其它差别，从中任取一球是红球
D ．掷一枚硬币，正面朝上
9 ．如图，AD ，BE ，CF 分别是△ABC 的中线、高和角平分线，上ABC = 90° , CF 交AD 于点G ，交 BE 于点H ，AB = BD ．则下列结论中不一定正确的是( )
A ．AB = CD B ．FG = GC
C ．上ABE = 2上FCB D ．上BFH = 上BHF
10 ．如图 1，将一矩形纸板剪掉一个小矩形，动点 P 从点A 出发，沿路径
A → B → C → D → E → F 匀速运动，速度为1cm/s ，点 P 到达终点 F 后停止运动， △APF 的面积S(cm2 )(S ≠ 0) 与点 P 的运动时间t (s) 的关系如图 2 所示，点 P 从点 E 运动到点 F 需 要的时间是( )
A ．4s B ．5s C ．6s D ．7s
二．填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11 ．计算 ．
12 ．算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠 分为上下两个部分，上部分为上珠，下部分为下珠，每颗上珠代表数字 5，每颗下珠代表数 字 1 ．如图所示的算盘中，每档有上珠 1 颗，下珠 4 颗，规定最右侧档为个位，依次向左为 十位、百位、千位等， 不拨珠空挡表示 0 ．在个位档和十位档上一共拨动两颗算珠，所表示 的数恰是 5 的整数倍的概率为 ．
13 ．如图，在 △ABC 中，AB 的垂直平分线DE 分别与AB 、BC 交于点 D ，E，AC 的垂直 平分线FG 分别与BC 、AC 交于点 F、G ，BC = 5 ，EF = 2 ，则△AEF 的周长是
14 ．如图， △ABC 中，AB = AC ，上B = 40° , 点D 在线段BC 上运动（点 D 不与点B ，C 重 合），连接AD ，作上ADE = 40° , DE 交线段AC 于点E ．当 △ADE 是等腰三角形时， ÐBAD 的度数为 ．
15．如图，△ABC 中，上B = 90°, 上A = 24° , E，F 分别是边AB, AC 上的点，连接EF ，将△AEF 沿着EF 折叠，得到 △A¢EF ，当A¢F 与△ABC 其中一边平行时，Ð AEF 的度数是 .
三．解答题（本大题共 7 个小题，共 55 分）
16 ．先化简，再求值 其中 ， ．
17 ．如图，在边长为单位 1 的正方形网格中有 △ABC ，点 A ，B ，C 均在格点上．
(1)在图中作出△ABC 关于直线 l 对称的△A1B1C1 ( A1 和 A 对应，B1 和 B 对应，C1 和 C 对应）；
(2)求△ABC 的面积；
(3)在直线 l 上作点 P，使 PB + PC 的值最小．
18 ．如图，上AGF = 上ABC ，上1+ 上2 = 180° .
(1)试判断BF 与DE 的位置关系，并说明理由；
(2)若BF ^ AC ，上2 = 150° ,求 上AFG 的度数．
19 ．如图 1，小刚站在河边的点 A 处，在河对岸（小刚的正北方向）的 B 处有一电线塔，他 想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了 20 步到达一棵树 C 处，接着再向前走了 20 步到达 D 处，然后再左转90° 直行，当小刚看到电线塔 B、树 C 与自己现处的位置 E 在 一条直线时，从点 A 出发开始他共走了 110 步．
(1)若小刚走一步的长度约为0.6 米，请直接写出A ，B 两点间的距离为 米；
(2)如图 2，小华在点 A 所在河岸同侧的平地上取点 C，D，使得点 A，B，C 在同一条直线上， 且 CD = AC ，测得 上DCA = 100° , 上BDC = 65° , 在 CD 的延长线上取点 E，使得 上E = 15° , 测得DE 的长为 42 米．小华认为 A ，B 两点之间的距离为 42 米．你认为小华的做法正确吗？ 若正确，请给出证明；若不正确，请给出合理的解释．
20 ．如图所示，A 、B 两地相距 50 千米，甲于某日下午 1 时骑自行车从 A地出发驶往 B 地， 乙也于同日下午骑摩托车按路线从 A 地出发驶往 B 地，如图所示，图中的折线PQR 和线段 MN 分别表示甲乙所行驶的路程 S 和时间 t 的关系．
根据图象回答下列问题：
(1)甲和乙______ 出发的更早，早出发______h．
(2)甲和乙______早到达 B 城，早______h．
(3)乙骑摩托车的速度和甲骑自行车在全程的平均速度分别是多少？
(4)请你根据图象上的数据，求出乙出发用多长时间就追上甲？
21 ．如图 1，有边长分别为 m ，n 的两个正方形和两个长宽分别为 n ，m 的长方形，将它们 拼成如图 2 所示的大正方形ABCD ．四边形AHOE ，HDGO ，OGCF ，EOFB 的面积分别 为S1 , S2 , S3 , S4 ．
(1)用两种方法表示图 2 的面积，可以得到一个关于 m ，n 的等式为______；
(2)在图 2 中，若S1 = 3, S2 = 9 ，则 m + n = ______；若 m + n = 12 ，S1 = 35，则S2 + S4 =
______；
(3)如图3，连接AF 交EO 于点 N，连接GF ．若△FGN 与△AEN 的面积之差为 18，求 m 的 值．
22 ．已知，在 △ABC 中， Ð ACB 为锐角，点 D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一 边在AD 的右侧作等腰直角△ADE ，上DAE = 90° , AD = AE ．
(1)如果AB = AC ，上BAC = 90° .
①如图 1，当点 D 在线段BC 上时（与点 B 不重合），请直接写出线段CE 与BD 之间的数量 关系：______，位置关系：______ ；（只写结论，不用证明）
②如图 2，当点 D 在线段BC 的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明 理由；若成立，写出结论并加以论证；
(2)如果AB ≠ AC ，上BAC < 90° ,点 D 在线段BC 上运动．试探究：当 △ABC 满足一个什么 条件时，CE 丄 BD （点 C，E 重合除外）？请写出条件，并借助图 3 简述CE 丄 BD 成立的理 由．
1 ．B
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题关键是熟练掌握如果一个平面图形沿一条 直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B．
2 ．D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法， 除法，积的乘方，幂的乘方，熟练掌握这些法则是解 题的关键．根据同底数幂的乘法，除法，积的乘方，幂的乘方法则分别计算即可判断．
【详解】解：A 、(a2 )3 = a6 ，故不符合题意；
B 、(ab2 )2 = a2b4 ，故不符合题意；
C 、a6 ÷ a3 = a3 ，故不符合题意；
D 、(-a )2 . a3 = a5 ，故符合题意；
故选：D．
3 ．B
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法， 科学记数法的表现形式为a ×10n 的形式，其中 1 ≤ a < 10 ，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝 对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于 10 时，n 是非负数，当原数绝对值 小于 1 时，n 是负数，表示时关键是要正确确定a 的值以及n 的值．
【详解】解：数据 0.000000014 可用科学记数法表示为1.4× 10-8 ， 故选：B．
4 ．C
【分析】本题主要考查了对顶角的定义， 余角和补角的定义，垂线的定义，根据折射角小于 入射角，得到上2 < 上1，则 E、O、F 不共线， 据此可判断 A 、D；由垂线的定义得到
∠1 +∠DOE = 90° ,则∠2 +∠DOE < 90° ,据此可判断 B；由平角的定义可得
上COF + 上DOF = 180° ,据此可判断 C． 【详解】解：∵折射角小于入射角，
: 上2 < 上1 ，
: E、O、F 不共线，
: 上1 和上2 不是对顶角，上COE ≠ 上GOD ，故 A 、D 说法错误，不符合题意； ∵ AB 丄 CD ，
: 上AOD = 90° ,
:∠1 +∠DOE = 90° ,
:∠2 +∠DOE < 90° ,故 上2 和上DOE 不互余，故 B 说法错误，不符合题意； ∵ 上COF + 上DOF = 180° ,
: 上COF 和∠DOF 互补，故 C 说法正确，符合题意；
故选：C．
5 ．D
【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据题意， 分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案．
【详解】解：图甲中阴影部分的面积为：a2 - b2 ，图乙中阴影部分的面积为：
(a + b)(a - b)，
Q 甲乙两图中阴影部分的面积相等， :a2 - b2 = (a + b)(a - b) ，
:可以验证成立的公式为a2 - b2 = (a + b)(a - b) ， 故选：D．
6 ．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定，由已知可得 BC = EF ，再根据全等三角形的判定 方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：∵ BE = CF ， : BE + EC = CF + EC ，
即BC = EF ，
A 、当 AB Ⅱ DE 时，上B = 上DEF ， ∵ AB = DE ，BC = EF ，
:△ABC≌△DEF (SAS) ，该选项符合题意；
B 、当 上A = 上D 时，由两边及一边的对角不能证明 △ABC≌△DEF，该选项不合题意；
C 、当 AC Ⅱ DF 时，上ACB = 上F ，由两边及一边的对角不能证明 △ABC≌△DEF，该选 项不合题意；
D 、当 上ACB = 上F 时，由两边及一边的对角不能证明 △ABC≌△DEF，该选项不合题意； 故选：A ．
7 ．C
【分析】本题考查三角形外角性质， 角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．先用三角形 内角和求出 ÐBAC ，再用角平分线求出 ÐBAD ，由线段垂直平分线知 上BCF = 上B = 34° , 然后用外角性质求出上AFC ，最后根据三角形的内角和求出 上a ．
【详解】解：Q在 △ABC 中，上B = 34° , 上ACB = 78° , : 上BAC = 180° - 上B - 上ACB = 180° - 34° - 78° = 68° ,
由作图可知，AD 平分 ÐBAC ，EF 垂直平分BC ， : 上上BAC = 34° , 上BCF = 上B = 34° ,
: 上AFC = 上B + 上BCF = 68° ,
: 上a = 180° - 上AFC - 上BAD = 180° - 68° - 34° = 78° , 故选：C．
8 ．C
【分析】此题考查了用频率估计概率， 由折线统计图知，随着实验次数的增加，频率逐渐稳 定在0.33 ，即左右，计算各项的概率即可得到正确答案，掌握用频率估计概率是解题的关 键．
【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，频率逐渐稳定在 0.33 ，即左右，
A 、掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是2 的概率为 ，不符合题意；
B 、从一副扑克牌中任意抽取1张，这张牌是“红心”的概率为，不符合题意；
C 、暗箱中有1个红球和2 个黄球，这些球除了颜色外无其它差别，从中任取一球是红球的
概率为 ，符合题意；
D 、掷一枚硬币，正面朝上的概率为 ，不符合题意；
故选：C ．
9 ．B
【分析】根据中线的定义，可判断 A；根据角平分线的定义以及同角的余角相等，可判断 C；根据等角的余角相等，对顶角相等，可判断 D；即可得出结论．
【详解】解：A 、Q AD 是△ABC 的中线，
:BD = CD ，
Q AB = BD ，
: AB = CD ，故 A 选项正确；
B、条件不足，无法得到 FG = GC ，故 B 选项错误； C 、QBE ，CF 分别是△ABC 的高和角平分线，
:上AEB = 上BEC = 90° , 上ACB = 2上ACF = 2上FCB ，
:上ABE + 上BAC = 90° ,
Q 上ABC = 90° ,
:上ACB + 上BAC = 90° ,
:上ABE = 上ACB = 2上FCB ，故 C 选项正确； D 、Q 上ABC = 90° , 上BEC = 90° ,
:上BFH + 上FCB = 90° , 上ECF + 上EHC = 90° ,
Q 上BCF = 上ECF ，
:上BFH = 上CHE ，
Q 上CHE = 上BHF ，
:上BFH = 上BHF ，故 D 选项正确； 故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高， 同（等）角的余角相等，熟练掌握以上 知识点是解答本题的关键．
10 ．C
【分析】本题考查了观察函数图象， 动点问题和面积结合，正确理解几何图形与函数图象间 的关联是解题的关键．根据题意先通过函数图象得到AB = 1 ，BC = a -1 ，CD = 7 - a ，
EF = AB + CD = 8 - a ，根据当点 P 与点 B 重合时 求出AF = 4 ，根
据当点 P 与点 D 重合时 求出a = 2 ，最后求出结果即可．
【详解】解：由题意及函数图象可知：AB = 1 ，BC = a -1 ，CD = 7 - a ， EF = AB + CD = 8 - a ，
当点 P 与点 B 重合时
解得AF = 4 ，
当点 P 与点 D 重合时
解得a = 2 ，
当a = 2 时，CD = 5 ，EF = 6 ， Q 6 ÷1 = 6s ，
: 点 P 从点 E 运动到点 F 需要6s ， 故选：C．
11 ．6
【分析】本题考查了零次幂，负指数幂的运算．根据a0 = 1(a ≠ 0)，a-p = ) 计算即 可．
【详解】解：原式 = 1+ 5 = 6 ． 故答案为：6．
12 ．
【分析】本题考查的是用概率公式计算概率，根据在个位档和十位档上一共拨动两颗算珠， 结果为 11 或 15 或 51 或 55，进而求出概率．
【详解】解：在个位档和十位档上一共拨动两颗算珠，结果为 11 或 15 或 51 或 55，
2 1
所以所表示的数恰是 5 的整数倍的概率为 = ，
4 2
故答案为： ．
13 ．9
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个 端点的距离相等是解题的关键．先根据线段的垂直平分线的性质得到EB = EA 、 AF = FC ， 根据三角形△AEF 的周长= BC + 2EF ，代入数据计算即可．
【详解】解：Q DE 是AB 的垂直平分线，
:EA = EB ，
Q FG 是AC 的垂直平分线， :FA = FC ，
Q BC = 5 ，EF = 2 ，
:△AEF 的周长= AF + EF + AE
= CF + EF + BE
= CE + EF + EF + BE
= BC + 2EF
= 9
故答案为：9 ． 14 ．60° 或30°
【分析】本题考查了等腰三角形的性质， 三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质 是解题的关键，注意分情况讨论．根据三角形内角和定理可得 ÐBAC 的度数， △ADE 是等 腰三角形，分情况讨论：① AD = AE 时，② EA = ED 时，③ DA = DE 时，分别求解即可．
【详解】解：: AB = AC ，上ABC = 40° , : 上ACB = 上ABC = 40° ,
: 上BAC = 100° , : 上ADE = 40° ,
△ADE 是等腰三角形，分情况讨论：
① AD = AE 时，上AED = 上ADE = 40° , : 上DAE = 100° ,
此时 D 点与 B 点重合，不符合题意；
② EA = ED 时，上EAD = 上ADE = 40° , : 上BAD = 100° - 40° = 60° ;
③ DA = DE 时，上DAE = 上DEA = 70° ,
: 上BAD = 100° - 70° = 30° ,
综上， ÐBAD 的度数为60° 或30° , 故答案为：60° 或30° .
15 ．33° 或78° 或123°
【分析】本题是翻折变换， 平行线的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论思想解决问题 是本题的关键．分三种情况讨论，利用翻折变换和平行线的性质及三角形内角和定理，可求
Ð AEF 的度数．
【详解】解：如图 1，当 A¢F Ⅱ BC 时，延长A¢F 交AB 于点 H，
: 上A¢HB + 上B = 180° ,
: 上B = 90° ,
: 上A¢HB = 90° ,
由折叠可得：上A = 上A¢ = 24° , 上A¢EF = 上AEF ， :上AEA¢ = 90° - 24° = 66° ,
如图 2，设 A¢F 与AB 交于点 H，
当A¢F Ⅱ BC 时，
: 上CBA = 上FHA = 90° ,
: 上AFH = 180° - 上AHF - 上A = 180° - 90° - 24° = 66° ,
∵将△AEF 沿着者EF 折叠，
: 上AEF = 180° - 上A - 上AFE = 123° ; 如图 3，当 A¢F ⅡAB时，
Q 上A¢ = 上A = 24° , : 上A¢EA = 156° ,
∵将△AEF 沿着者EF 折叠，
综上， Ð AEF 的度数是33° 或78° 或123° 故答案为：33° 或78° 或123° .
【分析】本题考查了整式的混合运算和化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 根据整式的混合运算法则化简，再将 x、y 代入即可解答．
【详解】解：原式 = (x2 - 4xy + 4y2 + x2 - 4y2 - 3x2 + 6xy) ÷ 2x
= (-x2 + 2xy) ÷ 2x
当 ， 时，原式
17 ．(1)见解析 (2)3
(3)见解析
【分析】本题主要考查了画轴对称图形， 轴对称最短路径问题，网格中求三角形面积，熟知
相关知识是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可得到答案；
（2）利用割补法求解即可；
（3）连接BC1 交直线 l 于 P，则点 P 即为所求． 【详解】（1）解：如图所示， △A1B1C1 即为所求；
解：S△
（3）解：如图所示，点 P 即为所求；
18 ．(1) BF Ⅱ DE ，理由见解析
(2) 60°
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记相关结论即可.
（1）由题意得 GF∥BC ，推出 上1 = 上3 ，结合 上1+ 上2 = 180° 即可求证；
（2）由题意求出 上1 ，根据 上AFG = 上AFB - 上1 即可求解； 【详解】（1）解：BF Ⅱ DE ，理由如下：
Q 上AGF = 上ABC ，
: GF∥BC ，
: Ð 1 = Ð 3 ，
Q 上1 + 上2 = 180° ,
:上3 + 上2 = 180° ,
: BF Ⅱ DE ；
（2）解：Q BF 丄 AC ，
:上AFB = 90° ,
Q 上1 + 上2 = 180° , 上2 = 150° ,
:上1 = 30° ,
:上AFG = 上AFB - 上1 = 90° - 30° = 60° .
19 ．(1)42
(2)正确．证明见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关 键．
（1）根据题意可得 AC = 0.6 × 20 = 12 （米）， CD = 0.6 × 20 = 12 （米）， DE = 0.6 × 70 = 42 （米），再证 △ABC≌△DEC (ASA)，得到 AB = DE = 42 （米），由此即可求解；
（2）根据三角形内角和可得上B = 上E = 15° , 再证 △ACE≌△DCB (AAS )，得到CE = CB ，则 CE - CD = CB - CA，所以 DE = AB = 42 （米），由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可得，AC 有 20 步，CD 有 20 步， : DE 有110 - 20 - 20 = 70 （步），
:小刚走一步的长度约为0.6 米，
: AC = 0.6 × 20 = 12 （米）， CD = 0.6 × 20 = 12 （米）， DE = 0.6 × 70 = 42 （米）， : 上CAB = 上CDE = 90°, AC = DC, 上ACB = 上DCE ，
: △ABC≌△DEC (ASA)， : AB = DE = 42 （米），
:A ，B 两点间的距离为42 米， 故答案为：42；
（2）解：正确，理由如下，
在 △BCD 中，上ACD = 100° , 上BDC = 65° ,
: 上B = 180° - 上ACD - 上BDC = 180° -100° - 65° = 15° , : 上ACE = 上DCB, 上E = 上B, AC = DC ，
: △ACE≌△DCB (AAS )，
: CE = CB ，
: CE - CD = CB - CA ， : DE = AB = 42 （米）， :小华的做法正确．
20 ．(1)甲，1
(2)乙，2
(3)乙骑摩托车的速度为50km/h ，甲骑自行车在全程的平均速度为12.5km/h
(4)乙出发用0.5h 就追上甲
【分析】本题考查的是函数图象，从函数图象中获取正确的信息是解题关键， （1）从图象中直接获取信息即可；
（2）从图象中直接获取信息即可；
（3）根据速度=路程 ÷ 时间并结合图象求出结论即可；
（4）设乙出发用 xh 就追上甲，根据题意列方程并解方程即可解决； 【详解】（1）解：由图可知：甲和乙中甲出发的更早，早出发1h ， 故答案为：甲，1；
（2）解：甲和乙中乙早到达 B 城，早5 - 3 = 2h ， 故答案为：乙，2；
（3）解：乙骑摩托车的速度为 ， 甲骑自行车在全程的平均速度为 ；
（4）解：甲骑自行车在 2 时后的速度为 ， 设乙出发用xh 就追上甲，
50x = 20 +10x ，
解得：x = 0.5 ，
答：乙出发用0.5h 就追上甲．
21 ．(1) (m + n)2 = m2 + 2mn + n2
(2)4；74
(3)6
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何证明， 通过完全平方公公式进行计算，解题的 关键是数形结合，熟练掌握完全平方公式．
（1）根据正方形面积公式表示出大正方形的面积，用四部分面积之和表示出大正方形的面 积，即可得出关于 m ，n 的等式；
（2）根据S1 = 3, S2 = 9 ，得出mn = 3 ，n2 = 9 ，求出 m 、n 的值，然后再求出m + n 即可；根
据S1 = 35，得出 mn = 35 ，根据 m + n = 12 ，利用完全平方公式变形求出结果即可；
（3）根据S△FGN - S△AEN = S四边形BFGE - S四边形BFNE - S△ABF + S四边形BFNE 得出S△FGN - S△ 求出 m 的值即可．
【详解】（1）解：大正方形 ABCD 的边长为m + n ，则面积为(m + n)2 ， 大正方形ABCD 看作四个四边形的面积之和，则面积为：m2 + 2mn + n2 ， :关于 m ，n 的等式为(m + n)2 = m2 + 2mn + n2 ；
（2）解：:若S1 = 3, S2 = 9 ， : mn = 3 ，n2 = 9 ，
解得：n = 3 负值舍去， : m = 1，
: m + n = 1+ 3 = 4 ； :若S1 = 35，
: mn = 35 ，
: m + n = 12 ，
: S2 + S4 = m2 + n2
= (m + n)2 - 2mn
= 122 - 2× 35
= 144 - 70
= 74 ．
（3）解：: S△FGN = S四边形BFGE - S四边形BFNE ，
S△AEN = S△ABF - S四边形BFNE ，
: S△FGN - S△AEN = S四边形BFGE - S四边形BFNE - S△ABF + S四边形BFNE
= S四边形BFGE - S△ABF
=
1 2 = m ，
2
: △FGN 与△AEN 的面积之差为 18，
: m2 = 36 ，
解得：m = 6 ，负值舍去．
22 ．(1)①CE = BD, CE 丄 BD ；②结论仍然成立，CE = BD, CE 丄 BD ，理由见解析
(2)当上ACB = 45° 时，CE 丄 BD ，理由见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及等腰三角形性质，
（1）①先证明△ABD≌△ACE ，得出CE= BD,ÐABD = ÐACE = 45° , 进而得出CE 丄 BD ；② 先证明 △ABD≌△ACE ，得出CE= BD,ÐABD = ÐACE = 45° ,进而得出 CE 丄 BD ；
（2）当上ACB = 45° 时，CE 丄 BD ，先证明 △AFD≌△ACE ，根据全等三角形的性质得出结论； 【详解】（1）解：①CE = BD, CE 丄 BD ，理由如下：
在等腰直角 △ADE 中，上DAE = 90° , AD = AE ， 又AB = AC ，上BAC = 90° ,
:ÐBAC = ÐDAE = 90°,ÐABC = ÐACB = 45° ,
:上BAC - 上DAC = 上DAE - 上DAC ，即 上BAD = 上CAE ， :△ABD≌△ACE
: CE = BD,ÐABD = ÐACE = 45° , :上BCE = 上ACB + 上ACE = 90° , : CE 丄 BD ；
②结论仍然成立，CE = BD, CE 丄 BD ，理由如下： 在等腰直角 △ADE 中，上DAE = 90° , AD = AE ，
又AB = AC ，上BAC = 90° ,
:ÐBAC = ÐDAE = 90°,ÐABC = ÐACB = 45° ,
:上BAC + 上DAC = 上DAE + 上DAC ，即 上BAD = 上CAE ， :△ABD≌△ACE ，
: CE = BD,ÐABD = ÐACE = 45° , :上BCE = 上ACB + 上ACE = 90° , : CE 丄 BD ；
（2）解：当 上ACB = 45° 时，CE 丄 BD ，理由如下： 作AF 丄 AC 交CB 延长线于点 F，
则上FAC = 90° ,
Q 上ACB = 45°
:ÐF = 90°- 45° = 45° = ÐACB
: AF = AC
又AD = AE ， ÐDAE=90° , :ÐFAC = ÐDAE = 90° ,
:ÐFAC- ÐDAC = ÐDAE- ÐDAC ，即 上FAD = 上CAE ， :△AFD≌△ACE ，
: Ð AFD = Ð ACE = 45° ,
:上BCE = 上ACB + 上ACE = 90° ,
: CE 丄 BD