2024-2025学年河南省郑州市河南省实验中学八年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年河南省郑州市河南省实验中学八年级下学期期末考试数学检测试卷，共42页。
八年级数学
（时间：100 分钟，满分：120 分）
一．选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源， 通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的 故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一 些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是( )
A．
B．
C．
D．
2 ．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( )
A ．x2 - 4x + 3x = (x + 2)(x - 2) + 3x B ．(a + 3)(a - 3) = a2 - 9
C ．a2 - 2a - 3 = (a -1)2 - 4 D ．a2 -1 = (a +1)(a -1) 3 ．到三角形三个顶点距离都相等的点是( )
A ．三角形的三条角平分线的交点
B ．三角形的三边垂直平分线的交点
C ．三角形的三条高线的交点
D ．三角形的三条中线的交点
4 ．解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是( )
5 ．如图，在 △ABC 中，上C = 90° , AD 平分 Ð CAB ， 直线AB 的距离DE 为( )
-3
2
-3
2
BC = 8cm ，BD = 5cm ，那么D 点到
A ． í
lx
lx
ìx
C ． í
ìx
> -3 ≥ 2
< -3 ≥ 2
B ． í
lx
lx
ìx
D ． í
ìx
>
≤
5 是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为 ．
12．如图，足球的表面是由 12 块正五边形的黑皮和 20 块正六边形的白皮围成的，将足球上 的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则Ð AOB 的度数为 ．
13 ．若100x2 - kxy+ 49y2 为完全平方式，则k = ．
14．如图所示的网格是正方形网格，A、B、C、D 是网格线的交点，则 ÐDAC 的度数为 ．
15．如图，将边长为4 的等边△ABC 沿射线BC 平移得到 △DEF ，点M ，N 分别为AC ，DF 的中点，点P 是线段MN的中点，连接PA ，PC ．当△APC 为直角三角形时，BE = ．
三．解答题（本大题共 8 小题，共 75 分）
16 ．（1）解不等式组 ；
化简
17 ．如图，已知 △ABC ，将△ABC 平移得到△A1B1C1 ，且 △ABC 中任意一点P(x, y) 经过平 移后的对应点为P1 (x - 5, y + 2) ．
(1)画出△A1B1C1 ，并直接写出点 A1 、B1 、C1 的坐标；
(2)求△A1B1C1 的面积．
18 ．已知：如图，等腰 △ABC 中，AB = BC ，腰 BC 的垂直平分线分别交AB 、BC 于 E、 D，连接 CE ．
(1)若BC = 5 ，AC = 3 ，求△ACE 的周长；
(2)若上B = 40° ,求 Ð ACE 的度数．
19．“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一 般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第 1 个等式：22 = 1 + 12 + 2 ；
第 2 个等式：32 = 2 + 22 + 3 ；
第 3 个等式：42 = 3 + 32 + 4 ；
第 4 个等式：52 = 4 + 42 + 5 ；
(1)请用此方法拆分20252 = ________；
(2)请你用上面的方法归纳一般结论，用含 n（n 为正整数）的等式表示，并借助运算证明这 个结论是正确的；
(3)嘉嘉尝试借助图形的面积验证（2）中的结论．思路是将边长为 n 的正方形（如图）进行 适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度．
20 ．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点（点E 在点F 左侧），且
上AEB = 上CFD = 90 ．
(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；
(2)若AB 丄 AF ，AB = 8 ，AF = 6 ，BD = 16 ，则 EF = _____．
21 ．如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线CD : y2 = mx + n 交于点 A (4, a )，直线CD 交y 轴于点D(0, 9)．
(1)求直线CD 的函数表达式；
(2)直接写出当y1 > y2 时，x 的取值范围；
(3)若点P 在x 轴上，当 △ABP 的面积为 9 时，求点P 的坐标．
22 ．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测 A 粽子能够畅销．根据预测，每千克 A 粽子节前的进价比节后多2 元，节前用480 元购进 A 粽子的数量是节后用 200 元购进的数量的 2 倍．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克 A 粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进 A 粽子 400 千克，且总费用不超过 4600 元．设节前购进 A 粽子 m 千克，
①求 m 的取值范围．
②按照节前每千克 20 元，节后每千克 16 元全部售出，那么该商场节前购进多少千克 A 粽 子获得利润最大？最大利润是多少？
23 ．以“图形的旋转”为主题的数学活动课上，同学们尝试使用三角形纸板开展探究活动．如 图，在 △ABC 中，上C = 90° , AC = 6 ，BC = 8 ，取 AB ，BC 中点D ，E ，将△ABC 沿DE 剪开，得到四边形ACED 和 △DEB ，将 △DEB 绕点D 顺时针旋转得到 △DFG ．
【操作发现】（1）若 FG 交BC 于点M ，求证：MF = ME ；
【深入探索】（2）在（1）的条件下，同学们发现将 △DEB 旋转到一些特殊位置时，可以进 一步探索线段长度．
① 如图1，若 FG Ⅱ AD ，求MF 的长；
② 如图2 ，若 A ，F ，G 三点共线，求MF 的长；
【拓展延伸】（3）在 △DFG 旋转的过程中，请直接写出△CFG 面积的最大值．
1 ．C
【分析】把一个图形绕某一点旋转 180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么 这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A ．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B ．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C ．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D ．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形， 中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与 原图重合．
2 ．D
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、从左到右的变形不是把多项式变成几个整式的乘积形式，不是因式分解， 故本选项不符合题意；
B、从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、从左到右的变形不是把多项式变成几个整式的乘积形式， 不是因式分解，故本选项不符 合题意；
D、从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意； 故选：D ．
【点睛】本题考查了因式分解的定义， 能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一 个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3 ．B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直 平分线上进行作答即可．
【详解】解：∵到三角形三个顶点距离都相等的点，
:该点是三角形的三边垂直平分线的交点， 故选：B
4 ．B
【分析】根据数轴写出不等式组的解集即可得．
【详解】由数轴图可知，不等式组的解集为 -3 < x ≤ 2 ，
> -3
≤ 2
ìx
lx
则该不等式组是 í
,
故选：B．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来 （> ， ≥ 向右画；< ， ≤ 向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表 示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几
个．在表示解集时“≥ ”, “ ≤ ”要用实心圆点表示；“ < ”，“ > ”要用空心圆点表示．
5 ．A
【分析】本题考查了角平分线的相关计算问题， 掌握角平分线的性质是解题的关键．过点D 作DE TAB 于 E，根据角平分线的性质得DE = DC ，再根据CD = BC - BD 求解即可．
【详解】解：过点 D 作DE TAB 于E ，
Q 上C = 90° , AD 平分 7BAC ，
: DE = DC ，
Q BC = 8 cm ，BD = 5cm ，
: CD = BC - BD = 8 - 5 = 3cm ， : 点D 到AB 的距离是3cm ，
故选：A．
6 ．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质， 尺规作图，等腰三角形的判定．根据尺规作图 可得AH 平分 7BAD ，再由平行四边形的性质，可得 上DHA = 上HAB ，从而得到
上DHA = 上DAH ，继而得到 DH = AD = 3 ，即可求解． 【详解】解：由作图得：AH 平分7BAD ，
: 上DAH = 上HAB ，
在YABCD 中，CD Ⅱ AB, AD = BC = 3, AB = CD ， : 上DHA = 上HAB ，
: 上DHA = 上DAH ，
: DH = AD = 3 ，
: AB = CD = DH + CH = 5 ， 故选：C．
7 ．A
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式把(k +1)2 - (k -1)2 因式分解为4k ， 据此可得答案．
【详解】解：(k +1)2 - (k -1)2
= (k +1+ k -1)(k +1- k +1)
= 4k ；
∵k 为任意整数， : 4k 为整数，
: 4k 一定能被 4 整除，
: (k +1)2 - (k -1)2 的值总能被 4 整除， 故选：A．
8 ．C
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质， 全等三角形的判定和性质．解题的关键是熟练 掌握平行四边形的性质和判定方法．
根据平行线的性质和判定方法，结合全等三角形的性质和判定，逐一进行判断即可． 【详解】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，
: AB = CD ，AB∥CD
:上ABE = 上CDF ，
Q BE = DF ，
: △ABE≌△CDF (SAS)，
: AE = CF ，上AEB = 上CFD ， :上AEF = 上CFE ，
: AE∥CF ， 又AE = CF ，
: 四边形AECF 是平行四边形．故 A 不符合题意；
Q AF ∥ CE ，
:上AFE = 上CEF ，
: 上AFD = 上CEB ，
Q 四边形ABCD 是平行四边形，
: AD = BC ，ADⅡBC ，
:上ADF = 上CBE ，
:△ADF≌△CBE (AAS) ，
: AF = CE ，
: 四边形AECF 是平行四边形．故 B 不符合题意；
C 选项中由CE = AF ，不能得出 CE ∥ AF ，
:不能判断四边形AECF 是平行四边形，故 C 符合题意； Q 四边形ABCD 是平行四边形，
: AD = BC ，ADⅡBC ，
:上ADF = 上CBE ，
又上DAF = 上BCE ，
:△ADF≌△CBE (ASA )，
: AF = CE ，上AFD = 上CEB ，
:上AFE = 上CEF ，
: AF Ⅱ CE ，
: 四边形AECF 是平行四边形．故 D 不符合题意； 故选：C．
9 ．B
【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，找准方程中等量关系是解题关键，
根据容器内盛有 150 克食盐水，其中含盐 10 克及食盐水含盐的百分比提高到原来的 3 倍．可 求出含盐的百分比，然后通过分式方程可知含盐仍为 10 克，而盐水变为150 - x 克，故可得 出减少了水分，即可得出答案．
【详解】根据分式方程 可知：
食盐水含盐的百分比提高到原来的 3 倍后，含盐 10 克不变，而盐水总量变为150 - x 克，所 以应蒸发掉了水分，
:x 表示的意义是蒸发掉的水量． 故选：B．
10 ．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四 边形PCDQ 为平行四边形时，@当四边形CPDQ 为平行四边形时，分别结合平行四边形的 性质，列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解： : AD = 16 ，动点Q 同时从点A 出发，在线段AD 上以每秒1的速度向终点D 运 动，
:运动时间为16÷1 = 16 （秒），
Q BC = 21 ，P 的速度为每秒3 个单位，P 到达C 的时间为21÷3 = 7 （秒）， : 当P 在C 点以及C 点的左边时，即0 ≤ t ≤ 7 时，
则PC = 21- 3t ，
当P 在C 的右边时，即7 < t ≤ 16 时， 则PC = 3t - 21，
以点P 、C 、D 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
①当四边形PCDQ 为平行四边形时，0 < t ≤ 7 ，PC = DQ ， : 16 - t = 21- 3t ，
解得：
@当四边形CPDQ 为平行四边形时，7 < t ≤ 16 ，CP = DQ ， : 3t - 21 = 16 - t ，
解得 ，
综合上述，当t = 或 时，以点P 、C 、D 、Q 为顶点的四边形是平行四边形．
故选：C．
11 ．-2
【分析】一元一次不等式即为含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的不等式，据此即可确 定 m 的值.
【详解】解：由题意可得 m - 1 = 1
解得m = ±2
因为m - 2 ≠ 0
解得 m ≠ 2
所以m = -2
故答案为-2
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，准确理解定义中“一元”与“一次”的含义是解题 的关键.
12 ．132° ##132 度
【分析】本题考查多边形内角和问题，求出正五边形和正六边形每个内角的度数，即可求解． 【详解】解：正五边形内角和为：(5 - 2) ×180° = 540° ,每个内角为： ，
正六边形内角和为：(6 - 2) ×180° = 720° ,每个内角为： ，
因此上AOB = 360° -108° -120° = 132° , 故答案为：132° .
13 ． ±140
【分析】本题主要考查完全平方公式， 根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求 解．100x2 - kxy+ 49y2 的首末两项是10x 和7y 的平方，那么中间项为加上或减去10x 和7y 的积的 2 倍．
【详解】解：∵100x2 - kxy+ 49y2 是一个完全平方式，
:-kxy = ±2× 10x ×7y ， 解得k = ±140 ；
故答案为： ±140 ．
14 ．45°
【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，连接 CD ，如图所示，令正方形网格的边长为 1，先在网格中由勾股定理求出
AD = = , CD = = , AC = ，由勾股定理的逆定理及等腰直 角三角形的判定与性质即可得到答案．熟练掌握网格中勾股定理求线段长及勾股定理的逆定 理的运用是解决问题的关键．
【详解】解：连接CD，如图所示：
令正方形网格的边长为 1，
: AD = = , CD = = , AC = = ， 即DA = DC ，AD2 + CD2 = AC2 ，
:△ACD 是等腰直角三角形，则上DAC = 45° , 故答案为：45° .
15 ．4 或8 ##8 或 4
【分析】先根据△APC 为直角三角形进行分类讨论：当上APC = 90° 时，根据直角三角形斜 边中线等于斜边上的一半，即可求出PM ，进而求出MN ，BE 长度即可；当上ACP = 90° 时， 根据直角三角形中，30° 角所对直角边是斜边长度的一半，可以求出PM = 4 ，进而求出
MN ，BE 长度就解决了．
【详解】解：如图，当 上APC = 90° 时，
∵ AM = MC，AC = 4 ，
: PM 是△APC 斜边上的中线， : AM = CM = PM = 2 ，
: PN = 2 ，
: MN = 4 ，
故将 △ABC 向右平移4 个单位即可， : BE = MN = 4 ；
如图，当上ACP = 90° 时，
∵ △ABC ， △DEF 是等边三角形，点M ，N 分别为AC ，DF 的中点， : MN Ⅱ BF，
: 上PMC = 上ACB = 60° , : 上MPC = 30° ,
∵ M 为AC 的中点，AC = 4 ， : CM = 2 ，
:在Rt△MCP 中，上MCP = 90° , 上MPC = 30° ,
: PM = 2CM = 4 ，
∵点P 是线段MN的中点， : MN = 8 ，
故将 △ABC 向右平移8 个单位即可， : BE = MN = 8 ；
故答案为：4 或8 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质， 直角三角形的性质，平移的基本规律，熟练掌握平 移的基本特点，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．
16 ．（1）-2 ≤ x < ；（2）x
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分式的化简，熟记解不等式组的步骤与分式的 混合运算的运算顺序是解本题的关键．
（1）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定其解集的公共部分即可；
（2）先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，约分后可得答案． 解
由①得： ，
由②得：x ≥ -2 ，
:不等式组的解集是：-2 ≤ ;

= x
17 ．(1) A1 (-1, 5) ，B1 (-2, 3) ，C1 (-4, 4) ，图见解析
【分析】本题考查的是作图——平移变换，熟知图形平移性质是解答此题的关键．
（1）由题意得△A1B1C1 是由 △ABC 向左平移 5 个单位长度，向上平移 2 个单位长度后得到 的，即可得出答案；
（2）利用割补法即可得出△A1B1C1 的面积，等于底分别为 1 、2，高为 3 的梯形面积减去两 个直角边分别为 1 、2 的直角三角形面积．
【详解】（1）解：: △ABC 中任意一点P(x, y) 经过平移后的对应点为P1 (x - 5, y + 2) ，
: △ABC 向左平移 5 个单位长度，向上平移 2 个单位长度得到△A1B1C1 ， 如图， △A1B1C1 即为所求．
由图可得，A1 (-1, 5) ，B1 (-2, 3) ，C1 (-4, 4)．
（2）解： △A1B1C1 的面积 故△A1B1C1 的面积为 ．
18 ．(1)8
(2) 30°
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质， 等腰三角形的性质，关键是由线段垂直平分线的 性质推出EB = EC ，掌握等边对等角．
（1）由线段垂直平分线的性质推出 EC = EB ，即可得到 △ACE 的周长= AC + AB = 8 ；
（2）由等腰三角形的性质推出上ECB = 上B = 40° , 上BCA = 上A = 70° , 即可求出上ACE 的 度数．
【详解】（1）解：∵ DE 垂直平分BC ， : EC = EB ，
∵ AB = BC = 5 ，AC = 3 ，
: △ACE 的周长= CA + AE + CE = CA + AE + BE = AC + AB = 8 ；
（2）解：∵ ED 垂直平分BC ， : EC = EB ，
: 上ECB = 上B = 40° , ∵ AB = CB ，
: 上ACE = 上ACB - 上BCE = 30° .
19 ．(1) 2024 + 20242 + 2025
(2) n2 = n -1+ (n -1)2 + n ，见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了数字规律型问题， 还考查了整式的运算和乘法公式．正确得到等式 所反映的规律，是解题的关键．
（1）依据材料中等式的规律解答即可；
（2）根据依据材料中发现等式的规律写出含 n 的等式证明成立即可．
（3）根据题意画出图形即可．
【详解】（1）解：第 1 个等式：22 = 1 + 12 + 2 ； 第 2 个等式：32 = 2 + 22 + 3 ；
第 3 个等式：42 = 3 + 32 + 4 ；
第 4 个等式：52 = 4 + 42 + 5 ；
…… ,
以此类推，可知第 2024 个等式：20252 = 2024 + 20242 + 2025 （2）解：第 1 个等式：22 = 1 + 12 + 2 ；
第 2 个等式：32 = 2 + 22 + 3 ；
第 3 个等式：42 = 3 + 32 + 4 ；
第 4 个等式：52 = 4 + 42 + 5 ；
则含 n 的等式是n2 = (n -1) + (n -1)2 + n ． 理由：∵右边= n -1+ n2 - 2n +1+ n = n2 ， 左边= n2 ，
:左边= 右边，
: n2 = (n -1) + (n -1)2 + n 成立．
（3）解：如图所示，即为所求．
20 ．(1)见解析 (2)4
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理， 熟练 掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
（1）根据内错角相等，两直线平行可推出 AE Ⅱ CF ，再根据平行四边形的性质可得 AB∥CD ，AB = CD ，即可得出△ABE≌△CDF ，进而可证四边形是平行四边形．
（2）根据勾股定理可得 BF 长，然后根据线段的和差和全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：Q Ð AEB = Ð CFD = 90 ，
: Ð AEF = Ð CFE = 90 ，
: AE∥CF ，
Q 四边形ABCD 是平行四边形，
: AB∥CD ，AB = CD
:上ABD = 上CDB ，
:VABE≌VCDF (AAS) ，
: AE = FC ，
又Q AE Ⅱ CF ，
: 四边形AECF 是平行四边形．
（2）解：由勾股定理得
Q BD = 16 ，
:FD = BD - BF = 6 ， QVABE≌VCDF ，
:BE = FD = 6 ，
:EF = BF -BE = 4．
21 ．
(2) x > 4
(3)P(4, 0) 或P(-8, 0)
【分析】本题考查了一次函数的解析式，直线的交点问题，一次函数与不等式的解集，三角 形的面积，熟练掌握待定系数法，数形结合思想是解题的关键．
把A(4, a )代入 确定点A(4, 3) ，把 A，D 坐标分别代入CD : y2 = mx + n 计算 即可．
（2）根据 A(4, 3) ，利用数形结合思想计算即可．
（3）设P(m, 0) ，结合点 计算即可．
解：:直线与直线CD : y2 = mx + n 交于点A(4, a )，直线CD 交y 轴于点D(0, 9)．
: A (4, 3) ,
: 3 = 4m + 9 ， 解得 ，
故直线CD 的解析式为
（2）解：根据函数图象可知，当 x > 4 时，直线AB 的图象在直线CD 的上面， :当y1 > y2 时，x > 4 ．
（3）解：设P(m, 0)，
把y = 0 代入AB 的解析式得： ，
解得：x = -2 ， : B (-2, 0)，
∵点A(4, 3) ，
解得：m = 4 或m = -8 ， 故点P(4, 0) 或P(-8, 0) ．
22 ．(1)节后每千克 A 粽子的进价为 10 元
(2)① 0 < m ≤ 300 ；②节前购进 300 千克 A 粽子获得利润最大，最大利润为 3000 元
【分析】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是根据等 量关系列出方程和关系式．
（1）设节后每千克 A 粽子的进价为 x 元，则每千克 A 粽子节前的进价为(x + 2) 元，根据节 前用 480 元购进 A 粽子的数是节后用200 元购进的数量的 2 倍，列出方程，解方程即可；
（2）①设该商场节前购进 m 千克 A 粽子，则节后购进(400 - m) 千克 A 粽子，根据总费用 不超过 4600 元，列出不等式，解不等式即可；
②设获得的利润为 w 元，根据利润= 售价- 进价列出关系式，根据总费用不超过 4600 元，
根据 m 的范围，一次函数函数增减性，求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设节后每千克 A 粽子的进价为 x 元，则每千克 A 粽子节前的进价为(x + 2) 元，根据题意得：
解得：x = 10 ，
经检验x =10 是原方程的解，且符合实际， 答：节后每千克 A 粽子的进价为 10 元．
（2）解：①设该商场节前购进 m 千克 A 粽子，则节后购进(400 - m) 千克 A 粽子，根据题
意得：
í 10 (400 - m) ≤ 4600 ，
解得：0 < m ≤ 300 ；
@获得的利润为 w 元，根据题意得：
w = (20 -12)m + (16 -10)(400 - m) = 2m + 2400 ， : 2 > 0 ，
:w 随 m 的增大而增大， : 0 < m ≤ 300 ，
:当m = 300 时，w 取最大值，且最大值为：w最大 = 2 × 300 + 2400 = 3000 ， 答：节前购进 300 千克 A 粽子获得利润最大，最大利润为 3000 元．
23 ．（1）见解析；（2 ） ① 1 ； ② ；（3 ）16 ．
【分析】（1）连接DM ，由中位线定理可得DE Ⅱ AC ，则 上DEB = 上C = 90° ,然后证明 Rt △DFM≌Rt△DEM (HL) 即可；
（2 ） ① 由中位线定理得DE = 3 ，BE = 4 ，进而求勾股定理得DB = 5 ，再利用平行线及等 腰三角形的判定可得OD = OB ，OG = OM ，进而求得 BM = DG = 5 在利用线段的和差求出 ME 即可得解；
② 先证MA = MB 进而设MA = MB = x ，在 Rt△ACM 中，由勾股定理得MA2 = AC2 + MC2 ， 然后代入求解即可；
（3 ）FG = 4 为定线段，所以面积问题转化为点C 到FG 最大距离问题，很明显当C、D、F 三点共线时，此时CF 即为点C 到FG 的最大距离，即可得解．
【详解】证明: 如图，连接DM ，
∵ 上C = 90° , D、E 为AB、BC 中点， : DE Ⅱ AC ，
: 上DEB = 上C = 90° , ∵ C、E、B 三点共线，
: 上DEC = 180° - 上DEB = 90° ,
∵ △DEB 绕点D 顺时针旋转得到 △DFG ， : DF = DE ，上DFG = 上DEB = 90° ,
: 上DFG = 上DEC = 90° ,
在Rt△DFM 和Rt△DEM 中，
: Rt △DFM≌Rt△DEM (HL)， : MF = ME ；
（2 ） ① 如图，记DG 交BC 于点O ，
∵ AC = 6 ，BC = 8 ，D、E 为AB、BC 中点，
在Rt△DEB 中， 由勾股定理，得
: △DEB 绕点D 顺时针旋转得到 △DFG ， : DG = DB = 5 ， ÐDGF = Ð B ，
: FG ⅡAD ，
: 上DGF = 上BDG ，上BMG = 上B ，
: 上DGF = 上BMG ，上BDG = 上B ， : OD = OB ，OG = OM ，
: MB = MO + OB = OD + OG = DG = 5 ， : MF = ME = MB - EB = 5 - 4 -1 ；
② : △DEB 绕点D 顺时针旋转得到 △DFG ， : DG = DB = 5 ， ÐDGF = Ð B ，
: AD = DB ， : AD = DG ，
: A ，F ，G 三点共线, : 上DGF = 上DAG ，
: 上B = 上DAG ， : MA = MB ，
设MA = MB = x ，
在Rt△ACM 中， 由勾股定理，得MA2 = AC2 + MC2 ， 则x2 = 62 + (8 - x )2 ，
解得 ，
（3 ）如图，过C 作CN 丄 FG 于点N ，
∵ FG = BE = 4 为定值，
:当FG 上的高线CN 最大时，则△CFG 面积最大，即求出C 到FG 的最大距离即可， ∵ CN ≤ CF ，
当点N 和点F 重合时，且 △DFG 旋转到AB 外侧时，此时CN 最大，
∵ DF 丄 FG ，
:此时C、D、F 三点共线，
即CN = CF = CD + DF = 5 + 3 = 8 ，
即△CFG 面积最大值为16 ，
【点睛】本题主要考查了旋转的性质， 等腰三角形的判定，中位线定理，全等三角形的判定 和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．