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河南省郑州四中实验学校2021-2022学年下学期八年级期末数学测试卷
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这是一份河南省郑州四中实验学校2021-2022学年下学期八年级期末数学测试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省郑州四中实验学校八年级（下）期末
数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）对称美在生活中处处可见，下列是历届冬奥会的会徽，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知a＜b，c＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A．a﹣c＞b﹣c B．a+c＜b
C．ac+1＜bc+1 D．a（c﹣2）＜b（c﹣2）
3．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax） B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2 D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2
4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是钝角时，下列假设正确的是（ ）
A．三角形中至少有两个角是钝角
B．三角形中没有一个角是钝角
C．三角形中三个角都是钝角
D．三角形中至少有一个角是钝角
6．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分
B．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
D．等边三角形两边中线上的交点到三边的距离相等
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（ ）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正十二边形
9．（3分）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝7，DH＝2，平移距离为3，求阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．18
10．（3分）在一多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为4，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为1的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3），称为第二次变化，如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案．如不断发展下去到第n次变化时，图形的周长为（ ）
A．2n+2 B．2n+3 C．2n+4 D．4n
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）当x＝ 时，分式的值等于0．
12．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝46°，则∠B＝ ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝50°．将△ABC绕着点B逆时针方向旋转得△DBE，其中AC∥BD，BF、BG分别为△ABC与△DBE的中线，则∠FBG＝ ．
14．（3分）已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2＝3（a2+b2+c2），则这个三角形是 三角形．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D为BC边上一个动点（不包含点B和点C），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，点D的对应点为点E，连接CE，若AC＝4，在点D移动的过程中，则CE的最小值为 ．
三、解答题（共7小题，共75分）
16．（8分）下面是小明同学在作业中计算a++2的过程，请仔细阅读后解答下列问题：
a++2
＝a+2+……第一步
＝（2+a）（2﹣a）+a2……第二步
＝2﹣a2+a2……第三步
＝2……第四步
（1）小明的作业是从第 步开始出现错误的，正确的结果是 ；
（2）a＝ 时，a++2的值等于4．
17．（8分）八年级数学组举行了学科创意设计大赛，八（11）班的数学课代表在几何画板上设计图案．他在平面直角坐标系中设计了一个图案，并把该图案上一点A绕点P逆时针方向旋转一定角度，此时，点A（0，4）的对应点是点B（4，0），同时发现把点B逆时针旋转相同的角度后，点B的对应点为点C（4+4，0）．
（1）请用尺规作图，找出旋转中心P的位置．
（2）请直接写出该旋转中心P的坐标为 ．
18．（10分）问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图①，△ABC中，BE平分∠ABC，DE垂直平分AC．试判断∠BAE与∠BCE的数量关系．
探究展示：智慧小组发现，∠BAE与∠BCE互为补角，并展示了如下的证明方法：
证明：如图②，作EF⊥AB交BA的延长线于点F，EG⊥BC于点G，
∵BE平分∠ABC，∴EF＝EG，（依据1）
∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC，（依据2）
……
反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
（2）请按照上面的证明思路，完整写出该题证明过程．
19．（12分）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：甲书店：所有书籍按标价8折出售；乙书店：一次购书标价总额不超过200元的按原价计费，超过200元的部分打6折．设小艺同学当天购书标价总额为x元，去甲书店付y甲元，去乙书店购书应付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出小艺选择去哪个书店购书更合算．
20．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时，△CDE恰为等边三角形．
（1）求AB的长度；
（2）猜想AC与BB'的位置关系．并说明理由；
（3）求阴影部分的面积．
21．（12分）公安部交管局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动，自2020年6月1日起，要求骑乘电动车需要佩戴头盔，市场上头盔出现热销，某厂家每月固定生产A、B两种型号的头盔，A型型号的头盔去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型型号的头盔比去年增加30元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型型号的头盔数量相同，则今年6月份A型型号的头盔销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．
A，B两种型号的头盔的进货和销售价格表如下：
A型型号的头盔
B型型号的头盔
进货价格（元/个）
110
140
销售价格（元/个）
今年的销售价格
240
（1）求今年6月份A型型号的头盔每个销售价多少元；
（2）某车行计划7月份新进一批A型型号的头盔和B型型号的头盔共50个，且B型型号的头盔的进货数量不超过A型型号的头盔数量的两倍，应如何进货才能使这批头盔获利最多？
22．（13分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线AB上的一动点（不与点A，B重合）连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH．
【问题发现】
（1）如图（1），当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是 ．EH与AD的位置关系是 ．
【猜想论证】
（2）当点D在边AB上且不是AB的中点时，试猜想EH与AD的数量关系和位置关系．小颖通过深入思考，想到了可延长DE到F，使DE＝EF，连接CF和BF，然后类比问题（1）中所用知识，仍可得到（1）中的结论，请根据小颖的思路就图（2）中的情况帮小颖完成解答过程．
【拓展应用】（3）若AC＝BC＝4，其他条件不变，连接AE、BE．当△BCE是等边三角形时，请直写出△ADE的面积．
2021-2022学年河南省郑州四中实验学校八年级（下）期末
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）对称美在生活中处处可见，下列是历届冬奥会的会徽，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）已知a＜b，c＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A．a﹣c＞b﹣c B．a+c＜b
C．ac+1＜bc+1 D．a（c﹣2）＜b（c﹣2）
【分析】根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵a＜b，
∴a﹣c＜b﹣c，
故A不符合题意；
B、∵a＜b，c＜0，
∴a+c＜b，
故B符合题意；
C、∵a＜b，c＜0，
∴ac+1＞bc+1，
故C不符合题意；
D、∵c＜0，
∴c﹣2＜0，
∵a＜b，
∴a（c﹣2）＞b（c﹣2），
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax） B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2 D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．
【解答】解：A、3ax2﹣6ax＝3ax（x﹣2），故此选项错误；
B、x2+y2，无法分解因式，故此选项错误；
C、a2+2ab﹣4b2，无法分解因式，故此选项错误；
D、﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式﹣1≥1，得：x≤2，
解不等式﹣1＜2，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．（3分）用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是钝角时，下列假设正确的是（ ）
A．三角形中至少有两个角是钝角
B．三角形中没有一个角是钝角
C．三角形中三个角都是钝角
D．三角形中至少有一个角是钝角
【分析】在反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，可据此进行解答．
【解答】解：根据反证法的步骤，则可假设三角形中至少有两个角是钝角．
故选：A．
【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
6．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分
B．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
D．等边三角形两边中线上的交点到三边的距离相等
【分析】根据三角形中位线和中线的性质，全等三角形的判定定理，等边三角形的判定定理和性质定理解答即可．
【解答】解：A．三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分，是真命题，故A不符合题意；
B．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，是假命题，故B符合题意；
C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，是真命题，故C不符合题意；
D．等边三角形两边中线上的交点到三边的距离相等，是真命题，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线和中线的性质，全等三角形的判定定理，等边三角形的判定定理和性质定理．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD知∠B＝∠BCD，据此得DB＝DC，由线段的中垂线的性质可得答案．
【解答】解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，
故选：B．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握三角形外角的性质、中垂线的性质及其尺规作图．
8．（3分）生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（ ）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正十二边形
【分析】进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可．
【解答】解：A、2个正方形与3个正三角形能进行平面镶嵌，因为2×90°+3×60°＝360°；
B、正五边形不能与正三角形进行平面镶嵌，因为正五边形的内角和为108°．108°的整数倍与60°的整数倍的和不等于360°；
C、2个正六边形与2个三角形能进行平面镶嵌，因为2×120°+2×60°＝360°；
D、2个正十二边形与1个正三角形能进行平面镶嵌，因为2×150°+1×60°＝360°；
故选：B．
【点评】本题考查了求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让180°减去即可．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
9．（3分）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝7，DH＝2，平移距离为3，求阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．18
【分析】由S△ABC＝S△DEF，推出S四边形ABEH＝S阴即可解决问题．
【解答】解：∵平移距离为3，
∴BE＝3，
∵AB＝7，DH＝2，
∴EH＝7﹣2＝5，
∵S△ABC＝S△DEF，
∴S四边形ABEH＝S阴，
∴阴影部分的面积为＝×（5+7）×3＝18，
故选：D．
【点评】本题考查了平移的基本性质，掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等是解题的关键．
10．（3分）在一多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为4，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为1的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3），称为第二次变化，如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案．如不断发展下去到第n次变化时，图形的周长为（ ）
A．2n+2 B．2n+3 C．2n+4 D．4n
【分析】观察图形，发现对正方形每进行1次分形，周长增加1倍，据此进行求解即可．
【解答】解：周长依次为32＝25＝21+4，64＝26＝22+4，128＝27＝23+4，…，2n+4，即无限增加，
所以不断发展下去到第n次变化时，图形的周长为2n+4．
故选：C．
【点评】此题考查了图形的变化类，主要培养学生的观察能力和概括能力，观察出后一个图形的周长比它的前一个增加1倍是解题的关键，本题有一定难度．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）当x＝ ﹣1 时，分式的值等于0．
【分析】直接利用分式有意义的条件以及分式的值为零的条件分析得出答案．
【解答】解：∵分式的值等于0，
∴x2﹣1＝0，1﹣x≠0，
解得：x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件以及分式的值为零的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
12．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝46°，则∠B＝ 111° ．
【分析】根据翻折可得∠B′AC＝∠BAC，根据平行四边形可得DC∥AB，所以∠BAC＝∠DCA，从而可得∠1＝2∠BAC，进而求解．
【解答】解：根据翻折可知：
∠B′AC＝∠BAC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴∠BAC＝∠DCA＝∠B′AC
∵∠1＝∠B′AC+∠DCA
∴∠1＝2∠BAC＝46°，
∴∠BAC＝23°，
∴∠B＝180°﹣23°﹣46°＝111°
∴∠B′＝∠B＝111°．
故答案为：111°．
【点评】本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质．
13．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝50°．将△ABC绕着点B逆时针方向旋转得△DBE，其中AC∥BD，BF、BG分别为△ABC与△DBE的中线，则∠FBG＝ 65° ．
【分析】由等腰三角形的性质和旋转的性质得∠C＝∠E＝50°，∠CAB＝∠CBA＝∠EBD＝∠D＝65°，BC＝BE，AC＝DE，再证△BCF≌△BEG（SAS），得∠CBF＝∠EBG，然后证A在BE上，即可得出答案．
【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝50°，
∴∠CAB＝∠CBA＝×（180°﹣50°）＝65°，
由旋转的性质得：△ABC≌△DBE，
∴∠C＝∠E＝50°，∠CAB＝∠CBA＝∠EBD＝∠D＝65°，BC＝BE，AC＝DE，
∵BF、BG分别为△ABC与△DBE的中线，
∴CF＝AC，EG＝DE，
∴CF＝EG，
∴△BCF≌△BEG（SAS），
∴∠CBF＝∠EBG，
∵AC∥BD，∠CAB＝∠EBD＝65°，
∴A在BE上，
∴∠FBG＝∠ABF+∠EBG＝∠ABF+∠CBF＝∠CBA＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
14．（3分）已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2＝3（a2+b2+c2），则这个三角形是 等边 三角形．
【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．
【解答】解：∵（a+b+c）2＝3（a2+b2+c2），
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，＝3a2+3b2+3c2，
a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac＝0，
即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，
∴a＝b＝c，
故△ABC为等边三角形．
故答案是：等边．
【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D为BC边上一个动点（不包含点B和点C），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，点D的对应点为点E，连接CE，若AC＝4，在点D移动的过程中，则CE的最小值为 2﹣2 ．
【分析】在AB上截取AF＝AC，连接DF，过点F作FG⊥BC于点G，由旋转的性质得出AD＝AE，∠DAE＝90°，证明△AFD≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质得出FD＝CE，若CE有最小值，则DF最小，即为FG的长，由直角三角形的性质求出FG的长，则可得出答案．
【解答】解：在AB上截取AF＝AC，连接DF，过点F作FG⊥BC于点G，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°，点D的对应点为点E，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝∠CAE，
∴△AFD≌△ACE（SAS），
∴FD＝CE，
若CE有最小值，则DF最小，即为FG的长，
∵∠B＝30°，AC＝4，
∴BC＝2AC＝8，
∴AB＝＝＝4，
∴BF＝4﹣4，
∴FG＝BF＝2﹣2．
∴CE的最小值为2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题（共7小题，共75分）
16．（8分）下面是小明同学在作业中计算a++2的过程，请仔细阅读后解答下列问题：
a++2
＝a+2+……第一步
＝（2+a）（2﹣a）+a2……第二步
＝2﹣a2+a2……第三步
＝2……第四步
（1）小明的作业是从第 二 步开始出现错误的，正确的结果是 ；
（2）a＝ 1 时，a++2的值等于4．
【分析】（1）根据分式的基本性质，进行运算．
（2）通过解分式方程解决此题．
【解答】解：（1）a++2
＝a+2+
＝
＝．
∴小明的作业是从第二步开始出现错误的，正确的结果是．
故答案为：二、．
（2）由（1）知，a++2＝．
∴a++2＝4可化简为＝4．
∴a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查分式的加减运算、平方差公式、解分式方程，熟练掌握分式的加减运算法则、平方差公式、解分式方程的方法是解决本题的关键．
17．（8分）八年级数学组举行了学科创意设计大赛，八（11）班的数学课代表在几何画板上设计图案．他在平面直角坐标系中设计了一个图案，并把该图案上一点A绕点P逆时针方向旋转一定角度，此时，点A（0，4）的对应点是点B（4，0），同时发现把点B逆时针旋转相同的角度后，点B的对应点为点C（4+4，0）．
（1）请用尺规作图，找出旋转中心P的位置．
（2）请直接写出该旋转中心P的坐标为 （4+2，4+2） ．
【分析】（1）连接AB，作线段AB，BC的垂直平分线交于点P，点P即为所求；
（2）证明OE＝PE，可得结论．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求．
（2）由题意，PE垂直平分线段BC，E是垂足，
∵A（0，4），B（4，0），C（4+4，0），
∴OA＝OB＝4，E（4+2，0），
∴AB的垂直平分线经过点O，
∴∠POE＝∠OPE＝45°，
∴OE＝PE，
∴P（4+2，4+2）．
故答案为：（4+2，4+2）．
【点评】本题考查作图﹣利用旋转设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（10分）问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图①，△ABC中，BE平分∠ABC，DE垂直平分AC．试判断∠BAE与∠BCE的数量关系．
探究展示：智慧小组发现，∠BAE与∠BCE互为补角，并展示了如下的证明方法：
证明：如图②，作EF⊥AB交BA的延长线于点F，EG⊥BC于点G，
∵BE平分∠ABC，∴EF＝EG，（依据1）
∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC，（依据2）
……
反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
（2）请按照上面的证明思路，完整写出该题证明过程．
【分析】作EF⊥AB交BA的延长线于点F，EG⊥BC于点G，角平分线性质、线段垂直平分线性质得到EF＝EG、EA＝EC后，根据HL证明Rt△AEF≌Rt△CEG即可解答．
【解答】解：（1）依据1：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
依据2：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
（2）证明：如图②，作EF⊥AB交BA的延长线于点F，EG⊥BC于点G，
∵BE平分∠ABC，
∴EF＝EG（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等），
∵DE垂直平分AC，
∴EA＝EC（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等），
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠F＝∠EGC＝90°，
在Rt△AEF与Rt△CEG中
，
∴Rt△AEF≌Rt△CEG（HL），
∴∠FAE＝∠GCE，
又∵∠BAE+∠FAE＝180°，
∴∠BAE+∠GCE＝180°，
∴∠BAE与∠BCE互为补角．
【点评】本题考查角平分线性质、线段垂直平分线性质、直角三角形全等的判定和性质等知识点，解题关键是恰当作出辅助线．
19．（12分）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：甲书店：所有书籍按标价8折出售；乙书店：一次购书标价总额不超过200元的按原价计费，超过200元的部分打6折．设小艺同学当天购书标价总额为x元，去甲书店付y甲元，去乙书店购书应付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出小艺选择去哪个书店购书更合算．
【分析】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家书店y与x的函数关系式；
（2）根据（1）的结论解答即可；
（3）结合图象解答即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
y甲＝0.8x；
乙书店：当0≤x≤200时，y乙与x的函数关系式为y乙＝x，当x＞200时，y乙＝200+（x﹣200）×0.6＝0.6x+80，
由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙＝；
（2），
解得，
∴A（400，320），
点A的实际意义是当买的书标价为400元时，甲乙书店所需费用相同，都是320元；
（3）由点A的意义，结合图象可知，
当x＜400时，选择甲书店更省钱；
当x＝400，甲乙书店所需费用相同；
当x＞400，选择乙书店更省钱．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
20．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时，△CDE恰为等边三角形．
（1）求AB的长度；
（2）猜想AC与BB'的位置关系．并说明理由；
（3）求阴影部分的面积．
【分析】（1）首先根据等边三角形的性质可得DF＝DC＝FC，∠D＝60°，根据折叠的性质，∠BCA＝∠ECA，再利用平行四边形的性质证明∠B′CA＝30°，∠ACD＝90°，利用直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半可得CD长，进而可得AB的长；
（2）由折叠的性质得到BC＝B′C，∠BCA＝∠B′CA，根据等腰三角形的性质即可得到AC⊥BB′；
（3）利用勾股定理求出AC，然后根据三角形的中线平分三角形的面积可得S△ACF＝S△ACD，进而可得答案．
【解答】解：（1）∵△CDE为等边三角形，
∴DE＝DC＝EC，∠D＝∠CED＝60°，
根据折叠的性质，∠BCA＝∠B′CA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝8cm，AB＝CD，
∴∠BCE＝∠CED＝60°，
∴∠BCA＝∠B′CA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴CD＝AD＝4cm，
∵AB＝4cm；
（2）结论：AC⊥BB′，
理由：由折叠的性质得，BC＝B′C，∠BCA＝∠B′CA，
∴AC⊥BB′；
（3）在Rt△ABC中，
AC＝＝＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC＝∠BCA，
∴∠EAC＝∠ECA
∴EA＝EC，
∵△CDE恰为等边三角形，
∴DE＝EC，
∴EA＝ED，
∵CD＝4cm，∠ACD＝90°，
∴S△ACE＝S△ACD＝AC•CD＝×4×4＝4（cm2）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及翻折变换，等边三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半．
21．（12分）公安部交管局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动，自2020年6月1日起，要求骑乘电动车需要佩戴头盔，市场上头盔出现热销，某厂家每月固定生产A、B两种型号的头盔，A型型号的头盔去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型型号的头盔比去年增加30元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型型号的头盔数量相同，则今年6月份A型型号的头盔销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．
A，B两种型号的头盔的进货和销售价格表如下：
A型型号的头盔
B型型号的头盔
进货价格（元/个）
110
140
销售价格（元/个）
今年的销售价格
240
（1）求今年6月份A型型号的头盔每个销售价多少元；
（2）某车行计划7月份新进一批A型型号的头盔和B型型号的头盔共50个，且B型型号的头盔的进货数量不超过A型型号的头盔数量的两倍，应如何进货才能使这批头盔获利最多？
【分析】（1）设今年6月份A型型号的头盔每个销售价为x元，则去年6月份A型型号的头盔每个销售价为（x﹣30）元，根据“今年6月份与去年6月份卖出的A型型号的头盔数量相同”列出分式方程，解方程即可得出答案；
（2）设进A型型号的头盔m个，则进B型型号的头盔（50﹣m）个，根据“B型型号的头盔的进货数量不超过A型型号的头盔数量的两倍”列出一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，设这批头盔获利为w元，得出w与m的一次函数关系式，再利用一次函数的性质，即可得出答案．
【解答】解：（1）设今年6月份A型型号的头盔每个销售价为x元，则去年6月份A型型号的头盔每个销售价为（x﹣30）元，
由题意得：，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是分式方程的解，也符合题意，
答：今年6月份A型型号的头盔每个销售价为150元；
（2）设进A型型号的头盔m个，则进B型型号的头盔（50﹣m）个，
由题意得：50﹣m≤2m，
解得：m，
设这批头盔获利为w元，
w＝（150﹣110）m+（240﹣140）（50﹣m）＝﹣60m+5000，
∵﹣60＜0，
∴w随x的增大而减小，
∵m，且m为整数，
∴当m＝17时，w有最大值，
此时，50﹣m＝50﹣17＝33，
答：进A型型号的头盔17个，进B型型号的头盔33个能使这批头盔获利最多．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出分式方程，一元一次不等式，掌握一次函数的性质是解决问题的关键．
22．（13分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线AB上的一动点（不与点A，B重合）连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH．
【问题发现】
（1）如图（1），当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是 EH＝AD ．EH与AD的位置关系是 EH⊥AD ．
【猜想论证】
（2）当点D在边AB上且不是AB的中点时，试猜想EH与AD的数量关系和位置关系．小颖通过深入思考，想到了可延长DE到F，使DE＝EF，连接CF和BF，然后类比问题（1）中所用知识，仍可得到（1）中的结论，请根据小颖的思路就图（2）中的情况帮小颖完成解答过程．
【拓展应用】（3）若AC＝BC＝4，其他条件不变，连接AE、BE．当△BCE是等边三角形时，请直写出△ADE的面积．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的判定和性质解决问题即可．
（2）结论仍然成立：如图2中，延长DE到F，使得EF＝DE，连接CF，BF．证明△ACD≌△BCF（SAS），再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．如图3﹣2中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．分别求出AD，EH即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，
∴∠A＝∠B＝45°，∠DCB＝∠ACD＝45°，
∵∠DCE＝45°，
∴点E在线段CB上，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB＝∠B＝45°，
∵DH＝HB，
∴EH⊥DB，EH＝DB＝AD，
故答案为：EH＝AD，EH⊥AD．
（2）结论仍然成立：
理由：如图2中，延长DE到F，使得EF＝DE，连接CF，BF．
∵DE＝EF．CE⊥DF，
∴CD＝CF，
∴∠CDF＝∠CFD＝45°，
∴∠ECF＝∠ECD＝45°，
∴∠ACB＝∠DCF＝90°，
∴∠ACD＝∠BCF，
∵CA＝CB，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴AD＝BF，∠A＝∠CBF＝45°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝90°，
∴BF⊥AB，
∵DE＝EF，DH＝HB，
∴EH＝BF，EH∥BF，
∴EH⊥AD，EH＝AD．
（3）如图3﹣1中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．
∵∠ACB＝90°，∠ECB＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AC＝CB＝CE＝EB＝DE＝4，
∴∠CAE＝∠CEA＝75°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠EAH＝30°，
∵∠DEC＝90°，∠CEB＝60°，
∴∠DEB＝150°，
∴∠EDB＝∠EBD＝15°，
∵∠EAH＝∠ADE+∠AED，
∴∠ADE＝∠AED＝15°，
∴AD＝AE，
设EH＝x，则AD＝AE＝2x，AH＝x，
∵EH2+DH2＝DE2，
∴x2+（2x+x）2＝（4）2，
∴x＝2﹣2，
∴AD＝4﹣4，
∴S△ADE＝•AD•EH＝×（4﹣4）•（2﹣2）＝16﹣8．
如图3﹣2中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．
同法可求：EH＝2+2，AD＝4+4，
∴S△ADE＝•AD•EH＝×（4+4）（2+2）＝16+8，
综上所述，满足条件的△ADE的面积为16﹣8或16+8．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题
2021-2022学年河南省郑州四中实验学校八年级（下）期末
数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）对称美在生活中处处可见，下列是历届冬奥会的会徽，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知a＜b，c＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A．a﹣c＞b﹣c B．a+c＜b
C．ac+1＜bc+1 D．a（c﹣2）＜b（c﹣2）
3．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax） B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2 D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2
4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是钝角时，下列假设正确的是（ ）
A．三角形中至少有两个角是钝角
B．三角形中没有一个角是钝角
C．三角形中三个角都是钝角
D．三角形中至少有一个角是钝角
6．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分
B．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
D．等边三角形两边中线上的交点到三边的距离相等
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（ ）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正十二边形
9．（3分）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝7，DH＝2，平移距离为3，求阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．18
10．（3分）在一多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为4，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为1的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3），称为第二次变化，如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案．如不断发展下去到第n次变化时，图形的周长为（ ）
A．2n+2 B．2n+3 C．2n+4 D．4n
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）当x＝ 时，分式的值等于0．
12．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝46°，则∠B＝ ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝50°．将△ABC绕着点B逆时针方向旋转得△DBE，其中AC∥BD，BF、BG分别为△ABC与△DBE的中线，则∠FBG＝ ．
14．（3分）已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2＝3（a2+b2+c2），则这个三角形是 三角形．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D为BC边上一个动点（不包含点B和点C），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，点D的对应点为点E，连接CE，若AC＝4，在点D移动的过程中，则CE的最小值为 ．
三、解答题（共7小题，共75分）
16．（8分）下面是小明同学在作业中计算a++2的过程，请仔细阅读后解答下列问题：
a++2
＝a+2+……第一步
＝（2+a）（2﹣a）+a2……第二步
＝2﹣a2+a2……第三步
＝2……第四步
（1）小明的作业是从第 步开始出现错误的，正确的结果是 ；
（2）a＝ 时，a++2的值等于4．
17．（8分）八年级数学组举行了学科创意设计大赛，八（11）班的数学课代表在几何画板上设计图案．他在平面直角坐标系中设计了一个图案，并把该图案上一点A绕点P逆时针方向旋转一定角度，此时，点A（0，4）的对应点是点B（4，0），同时发现把点B逆时针旋转相同的角度后，点B的对应点为点C（4+4，0）．
（1）请用尺规作图，找出旋转中心P的位置．
（2）请直接写出该旋转中心P的坐标为 ．
18．（10分）问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图①，△ABC中，BE平分∠ABC，DE垂直平分AC．试判断∠BAE与∠BCE的数量关系．
探究展示：智慧小组发现，∠BAE与∠BCE互为补角，并展示了如下的证明方法：
证明：如图②，作EF⊥AB交BA的延长线于点F，EG⊥BC于点G，
∵BE平分∠ABC，∴EF＝EG，（依据1）
∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC，（依据2）
……
反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
（2）请按照上面的证明思路，完整写出该题证明过程．
19．（12分）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：甲书店：所有书籍按标价8折出售；乙书店：一次购书标价总额不超过200元的按原价计费，超过200元的部分打6折．设小艺同学当天购书标价总额为x元，去甲书店付y甲元，去乙书店购书应付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出小艺选择去哪个书店购书更合算．
20．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时，△CDE恰为等边三角形．
（1）求AB的长度；
（2）猜想AC与BB'的位置关系．并说明理由；
（3）求阴影部分的面积．
21．（12分）公安部交管局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动，自2020年6月1日起，要求骑乘电动车需要佩戴头盔，市场上头盔出现热销，某厂家每月固定生产A、B两种型号的头盔，A型型号的头盔去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型型号的头盔比去年增加30元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型型号的头盔数量相同，则今年6月份A型型号的头盔销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．
A，B两种型号的头盔的进货和销售价格表如下：
A型型号的头盔
B型型号的头盔
进货价格（元/个）
110
140
销售价格（元/个）
今年的销售价格
240
（1）求今年6月份A型型号的头盔每个销售价多少元；
（2）某车行计划7月份新进一批A型型号的头盔和B型型号的头盔共50个，且B型型号的头盔的进货数量不超过A型型号的头盔数量的两倍，应如何进货才能使这批头盔获利最多？
22．（13分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线AB上的一动点（不与点A，B重合）连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH．
【问题发现】
（1）如图（1），当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是 ．EH与AD的位置关系是 ．
【猜想论证】
（2）当点D在边AB上且不是AB的中点时，试猜想EH与AD的数量关系和位置关系．小颖通过深入思考，想到了可延长DE到F，使DE＝EF，连接CF和BF，然后类比问题（1）中所用知识，仍可得到（1）中的结论，请根据小颖的思路就图（2）中的情况帮小颖完成解答过程．
【拓展应用】（3）若AC＝BC＝4，其他条件不变，连接AE、BE．当△BCE是等边三角形时，请直写出△ADE的面积．
2021-2022学年河南省郑州四中实验学校八年级（下）期末
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）对称美在生活中处处可见，下列是历届冬奥会的会徽，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）已知a＜b，c＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A．a﹣c＞b﹣c B．a+c＜b
C．ac+1＜bc+1 D．a（c﹣2）＜b（c﹣2）
【分析】根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵a＜b，
∴a﹣c＜b﹣c，
故A不符合题意；
B、∵a＜b，c＜0，
∴a+c＜b，
故B符合题意；
C、∵a＜b，c＜0，
∴ac+1＞bc+1，
故C不符合题意；
D、∵c＜0，
∴c﹣2＜0，
∵a＜b，
∴a（c﹣2）＞b（c﹣2），
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax） B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2 D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．
【解答】解：A、3ax2﹣6ax＝3ax（x﹣2），故此选项错误；
B、x2+y2，无法分解因式，故此选项错误；
C、a2+2ab﹣4b2，无法分解因式，故此选项错误；
D、﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式﹣1≥1，得：x≤2，
解不等式﹣1＜2，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．（3分）用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是钝角时，下列假设正确的是（ ）
A．三角形中至少有两个角是钝角
B．三角形中没有一个角是钝角
C．三角形中三个角都是钝角
D．三角形中至少有一个角是钝角
【分析】在反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，可据此进行解答．
【解答】解：根据反证法的步骤，则可假设三角形中至少有两个角是钝角．
故选：A．
【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
6．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分
B．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
D．等边三角形两边中线上的交点到三边的距离相等
【分析】根据三角形中位线和中线的性质，全等三角形的判定定理，等边三角形的判定定理和性质定理解答即可．
【解答】解：A．三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分，是真命题，故A不符合题意；
B．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，是假命题，故B符合题意；
C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，是真命题，故C不符合题意；
D．等边三角形两边中线上的交点到三边的距离相等，是真命题，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线和中线的性质，全等三角形的判定定理，等边三角形的判定定理和性质定理．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD知∠B＝∠BCD，据此得DB＝DC，由线段的中垂线的性质可得答案．
【解答】解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，
故选：B．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握三角形外角的性质、中垂线的性质及其尺规作图．
8．（3分）生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（ ）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正十二边形
【分析】进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可．
【解答】解：A、2个正方形与3个正三角形能进行平面镶嵌，因为2×90°+3×60°＝360°；
B、正五边形不能与正三角形进行平面镶嵌，因为正五边形的内角和为108°．108°的整数倍与60°的整数倍的和不等于360°；
C、2个正六边形与2个三角形能进行平面镶嵌，因为2×120°+2×60°＝360°；
D、2个正十二边形与1个正三角形能进行平面镶嵌，因为2×150°+1×60°＝360°；
故选：B．
【点评】本题考查了求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让180°减去即可．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
9．（3分）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝7，DH＝2，平移距离为3，求阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．18
【分析】由S△ABC＝S△DEF，推出S四边形ABEH＝S阴即可解决问题．
【解答】解：∵平移距离为3，
∴BE＝3，
∵AB＝7，DH＝2，
∴EH＝7﹣2＝5，
∵S△ABC＝S△DEF，
∴S四边形ABEH＝S阴，
∴阴影部分的面积为＝×（5+7）×3＝18，
故选：D．
【点评】本题考查了平移的基本性质，掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等是解题的关键．
10．（3分）在一多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为4，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为1的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3），称为第二次变化，如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案．如不断发展下去到第n次变化时，图形的周长为（ ）
A．2n+2 B．2n+3 C．2n+4 D．4n
【分析】观察图形，发现对正方形每进行1次分形，周长增加1倍，据此进行求解即可．
【解答】解：周长依次为32＝25＝21+4，64＝26＝22+4，128＝27＝23+4，…，2n+4，即无限增加，
所以不断发展下去到第n次变化时，图形的周长为2n+4．
故选：C．
【点评】此题考查了图形的变化类，主要培养学生的观察能力和概括能力，观察出后一个图形的周长比它的前一个增加1倍是解题的关键，本题有一定难度．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）当x＝ ﹣1 时，分式的值等于0．
【分析】直接利用分式有意义的条件以及分式的值为零的条件分析得出答案．
【解答】解：∵分式的值等于0，
∴x2﹣1＝0，1﹣x≠0，
解得：x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件以及分式的值为零的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
12．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝46°，则∠B＝ 111° ．
【分析】根据翻折可得∠B′AC＝∠BAC，根据平行四边形可得DC∥AB，所以∠BAC＝∠DCA，从而可得∠1＝2∠BAC，进而求解．
【解答】解：根据翻折可知：
∠B′AC＝∠BAC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴∠BAC＝∠DCA＝∠B′AC
∵∠1＝∠B′AC+∠DCA
∴∠1＝2∠BAC＝46°，
∴∠BAC＝23°，
∴∠B＝180°﹣23°﹣46°＝111°
∴∠B′＝∠B＝111°．
故答案为：111°．
【点评】本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质．
13．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝50°．将△ABC绕着点B逆时针方向旋转得△DBE，其中AC∥BD，BF、BG分别为△ABC与△DBE的中线，则∠FBG＝ 65° ．
【分析】由等腰三角形的性质和旋转的性质得∠C＝∠E＝50°，∠CAB＝∠CBA＝∠EBD＝∠D＝65°，BC＝BE，AC＝DE，再证△BCF≌△BEG（SAS），得∠CBF＝∠EBG，然后证A在BE上，即可得出答案．
【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝50°，
∴∠CAB＝∠CBA＝×（180°﹣50°）＝65°，
由旋转的性质得：△ABC≌△DBE，
∴∠C＝∠E＝50°，∠CAB＝∠CBA＝∠EBD＝∠D＝65°，BC＝BE，AC＝DE，
∵BF、BG分别为△ABC与△DBE的中线，
∴CF＝AC，EG＝DE，
∴CF＝EG，
∴△BCF≌△BEG（SAS），
∴∠CBF＝∠EBG，
∵AC∥BD，∠CAB＝∠EBD＝65°，
∴A在BE上，
∴∠FBG＝∠ABF+∠EBG＝∠ABF+∠CBF＝∠CBA＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
14．（3分）已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2＝3（a2+b2+c2），则这个三角形是 等边 三角形．
【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．
【解答】解：∵（a+b+c）2＝3（a2+b2+c2），
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，＝3a2+3b2+3c2，
a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac＝0，
即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，
∴a＝b＝c，
故△ABC为等边三角形．
故答案是：等边．
【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D为BC边上一个动点（不包含点B和点C），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，点D的对应点为点E，连接CE，若AC＝4，在点D移动的过程中，则CE的最小值为 2﹣2 ．
【分析】在AB上截取AF＝AC，连接DF，过点F作FG⊥BC于点G，由旋转的性质得出AD＝AE，∠DAE＝90°，证明△AFD≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质得出FD＝CE，若CE有最小值，则DF最小，即为FG的长，由直角三角形的性质求出FG的长，则可得出答案．
【解答】解：在AB上截取AF＝AC，连接DF，过点F作FG⊥BC于点G，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°，点D的对应点为点E，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝∠CAE，
∴△AFD≌△ACE（SAS），
∴FD＝CE，
若CE有最小值，则DF最小，即为FG的长，
∵∠B＝30°，AC＝4，
∴BC＝2AC＝8，
∴AB＝＝＝4，
∴BF＝4﹣4，
∴FG＝BF＝2﹣2．
∴CE的最小值为2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题（共7小题，共75分）
16．（8分）下面是小明同学在作业中计算a++2的过程，请仔细阅读后解答下列问题：
a++2
＝a+2+……第一步
＝（2+a）（2﹣a）+a2……第二步
＝2﹣a2+a2……第三步
＝2……第四步
（1）小明的作业是从第 二 步开始出现错误的，正确的结果是 ；
（2）a＝ 1 时，a++2的值等于4．
【分析】（1）根据分式的基本性质，进行运算．
（2）通过解分式方程解决此题．
【解答】解：（1）a++2
＝a+2+
＝
＝．
∴小明的作业是从第二步开始出现错误的，正确的结果是．
故答案为：二、．
（2）由（1）知，a++2＝．
∴a++2＝4可化简为＝4．
∴a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查分式的加减运算、平方差公式、解分式方程，熟练掌握分式的加减运算法则、平方差公式、解分式方程的方法是解决本题的关键．
17．（8分）八年级数学组举行了学科创意设计大赛，八（11）班的数学课代表在几何画板上设计图案．他在平面直角坐标系中设计了一个图案，并把该图案上一点A绕点P逆时针方向旋转一定角度，此时，点A（0，4）的对应点是点B（4，0），同时发现把点B逆时针旋转相同的角度后，点B的对应点为点C（4+4，0）．
（1）请用尺规作图，找出旋转中心P的位置．
（2）请直接写出该旋转中心P的坐标为 （4+2，4+2） ．
【分析】（1）连接AB，作线段AB，BC的垂直平分线交于点P，点P即为所求；
（2）证明OE＝PE，可得结论．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求．
（2）由题意，PE垂直平分线段BC，E是垂足，
∵A（0，4），B（4，0），C（4+4，0），
∴OA＝OB＝4，E（4+2，0），
∴AB的垂直平分线经过点O，
∴∠POE＝∠OPE＝45°，
∴OE＝PE，
∴P（4+2，4+2）．
故答案为：（4+2，4+2）．
【点评】本题考查作图﹣利用旋转设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（10分）问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图①，△ABC中，BE平分∠ABC，DE垂直平分AC．试判断∠BAE与∠BCE的数量关系．
探究展示：智慧小组发现，∠BAE与∠BCE互为补角，并展示了如下的证明方法：
证明：如图②，作EF⊥AB交BA的延长线于点F，EG⊥BC于点G，
∵BE平分∠ABC，∴EF＝EG，（依据1）
∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC，（依据2）
……
反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
（2）请按照上面的证明思路，完整写出该题证明过程．
【分析】作EF⊥AB交BA的延长线于点F，EG⊥BC于点G，角平分线性质、线段垂直平分线性质得到EF＝EG、EA＝EC后，根据HL证明Rt△AEF≌Rt△CEG即可解答．
【解答】解：（1）依据1：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
依据2：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
（2）证明：如图②，作EF⊥AB交BA的延长线于点F，EG⊥BC于点G，
∵BE平分∠ABC，
∴EF＝EG（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等），
∵DE垂直平分AC，
∴EA＝EC（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等），
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠F＝∠EGC＝90°，
在Rt△AEF与Rt△CEG中
，
∴Rt△AEF≌Rt△CEG（HL），
∴∠FAE＝∠GCE，
又∵∠BAE+∠FAE＝180°，
∴∠BAE+∠GCE＝180°，
∴∠BAE与∠BCE互为补角．
【点评】本题考查角平分线性质、线段垂直平分线性质、直角三角形全等的判定和性质等知识点，解题关键是恰当作出辅助线．
19．（12分）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：甲书店：所有书籍按标价8折出售；乙书店：一次购书标价总额不超过200元的按原价计费，超过200元的部分打6折．设小艺同学当天购书标价总额为x元，去甲书店付y甲元，去乙书店购书应付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出小艺选择去哪个书店购书更合算．
【分析】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家书店y与x的函数关系式；
（2）根据（1）的结论解答即可；
（3）结合图象解答即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
y甲＝0.8x；
乙书店：当0≤x≤200时，y乙与x的函数关系式为y乙＝x，当x＞200时，y乙＝200+（x﹣200）×0.6＝0.6x+80，
由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙＝；
（2），
解得，
∴A（400，320），
点A的实际意义是当买的书标价为400元时，甲乙书店所需费用相同，都是320元；
（3）由点A的意义，结合图象可知，
当x＜400时，选择甲书店更省钱；
当x＝400，甲乙书店所需费用相同；
当x＞400，选择乙书店更省钱．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
20．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时，△CDE恰为等边三角形．
（1）求AB的长度；
（2）猜想AC与BB'的位置关系．并说明理由；
（3）求阴影部分的面积．
【分析】（1）首先根据等边三角形的性质可得DF＝DC＝FC，∠D＝60°，根据折叠的性质，∠BCA＝∠ECA，再利用平行四边形的性质证明∠B′CA＝30°，∠ACD＝90°，利用直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半可得CD长，进而可得AB的长；
（2）由折叠的性质得到BC＝B′C，∠BCA＝∠B′CA，根据等腰三角形的性质即可得到AC⊥BB′；
（3）利用勾股定理求出AC，然后根据三角形的中线平分三角形的面积可得S△ACF＝S△ACD，进而可得答案．
【解答】解：（1）∵△CDE为等边三角形，
∴DE＝DC＝EC，∠D＝∠CED＝60°，
根据折叠的性质，∠BCA＝∠B′CA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝8cm，AB＝CD，
∴∠BCE＝∠CED＝60°，
∴∠BCA＝∠B′CA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴CD＝AD＝4cm，
∵AB＝4cm；
（2）结论：AC⊥BB′，
理由：由折叠的性质得，BC＝B′C，∠BCA＝∠B′CA，
∴AC⊥BB′；
（3）在Rt△ABC中，
AC＝＝＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC＝∠BCA，
∴∠EAC＝∠ECA
∴EA＝EC，
∵△CDE恰为等边三角形，
∴DE＝EC，
∴EA＝ED，
∵CD＝4cm，∠ACD＝90°，
∴S△ACE＝S△ACD＝AC•CD＝×4×4＝4（cm2）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及翻折变换，等边三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半．
21．（12分）公安部交管局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动，自2020年6月1日起，要求骑乘电动车需要佩戴头盔，市场上头盔出现热销，某厂家每月固定生产A、B两种型号的头盔，A型型号的头盔去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型型号的头盔比去年增加30元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型型号的头盔数量相同，则今年6月份A型型号的头盔销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．
A，B两种型号的头盔的进货和销售价格表如下：
A型型号的头盔
B型型号的头盔
进货价格（元/个）
110
140
销售价格（元/个）
今年的销售价格
240
（1）求今年6月份A型型号的头盔每个销售价多少元；
（2）某车行计划7月份新进一批A型型号的头盔和B型型号的头盔共50个，且B型型号的头盔的进货数量不超过A型型号的头盔数量的两倍，应如何进货才能使这批头盔获利最多？
【分析】（1）设今年6月份A型型号的头盔每个销售价为x元，则去年6月份A型型号的头盔每个销售价为（x﹣30）元，根据“今年6月份与去年6月份卖出的A型型号的头盔数量相同”列出分式方程，解方程即可得出答案；
（2）设进A型型号的头盔m个，则进B型型号的头盔（50﹣m）个，根据“B型型号的头盔的进货数量不超过A型型号的头盔数量的两倍”列出一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，设这批头盔获利为w元，得出w与m的一次函数关系式，再利用一次函数的性质，即可得出答案．
【解答】解：（1）设今年6月份A型型号的头盔每个销售价为x元，则去年6月份A型型号的头盔每个销售价为（x﹣30）元，
由题意得：，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是分式方程的解，也符合题意，
答：今年6月份A型型号的头盔每个销售价为150元；
（2）设进A型型号的头盔m个，则进B型型号的头盔（50﹣m）个，
由题意得：50﹣m≤2m，
解得：m，
设这批头盔获利为w元，
w＝（150﹣110）m+（240﹣140）（50﹣m）＝﹣60m+5000，
∵﹣60＜0，
∴w随x的增大而减小，
∵m，且m为整数，
∴当m＝17时，w有最大值，
此时，50﹣m＝50﹣17＝33，
答：进A型型号的头盔17个，进B型型号的头盔33个能使这批头盔获利最多．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出分式方程，一元一次不等式，掌握一次函数的性质是解决问题的关键．
22．（13分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线AB上的一动点（不与点A，B重合）连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH．
【问题发现】
（1）如图（1），当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是 EH＝AD ．EH与AD的位置关系是 EH⊥AD ．
【猜想论证】
（2）当点D在边AB上且不是AB的中点时，试猜想EH与AD的数量关系和位置关系．小颖通过深入思考，想到了可延长DE到F，使DE＝EF，连接CF和BF，然后类比问题（1）中所用知识，仍可得到（1）中的结论，请根据小颖的思路就图（2）中的情况帮小颖完成解答过程．
【拓展应用】（3）若AC＝BC＝4，其他条件不变，连接AE、BE．当△BCE是等边三角形时，请直写出△ADE的面积．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的判定和性质解决问题即可．
（2）结论仍然成立：如图2中，延长DE到F，使得EF＝DE，连接CF，BF．证明△ACD≌△BCF（SAS），再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．如图3﹣2中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．分别求出AD，EH即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，
∴∠A＝∠B＝45°，∠DCB＝∠ACD＝45°，
∵∠DCE＝45°，
∴点E在线段CB上，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB＝∠B＝45°，
∵DH＝HB，
∴EH⊥DB，EH＝DB＝AD，
故答案为：EH＝AD，EH⊥AD．
（2）结论仍然成立：
理由：如图2中，延长DE到F，使得EF＝DE，连接CF，BF．
∵DE＝EF．CE⊥DF，
∴CD＝CF，
∴∠CDF＝∠CFD＝45°，
∴∠ECF＝∠ECD＝45°，
∴∠ACB＝∠DCF＝90°，
∴∠ACD＝∠BCF，
∵CA＝CB，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴AD＝BF，∠A＝∠CBF＝45°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝90°，
∴BF⊥AB，
∵DE＝EF，DH＝HB，
∴EH＝BF，EH∥BF，
∴EH⊥AD，EH＝AD．
（3）如图3﹣1中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．
∵∠ACB＝90°，∠ECB＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AC＝CB＝CE＝EB＝DE＝4，
∴∠CAE＝∠CEA＝75°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠EAH＝30°，
∵∠DEC＝90°，∠CEB＝60°，
∴∠DEB＝150°，
∴∠EDB＝∠EBD＝15°，
∵∠EAH＝∠ADE+∠AED，
∴∠ADE＝∠AED＝15°，
∴AD＝AE，
设EH＝x，则AD＝AE＝2x，AH＝x，
∵EH2+DH2＝DE2，
∴x2+（2x+x）2＝（4）2，
∴x＝2﹣2，
∴AD＝4﹣4，
∴S△ADE＝•AD•EH＝×（4﹣4）•（2﹣2）＝16﹣8．
如图3﹣2中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．
同法可求：EH＝2+2，AD＝4+4，
∴S△ADE＝•AD•EH＝×（4+4）（2+2）＝16+8，
综上所述，满足条件的△ADE的面积为16﹣8或16+8．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题
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