2024-2025学年河北省石家庄市栾城区八年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年河北省石家庄市栾城区八年级下学期期末考试数学检测试卷，共45页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
题
一、选择题（本大题共 12 个小题，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）
1 ．函数 中， 自变量x 的取值范围是( )
A ．x ≠ -6 B ．x ≠ 6 C ．x > -6 D ．x < -6
2 ．下列调查中，适宜采用普查方式的是( )
A ．调查市场上蔬菜保鲜的情况 B ．调查乘坐高铁的旅客是否携带了违禁物品
C ．调查某品牌电池的使用寿命 D ．调查某地区初中生一天完成作业所用时间 3 ．2024 年国庆长假期间，“跟着悟空游山西”活动热度不减，“悟空效应”带动文旅热潮，山 西各景区游人如织．已知某景区成人门票价格为 80 元/张，并规定购买团队成人票时，对 10 张以内（含 10 张）门票不优惠，超过 10 张的部分七折优惠．某旅行团参观该景区，需购买 成人票x 张(x > 10) ，所需总费用为y 元，则y 与x 的函数关系式为( )
A ．y = 80x B ．y = 56x C ．y = 56x + 800 D ．y = 56x + 240
4 ．如图，在一次活动中，位于 A 处的七年一班准备前往相距3km 的 B 处与七年二班会合， 若用方向和距离描述七年二班相对于七年一班的位置，可以描述为( )
A ．南偏西 30° , 3km B ．南偏西 50° , 3km
C ．北偏东 40° , 3km D ．北偏东 50° , 3km
5 ．下列关于直线y= -3x +1 的结论中，正确的是( )
A ．图象必经过点(1, -4) B ．图象经过第一、二、三象限
C ．当x =1 时，y = -2 D ．y 随x 的增大而增大
6 ．如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和的差的绝对值是 180的正整数倍，则符合条件的剪法是( )
A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④
7 ．如图，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为(4, 0) ，(1, 4) ，点 D 在x 轴上，则点C 的坐标为( )
A ．(-3，4) B ．(-5, 4) C ．(4，- 4) D ．(-4, 4)
8 ．在同一直角坐标系中，直线y = ax 与直线y = 2x + a 可能是( )
A．
B．
C．
D．
9 ．如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE = AD，连接EB, EC, DB ，添 加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是( )
A ．BE 丄 AB B ．CE 丄 DE C ．上ADB = 90° D ．AB = BE
10．如图，在平面直角坐标系中，边长为 3 的正方形ABCD 在第一象限内，ABⅡy 轴，点C 的坐标为(6, 4) ，直线l 的表达式为：y = 2x +1 ．将直线l 沿y 轴向下平移m 个单位，使平移 后的直线与正方形ABCD 有交点，则m 的取值范围是( )
A ．1 < m < 12 B ．3 ≤ m ≤ 10 C ．3 < m < 11 D ．3 ≤ m ≤ 12
11．如图，矩形ABCD 边AD 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，已知AB = 4 ，△ABF
的面积为 6，则 EC 等于( )
A ．3 B ． C ． D ．
12 ．已知A ，B 两地相距 1200 米，甲和乙两人均从A 地出发，向B 地匀速运动，先到达终 点的人停止运动，已知甲比乙先出发 3 分钟，如图是甲、乙两人之间的距离y （米) 和甲出 发的时间x （分) 之间的关系，现有如下结论：
①乙每分钟比甲多走 10 米；
②乙用 18 分钟追上了甲；
③乙比甲早 1 分钟到达终点B ；
④图中点Q 的坐标为(23,50) ．
则下列结论正确的有( )
A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②④
二、填空题（本大题共 4 个小题，共 12 分．把答案写在题中横线上）
13 ．若点P(a - 6, 3 - a )在第三象限，则a 的取值范围是 ．
14 ．已知一组数据有 60 个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是 5 ，10 ，6 ，7， 第五组的频率是 0.2，故第六组的频数是 ．
15 ．已知点A(m, y1 ) ，B (m + 1, y2 ) 都在一次函数y = -2x +1 的图象上，则y1 y2 ．（填 “ > ”或“ < ”）
16 ．如图是一张四边形纸片ABCD ，其中上A = 上B = 90° , AB = 12 ，BC - AD = 5 ．现将其 分割为 4 块，再拼成两个正方形，则正方形的面积为 ．
三、解答题（本大题共 8 个小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤）
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在网格点上，一个方格的边长代表 1 个单 位长度，其中A 点坐标为(1, 3)．
(1)写出点B 、C 的坐标，
(2)若三角形ABC 向下平移 1 个单位，向右平移 2 个单位，恰好得到△A1B1C1 ，试在该平面 直角坐标系中画出 △A1B1C1 ．并写出点A1 ，B1 ，C1 的坐标．
18 ．吴老师为了解本班学生的数学学习情况，对某次数学考试成绩（成绩取整数，满分为 100 分）作了统计，绘制成如下频数分布表和频数分布直方图．
分组
49.5-59.5
59.5-69.5
69.5-79.5
79.5-89.5
89.5-100.5
合计
频数
3
10
26
6
频率
0.06
0.10
0.20
0.52
1.00
请你根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）如果用扇形统计图表示这次数学考试成绩，那么成绩在 69.5~79.5 范围内的扇形圆心角 的度数为________度．
19 ．如图，在平行四边形 ABCD 中， E 、F 分别是 AB ，DC 边上的中点，连接DE 、BF 、
AF ．
(1)求证：四边形DEBF 是平行四边形．
(2)若AF 平分 ÐDAB ，BE = 5 ，求 BC 的长．
20．如图 1 ，B 地在A 地的正东方向，某一时刻，乙车从B 地开往A 地，1 小时后，甲车从A 地开往B 地，当甲车到达B 地的同时乙车也到达A 地．如图 2，横轴 x （小时）表示两车的 行驶时间（从乙车出发的时刻开始计时），纵轴y （千米）表示两车与 A 地的距离．
(1) A ，B 两地相距多少千米？
(2)l1 和l2 两条线段分别表示两车距A 地的距离y （千米）与行驶时间x （小时）之间的关系， 请问哪一条线段表示甲车？
(3)求两车相遇时距A 地多少千米？
21 ．如图，在四边形ABCD 中，AB ⅡCD ，上ABD = 上CBD ，AB = AD ．
(1)求证：四边形ABCD 为菱形．
过点A 作AE 丄 BC 于点E ，若 求BD 的长．
22 ．学科实践
问题情境：体育课上，老师组织同学们进行往返障碍跑比赛. 甲、乙二人在相邻两条直跑道 上比赛（注：跑道长 50 米），他们从跑道同一起点出发，到达对面终点后，转身沿原路回到 起点.
数学思考：同学们根据两人比赛信息画出了如图所示的部分图象（跑步的过程均视为匀
速）. 图中的折线OA - AB 是甲离起点的距离y （米）与比赛时间x （秒）的函数图象；线段 CA 是乙去程中离起点的距离y （米）与比赛时间 x （秒）的函数图象. 已知线段OA 对应的 函数表达式为y = 5x .
问题解决：
(1)求点A 的坐标及线段CA 对应的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）；
(2)乙在对面终点处转身过程中因故耽误了2 秒，结果仍比甲提前 3 秒回到起点.请在坐标系 中画出表示乙转身及返程途中，离起点的距离y （米）与比赛时间x （秒）之间的函数图象， 并标明表示乙返程图象的两个端点的坐标；
(3)请直接写出比赛过程中，当乙离开起点的距离恰好等于甲离开起点距离的一半时，比赛 时间x 的值.
23 ．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y = kx + b (k ≠ 0) 与x 轴交于点A(-1,0) ，与y 轴交 于点C ，与直线l2：y = -x - 4 交于点B(a, -2) ．
(1)求直线l1 的解析式；
(2)直线l2 与y 轴交于点D ，若点 P 是直线l1 上一动点，且满足S△CDP = 18 ，求点 P 的坐标；
(3)直接写出不等式-x - 4 < kx + b ≤ 0 的解集．
24 ．【问题呈现】
如图 1 ， ÐMPN 的顶点在正方形ABCD 两条对角线的交点处，上MPN = 90° ,将 ÐMPN 绕 点P 旋转，旋转过程中， ÐMPN 的两边分别与正方形ABCD 的边AD 和CD 交于点E 、F （点 F 与点C ，D 不重合）．探索线段DE 、DF 、AD 之间的数量关系．
【问题初探】
（1）求证： △APE≌△DPF ，并直接写出线段DE 、DF 、AD 之间的数量关系；
【创新拓展】
（2）如图 2，将图 1 中的正方形ABCD 改为上ADC = 120° 的菱形ABCD ，上MPN = 60° , 其 他条件不变，请你写出线段DE 、DF 、AD 之间的数量关系，并说明理由．
1 ．B
【分析】本题考查函数自变量的取值范围， 根据分式有意义的条件，分母不能为零，直接求 解即可．
【详解】解：由题意，得 x - 6 ≠ 0 ． 解得 x ≠ 6 ．
故选 B．
2 ．B
【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查 的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或 价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【详解】解： A ．调查市场上蔬菜保鲜的情况，有破坏性，适合抽样调查调，故此项不符合 题意；
B．调查乘坐高铁的旅客是否携带了违禁物品，事关重大，适宜采用普查，故此项符合题意；
C ．调查某品牌电池的使用寿命，有破坏性，适合抽样调查调，故此项不符合题意；
D ．调查某地区初中生一天完成作业所用时间，调查范围广，适合抽样调查，故此项不符合 题意．
故选：B．
3 ．D
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据总费用为y 元= 10 张以内（含 10 张）门票+ 超 过 10 张的部分门票费用，可得函数关系式．
【详解】解：由题意，得
y = 10 × 80 + 80 × 0.7 (x -10) = 56x + 240 ． 故选 D．
4 ．A
【分析】根据方向角的表示方法，观察图发现相对的位置关系，可得答案．
【详解】解：用方向和距离描述七年二班相对于七年一班的位置为南偏西 30° , AB=3km， 故选 A．
【点睛】本题考查了方向角，利用方向角确定位置，方向角与距离相结合是解题关键．
5 ．C
【详解】根据一次函数图象的性质和点的坐标特征逐一分析选项．
【分析】A ．将x =1 代入y = -3x +1 ，得 y = -3× 1+1 = -2 ≠ -4 ，故 A 错误．
B ．∵ 一次函数y = - 3x + 1 中， k = -3 < 0 ， b = 1 > 0 ， :图象过第一、二、四象限，故 B 错误．
C ．当x =1 时，y = -3× 1+1= -2 ，与选项描述一致，故 C 正确．
D ．∵ k = -3 < 0 ，:函数值y 随x 的增大而减小，故 D 错误． 故选 C．
6 ．C
【分析】本题考查多边形的内角和定理．根据多边形内角和定理逐一判断即可得答案． 【详解】解：三角形内角和为180° ,四边形内角和为360° ,五边形内角和为
(5 - 2)×180° = 540° ,
①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360° , 360° - 360° = 0 ，不符合条件，
②剪开后的两个图形是五边形和三角形，它们的内角和分别是540° 和180° , 540° -180° = 360° = 2× 180° ,符合条件，
③剪开后的两个图形都是三角形，它们的内角和都是180° , 180° -180° = 0 ，不符合条件， ④剪开后的两个图形是三角形和四边形，它们的内角和分别是180° 和360° ,
360° -180° = 180° ,符合条件， :符合条件的剪法是②④ ,
故选：C．
7 ．D
【分析】本题考查了坐标与图形， 菱形的性质，两点距离计算公式．先由两点距离计算公式 求出AB 的长，进而由菱形的性质得到BC = AD = AB = 5 ，BC Ⅱ x 轴，据此可得答案．
【详解】解：∵ A ，B 的坐标分别为(4, 0) ，(1, 4)
∵四边形ABCD 是菱形，
: BC = AD = AB = 5，BC∥AD ， ∵点 A 和点 D 都在 x 轴上，
: BC Ⅱ x 轴，
∵ B (1, 4) ， : C(-4, 4) ， 故选：D．
8 ．C
【分析】本本题主要考查正比例函数的性质， 一次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题 关键．
根据正比例函数图象的位置确定a 的取值范围，再根据图象与系数的关系确定一次函数的位 置即可得出答案．
【详解】A、由正比例函数图象得 a > 0 ，则直线 y = 2x + a 经过第一、二、三象限，所以该 选项不符合题意；
B、由正比例函数图象得 a < 0 ，则直线 y = 2x + a 经过第一、三、四象限，所以该选项不符 合题意；
C、由正比例函数图象得 a > 0 ，则直线 y = 2x + a 经过第一、二、三象限，所以该选项符合 题意；
D、由正比例函数图象得 a < 0 ，则直线 y = 2x + a 经过第一、三、四象限，所以该选项不符 合题意．
故选：C．
9 ．A
【分析】本题考查了平行四边形、菱形、矩形的判定和性质， 掌握其判定方法和性质是解题 的关键．
根据四边形ABCD 是平行四边形，结合题意可证四边形DBCE 是平行四边形，根据菱形的判 定，矩形的判定方法证明即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， : AB = CD, AD = BC, AB P CD, AD P BC ，
∵延长AD 到E ，使 DE = AD，
: DE P BC, DE = BC ，
:四边形DBCE 是平行四边形，
当添加BE 丄 AB 时，则有上ABE = 90° ,设CD, BE 交于点F ，如图所示，
: AB P CD ，
: 上DFE = 上ABE = 90° ,
: CD 丄 BE ，
:四边形DBCE 是平行四边形，
:平行四边形DBCE 是菱形，故 A 选项不能使四边形DBCE 成为矩形，符合题意； 当添加CE 丄 DE 时，则上CED = 90° ,
:四边形DBCE 是平行四边形，
:平行四边形DBCE 是矩形，故 B 选项能使四边形DBCE 成为矩形，不符合题意； 当添加上ADB = 90° 时，则有上BDE = 90° ,
:四边形DBCE 是平行四边形，
:平行四边形DBCE 是矩形，故 C 选项能使四边形DBCE 成为矩形，不符合题意； 当添加AB = BE 时，
: DE = AD，
:点D 是AE 中点，
: BD 丄 AE ，则 上BDA = 上BDE = 90° ,
:四边形DBCE 是平行四边形，
:平行四边形DBCE 是矩形，故 D 选项能使四边形DBCE 成为矩形，不符合题意；
故选：A ．
10 ．D
【分析】本题考查了一次函数图象的平移．
根据题意求得正方形各顶点的坐标，根据一次函数图象的平移规律可知平移后的直线方程为 y = 2x +1 - m ；把点 B 和 D 的坐标代入进行解答即可．
【详解】解：:点C 的坐标为(6, 4) ，正方形 ABCD 边长为 3， : A(3,1) ，B (3, 4) ，D (6,1) ，
将直线l 沿y 轴向下平移m 个单位， 则平移后解析式为y = 2x +1 - m ，
当y = 2x +1- m 过B(3, 4) 时，4 = 6 +1- m ，解得 m = 3 ；
当y = 2x +1- m 过D(6,1) 时，1 = 12 +1- m ，解得 m = 12 ；
:平移后的直线与正方形ABCD 有交点，m 的取值范围是3 ≤ m ≤ 12 ， 故选：D．
11 ．B
【分析】本题考查了矩形与翻折、三角形的面积公式、勾股定理.
先根据三角形的面积公式求得BF 的长，然后根据勾股定理可求得AF = 5 ，由翻折的性质和 矩形的性质可知BC = 5 ，故此FC = 2 ，最后在 △EFC 中，由勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，
: CD = AB = 4 ，AD = BC ，上B = 上C = 90° , ∵S△ABF = 6 ，
即 解得：BF = 3 ，
在Rt△ABF 中
由翻折的性质可知：BC = AD = AF = 5 ，ED = FE ． : FC = 5 - 3 = 2．
设DE = EF = x ，则 EC = 4 - x ．
在Rt△EFC 中，由勾股定理得：EF2 = FC2 + EC2 ， : x2 = 4 + (4 - x )2 ．
解得： ，
故选：B．
12 ．C
【分析】本题考查从函数图像获取信息，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
①乙出发时与甲之间的距离除以乙追上甲所用的时间即为二者的速度差；
②乙到达B 地时对应x 的值减去乙出发时对应x 的值即乙追上甲所用的时间；
③根据速度= 路程 ÷ 时间求出甲的速度，由时间= 路程 ÷ 速度求出甲到达B 地所用时间；结 合①求出乙的速度，由时间= 路程 ÷ 速度求出乙到达B 地所用时间，从而求出乙到达B 地时 对应x 的值，进而计算乙比甲早几分钟到达终点B ；
④由③可知点Q 的横坐标，根据路程= 速度× 时间求出Q 点时甲距A 地距离，从而求出甲、 乙两人之间的距离，即Q 的纵坐标，进而得到点Q 的坐标．
【详解】解：乙每分钟比甲多走 150 ÷ (18 - 3) = 10 （米) ， : ①正确，符合题意；
乙用18 - 3 = 15 （分钟）追上了甲， : ②不正确，不符合题意；
甲的速度为150 ÷ 3 = 50 （米 / 分钟），则甲到达B 地所用时间为1200 ÷ 50 = 24 （分钟）， 乙的速度为50+10 = 60 （米 / 分钟），则乙到达B 地所用时间为1200 ÷ 60 = 20 （分钟）， : 当x = 20 + 3 = 23 时乙到达B 地，
: 乙比甲早24 - 23 = 1（分钟）到达终点 B ， : ③正确，符合题意；
由③可知，点Q 的横坐标为 23，
甲出发后 23 分钟距A 地50× 23 = 1150 （米) ，则当 x =23 时，甲、乙两人之间的距离为 1200 -1150 = 50 （米) ，
: 点Q 的坐标为(23,50) ， : ④正确，符合题意． 综上，①③④正确．
故选：C．
13 ．3 < a < 6
【分析】本题考查根据点所在的象限求参数的范围， 解不等式组，根据第三象限的点的横坐
ìa - 6 < 0
.
l3 - a < 0
标的符号为负，得到 í ,求解即可
ìa - 6 < 0
l3 - a < 0
【详解】解：由题意，得： í ,
解得3 < a < 6 ．
故答案为：3 < a < 6 ．
14 ．20
【分析】根据频率=频数÷总数，以及第五组的频率是 0.2，可以求得第五组的频数；再根据 各组的频率和等于 1，求得第六组的频数．
【详解】解：根据第五组的频率是 0.2，其频数是 60×0.2=12； 则第六组的频数是 60 - （10+5+7+6+12）=20．
故答案为：20
【点睛】本题是对频率=频数÷总数这一公式的灵活运用的综合考查，注意：各小组频数之 和等于数据总和，各小组频率之和等于 1．
15 ．>
【分析】本题考查了一次函数值的比较大小，熟知一次函数的增减性是解题的关键．根据一 次函数的性质，可知当k < 0 时，y 随 x 增大而减小，由此即可得答案．
【详解】解：∵一次函数解析式为y = -2x +1 ，k = -2 < 0 ， :y 随 x 增大而减小，
∵点A(m, y1 ) ，B (m + 1, y2 ) 都在一次函数的图象上， m < m +1 ，
: y1 > y2 ，
故答案为：> ．
16 ．
【分析】过点 D 作DM 丄 BC 于点 M，证明四边形 ABMD 是矩形得DM = AB = 12 ，
BM = AD ，进而得CM = BC - AD = 5 ，在 Rt△DCM 中，由勾股定理得DC = 13 ，设所拼成 的正方形的边长为 a，则 EG = EF + FG = a ，根据拼图可知 DE = EF ，CG = FG ，则
DE + CG = EF + FG = a ，进而得DC = 2a ，据此可得所拼成的正方形的边长及面积． 【详解】解：过点 D 作DM 丄 BC 于点M，如图所示：
:上DMB = 上DMC = 90° ,
Q 上A = 上B = 90° ,
:上A = 上B = 上DMB = 90° , :四边形ABMD 是矩形，
:DM = AB, BM = AD ， Q AB = 12，BC - AD = 5
:DM = 12，CM = BC - BM = BC - AD = 5 ，
在Rt△DCM 中，由勾股定理得 设所拼成的正方形的边长为 a，
则EG = EF + FG = a ，
根据拼图可知：DE = EF，CG = FG ，
:DE + CG = EF + FG = a ，
:DC = DE + CG + EF + FG = 2a ，
:2a = 13 ，
:所拼成的正方形的面积为 故答案为：
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等知识．准确识图， 构造辅助线，利用矩形的性质是解决问题的关键．
17 ．(1)B (2, -1) ，C (3, 2)
(2)见解析，A1 (3, 2) ，B1 (4, -2) ， C1 (5, 1)
【分析】本题主要考查作图- 平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此 得出变换后的对应点．
（1）由图形可得点 A 、B 的坐标；
（2）将三个顶点分别向下平移 1 个单位，向右平移 2 个单位得到其对应点，继而首尾连接 即可．
【详解】（1）解：由图知，B (2, -1) ，C (3, 2)；
（2）解：如图所示， △A1B1C1 即为所求．
: A1 (3, 2) ，B1 (4, -2) ，C1 (5,1)．
18 ．（1）见解析；（2）72
【分析】（1）根据 69.5-79.5 这一组的频数为 10，频率为 0.2，求出总人数，由此进行求解 即可；
（2）依据扇形的圆心角度数=360°×占比进行求解即可．
【详解】解:（1）:69.5-79.5 这一组的频数为 10，频率为 0.2， :总人数=10÷0.2=50 人，
:59.5-69.5 这一组的人数=50×0.1=5 人， :89.5-100.5 这一组的频率=6÷50=0.12，
列表如下：
补全统计图如下：
分组
49.5-59.5
59.5-69.5
69.5-79.5
79.5-89.5
89.5-100.5
合计
频数
3
5
10
26
6
50
频率
0.06
0.10
0.20
0.52
0.12
1.00
（2）由题意可得成绩在 69.5~79.5 范围内的扇形圆心角的度数=360°×0.20=72° , 故答案为：72．
【点睛】本题主要考查了频率与频数分布表， 频数分布直方图，求扇形圆心角度数，解题的 关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
19 ．(1)见解析
(2) BC = 5
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 AB = CD ，AB∥CD ，然后得到 DF = BE ，即可 得结论；
（2）利用角平分线的定义、平行线的性质可得到上DAF = 上DFA，进而DF = AD = 5 ，再利 用平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形， : AB = CD ，AB∥CD ，
QE 、F 分别是AB ，DC 边上的中点，
:DF = BE ，
QDF Ⅱ BE ，
: 四边形DEBF 是平行四边形；
（2）解：Q 四边形DEBF 是平行四边形， :DF = BE = 5 ，AB∥CD ，
:上DFA = 上BAF ，
Q AF 平分 ÐDAB ，
:上DAF = 上BAF ，
:上DAF = 上DFA ，
:DF = AD = 5 ，
Q 四边形ABCD 是平行四边形，
:BC = AD = 5 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，角平分线的定义，平行线的性质， 等角对 等边，解题的关键是掌握以上知识点．
20 ．(1)400 千米
(2)线段l1
千米
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息， 一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图 象是解题的关键．
（1）由函数图象可知，A 、B 两地相距 400 千米；
（2）由于乙车比甲车先出发 1 小时，则当0 ≤ x ≤ 1 时甲车距离 A 地的距离为 0，据此结合函 数图象可得答案；
（3）设两车相遇时距 A 地x 千米， 由函数图象可知，甲车的速度为100km/h ，乙车的速度 为80km / h ，再根据时间= 路程 ÷ 速度列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知，A ，B 两地相距 400 千米；
（2）解：Q 乙车从B 地开往A 地，1 小时后，甲车从A 地开往B 地，
: 乙车比甲车先出发 1 小时，则当0 ≤ x ≤ 1 时甲车距离A 地的距离为 0， :线段l1 表示甲车距A 地的距离与行驶时间的关系；
（3）解：设两车相遇时距 A 地x 千米，
由函数图象可知，甲车的速度为400 ÷ (5 -1) = 100 (km / h )，乙车的速度为400÷ 5 = 80 (km / h ) ， 解得 ，
答：两车相遇时距A 地 千米．
21 ．(1)见解析 (2) 4
【分析】（1）首先证明出四边形 ABCD 为平行四边形，然后结合AB = AD 即可证明出四边 形ABCD 为菱形；
（2）首先根据菱形的性质得到 AB = BC ，然后根据BE = AB 得到BE = 2 ， AB = BC = 6 ，
然后利用勾股定理求出AE = 4 ，AC = 4 ，最后利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：Q AB = AD ，
:上ABD = 上ADB ．
又Q 上ABD = 上CBD ， :上ADB = 上CBD ，
: ADⅡBC ．
又Q AB Ⅱ CD ，
: 四边形ABCD 为平行四边形． 又Q AB = AD ，
: 四边形ABCD 为菱形．
（2）如图，连接 AC ．
Q 四边形ABCD 为菱形，
:AB = BC ．
又
:BE = BC ， Q CE = 4 ，
:BE = 2 ，AB = BC = 6 ．
Q AE 丄 BC ，
:上AEB = 上AEC = 90° ,
: AE = = = 4 ，
: AC = = (42 )2 + 42 = 4 ．
【点睛】此题考查了菱形的性质和判定， 平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键 是熟练掌握以上知识点．
(2)见解析
【分析】本题主要考查一次函数图像和性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握一次函数 图像和性质是解题的关键．
（1）将点A 代入y = 5x ，即可得到点A 坐标，设lAC : y = kx + b ，将(2, 0), (10, 50) 代入，即可 得到答案；
（2）根据题意补全图形即可；
（3）分到达 A 点前，和到达A 点后两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：将 y = 50 代入y = 5x ，
解得x = 10 ，
: A(10, 50) ，
设lAC : y = kx + b ，
将(2, 0), (10, 50) 代入，
í ,
l50 = 10k + b
ì0 = 2k + b
（2）解：根据题意补全图形，
（3）解：到达 A 点前，乙离开起点的距离恰好等于甲离开起点距离的一半， 即
解得
到达A 点后，乙离开起点的距离恰好等于甲离开起点距离的一半， 设lAB = kx + b ，
将(10, 50), (25, 0) 代入，
í
ì50 = 10k + b
l0 = 25k + b 解得
设lDE = kx + b ，
将(12, 50), (22, 0) 代入，
í
ì50 = 12k + b
l0 = 22k + b 解得
:lAB = -5x +110 ，
乙离开起点的距离恰好等于甲离开起点距离的一半，
解得
综上所述，乙离开起点的距离恰好等于甲离开起点距离的一半，比赛时间x 的值为或
.
23 ．(1) y = 2x + 2
(2) (6,14) 或(-6, -10)
(3) -2 < x ≤ -1
【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，求所围成图形的面积问题，一次函数和一元 一次不等式的关系等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法和函数图象的性质．
（1）利用直线l2 的解析式求出点B(-2, -2) ，利用待定系数法将 A(-1, 0) ，B (-2, -2) 代入 y = kx + b 求解即可得出直线l1 的解析式；
（2）利用点的坐标求出底边CD 的长度，假设出点P 的坐标，利用三角形的面积公式列出 方程，进行求解即可得到点P 的坐标；
（3）结合函数图象判断不等式的解集即可，同区间内在下方的函数值比较小，在上方的函 数值比较大．
【详解】（1）解：∵将B(a, -2) 代入y = -x - 4 得， -2 = -a - 4
解得，a = -2
: B (-2, -2)
将A(-1, 0) ，B (-2, -2) 代入y = kx + b 得，
解得，
:直线l1 的解析式为y = 2x + 2 ；
（2）解：∵直线l1 与y 轴交于点C ，直线l2 与y 轴交于点D ， : C (0, 2) ，D (0, -4)，
: CD = 2 - (-4) = 6 ,
假设点P 的坐标为(m, 2m + 2) ，
解得，xP = 6 或xP = -6 ，
:点P 的坐标为(6,14) 或(-6, -10)；
（3）解：根据函数图象可得，
在点B 和点A 之间的图象，满足l2 的图象在l1 的图象的下方，且点A 是直线l1 与x 的交点， 交点坐标为 0，即 kx + b = 0 ，
:当-2 < x ≤ -1 时，-x - 4 < kx + b ≤ 0 ，
即不等式-x - 4 < kx + b ≤ 0 的解集为-2 < x ≤ -1 ．
24 ．（1）证明见解析，DE + DF = AD ；（2）DE + DF = AD ，理由见解析
【分析】（1）利用正方形的性质可得PA = PD, 上PAE = 上PDF = 45°, 上APD = 90° , 进而可得
上APD = 上MPN ，利用等式的性质可得 上APE = 上DPF ，证得△APE≌△DPF ，进而可得 AE = DF ，于是可得DE + DF = AD ；
1 1
（2）利用方形的性质可得AB = AD, PB = PD = BD, 上BDA = 上PDF = 上ADC = 60° , 进而
2 2
可证得△ABD 是等边三角形，于是可得AB = BD, 上BAD = 上ABD = 60° ,利用三角形的中位 线定理可证得PT ⅡAB且 ，利用平行线的性质可得上PTE = 上PDF = 60° , 进而可得 PT = PD, 上TPE = 上DPF ，证得 △TPE≌△DPF ，进而可得TE = DF ，于是可得DE + DF = AD ． 【详解】（1）证明：Q 正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点P ，
:PA = PD ，上PAE = 上PDF = 45° , 上APD = 90° ,
Q 上MPN = 90° ,
:上APD = 90° = 上MPN ，
即：上APE + 上EPD = 上DPF + 上EPD ， :上APE = 上DPF ，
在 △APE 和 △DPF 中，
ï
íPA = PD ， ïl上APE = 上DPF
ì上PAE = 上PDF
:△APE≌△DPF (ASA )，
: AE = DF ，
:DE + DF = DE + AE = AD ，
故答案为：DE + DF = AD ；
解
理由如下：
如图 3，取 AD 的中点T ，连接PT ，
Q 四边形ABCD 为上ADC = 120° 的菱形，
上BDA = 上上 :△ABD 是等边三角形，
: AB = BD ，上BAD = 上ABD = 60° ,
1 1
Q PB = PD = BD TA = TD = AD
:PT∥AB 且
:上TPD = 上ABD = 60° , 上PTE = 上BAD = 60° ,
:上PTE = 上PDF = 60° , 上TPD = 上MPN = 60° , 且AB = BD ，
:PT = PD ，
Q 上TPD = 上MPN = 60° ,
即：上TPE + 上EPD = 上DPF + 上EPD ， :上TPE = 上DPF ，
在△TPE 和 △DPF 中 ，
:△TPE≌△DPF (ASA )，
:TE = DF
:DE + DF = DE + TE = TD = AD ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质， 全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，菱 形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握正方形的性 质和菱形的性质以及添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．