2024-2025学年河北省秦皇岛市海港区七年级下学期7月期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年河北省秦皇岛市海港区七年级下学期7月期末数学检测试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初一数学试题一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）
1 ．“水是生命之源，滋润着世间万物”国家节水标志由水滴，手掌和地球变形而 成．寓意：像对待掌上明珠一样，珍惜每一滴水!以下通过平移节水标志得到的 图形是( )
A．
B．
C．
D．
2 ．将两根矩形木条如图放置，固定其中一根，转动另一根，若上1增大3° , 则下 列说法正确的是( )
A ．上2减小3° B ．上3减小3°
C ．上4 增大3° D ．上2与上4 的和不变
3 ．第 33 届夏季奥林匹克运动会于 2024 年 7 月 26 日至 8 月 11 日在法国巴黎举 行．据中国视听大数据（CVB ）统计，在此期间，全国卫视共播出近 5000 期奥 运相关节目，累计观看人次达159.9 亿，将159.9 亿用科学记数法表示为( )
A ．0.1599 × 1011 B ．1.599 × 1010 C ．1.599 × 109 D ．15.99 × 109
4 ．下列式子正确的是( )
A ．(a + b)2 = a2 + b2 B ．am . an = am+n
C ．(-2a2 )3 = -6a6 D ．(a - 2)0 = 1
5．现有两根木棒的长度分别为2cm 和3cm ，若要钉一个三角架，则第三根木棒的 长度不可以为( )
A ．1cm B ．2cm C ．3cm D ．4cm
6 ．已知关于x 、y 的二元一次方程组 用加减消元法无法消元的是 ( )
A ．①×3 + @×2 B ．①×5 - @ C ．①× (-5) + @ D ． ① ×3 + ② × (-2)
7 ．已知a > b，下列不等式成立的是( )
A ．a + 3 > b + 2 B ．m - a > m - b
C ．-4a > -4b D ．a2 > ab
8 ．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道“牛马问题”：“今有二马、一牛价 过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几 何．”其大意为：现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹 马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱， 求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马价钱为 x 元，一头牛价钱为y 元，则符合 题意的方程组是( )
A ． B ．
C ． D ．
9 ．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法 线（垂直于平面镜的直线叫法线 ）的夹角等于入射光线与法线的夹角 ．如图一 个平面镜斜着放在水平面上， 形成 Ð AOB 形状，上AOB = 36。，在OB 上有一点 E， 从点 E 射出一束光线（入射光线），经平面镜点 D 处反射光线DC 刚好与OB 平行， 则上DEB 的度数为( )
A ．71。 B ．72。 C ．54。 D ．53。
10 ．已知关于x 的不等式组无解，则a 的取值范围是( )
A ．a < 6 B ．a ≤ 6 C ．a < 7 D ．a ≤ 7
11．如图，有两个正方形A，B ，现将B 放在A 的内部得图甲，将A，B 并列放置后 得到新的正方形图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 4 和30 ，则图乙的
边长为( )
A ．4 B ．6 C ．8 D ．10
12 ．如图，AB∥CD ，将一副三角板如下图摆放，其中上FEG = 30。，上HNM = 45。， 则上NMD 的度数为( )
A ．10。 B ．15。 C ．20 D ．25。
二、填空题（本大共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分）
13 ． ．
14 ．在三角形 ABC 中，上A: 上B: 上C = 1: 2: 3 ，则 Ð C 的度数为 ．
15 ．如图，在 △ABC 中，点D 、点 E 分别是边AC、BC 的中点，若 △CDE 的面积等
于 1，则 △ABC 的面积为 ．
16 ．用一根长10cm 的绳子围成一个等腰三角形，其中腰和底的长度都为整数， 则腰长为 ．
三、解答题（本大题共 8 个小题，共 52 分）
17 ．解不等式组 并写出满足条件的所有整数解．
18 ．先化简，后求值：(2a + 1)(2a - 1) - (a - 2)2 - 3a (a - 1)，其中 a = -1 ．
19 ．（1）试说明 216 + 215 - 214 能被 5 整除；
（2）若5a + b 能被 8 整除，试说明5a+2 + b一定也能被 8 整除．
20．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写 了下面两道题目让学生解答，同学们经过小组活动交流，得到了如下答案：
请在她们的解法启发下解答下面各题：
(1)因式分解：a2 + b2 -16 - 2ab ；
(2)若a + b = -1，a - c = 3 ，求ab - bc + a2 - ac 的值；
(3)若△ABC 的三边a ，b ，c 满足a2 - b2 - ac + bc = 0 ，则 △ABC 是什么三角形？
21 ．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1 个单位长度，三角形ABC 三个顶点都在正方形的格点上（即小正方形的顶点）．
（1）x2 - xy + 6x - 6y
=(x2 - xy )+ (6x - 6y) （分成两组）
= x (x - y ) + 6(x -y ) （提公因式） =(x -y )(x + 6) （提公因式）
（2）25 - x2 - 9 - 6x
= 52 - (x2 + 6x + 32 )（分成两组）
= 52 - (x + 3)2 （运用公式）
= (5 + x + 3)(5 - x - 3) （运用公式）
= (8 + x)(2 - x)
(1)将三角形ABC 先向右平移 4 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，点A 的 对应点为点D ，点 B 的对应点为点E ，点 C 的对应点为点F ，画出平移后的三角 形 DEF；
(2)连接点A 与点D ，点 C 与点F ，线段AD 与线段CF 的关系是___________；
(3)四边形ACFD 的面积为___________；
(4)在网格内找一点N ，使 △NBC 的面积等于 △ABC 的面积（N 与 A 不重合），这样 的点N 有___________个．
22 ．2024 年哈尔滨冰雪旅游火爆全国，吸引了大量游客前来旅游．振华纪念品 经销店要购进A 、B 两种工艺品，若购进A 种工艺品 2 件和B 种工艺品 3 件共需 66 元，若购进A 种工艺品 3 件和B 种工艺品 1 件共需 57 元．
(1)求A 、B 两种工艺品每件的进价分别为多少元？
(2)若A 、B 两种工艺品的售价均为 18 元，该经销店准备购进A 、B 两种工艺品共 40 件，这两种工艺品全部售出后总获利不低于 200 元，那么该经销店最多可以 购进A 种工艺品多少件？
23 ．如图，直线AB 与直线CD 相交于点O，OE 平分7AOC，OF 平分 Ð BOC ．
(1)试说明OE T OF ；
若 求7BOD 的度数．
24．如图，在 △ABC 中，点D 为边BC 延长线上一点，射线BE 平分 Ð ABC ，点P 为 射线BE 上一点．
(1)若ÐBAC = 50 ，
当CP 平分 Ð ACB 时， ÐBPC = ___________； 当CP 平分ÐACD 时， ÐBPC = ___________；
(2)当CP 平分 Ð ACB 时，CP 丄 AB ，BP 丄 AC ，则 ÐBPC = ___________；
当CP 平分ÐACD 时，CP∥AB， Ð ACB = 4ÐBAC ，则 ÐBPC = ___________；
(3)若∠ABC = 40 ， ÐA = 60，当直线CP 垂直于△ABC 的边时， Ð BPC 的度数为
.
___________
1 ．C
【分析】平移是物体运动时， 物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运 动，据此判断即可．
【详解】解：只通过平移能与上面的图形重合．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平移的定义， 平移时移动过程中只改变图形的位置，而不改变图形 的形状、大小和方向，掌握平移的定义是解题的关键．
2 ．A
【分析】本题主要考查平行线的性质及对顶角、邻补角，根据平行线的性质得出
上1= 上CDE = 上EFG ，上3= 上IDH ，再由邻补角及等量代换即可得出结果． 【详解】解：如图所示：
∵两根矩形木条，
: CH Ⅱ EF, DE Ⅱ FH ，
: 上1= 上CDE = 上EFG ，上3= 上IDH ，
∵ 上CDE + 上4 = 180。, 上EFG + 上2 = 180。， : 上1+ 上4 = 180。, 上1+ 上2 = 180。，
: 当上1 增大3。时，上2 减小3。，上4 减小3。．
∵上3= 上IDH ，上IDH + 上4 = 180。，上CDE + 上4 = 180。
: 上IDH = 上CDE ， : 上1= 上3 ，
: 当上1 增大3。时，上3 增大3。； 故选：A．
3 ．B
【分析】该题考查了科学记数法， 科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1 ≤| a |< 10, n
为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值 ≥ 10 时，n 是正数；当原数的绝对值< 1时，n 是负数．据此 求解即可．
【详解】解：依题意，159.9 亿= 15990000000 = 1.599 × 1010 ，
则159.9 亿用科学记数法表示为1.599× 1010 ， 故选：B．
4 ．B
【分析】此题考查完全平方公式， 同底数幂乘法，积的乘方，零次幂，熟练掌握相关法则是 解决问题的关键．
逐一分析各选项，运用代数公式和幂运算规则判断正误．
【详解】解：A. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ，此选项计算错误，不符合题意；
B. am . an = am+n ，此选项计算正确，符合题意；
C. (-2a2 )3 = -8a6 ，此选项计算错误，不符合题意；
D.零次幂成立的条件是底数不为零，即a - 2 ≠ 0 （即 a ≠ 2 ），但题目未限制a 的取值，故不 恒成立，此选项计算错误，不符合题意．
故选：B．
5 ．A
【分析】本题考查了三角形的三边关系， 掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边 之差小于第三边是解题关键． 根据三角形三边关系定理，第三边必须大于已知两边之差且 小于已知两边之和，即可求解．
【详解】解：两根木棒的长度分别为 2cm 和3cm ，
若要钉一个三角架，则第三根木棒的长度大于3 - 2 = 1cm ，小于 2 + 3 = 5cm ， :B 、C 、D 选项长度可以，A 选项长度不可以，
故选：A．
6 ．D
【分析】本题考查加减消元法的应用， 解题关键是通过调整方程系数，使两个方程中某一未 知数的系数相等或者相反，再进行减或加以达到消元．
对选项逐一判断，计算每个选项中求和或者做差后是否只剩一个未知数即可． 【详解】解：选项 A：①×3 + @ ×2 得13x =32 ，消去y ，可行，不符合题意；
选项 B：①×5 - @得13y = 23 ，消去 x ，可行，不符合题意；
选项 C：①× (-5) + @得-13y= -23 ，消去 x ，可行，不符合题意；
选项 D： ① ×3 + ② × (-2) 得-7x +12y = 4 ，x 和y 均未消去，无法消元，符合题意．
故选：D．
7 ．A
【分析】本题考查不等式性质， 根据不等式的基本性质逐一分析各选项即可得到答案，熟记 不等式性质是解决问题的关键．
【详解】A、由a > b ，两边同时加 3 得a + 3 > b + 3 ，而b + 3 > b + 2 ，故a + 3 > b + 2 ，选项不 等式成立，符合题意；
B、由a > b ，两边同乘-1得-a < -b ，再两边加m 得m - a < m - b ，与m - a > m - b 矛盾，选 项不等式不成立，不符合题意；
C、由a > b，两边同乘-4 ，不等号方向改变，得-4a < -4b ，与-4a > -4b 矛盾，选项不等式 不成立，不符合题意；
D、当a > 0 且b > 0 时，a2 > ab成立；但若a < 0 ，例a = -1，b = -2 ，则a2 = 1，ab = 2 ，此 时a2 < ab ，与 a2 > ab矛盾，选项不等式不一定成立，不符合题意；
故选：A．
8 ．B
【分析】根据现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹 马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，可以列出相应的方程组． 【详解】解：设一匹马价钱为 x 元，一头牛价钱为y 元，
由现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱，可得方程
, 由一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱， 可得方程 故可得方程组
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等 量关系，列出相应的方程组．
9 ．B
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，过点 D 作DF 丄 AO 交OB 于点 F，根据题意可得 上CDF = 上EDF ，上CDF = 上DFE ，因此 上EDF= 上DFE ，最后由三角形 的内角和定理求得上DEB 的度数．
【详解】过点 D 作DF 丄 AO 交OB 于点 F，
Q入射角等于反射角，
:上CDF = 上EDF ， QCD∥OB ，
:上CDF = 上DFE ，
:上EDF = 上DFE ，
在Rt△DOF 中，上ODF = 90° , 上AOB = 36° , :上DFE = 90° - 36° = 54° ,
在Rt△DEF 中，上DEB = 180° - 2× 54° = 72° , 故选：B．
10 ．D
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握确定不等式组解集的方法是解题的关 键．先求出不等式组的解集，然后根据不等式组无解得出 a 的取值范围．
【详解】解：解不等式 得x ≥ 7 ， ∵不等式组无解，
: a ≤ 7 ，
故选：D．
11 ．C
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 4 和 30，列出等式，这是解题的关键． 设正方形 A 的边长是 a，正方形 B 的边长是b(a > b)， 根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 4 和30，列出等式，进而可以求得图乙的面积，
最后求得图乙的边长，
【详解】解: 设正方形 A 的边长是 a，正方形 B 的边长是b(a > b)，
由题可得图甲中阴影部分的面积是S甲 = (a - b)2 ，
图乙中阴影部分的面积是S乙 = (a + b)2 - a2 - b2 = 2ab ， Q 图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 4 和30 ，
: S甲 = (a - b)2 = 4 ，S乙 = 2ab = 30
:图乙面积为: (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab = 4 + 60 = 64 ．
: 图乙的边长 故选:C．
【点睛】
12 ．B
【分析】本题主要考查了三角板的角度计算、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点， 灵活运用相关知识成为解题的关键．
如图：延长EN 交CD 于I，由直角三角板可得：上BEG = 30°, 上HNM = 45° , 则上DNM = 135° ; 由平行线的性质可得上MIN = 上BEG = 30° ,然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图：延长 EN 交CD 于 I，
由直角三角板可得：上BEG = 30°, 上HNM = 45° ,则 上DNM = 135° , ∵ AB∥CD ，
: 上MIN = 上BEG = 30° ,
: 上NMD = 180° - 上NIM - 上MND = 180° -135° - 30° = 15° .
故选 B．
13 ．-2
【分析】本题考查了偶次幂的性质和积的乘方运算，解答本题的关键是逆用乘方运算公式． 逆用积的乘方运算即可求解．
解 故答案为：-2 ．
14 ．90°
【分析】先根据 上A: 上B: 上C = 1: 2: 3 设上A = x, 上B = 2x, 上C = 3x(x ≠0) ，再根据三角形的内角 和定理即可得．
【详解】解：由题意，可设 上A = x, 上B = 2x, 上C = 3x(x ≠0) ，
由三角形的内角和定理得：上A + 上B + 上C = 180° ,即 x + 2x + 3x = 180° , 解得x = 30° ,
则上C = 3x = 3 × 30° = 90° , 故答案为：90° .
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
15 ．4
【分析】本题考查了三角形中线的性质： 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，根 据三角形中线的性质可得出S△ABC = 2S△BCD ，S△BCD = 2S△CDE ，即可求解．
【详解】解：∵点D 、点 E 分别是边AC 、BC 的中点， : S△ABC = 2S△BCD ，S△BCD = 2S△CDE ，
: S△ABC = 4S△CDE ，
∵ △CDE 的面积等于 1， : S△ABC = 4 × 1 = 4 ，
故答案为：4．
16 ．3cm 或4cm
【分析】本题考查等腿三角形的定义，三角形三边关系的应用，一元一次不等式组的应用， 根据题意列出不等式组是解题的关键．
设腰长为xcm （x 为整数），则底长为(10 - 2x)cm ，根据“三角形任意两边之和大于第三边” 得：x + x > 10 - 2x > 0 ，求出该不等式组的解集，再取整数即可．
【详解】解：设腰长为 xcm （x 为整数），则底长为(10 - 2x)cm ， 依题意，得：x + x > 10 - 2x > 0 ，
解得： ， : x 为整数
: x = 3 或 4 ，
:腰长为3cm 或4cm ．
故答案为：3cm 或4cm ．
17 ．1 ≤ x < 4 ，整数解为 x = 1，2，3
【分析】本题考查求一元一次不等式组的整数解，先分别解一元一次不等式求出解集，进而 确定不等式组的解集，即可求解．
【详解】解：解不等式①,得 x ≥ 1， 解不等式②,得 x < 4 ，
所以，不等式组的解集为1≤ x < 4 ， 满足条件的整数解为x = 1，2，3 ．
18 ．7a - 5 ，-12
【分析】此题主要考查了整式的乘法与加减法混合运算，解决问题的关键是熟练掌握平方差 公式和完全平方公式，多项式乘多项式法则，去括号法则，合并同类项法则．
先利用平方差公式和完全平方公式，多项式乘多项式法则去括号法则计算，进而合并同类项， 再将 a 值代入求值即可．
【详解】解：(2a + 1)(2a - 1) - (a - 2)2 - 3a (a - 1)
= 4a2 - 1 - (a2 - 4a + 4) - 3a2 + 3a
= 4a2 - 1 - a2 + 4a - 4 - 3a2 + 3a
= 7a - 5
当a = -1 时，
原式= 7 × (-1) - 5
= -12
19 ．（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，
（1）根据 216 + 215 - 214 = 214 × 5 即可判断；
（2）先逆用乘法分配律将 5a+2 + b 变形为24 .5a + 5a + b ，进而可说明结论成立．
【详解】解：（1）216 + 215 - 214
= 214 × (22 + 2 - 1)
= 214 × 5
Q214 为整数
:216 + 215 - 214 能被 5 整除
（2）5a+2 + b
= 5a . 52 + b
= 25 . 5a + b
= 24 . 5a + 5a + b
Q5a + b 能被 8 整除，24 . 5a 能被 8 整除
:5a+2 + b 能被 8 整除
20 ．(1) (a - b + 4)(a - b - 4)
(2) -3
(3)等腰三角形
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分组分解法，是解题的关键：
（1）利用分组分解法，进行因式分解即可；
（2）利用分组分解法，进行因式分解，整体代入法求值即可；
（3）利用分组分解法，进行因式分解，得到(a - b)(a + b - c) = 0 ，进而得到 a =b ，即可得 出结论．
【详解】（1）解：a2 + b2 -16 - 2ab
= (a2 + b2 - 2ab)-16
= (a - b)2 -16
= (a - b + 4)(a - b - 4)；
（2）解：ab - bc + a2 - ac
= b (a - c) + a (a - c)
= (a + b)(a - c)；
当a + b = -1，a - c = 3 时：
原式= -1× 3 = -3 ；
（3）解：a2 - b2 - ac + bc = 0
(a + b)(a - b) - c (a - b) = 0 (a - b)(a + b - c) = 0
Q a 、b 、c 为△ABC 的三边
:a + b - c > 0
:a - b = 0
即 a = b ；
:△ABC 为等腰三角形．
21 ．(1)见详解
(2)平行且相等 (3)14
(4)无数
【分析】本题考查的是画平移图形，平移的性质，利用割补法求解图形面积．
（1）分别确定 A ，B ，C 平移后的对应点 D 、E、F，再顺次连接即可；
（2）根据由平移的性质可得答案；
（3）利用长方形的面积减去作为三角形的面积即可；
（4）根据“平行线之间的距离处处相等”，可得使 △NBC 的面积等于 △ABC 的面积（N 与 A 不重合）的点N 有无数个．
【详解】（1）解：如图， △DEF 即为所求．
（2）解：∵ △DEF 是由△ABC 平移得到的， :线段AD 与线段CF 的关系是平行且相等. 故答案为：平行且相等
（3）解：四边形 ACFD 的面积为
故答案为：14．
（4）解：要使 △NBC 的面积等于 △ABC 的面积，则 N 点在过 A 点且平行于BC 的直线上， 这样的点有无数个．
故答案为：无数．
22 ．(1)A 工艺品每件的进价为 15 元，B 工艺品每件的进价为 12 元
(2)13
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确 题意，列出相应的方程组和不等式．
（1）设 A 种工艺品每件的进价为x 元，B 种工艺品每件的进价为y 元，列出方程组，然后 求解即可；
（2 ）根据两种工艺品全部售出后总获利不低于 200 元，可以列出相应的不等式，然后求解 即可
【详解】（1）解：设 A 工艺品每件的进价为x 元，B 工艺品每件的进价为y 元， 由题意，得
解，得
答：A 工艺品每件的进价为 15 元，B 工艺品每件的进价为 12 元.
（2）设该经销店购进 A 种工艺品m 件
由题意，得(18 -15)m + (18 -12)(40 - m) ≥ 200
解，得 Qm 为正整数
:m 的最大值为 13
答：该经销店最多可以购进 A 种工艺品 13 件．
23 ．(1)见解析
(2)120
【分析】本题考查了与角平分线有关的计算， 垂直的定义，平行线的性质与判定，熟练掌握 相关知识点是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义，角的和差关系求出 上COE + 上 ，即可 得证；
（2）根据已知证明 上AOE = 上E ，可得 EF Ⅱ AB ，进而可得 Ð BOF = Ð F = 30 ，由
Ð BOC = 2ÐBOF = 60即可求解．
【详解】（1）证明： Q OE 平分上AOC，OF 平分 Ð BOC ，
= × 180
= 90 ，
: OE 丄 OF ．
（2）解：Q OE 平分 Ð AOC ，
: Ð AOE = ÐE ， :EF∥AB ，
: ÐBOF = ÐF = 30 ， Q OF 平分 Ð BOC ，
: ÐBOC = 2ÐBOF = 60 ，
: ÐBOD = 180 - ÐBOC = 180 - 60 = 120 ．
24 ．(1)115° , 25° , (2)120° , 15°
(3) 70 或110
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理、外角的性质， 熟练掌握平行线的 性质和三角形的内角和定理、外角的性质是解决本题的关键．
（1）根据角平分线的定义和三角形内角和的性质可得结论；
（2）根据据角平分线的定义和三角形内角和、平行线性质转化角的关系，可得结论；
（3）直线 CP 与△ABC 的一条边垂直，分三种情况：分别和三边垂直，根据三角内角和列 式可得结论．
【详解】（1）解：当 CP 平分Ð ACB 时，如解图 1；
又∵BE 平分 Ð ABC ，
当CP 平分上ACD 时，如解图2；
又∵BE 平分 Ð ABC ，
又∵上ACD = 上BAC + 上ABC ，上PCD = 上BPC + 上CBP ，
（2）当 CP 平分Ð ACB 时，CP 丄 AB ，BP 丄 AC ，如解图 3，
: 上CBP = 上HBP = 上ABC ，上BCH = 上上ACB ， 上CBP + 上ACB = 90° , 上BCP + 上ABC = 90° ,
: 上ABC + 上ACB = 90° , 上ABC + 上ACB = 90° ,
3 3 1 1
: 上ABC + 上ACB = 180° ,即 上ABC + 上ACB = 60°
2 2 2 2
1 1
: 上BPC = 180° - (上CBP + 上BCP) = 180° - ( 上ABC + 上ACB) = 180° - 60° = 120° ,
2 2
当CP 平分上ACD 时，CP∥AB， Ð ACB = 4ÐBAC ，
设上ABP = 上CBP = x ，则 上ABC = 2x ， ∵ CP∥AB ，
: 上PCA = 上PCD = 上ABC = 2x ，上BAC = 上PCA = 2x ， : 上ACB = 4上BAC
: 上ABC + 上BAC + Ð ACB = 2x + 2x + 8x = 180° , : x = 15° ,
: 上BAC = 2x = 30° ,
（3）∵∠ABC = 40 ，上A = 60 ，
: 上ACB = 180° - 上A - 上ABC = 80° ,
①当CP 丄 BC 时，如解图 5，则 上BCP = 90° ,
: 上BPC = 70° ;
②当CP 丄 AC 时，如解图6，点 P 在射线BE 的反向延长线上，不合题意舍去，
△BCP 中，上BPC = 180° - 20° - 30° - 90° = 40° ;
③当CP 丄 AB 时，延长CP 交直线AB 于 H，如图 7，则 上BHC = 90° ,
: 上ABC = 40° , : 上BCG = 50°
△BPC 中，上BPC = 上ABP + 上BHC = 110° ; 综上， Ð BPC 的度数为70° 或110° .