2024-2025学年河北省廊坊市八年级下学期期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年河北省廊坊市八年级下学期期末数学检测试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级数学试卷本试卷
满分为 120 分，考试时间为 120 分钟．
注意事项：1 ．开始答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答 题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．
2 ．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 答在试卷上无效．填空题和解答题请把答案写在答题卷上．
一、选择题（本大题有 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分．每小题给出的四个 选项中，只有一项符合题目要求）
1 ．下列的式子一定是二次根式的是( )
B ． C ． D ．
2 ．下列各式中，属于最简二次根式的是( )
A ． B ． C ． D ．
3 ．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦、在 直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为( )
A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
4 ．下列命题的逆命题成立的是( )
A ．对顶角相等 B ．两直线平行，内错角相等
C ．若两个实数相等，则它们的绝对值相等 D ．全等三角形的对应角相等
5 ．下列四个图象中，不能表示y 是 x 的函数的是( )
A ． B ．
C ． D ．
6 ．某学校考查各个班级的教室卫生状况时包括以下三项：地面、黑板，门窗，其中“地面” 最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低，根据这个要求，对地面、黑板、门窗三项考察比较 合适的比例设计分别为( )
A ．20% ，30% ，50% B ．50% ，30% ，20%
C ．50% ，20% ，30% D ．30% ，50% ，20%
7 ．如图，公路AC, BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AB 的长为 6km ，则M , C 两点间的距离为( )
A ．3km B ．3.5km C ．4km D ．4.5km
8．某校第一次体育中考结束后还有 30 位同学未达到满分 30 分，这 30 位同学的成绩统计如 下表（每个同学的分数都是整数），小明是其中一位未满分同学．若去掉小明的成绩，则剩 下的 29 位同学的成绩中，下列统计量一定不受影响的是( )
A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差
9．如图，一个含有30° 角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形的对边上，若上1 = 35° , 则
上2 的度数为( )
A ．135° B ．115° C ．120° D ．125°
10．周末，小刚去正在装修的房屋查看进度，放在地上的一块地板砖吸引了他的注意，于是 他找来卷尺进行如下操作：①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等；@测量地板砖的 两条对角线是否相等，以此判断地板砖的表面是否为矩形．小刚的判断依据是( )
A ．对角线相等的平行四边形是矩形 B ．有三个角是直角的四边形是矩形
成绩
25 分及以下
26 分
27 分
28 分
29 分
人数
2
1
3
9
15
C ．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D ．对角线相等的四边形是矩形
11 ．将直线y = 2x 向上平移m 个单位长度后与直线y = -x + n 交于点(1, a )，则方程 2x + m = -x + n 的解为( )
A ．x = -1 B ．x = 1 C ．x = -2 D ．x = 2
12 ．如图，已知 △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点
E ，M ，N 为垂足，若 的长为 ( )
A ． B ． C ． D ．
二、填空题（本大题 4 个小题，每题 3 分，共 12 分）
13 ．化简
14．某组数据的方差 则该组数据的总和 是
15 ．按照如图所示的运算程序计算函数y 的值，若输入x 的值是 5，则输出y 的值是 3，若 输入x 的值是-3 ，则输出 y 的值是 ．
16 ．如图，菱形 ABCD 的对角线长分别为 3 和 8 ，P 是对角线 AC 上的任一点(点 P 不与点 A ，C 重合)，且 PE∥BC 交 AB 于 E，PF∥CD 交 AD 于 F，则阴影部分的面积是 ．
三、解答题（本大题共 8 题，共计 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤）
17 ．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为 12 和 25．
(1)大正方形的边长是__________，小正方形的边长是__________．
(2)求图中阴影部分的周长．
18 ．如图，在 △ABC 中，D ，E 分别是线段AB ，AC 的中点，连结DE 并延长至点 F，使 DE = EF ，连结 FC ．
(1)证明：四边形DFCB 是平行四边形．
(2)若BC = BA = 6 ，求四边形 DFCB 的周长．
19 ．3 月 28 日是全国中小学生安全教育日，倡议中小学生注意安全，珍爱生命．小刚骑单 车从家出发去上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买 到书后继续去学校．已知小刚家与书店、学校恰好在同一条直线上，以下是他本次所用的时 间与离家距离的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小刚家到学校的距离是________米；小刚在书店停留了________分钟；
(2)本次上学途中，小刚一共行驶了________米；一共用了________分钟；
(3)我们认为骑单车的速度超过 400 米/分就超过了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时 间段小刚骑车速度最快？并说明此时的速度在安全限度内吗？
20 ．舞台上，以点O 为坐标原点建立平面直角坐标系．从点A(3,3) 处打出两束灯光，一束 经过点O ，另一束经过点C(1,0) ，与y 轴交于点B ．
(1)求出这两束光线所在直线AO 、AB 的表达式；
(2)求△AOB 的面积．
21 ．在一条东西走向河流的一侧有一村庄 C ，河边原有两个引水点 A、B ，其中 AB = AC ， 由于某种原因，由C 到A 的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水 点H （ A 、H 、B 在同一条直线上），并新修一条路CH ，且CH 丄 AB ．测得CH = 2.4 千米， HB = 1.8 千米，求新路CH 比原路CB ，CA 各少多少千米？
22 ．2025 年 4 月 17 日，国家航天局举行 2025 中国航天日新闻发布会，神舟二十号、二十 一号载人飞船任务将成为今年中国航天工程重点任务之一．某中学为了解本校学生对航天科 技的关注程度，在八、九年级各抽取 50 名学生开展航天知识竞赛，为便于统计成绩，制定 了取“整十”的计分方式，满分 100 分．竞赛成绩如图所示：
众数
中位数
方差
八年级竞赛成绩
70
n
188
九年级竞赛成绩
m
80
156
(1)你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明理由；
(2)请根据图表中的信息，回答下列问题：
①表中m = __________ ，n = __________．
②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪 个年级颁奖？
23 ．端午节假期期间，佳佳一家乘坐火车前往某市旅游，计划第二天租车自驾游．
(1)设租车时间为x 小时(0 < x ≤ 24) ，租用甲公司的车所需费用为 y1 元，租用乙公司的车所 需费用为y2 元，分别求出y1 、y2 与x 间的关系式；
(2)若佳佳只租车 6 个小时，在哪家公司租车合算？
(3)请你帮助佳佳计算租多少小时选甲公司租车合算．
24．如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB = 3 ，AD = 5 ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的点E 处， 折痕为PQ ．过点E 作EF∥AB 交PQ 于F ，连接 BF ．
(1)求证：四边形PBFE 为菱形；
(2)当点E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．
① 当点Q 与点C 重合时（如图2 ），求菱形 PBFE 的边长；
② 若限定P 、Q 分别在边BA 、BC 上移动，直接写出菱形PBFE 的面积的最大值和最小值．
公司
租车收费方式
甲
每日固定租金 100 元，另外每小时收费 18 元．
乙
无固定租金，直接以租车时间计费，每小时租费 26 元．
1 ．C
【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解答本题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、不能确定 x +1的正负，故 A 选项不符合题意；
B 、3 - τ < 0 ，二次根式没有意义，故 B 选项不符合题意；
C 、 3 是二次根式，故 C 选项符合题意；
D 、-1 < 0 ，二次根式没有意义，故 D 选项不符合题意； 故选：C．
2 ．B
【分析】本题考查了最简二次根式的定义．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法， 就是逐个检查定义中的两个条件：①被开方数不含分母；@被开方数不含能开得尽方的因 数或因式，据此即可判断．
解 不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B 、2 符合最简二次根式的条件，故本选项符合题意；
C 、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D 、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故答案为：B．
3 ．A
【分析】本题考查的是勾股定理，，在直角三角形中，勾（较短的直角边）的平方加股（较 长的直角边）的平方等于弦（斜边）的平方．
题中已知两直角边分别为 3 和 4，要求弦，代入数据计算即可．
解：弦 故选 A．
4 ．B
【分析】本题考查了命题与定理的知识．写出各个命题的逆命题，然后判断是否成立即可． 【详解】解：A、对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，不成立；
B、两直线平行，内错角相等的逆命题为内错角相等，两直线平行，成立，
C、若两个实数相等， 则它们的绝对值相等的逆命题为绝对值相等的两个实数相等，不成立；
D、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立； 故选：B．
5 ．D
【分析】本题考查了函数的定义的知识， 对于x 的任何值，y 都有唯一的值与之相对应，函 数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x 轴的直线在左右平移的过程中与函数图 象只会有一个交点；本题根据函数的定义，逐项判断，进行作答即可求解；
【详解】解：选项 A 、B 、C 中的图象，对于x 的任何值，y 都有唯一的值与之相对应，y 是x 的函数，都不符合题意；
选项 D 中的图象，对于x 的任何值，y 有一个或两个的值与之相对应，y 不是x 的函数，符 合题意；
故选：D.
6 ．B
【分析】根据题意可知：“地面”最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低，再观察各个选项， 可得答案．
【详解】解：Q“地面”最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低，
:对地面、黑板、门窗三项考察比较合适的比例设计分别为50% ，30% ，20% ， 故选：B．
【点睛】本题主要考查了加权平均数，解答本题的关键是明确权的意义.
7 ．A
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得 出 是解此题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直接可以得 出答案．
【详解】解Q AC ，BC 互相垂直，
:△ABC 是直角三角形， QM 是AB 的中点，
故选：A．
8 ．C
【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数和方差的有关计算， 解题的关键是熟练掌握
平均数、中位数、众数和方差的定义．根据相关的定义和公式，进行判断即可．
【详解】解： 假设去掉的一个数是 29，则去掉这个数后，仍然 29 最多，因此这组数据的众 数仍然是 29，保持不变，而去掉的数是其他数时，也是 29 最多，因此众数仍然是 29．而去 掉一个数后，平均数、中位数和方差都有可能发生改变．
故选：C．
9 ．D
【分析】本题考查矩形的性质，平行线的性质，解题的关键是根据矩形性质得出ADⅡBC ， 推出上2 = 上DEF ，由 上DEF = 上1+ 上GEF ，代入数据计算即可．
【详解】解：如图，有一个含有30° 角的直角三角板，
: 上GEF = 90° ,
∵四边形ABCD 是矩形，上1 = 35° , : ADⅡBC ，
: 上2 = 上DEF = 上1+ 上GEF = 35° + 90° = 125° , : 上2 的度数为125° .
故选：D．
10 ．A
【分析】本题考查平行四边形的判定， 矩形的判定，熟练掌握平行四边形和矩形的判定是解 题的关键．利用①判定平行四边形，再利用②判定矩形，即可得判断依据．
【详解】解：由①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等， 即AD = BC ，AB = CD ，
则可判断四边形ABCD 是平行四边形；
由②测量地板砖的两条对角线是否相等， 即AC = BD ，
则利用“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断四边形ABCD 是矩形；
故选：A．
11 ．B
【分析】本题考查了两直线交点解方程，一次函数的平移，理解函数平移的性质，两直线交 点解方程的方法是关键．
根据函数图象的平移得到平移后的解析式，再根据两直线交点解方法即可． 【详解】解：直线 y = 2x 向上平移m 个单位长度后的解析式为y = 2x + m ， :直线y = 2x + m 与直线y = -x + n 的交点为(1, a )，
:方程2x + m = -x + n 的解为x = 1 ， 故选：B ．
12 ．D
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理， 线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理及 其逆定理，线段垂直平分线的性质是解题的关键；连接AD, AE ，由题意易得
AD = BD = , AE = EC = ，则有 上ADE = 90° ,然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：连接 AD, AE ，如图所示：
: AB 的垂直平分线交BC 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点E ，
: AD = BD = , AE = EC = ，
: 上ADE = 90° ,
故选 D．
13 ．
【分析】本题考查了二次根式的性质， 根据二次根式的性质进行求解即可，掌握二次根式的 性质是解题的关键．
解
故答案为： ．
14 ．40
【分析】本题考查了方差的定义， 解题关键是对方差公式的理解．根据方差的求解公式可知 这组数的平均数以及这组数的个数，据此即可作答．
解
:平均数是5 ，这组数的个数为8 ， 则该组数据的总和是：5 × 8 = 40 ， 故答案为：40 ．
15 ．1
【分析】此题主要考查了函数值， 正确得出b 的值是解题关键．直接利用已知代入得出b 的 值，进而求出输入-3 时，得出y 的值．
【详解】解：Q 当输入x 的值是5 ，输出 y 的值是 3， :3 = 5 - 2b ，
解得：b = 1，
故输入x 的值是-3 时，y = -3 + 4× 1 = 1．
故答案为：1
16 ．6
【分析】根据已知条件易证四边形 AEPF 是平行四边形，设 AP 与 EF 相交于 O 点，则 S△POF=S△AOE ．所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半．由此即可解答.
【详解】设 AP 与 EF 相交于 O 点．
:ABCD 为菱形，
:BC∥AD ，AB ∥CD．
:PE ∥BC ，PF ∥CD，
:PE ∥AF ，PF ∥AE．
:AEFP 是平行四边形．
:S△POF=S△AOE．
:阴影部分的面积就是△ABC 的面积，△ABC 的面积菱形的面积 则阴影部分的面积是 6．
故答案为 6．
【点睛】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质得出阴影部分的面积就是△ABC 的面积 是解决问题的关键．
17 ．(1)5 ，
【分析】本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，二次根式的化简，二次根式的乘法， 二次根式的加减，熟练掌握正方形的性质，算术平方根的解答，二次根式的运算是解题的关 键．
（1）根据正方形的性质，利用求算术平方根的方法解答即可．
（2）根据周长的定义，二次根式的乘法，加减混合计算解答即可．
【详解】（1）解：:长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为 12 和 25． :大正方形的边长为 小正方形的边长为 ，
故答案为：5 ， ．
（2）解：根据题意，得阴影的周长为：
= 8 +10 - 4
18 ．(1)见解析；
(2)18．
【分析】本题考查了中位线定理，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
（1）根据中位线定理及中点定义可知DE Ⅱ BC ，DF = BC ，再根据平行四边形的判定即可 解答；
（2）根据平行四边形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：:在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点， : DE 是△ABC 的中位线，
: DE Ⅱ , : EF = DE ，
:点E 是DF 的中点，
: DF = BC ， : DE Ⅱ BC ， 即DF Ⅱ BC ，
:四边形DBCF 是平行四边形；
解：在。ABCD 中 则四边形DFCB 的周长= 2 × (BC + BD ) = 18 ．
19 ．(1)1500 ，4；
(2)2700；14
(3)12～14 分钟时速度最快，不在安全限度内
【分析】（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；根据函数图象的横坐标，可得到达书店时 间，离开书店时间，根据有理数的减法，可得答案；
（2）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案；
（3）根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与 时间的关系，可得速度．
本题主要考查了函数图象，解决本题的关键是要观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数 图象的横坐标得出时间，又利用了路程与时间的关系．
【详解】（1）解：根据图象，学校的纵坐标为 1500，小刚家的纵坐标为 0 ， 故小刚家到学 校的路程是 1500 米；
根据函数图象，小刚在书店停留的时间为从 8 分到 12 分， : 12 - 8 = 4 （分钟）
故小刚在书店停留了 4 分钟． 故答案为：1500 ，4；
（2）解：有函数图象可知，
一共行驶的总路程= 1200 +(1200 - 600) + (1500 - 600) = 1200 + 600 + 900 = 2700 （米）；一共
用了14 分钟，
故答案为：2700；14．
（3）解：由图象可知：0～6 分钟时，平均速度= 1200 ÷ 6 = 200 （米/分）， 6～8 分钟时，平均速度= (1200 - 600) ÷ (8 - 6) = 300 （米/分），
12～14 分钟时，平均速度= (1500 - 600) ÷ (14 -12) = 450 （米/分）， ∵ 450 > 400
: 12～14 分钟时速度最快，不在安全限度内．
故建议小刚在从书店去学校的途中放慢速度，保持安全骑行；
【分析】本题考查了求一次函数的解析式，求两直线围城的三角形面积．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）联立直线l1 的解析式和直线l2 的解析式，求出交点 B 的坐标，进一步求 △AOB 的面积
即可．
【详解】（1）解：设直线 AO 的表达式为y = k1x ，把 A(3, 3) 代入，得
3 = 3k1 ，
: k1 = 1
: y = x ；
设直线AB 的表达式为y = k2x + b ，把 A(3, 3) ，C (1, 0) 代入，得
í
ì3k2 + b = 3
lk2 + b = 0
解：当x = 0 时
:△AOB 的面积为
21 ．新路CH 比原路CB 少0.6 千米，比原路CA 少0.1 千米．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得 （千 米），设 AB = AC = x 千米，则AH = AB - HB = (x -1.8) 千米，然后通过勾股定理求出
AB = AC = 2.5 千米，最后代入求解即可，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：: CH 丄 AB ， : 上CHA = 上CHB = 90° ,
设AB = AC = x 千米，则AH = AB - HB = (x -1.8) 千米，
: AC2 = CH2 + AH2 ， : x2 = 2.42 + (x -1.8)2 ， 解得：x = 2.5 ，
: AB = AC = 2.5 千米，
:新路CH 比原路CB 少3 - 2.4 = 0.6 （千米），比原路CA 少2.5 - 2.4 = 0.1（千米）， 答：新路CH 比原路CB 少0.6 千米，比原路CA 少0.1 千米．
22 ．(1)用平均数无法判定哪个年级的成绩比较好，理由见解析
(2)①80 ，80 ；②应该给九年级颁奖，理由见解析
【分析】本题考查了折线统计图， 求平均数，众数，方差，根据方差判断稳定性，从统计图 表中获取信息是解题的关键．
（1）根据已知数据求得八年级与就九年级的平均数即可求解；
（2）①根据众数、中位数的定义， 进行计算即可求解；②分别从众数和方差两方面分析即 可求解．
【详解】（1）由题意得：
八年级成绩的平均数是：(60 × 7 + 70 × 15 + 80 × 10 + 90 × 7 +100 × 11) ÷ 50 = 80 （分）， 九年级成绩的平均数是：(60 × 8 + 70 × 9 + 80 × 14 + 90 × 13 +100 × 6) ÷ 50 = 80 （分）， 故用平均数无法判定哪个年级的成绩比较好；
（2）①九年级竞赛成绩中80 分出现的次数最多，故众数m = 80 ； 八年级竞赛成绩的中位数为：80 ，则 n = 80
故答案为：80 ，80 ；
②如果从众数角度看，八年级的众数为70 分，九年级的众数为80 分，所以应该给九年级颁 奖；
如果从方差角度看，八年级的方差为188 ，九年级的方差为156 ，又因为两个年级的平均数 相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖．
综上所述，应该给九年级颁奖．
23 ．(1) y1 = 18x +100 , y2 = 26x
(2)租乙公司合算
(3)租车时间超过12.5 小时时选甲公司合算
【分析】本题考查一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，
（1）根据题意即可直接写出 y1 、y2 函数解析式；
（2）当租车时间为 6 小时时，分别计算出甲乙两个公司的费用，再进行比较大小，即可得 到答案；
（3）选甲公司租车合算时，需要 y1 < y2 ，从而可计算出租车时间． 【详解】（1）解：甲公司：费用由固定租金和每小时收费组成，
: y1 = 18x +100 ；
乙公司：费用仅按小时计费，无固定租金， : y2 = 26x ．
（2）解：当租车时间为 6 小时时，
甲公司的费用为：y1 = 18 × 6 +100 = 208 （元），
乙公司的费用为：y2 = 26 × 6 = 156 （元），
: 208 > 156 ，
:租乙公司合算．
（3）解：当甲公司更合算时，需满足 y1 < y2 ， :18x +100 < 26x ，
解得：x > 12.5 ，
:租车时间超过12.5 小时时选甲公司合算．
24 ．(1)证明见解析；
(2) ① 菱形PBFE 的边长为 ； ② 菱形PBFE 面积的最大值是9 ，最小值是 ．
【分析】（1）由折叠的性质得出 PB = PE ，BF = EF ，上BPF = 上EPF ，由平行线的性质得 出上BPF = 上EFP ，证出上EPF = 上EFP ，得出EP = EF ，因此BP = BF = EF = EP ，即可得出结 论；
（2 ） ① 根据矩形的性质和勾股定理求得AE 的长，再在Rt△APE 中求得PE ，即菱形的边 长；
② 当点Q 与点 C 重合时，点E 离点A 最近， 由 ① 知，此时 AE = 1； 当点P 与点A 重合时， 点E 离点A 最远，此时四边形ABQE 为正方形，AE = AB = 3 ，即可得出答案．
【详解】（1）证明：:折叠纸片使B 点落在边AD 上的点E 处，折痕为PQ ， :点B 与点E 关于PQ 对称，
: PB = PE ，BF = EF ，上BPF = 上EPF ，
又: EF∥AB ，
: 上BPF = 上EFP ，
: 上EPF = 上EFP ， : EP = EF ，
: BP = BF = EF = EP ， :四边形PBFE 为菱形；
（2）解： ① :四边形ABCD 是矩形，
: BC = AD = 5 ，CD = AB = 3 ，上A = 上D = 90° , :点B 与点E 关于PQ 对称，
: CE = BC = 5 ，
在Rt△CDE 中 : AE = AD - DE = 5 - 4 = 1 ；
在Rt△APE 中，AE = 1 ，AP = 3 - PB = 3 - PE ， : AE2 + AP2 = PE2 ，
: 12 + (3 - PE)2 = PE2 ，
解得：
:菱形PBFE 的边长为 ；
② 如图，当点Q 与点C 重合时，点E 离点A 最近，菱形PBFE 的面积最小，
由 ① 知，此时
:菱形PBFE 的面积的最小值为 ，
当点P 与点A 重合时，点E 离点A 最远，菱形PBFE 的面积最大，此时四边形ABQE 为正方 形，
由折叠性质可知：AE = AB = 3 ，
:菱形PBFE 的面积的最小值为3× 3 = 9 ，
:菱形PBFE 面积的最大值是9 ，最小值是 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质， 折叠的性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，等腰三 角形的判定，勾股定理，正方形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．