2024-2025学年甘肃省庆阳市八年级下学期期末质量监测数学检测试卷

这是一份2024-2025学年甘肃省庆阳市八年级下学期期末质量监测数学检测试卷，共27页。试卷主要包含了请将各题答案填在答题卡上．，2 N，2G + 0，8 分等内容，欢迎下载使用。
庆阳市 2024—2025 学年度第二学期八年级期末质量监测
数学
注意事项：
1.本试卷共 120 分，考试时间 120 分钟．
2.请将各题答案填在答题卡上．
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题只有一个正确 选项．
1 ．若、在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是( )
A ．x ≥ 3 B ．x ≥ 0 C ．x ≤ 3 D ．x ≤ 0
2 ．若点P(2, 3) 在正比例函数y = kx (k ≠ 0) 的图象上，则 k 的值为( )
A ．5 B ．6 C ． D ．
3 ．一组数据 7 ，9 ，8 ，7 ，6 的众数为( )
A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
4 ．下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是( )
A ．2 ，4 ，5 B ．6 ，8 ，9
C ．5 ，9 ，16 D ．5 ，12 ，13
5 ．如图，在平行四边形ABCD 中，上D = 65° ,若CD = CA ，则 Ð CAB 的度数为( )
A ．60° B ．50° C ．45° D ．30°
6 ．下列图象中，是一次函数y= -x + 4 的图象的是( )
A ． B ． C ． D．
7 ．如图，在平面直角坐标系中，已知菱形OABC ，O 为坐标原点，点C 在x 轴上，点A 的 坐标为(-6,8) ，则点 B 的坐标是( )
A ．(-16,8) B ．(-14,8) C ．(-12,8) D ．(-10,8)
8 ．我们知道，AQI （空气质量指数）在0～50 为一级（优），空气质量令人满意，基本无空 气污染；在51～100 为二级（良），空气质量可接受，但某些污染物可能对极少数异常敏感人 群的健康有较弱影响．下表记录了某天甘肃省6 个城市的AQI ：
则甘肃省这6 个城市的AQI 的平均数与中位数分别是( )
A ．57，60 B ．56，52 C ．56，54 D ．57，52
9 ．如图，在矩形ABCD 中，将△ADE 沿AE 折叠，使点 D 落在BC 边上的点 F 处，已知 AB = CD = 3 ，BC = AD = 5 ，则 EC 的长为( )
A ． B ． C ． D ．2
10 ．在物理实验课上，小明利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力 F（单位：
N ）和所悬挂物体的重力 G（单位：N ）的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象（不计 绳重和摩擦），请你根据图象判断，以下结论正确的是( )
城市
兰州 市
庆阳 市
金昌 市
张掖 市
武威 市
白银 市
AQI
50
49
66
54
73
50
A ．物体的拉力随着重力的增大而减小
B ．当物体的重力G＝7N 时，拉力 F＝1.9 N
C ．当拉力F = 2N 时，物体的重力 G ＝7.2 N
D ．当滑轮组不悬挂物体时，拉力 F＝0 N
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．
11 ．化简、/12 = ．
12．某校要从报名的甲、乙、丙三人中选取一人参加市举办的环保演讲比赛，经过两轮初赛，
甲、乙、丙三人的平均成绩都是 85，方差分别是 s = 1.2, s = 2.3, s = 1.1 ．你认为选取
参加决赛比较合适．
13 ．已知方程组 的解是 ，则直线y = -x + 3 与y = x +1 的交点坐标是 ．
14 ．如图，正方形ABCD 的边长为 2，点 E 在BC 的延长线上．如果BE = BD ，那么CE 的 长为 ．
15 ．已知一次函数y = kx - b (k ≠ 0) 的图象经过第一、二、三象限，且与 x 轴交于点(-8, 0)， 则关于 x 的不等式kx < b 的解集为 ．
16 ．如图，直线y = 3x + 6 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 D 为OB 的中点，。OCDE 的顶点 C 在 x 轴上，顶点 E 在直线AB 上，则。OCDE 的面积为 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 32 分．解答时，应写出必要的文字说明，证 明过程或演算步骤．
17 ．计算： - + 2 ．
18 ．计算：(2 + )(2 - )- (1+ )2 ．
19 ．某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30% ，演唱 技巧占60% ，精神面貌占10% 的方式考评，某参赛队歌曲内容获得 94 分，演唱技巧获得 96 分，精神面貌获得 100 分，求该参赛队的最终成绩．
20 ．如图，在Rt△ABC 中，上ACB = 90° , CD 丄 AB 于点 D，若 AC = 12 ，BC = 9 ，求CD 的长．
21 ．已知一次函数y = kx + b (k ≠ 0) 的图象经过点A(1，4) 和点B(2，2)．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)当-5 ≤ x ≤ 6 时，求函数y 的最小值．
22 ．如图，在 □ABCD 中，AB = 2AD ，E 为AB 的中点，连接DE, EC ．
(1)求证：DE 丄 EC ．
(2)如果AD = 10cm ，CE = 16cm ，求 △CDE 的周长．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 40 分．解答时，应写出必要的文字说明，证 明过程或演算步骤．
23 ．如图，四边形 ABCD 是正方形，E ，F 分别是DC 和 CB 的延长线上的点，且DE = BF ， 连接AE，AF，EF ．
(1)求证： △ADE≌△ABF ．
(2)若BC = 9 ，DE = 3 ，求 EF 的长．
24 ．如图，一次函数y1 = -2x - 2 与y2 = x - m 的图象相交于点A(n, -4)．
(1)求点A 的坐标及 m 的值；
(2)若一次函数y1 = -2x - 2 与y2 = x - m 的图象与 x 轴分别相交于点 B ，C，求 △ABC 的面积；
(3)结合图象，直接写出当y1 < y2 时，x 的取值范围．
25．为培养学生“爱护环境，绿化祖国”的观念，某校于 2025 年 3 月 12 日植树节组织全校学 生进行植树活动，活动结束后，学校随机调查了部分学生本次种植树木的数量（单位：棵）， 根据调查结果，绘制出如图所示的条形统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)求接受调查的学生种植树木的数量的平均数、众数和中位数；
(2)根据统计的这组学生种植树木的数量的样本数据，估计该校 600 名学生种植树木的数量 在 3 棵及 3 棵以下的人数．
26．草莓属于多年生草本植物，风味独特、营养丰富， 具有生产周期短、见效快、经济效益 高、适合设施栽培等特点．某经销商准备从一草莓种植基地购进甲、乙两种草莓进行销售， 设经销商购进甲种草莓 x 千克，付款y 元，y 与 x 之间的函数关系如图所示，购进乙种草莓 的价格是每千克 30 元．
(1)求y 与 x 之间的函数关系式．
(2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种草莓共 100 千克，其中甲种草莓不少于 40 千克且不 超过 70 千克，设经销商付款总金额为 W 元，求 W 的最小值．
27 ．如图 1，在。ABCD 中，AB = AD ，AC = 24 ，BD = 18 ，AC ，BD 相交于点O ，且 CE Ⅱ BD ，BE Ⅱ AC ，连接OE ．
(1)求AB 的长．
(2)求证：OE = AD ．
(3)如图 2，设 BC 与OE 相交于点P ，连接DP ，求 DP 的长．
1 ．A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数非负．
【详解】要使 、/x - 3 在实数范围内有意义，需满足被开方数x - 3 ≥ 0 ． 解不等式x - 3 ≥ 0 ，得 x ≥ 3．
故选 A．
2 ．C
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握直线上任意一点的坐标都满足 函数关系式是解题的关键．
将点P(2, 3) 代入正比例函数y = kx ，求解比例系数 k ．
【详解】∵点P(2, 3) 在函数图象上， : 3 = k × 2 ．
解得 ．
故选：C ．
3 ．B
【分析】本题考查了众数，根据众数的定义，确定数据中出现次数最多的数．
【详解】众数是指一组数据中出现次数最多的数据，题目中的数据为 7 ，9 ，8 ，7 ，6． 数值 6 出现 1 次；
数值 7 出现 2 次；
数值 8 出现 1 次；
数值 9 出现 1 次．
其中数值 7 出现的次数最多，因此众数为 7．
故选 B．
4 ．D
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用， 根据勾股定理逆定理，若三角形三边长满 足最大边的平方等于另两边的平方和，则该三角形为直角三角形，根据勾股定理的逆定理逐 一分析即可.
【详解】解：选项 A：2 ，4 ，5；最大边为 5，计算得 22 + 42 = 4 +16 = 20 ，而 52 = 25 ， 20 ≠ 25 ，不满足条件；
选项 B：6 ，8 ，9；最大边为 9，计算得 62 + 82 = 36 + 64 = 100，而 92 = 81 ，100 ≠ 81，不 满足条件；
选项 C：5 ，9 ，16；最大边为 16，计算得 52 + 92 = 25 + 81 = 106，而 162 = 256 ，
106 ≠ 256 ，不满足条件；
选项 D：5 ，12 ，13；最大边为 13，计算得 52 +122 = 25 +144 = 169 ，而 132 = 169 ，满足条 件；
综上，只有选项 D 符合勾股定理逆定理，能作为直角三角形的三边长； 故选：D
5 ．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，由等边对等角求出
上CAD = 上D = 65° , 再有平行四边形的性质求出上BAD = 115° , 进而可求出 Ð CAB 的度数． 【详解】解：∵ 上D = 65° , CD = CA ，
: 上CAD = 上D = 65° . ∵行四边形ABCD ，
: AB∥CD ，
:∠BAD = 180° - 上D = 115° ,
: Ð CAB = 上BAD - 上CAD = 115° - 65° = 50° .
故选：B．
6 ．D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数y = kx + b （k 为常数， k ≠ 0 ）， 当k > 0 时，y 随 x 的增大而增大；当k < 0 时，y 随 x 的增大而减小．当b > 0 ，图象与y 轴的 正半轴相交，当b < 0 ，图象与 y 轴的负半轴相交，当b = 0 ，图象经过原点．
【详解】解：∵ k = -1< 0 ，
:y 随 x 的增大而减小，故 A ，B 不符合题意． ∵ b = 4 > 0，
:图象与y 轴的正半轴相交，
故 C 不符合题意，D 符合题意．
故选 D．
7 ．A
【分析】本题主要考查了菱形的性质和点坐标，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
先利用两点之间的距离公式可得OA = 10 ，再根据菱形的性质可得 AB ∥OC ， AB = OA = 10 ，由此即可得出答案．
【详解】解：Q 点A 的坐标为(-6,8) ，
Q 四边形OABC 是菱形，
: AB ∥OC ，AB = OA = 10 ，
: 点B 的横坐标为-6 -10 = -16 ，纵坐标与点 A 的纵坐标相同，即为 8， 即B(-16,8) ，
故选 A．
8 ．D
【分析】本题考查了平均数和中位数， 根据平均数和中位数的定义计算即可，掌握平均数和 中位数的定义是解题的关键．
【详解】解：平均数为 将AQI 按从小到大排列为49，50，50，54，66，73 ，
:数据个数为偶数，
:中位数为第3 和第4 个数的平均数， :中位数为
综上，平均数为57 ，中位数为 52 ， 故选：D ．
9 ．A
【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的综合运用 ．根据折叠的性质得 AF = AD = 5 ，EF = DE ，在 Rt△ABF 中，利用勾股定理计算出BF = 4 ，则
CF = BC - BF = 1，设 CE= x ，则 DE = EF = 3 - x ，然后在 Rt△ECF 中根据勾股定理得到 x2 +12 = (3 - x)2 ，解方程即可．
【详解】解：Q矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上的F处， : AF = AD = 5 ，EF = DE ，
在Rt△ABF 中 ，
: CF = BC - BF = 5 - 4 = 1 ，
设CE = x ，则 DE = EF = 3 - x ，
在Rt△ECF 中，CE2 + FC2 = EF2 ， :x2 +12 = (3 - x)2 ，
解得 ， 故选 A．
10 ．B
【分析】本题考查了一次函数的应用，关键是数形结合思想的运用．
由函数图象可以直接判断 A 和 D，设出拉力 F 与重力 G 的函数解析式用待定系数法求出函 数解析式，根据解析式即可判断 B ，C．
【详解】解： A ．由图象可知，拉力 F 随着重力的增加而增大，故说法错误，选项不符合题 意；
∵拉力 F 是重力 G 的一次函数，
:设拉力 F 与重力 G 的函数解析式为F = kG + b (k ≠ 0) ， 则
解得
:拉力 F 与重力 G 的函数解析式为F = 0.2G + 0.5 ，
B ．当G＝7N 时，拉力F = 0.2 × 7 + 0.5 = 1.9 ，故 B 说法正确，选项符合题意；
C ．当F = 2N 时，拉力2 = 0.2G + 0.5 ，解得G = 7.5 ，故 C 说法错误，选项不符合题意；
D ．由图象可知，当G = 0 时，拉力F = 0.5 ，故 D 说法正确，选项不符合题意； 故选：B．
11 ．2
【分析】本题主要考查了化简二次根式，利用二次根式性质化简即可． 解
故答案为：2 ．
12 ．丙
【分析】本题主要考查平均数和方差，方差越少证明成绩波动越小，在平均数一样的情况下， 方差越小越好，据此进行求解即可；
【详解】解：由题意可知：三个人的平均数都是 85，
而丙的方差最小， 所以选丙；
故答案为丙．
13 ．(1, 2)
【分析】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的解，关键是掌握二者之间的关系． 二元一次方程组的解对应的坐标就是两个一次函数图象的交点．
【详解】解：∵方程组的解是 ， 即方程组 的解为 ，
:直线y = -x + 3 与y = x +1 的交点坐标是(1, 2)， 故答案为：(1, 2)．
14 ．2 - 2
【分析】本题主要考查正方形的性质，由正方形的性质可知△BCD 是等腰直角三角形，可
得BD 的长为2 ，再由 可得 ．
【详解】解：在正方形 ABCD 中，BC = CD = 2，上BCD = 90° ,
: CE = BE - BC = 2 - 2 ．
故答案为 ．
15 ．x < -8
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的关系，一次函数的性质．先由一次函数
y = kx - b (k ≠ 0) 的图象经过一、二、三象限，则函数 y 随 x 的增大而增大，得出k > 0 ，再 由y = kx - b (k ≠ 0) 的图象与 x 轴交于点(-8, 0)，确定不等式 kx < b 的解集．
【详解】解： ∵一次函数y = kx - b (k ≠ 0) 的图象经过一、二、三象限， 则函数y 随 x 的增大
而增大，
: k > 0 ．
:一次函数y = kx - b (k ≠ 0) 的图象与 x 轴交于点(-8, 0)，即当 x = -8 时，y = 0 ， :关于 x 的不等式kx < b 即kx - b＜0 的解集是x < -8 ．
故答案为：x < -8 ．
16 ．3
【分析】本题考查了一次函数以及平行四边形的性质，根据题意得出图中各边的长是解本题 的关键．
根据一次函数解析式求出点 A、B 的坐标，根据题意以及平行四边形的性质得出DE 、OD 的长，然后运用平行四边形面积计算公式计算即可．
【详解】解：:直线y = 3x + 6 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，
:当x = 0 时，y = 6 ， 当y = 0 时，x = -2 ， : A(-2, 0) ，B (0, 6)
:点 D 为OB 的中点，
:点 D 的坐标为D(0, 3)，
:把y = 3 代入y = 3x + 6 得：x = -1 ， :点 E 的坐标为E(-1, 3) ，
: DE = 1 ，
: S。OCDE = OD . DE = 1 × 3 = 3 ；
故答案为：3．
17 ．
【分析】本题考查二次根式的加减法，先根据二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式， 再进行合并即可．掌握相应的运算法则和性质是解题的关键．
【详解】解： - + 2
= 8 ．
18 ．-3 - 2
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式， 首先根据平方 差公式和完全平方公式把算式展开，可得：原式= 4 - 3 - (1+ 2+ 3) ，然后再去括号、合并 同类二次根式，计算出结果即可．
【详解】解：(2 + )(2 - )- (1+ )2
= 4 - 3 - (1+ 2 + 3)
= 1- 4 - 2
= -3 - 2 ．
19 ．95.8 分
【分析】本题主要考查了求加权平均数．根据加权平均数的公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意，得 30%× 94 + 60% × 96 +10% × 100 = 95.8 （分）． 答：该参赛队的最终成绩为95.8 分．
20 ．
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，由勾股定理可求出 AB = 15 ，由面积法 可求解．
【详解】解：由勾股定理，得
得12× 9 = 15 × CD ，
解得 ．
21 ．(1) y = -2x + 6
(2) -6
【分析】本题考查了一次函数解析式，一次函数的图象与性质．熟练掌握一次函数解析式， 一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）待定系数法求解即可；
（2）根据一次函数y 随x 的变化情况求解即可．
【详解】（1）解：将 A(1, 4) ，B (2, 2) 代入y = kx + b (k ≠ 0) ，
ì k + b = 4
得 í ,
l2k + b = 2 解得
:y = -2x + 6 ．
（2）Q y = -2x + 6 ，k = -2 < 0 ，
:y 随着x 的增大而减小，
当x =6 时，函数y 有最小值，最小值为y = -2× 6 + 6 = -6 ， : 当-5 ≤ x ≤ 6 时，函数y 的最小值为-6 ．
22 ．(1)见解析
(2) 48cm
【分析】题目主要考查平行四边形的性质， 等腰三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解 题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据平行四边形的性质得出 DC∥AB ，上ADC + 上BCD = 180° ,再由中点的性质结合 题意得出: AD = AE ，利用等边对等角即可求解；
（2）根据平行四边形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形，
:DC Ⅱ AB ，上ADC + 上BCD = 180° ,
:上AED = 上CDE ， QE 为AB 的中点，
: AE = BE ，
Q AB = 2AD ，
: AD = AE ，
:上ADE = 上AED ，
:上ADE = 上CDE ，
同理可证上DCE = 上BCE ，
:上DEC = 90° ,即 DE 丄 EC ．
（2）Q 四边形ABCD 是平行四边形，
:DC = AB = 2AD = 20cm ， 由（1）可知 上DEC = 90° ,
:DE = = = 12cm ，
:△CDE 的周长= DC + DE + CE = 20 +12 +16 = 48cm ．
23 ．(1)见解析 (2) 6
【分析】本题考查正方形的性质， 全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握正方形的性质 是解题的关键．
（1）利用正方形的性质，根据SAS 证明 △ADE≌△ABF ．
（2）根据全等三角形对应边相等，得出 BF = DE = 3，用勾股定理解 Rt△FCE 即可． 【详解】（1）证明：Q 四边形ABCD 是正方形，
:上ADE = 上ABC = 90° = 上ABF ，AD = AB ， 在 △ADE 和△ABF 中，
:△ADE≌△ABF (SAS) ．
（2）解：Q△ADE≌△ABF ，DE = 3 ， :BF = DE = 3 ，
: CF = 9 + 3 = 12 ， Q DC = BC = 9 ，
: CE = 9 - 3 = 6 ，
在Rt△FCE 中，EF = = = 6 ．
24 ．(1) A(1, -4) ，m = 5
(2)12
(3) x > 1
【分析】本题是两条直线相交问题， 考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象 上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
（1）先把把 A(n, -4)代入y1 = -2x - 2 中，解得n =1 ，则 A(1, -4)，然后把 A 点坐标代入 y2 = x - m 可求出 m；
（2）先确定 B 、C 的坐标，然后利用三角形面积公式求解．
（3）利用函数图象写出一次函数y1 = -2x - 2 的图象在直线y2 = x - m 下方所对应的自变量的
范围即可．
【详解】（1）解：把 A(n, -4)代入y1 = -2x - 2 中，得：-2n - 2 = -4 ，
解得n = 1 ，
: A(1, -4) ．
把A(1, -4) 代入y2 = x - m 中，得：-4 = 1 - m ， 解得m = 5 ．
（2）解：当 y1 = 0 时，-2x - 2 = 0 ，
解得x = -1 ，
:点B 的坐标为(-1, 0) ． 当y2 = 0 时，x - 5 = 0 ， 解得x = 5 ，
:点C 的坐标为(5, 0)．
:BC = 5 - (-1) = 6 ，
:△ABC 的面积
（3）解：根据图象可知，当 y1 < y2 时，x 的取值范围是x > 1 ．
25 ．(1)平均数为2.96 棵，中位数为 3 棵，众数为 3 棵
(2)408 人
【分析】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是 解决问题的关键．．
（1）先求出总人数，然后利用中位数、众数和平均数的计算方法求解即可；
（2）利用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：这次共调查了 6 +10 +18 +12 + 4 = 50 （人）． 中位数为第 25 、26 位学生种植的数量，
∵6 +1025, 6 +10 +18 26 ， :这组数据的中位数为 3 棵， ∵种植 3 棵的人数最多，
:众数为 3 棵．
平均数为
答：估计该校 600 名学生种植树木的数量在 3 棵及 3 棵以下的人数为 408 人．
26 ．
(2)3300
【分析】本题考查一次函数的实际应用：
（1）分 0 ≤ x ≤ 50 和x ≥ 50 ，两段，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出W 关于x 的一次函数，利用一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：当 x ≤ 50 时，
设函数解析式为y = k1x ，
将点(50, 2000) 代入得50k1 = 2000 ， 解得k1 = 40 ，
: y = 40x (x ≤ 50)；
当x > 50 时，设函数解析式为y = kx + b ， 将点(50, 2000) ，(90, 2800) 代入得
解得
: y = 20x +1000 (x > 50) ．
:y 与 x 之间的函数关系式为
（2）解：由题意可知 40 ≤ x ≤ 70 ，
当40 ≤ x ≤ 50 时，W = 40x + 30 (100 - x) = 10x + 3000 ， :10 > 0 ，
:W 随 x 的增大而增大，当x =40 时，W 最小，最小值为 3400，
当50 < x ≤ 70 时，W = 20x +1000 + 30 (100 - x) = -10x + 4000 ， : -10 < 0 ，
:W 随 x 的增大而减小，当x =70 时，W 最小，最小值为 3300， : 3400 > 3300 ，
:W 的最小值为 3300.
27 ．(1)15
(2)见解析
【分析】本题考查菱形的性质及判定， 矩形的性质及判定，勾股定理；解题关键是熟练掌握 特殊四边形的判定及性质，在线段长度计算中，通常可通过构造直角三角形，利用勾股定理 求解．
（1）由条件先证。ABCD 是菱形，再根据菱形性质及勾股定理，即可求解；
（2）由条件先证四边形OBEC 是矩形，再利用对角线相等即可证明；
（3）如图，过点 D 作DH丄 BC 于点H ，通过菱形 ABCD 的等面积法求出DH ，再利用勾 股定理求DP ．
【详解】（1）解：:四边形ABCD 是平行四边形，AB = AD ， :平行四边形ABCD 是菱形，
: 上AOB = 90° ,
: AB = = = 15 ．
（2）证明：: CE Ⅱ BD ，BE Ⅱ AC ， :四边形OBEC 是平行四边形．
由（1）可知四边形 ABCD 是菱形， : AD = BC, AC 丄 BD ，
: 上BOC = 90° ,
:平行四边形OBEC 是矩形， : OE = BC ，
: OE = AD ．
（3）如图，过点 D 作DH丄 BC 于点H ，
∵四边形ABCD 是菱形，
: BC = AB = 15 ，
∵菱形ABCD 的面积
:解得 ，
在Rt△ BDH 中，由勾股定理，得 由（2）可得四边形OBEC 是矩形，
在Rt△PDH 中