2024-2025学年甘肃省兰州市第八十一中学七年级下学期期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年甘肃省兰州市第八十一中学七年级下学期期末数学检测试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2024—2025 学年度第二学期期末考试卷
七年级 数学
本卷满分 120 分，考试时间 120 分钟．
一、选择题（本题共 11 小题，每小题 3 分，共 33 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．）
1 ．国产人工智能大模型 DeepSeek 横空出世，其以低成本、高性能的显著特点， 迅速吸引了 全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形 的是( )
A．
B．
C．
D．
2 ．二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现 象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏 季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜 降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则 抽到的节气在夏季的概率为( )
A ． B ． C ． D ．
3 ．很多人可能都知道蓝鲸是迄今发现的地球上最大的动物，却都不了解体积最小的动物， 世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多倍，它是被命名为 H39 的原生动物，它的最长直径 也不过才 0.0000003 米． 其中数据 0.0000003 用科学记数法表示为( )
A ．0.3 × 10-6 B ．3 × 10-6 C ．3 × 10-7 D ．3 × 107
4 ．下列运算错误的是( )
A ．a-2 . a3 = a B ．(a-3 )2 = a-6
C ．(-2a-1b)3 = -8a-3b3 D ．
5 ．如图，直线CD Ⅱ AB ，点 D 在射线AE 上．若上A = 35 ，则 上CDA 的度数是( )
A ．35 B ．55 C ．145 D ．125
6 ．点 P 是直线 l 外一点，A 、B 、C 为直线 l 上的三点， PA = 4cm ，PB = 5cm ，PC = 2cm ， 则点 P 到直线 l 的距离( )
A ．2cm B ．小于2cm C ．不大于2cm D ．4cm
7 ．某学习小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一 些数据（如下表）：
下列说法中错误的是( )
A ．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速
B ．在一定范围内，温度越高，声速越快
C ．当空气温度为20℃ 时，5 s 内声音可以传播1740m
D ．在一定范围内，温度每升高10℃,声速增加 6m / s
8 ．若一个三角形的两边长分别为 4 和7，则第三边长可能是( )
A ．6 B ．3 C ．2 D ．11
9 ．已知a = 8131 ，b = 2741 ，c = 961 ，则 a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a > b > c B ．a > c > b C ．c > b > a D ．b > c > a
10 ．如图 1，长为10cm ，宽为8cm 的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小 组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个 点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据：
温度
( ℃)
-20
-10
0
10
20
30
声速
(m / s)
318
324
330
336
342
348
由此可估计不规则图案的面积大约为( )
A ．32cm2 B ．24cm2 C ．16cm2 D ．8cm2
11．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘 方规律，即(a + b)n(n =0,1, 2,3,…)展开式系数的规律：
(a + b)0 = 1 1
(a + b)1 = a + b 1 1
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 1 2 1
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 1 3 3 1
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 1 4 6 4 1
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，(a + b)6 展开式的系数和是( )
A ．32 B ．64 C ．128 D ．256
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分．）
12 ．计算：-a (3b - 1) = ．
13 ．如图，已知 AB=CB，要使四边形 ABCD 成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你 添加的条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线）
14 ．一辆汽车油箱中现存油 50 升，若油从油箱中匀速流出，速度为0.3 升/分钟，则油箱中 剩余油量 Q（升）与流出时间 t（分钟）的关系式是 ．
15 ．如图，在面积为12 的△ABC 中，AB = AC ，BC = 6 ，AD ^ BC 于点D ，直线 EF 垂直 平分AB 交AB 于点E ，交BC 于点F ，P 为直线EF 上一动点，则 △PBD 周长的最小值为 ．
三．解答题（本题共 11 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．）
16 ．计算
17 ．计算：a2 . a4 + (-2a2 )3 + a8 ÷ a2 ．
18 ．先化简，再求值 其中a = 4 ， ．
19 ．观察图形，完成下面两个问题．
(1)画出格点△ABC （顶点均在格点上）关于直线 DE 对称的△A1B1C1 ．
(2)在DE 上画出点Q，使QA + QC 最小．
20 ．已知：如图所示， LABD 和上BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，上1 + 上2 = 90。．
(1)求证：AB ⅡCD ；
(2)试探究上2 与上3 的数量关系．
21．为促进学生健康成长，帮助家长解决按时接送学生困难的问题，认真落实全国教育大会 精神，某校结合自身情况，在开展中学生课后服务工作方面做了全面规划，并且落到实
处．在不加重学生课业负担的前提下，学校在托管时间内组织学生进行自主阅读、体育、艺
术、及其他一些有益身心健康的活动，学生根据自己的喜好，自主选择．学校随机抽取了部 分学生进行调查（抽取的学生都选择了一种自己喜爱的活动），下面是根据调查情况，得到 的两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题：
(1)求出本次调查中，随机抽取的学生人数；
(2)补全条形统计图；
(3)求出“其他”所对应的圆心角的度数；
(4)若该校学生总人数为 840 人，估计选择阅读的学生有多少人．
22 ．如图， △ABC 中，AB = AC ，AB 的垂直平分线交AC 于P 点．
(1)若上A = 35。，求 BPC 的度数；
(2)若AB = 5cm ，BC = 3cm ，求△PBC 的周长．
23 ．宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一 带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义．运行期间，一列动车 从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为 x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y 与 x 之间的关系，根据图象， 解答下列问题：
(1)西宁与西安相距__________千米，两车出发后__________小时相遇；
(2)普通列车到达终点共需__________小时，它的速度是__________千米/小时；
(3)求动车的速度？
24 ．如图，在三角形ABC 中，AB = AC ，点 B 、P、Q 三点在同一条直线上，且
上ABP = 上ACQ ，上BAC = 上PAQ = 62。．求上APQ 的度数．
25．（1）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式 的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐 含条件，是解题的有力手段之一．
例如，求x2 + 4x + 5的最小值．
解：原式= x2 + 4x + 4 + 1 = (x + 2)2 + 1
Q (x + 2)2 ≥ 0 ，:(x + 2)2 +1≥ 1 ，
: 当x = -2 时，原式取得最小值是 1，
请你仿照以上方法求出x2 + 6x - 4的最小值．
（2）非负性的含义是指大于或等于零．在现初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性与 平方的非负性，几个非负算式的和等于 0，只能是这几个式子的值均为 0．
请根据非负算式的性质解答下题：
已知 △ABC 的三边a ，b ，c 满足a2 - 6a + b2 - 8b + 25+ | c - 5 |= 0 ，求 △ABC 的周长．
26 ．概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为 “等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交 点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三 角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割 线”．
理解概念：
（1）如图 1，在 Rt△ABC 中，上ACB = 90。，CD 丄 AB ，请写出图中两对“等角三角形”； 概念应用：
（2）如图 2，在 △ABC 中，CD 为角平分线，上A = 40。，上B = 60。．求证：CD 为△ABC 的 等角分割线；
动手操作：
（3）在 △ABC 中，若上A = 50。，CD 是△ABC 的等角分割线，请求出所有可能的ACB 的 度数．
1 ．C
【分析】本题考查了轴对称图形的概念， 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称 图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解： 选项 A 、B 、D 均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合 的图形，所以不是轴对称图形；
选项 C 能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图 形；
故选：C．
2 ．D
【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式直接得出答案．
【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个， 则抽到的节气在夏季的概率为 ，
故选：D．
3 ．C
【分析】本题考查科学记数法定义．根据题意利用科学记数法表示方法即可得到本题答案． 【详解】解： 0.0000003 = 3 × 10-7 ，
故选：C．
4 ．D
【分析】本题考查了整式的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂， 熟练掌握各运算法则是解题的关键．
根据单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂的运算法则 逐项计算判断即可．
【详解】解:A 、a-2 . a3 = a ，计算正确，故此选项不符合题意；
B 、(a-3 )2 = a-6 ，计算正确，故此选项不符合题意；
C 、(-2a-1b)3 = -8a-3b3 ，计算正确，故此选项不符合题意；
D 、 原计算错误，故此选项符合题意； 故选:D．
5 ．A
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等求解即可．
【详解】∵ CD Ⅱ AB ，上A = 35O : 上CDA = 上A = 35O ．
故选：A．
6 ．C
【分析】此题考查了垂线段最短， 正确理解垂线段最短的性质是解题的关键．根据垂线段最 短，分析判断．
【详解】解：∵直线外一点到直线上所有的连接线段中，垂线段最短，PA = 4cm ，
PB = 5cm ，PC = 2cm ， :距离一定不大于2cm ， 故选：C．
7 ．C
【分析】本题主要考查了函数的表示方法和有理数的混合运算．根据图表里的信息，以及声 音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可．
【详解】解：A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速，正确，此选项不符合 题意；
B.根据数据表可知，在一定范围内，温度越高，声速越快，正确，此选项不符合题意；
C 、342 × 5 = 1710 (m)，当空气温度为20℃ 时，声音5s 可以传播1710m，故选项不符合题意； D 、∵ 324 - 318 = 6 (m/s) ，330 - 324 = 6 (m/s) ，336 - 330 = 6 (m/s) ，342 - 336 = 6 (m/s)，
348 - 342 = 6 (m/s)，
:当温度每升高10℃,声速增加 6m/s ，正确，此选项不符合题意；
故选：C．
8 ．A
【分析】本题考查三角形三边关系定理， 记住三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小 于第三边是解题的关键．根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第 三边即可判断．
【详解】解：设第三条边长为 x，根据三角形三边关系得：
7 - 4 < x < 7 + 4 ， 即3 < x < 11 ，
结合各选项数值可知，第三边长可能是 6， 故选：A．
9 ．A
【分析】本题主要考查幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方是解题的关键；由题意可得 a = 8131 = 3124 ，b = 2741 = 3123 ，c = 961 = 3122 ，然后问题可求解．
【详解】解：∵ a = 8131 ，b = 2741 ，c = 961 ，
: a = 8131 = 3124 ，b = 2741 = 3123 ，c = 961 = 3122 ， : a > b > c ；
故选 A．
10 ．B
【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率， 并在此基础上进行了题目创新，关键在 于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.3 附近，由此得实验的频率， 并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验 的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.3 ，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不 规则图案的面积与矩形面积的比为0.3 ，即可求得不规则图案的面积．
【详解】解： 由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在 0.3 ，于是把 0.3 作为概率．
设不规则图案的面积为xcm2 ，则有 解得：x = 24 ，
即不规则图案的面积为24cm2 ． 故选：B．
11 ．B
【分析】本题主要考查了数字类规律题，根据题意得到规律是解题的关键．
求出(a + b)0 ，(a + b)1 ， (a + b)2 ，(a + b)3 ，(a + b)4 ，可得到规律，即可求解． 【详解】解：(a + b)0 展开式的各项系数为 1，展开式的系数和是 1
(a + b)1 展开式的各项系数分别为 1 ，1；展开式的系数和是1+1 = 2 ；
(a + b)2 展开式的各项系数分别为 1 ，2 ，1；展开式的系数和是 1+ 2 +1 = 4 = 22 ；
(a + b)3 展开式的各项系数分别为 1 ，3 ，3 ，1；展开式的系数和是1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23 ；
(a + b)4 展开式的各项系数分别为 1 ，4 ，6 ，4 ，1；展开式的系数和是
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24 ；
……
: (a + b)6 展开式的系数和是26 = 64 ． 故选：B
12 ．-3ab + a
【分析】此题考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式法则求解即可．
【详解】解：-a (3b -1) = -3ab + a ． 故答案为：-3ab + a ．
13 ．∠ABD=∠CBD（或 AD=CD）
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：已知 AB = CB ，BD=BD，
要使四边形 ABCD 成为一个轴对称图形， 须使△ABD≌△CBD ，
①可通过 SAS 来证明，
即添加的条件是上ABD = 上CBD ； ②可通过 SSS 来证明，
即添加的条件是 AD=CD；
故答案为：上ABD = 上CBD 或 AD=CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
14 ．Q = 50 - 0.3t
【分析】此题考查了列函数关系式， 现存油量减去流出的油量即为油箱中剩余油量，据此列 函数关系式即可．
【详解】解：油箱中剩余油量 Q（升）与流出时间 t（分钟）的关系式是Q = 50 - 0.3t ， 故答案为：Q = 50 - 0.3t ．
15 ．7
【分析】如图，连接PA ．利用三角形的面积公式求出AD ，由 EF 垂直平分AB ，推出 PB = PA ，推出 PB + PD = PA + PD ≥ AD ，推出 PA + PD ≥ 4 ，即可得解．
【详解】解：如图，连接PA ，
: AB = AC ，BC = 6 ，AD 丄 BC ，
: △ABC 的面积为12 ，
: AD = 4 ，
: EF 垂直平分AB ， : PB = PA ，
: P 为直线EF 上一动点，
: PB + PD = PA + PD ≥ AD ， : PA + PD ≥ 4 ，
: BD + PB + PD = BD + PA + PD ≥ BD + AD = 3 + 4 = 7 ， : △PBD 周长的最小值为7 ．
故答案为：7 ．
16 ．0
【分析】本题考查有理数的乘方， 零指数幂，负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法 则．
先按照运算法则计算各部分，再进行加减计算即可． 解
= -1-1+ 2
= 0
17 ．-6a6
【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据积的乘方幂的乘方以及同底数幂的乘除法法则计 算，再合并即可．
【详解】解：a2 . a4 + (-2a2 )3 + a8 ÷ a2
= a6 - 8a6 + a6
= -6a6 ．
18 ．a + 3b ，2
【分析】本题主要考查了整式化简求值， 先根据整式混合运算法则进行计算，然后再代入数 据进行计算即可．
【详解】解： (4a - 3b)(a + 3b) - (a - 2b)(a + 2b) + 5b2 ÷ 3a
= (4a2 + 9ab - 9b2 - a2 + 4b2 + 5b2 ) ÷ 3a
= (3a2 + 9ab) ÷ 3a
= a + 3b ，
当 时，原式
19 ．(1)图见详解
(2)图见详解
【分析】（1）直接利用对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用两点之间线段最短进而得出答案．
【详解】（1）解：如图所示： △A1B1C1 即为所求；
（2）解：由轴对称的性质及两点之间线段最短可知连接 AC1 ，与直线 DE 交于点 Q，此时 QA + QC 最小，Q 点如图所示．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
20 ．(1)见解析
(2)∠2 + ∠3 = 90
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定， 角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定 条件是解题的关键．
（1）已知BE 、DE 平分 ABD 、上BDC ，且上1 + 上2 = 90 ，可得上ABD + 上BDC = 180 ，根 据同旁内角互补，可得两直线平行．
（2）先根据平行线的性质得到 上3 = 上ABF ，再由 BE 平分上ABD ，得到 上ABF = 上1，则
上1 = 上3 ，将等角代换，即可得出 上3 与上2 的数量关系． 【详解】（1）证明：Q BE 、DE 平分 ABD 、上BDC ，
: 上上ABD ，上上BDC ； Q 上1+ 上2 = 90，
:上ABD + 上BDC = 180 ；
: ABⅡCD ( 同旁内角互补，两直线平行)
（2）解：Q ABⅡCD ，
:上3= 上ABF ，
Q BE 平分上ABD ，
:上ABF = 上1，
:上1= 上3 ．
Q 上1+ 上2 = 90
:上2 + 上3 = 90 ．
21 ．(1)240 人
(2)见解析
(3) 36
(4)126 人
【分析】（1）根据喜爱体育的人数和所占的百分比，可以计算出本次被调查的学生有多少名；
（2）根据（1）的结论可得喜爱艺术的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据“其他”所占比例即可求出计算；
（4）用样本估计总体列式解答即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体， 解答本题的关键是明确题意，利用数 形结合的思想解答．
【详解】（1）解：随机抽取的学生人数为：108 ÷ 45% = 240 （人) ；
（2）解：喜爱艺术：240 - 36 -108 - 24 = 72 （人) ，
:补全的条形统计图如图所示：
（3）解：“其他”所对应的圆心角度数为
解
:选择“阅读”的学生大约有 126 人．
22 ．(1) 上BPC = 70O ；
(2)△PBC 的周长为8cm
【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质， 以及三角形的 外角定理，等腰三角形的性质．
（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AP = BP ，根据等边对等角 可得上A = 上ABP ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可 得解；
（2）求出△PBC 的周长= AB + BC ，代入数据计算即可得解． 【详解】（1）解Q AB 的垂直平分线交AC 于P 点，
: AP = BP ，
:上A = 上ABP = 35O ，
:上BPC = 上A + 上ABP = 35O + 35O = 70O ；
（2）解： △PBC 的周长= BP + PC + BC
= AP + PC + BC
= AC + BC
= AB + BC ，
Q AB = 5cm ，BC = 3cm ，
: △PBC 的周长= 5 + 3 = 8cm ．
23 ．(1)1260 ，3
(2)14 ，90
(3)330 千米/小时
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系， 从图象中有效的获取信息，是解题的关 键：
（1）直接从图象获取信息，作答即可；
（2）从函数图形获取信息，根据速度等于路程除以时间求出速度即可；
（3）根据两车 3 小时相遇，求出速度和，进而求出动车的速度即可．
【详解】（1）解：由图象可知：西宁与西安相距 1260 千米，两车出发 3 小时相遇； 故答案为：1260 ，3；
（2）由图象可知，普通列车到达终点共需 14 小时， 普通列车的速度为：1260 ÷14 = 90 千米/小时；
故答案为：14 ，90；
（3）1260 ÷ 3 - 90 = 330 （千米/小时） 即动车的速度为 330 千米/小时．
24 ．59O
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质， 等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三 角形的判定和性质是解题的关键；
证明△ABP ≌△ACQ（ASA），得出 AP = AQ ，根据等腰三角形的性质即可得出答案.
【详解】解：∵ 上BAC = 上PAQ ， : 上BAP = 上CAQ ，
∵ AB = AC ，上ABP = 上ACQ ， :△ABP ≌△ACQ（ASA），
: AP = AQ ，
: 上APQ = 上AQP ， ∵上PAQ = 62O ，
25 ．（1）-13 ；（2）12
【分析】此题考查了配方法的运用， 非负数的性质，完全平方公式．解题的关键是构建完全 平方式，根据非负数的性质解题．
（1）利用配方法得出最小值即可；
（2）利用非负数的性质得出 a 、b 、c 的值，进一步求得周长即可．
【详解】解：（1）x2 + 6x - 4
= x2 + 6x + 9 - 9 - 4
= (x + 3)2 -13 ， Q (x + 3)2 ≥ 0
:(x + 3)2 -13 ≥ -13
: 当x = -3 时，原式取得最小值是-13 ．
（2）Qa2 - 6a + b2 - 8b + 25+ | c - 5 |= 0 ，
: (a - 3)2 + (b - 4)2 + | c - 5 |= 0 ，
: a - 3 = 0 ，b - 4 = 0 ，c - 5 = 0 ， : a = 3 ，b = 4 ．c = 5 ，
:△ABC 的周长= 3 + 4 + 5 = 12 ．
26 ．（1） △ABC 与 △ACD ， △ABC 与△BCD ， △ACD 与△BCD 是“等角三角形”；（2）见解 析；（3）100O 或115O 或或
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理， 等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质 等等，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）根据垂线的定义和三角形内角和定理分别证明 上ACB = 上ADC = 上BDC = 90O ， ∠A = ∠BCD， ∠B = ∠ACD 即可得到结论；
（2）先利用三角形内角和定理求出 上ACB = 80O ，则由角平分线的性质得到
上ACD = 上DCB = 40O ，则 上ACD = 上A ，上DCB = 上A ，可证明 CD = DA ，再求出
上BDC = 80O ，得到 上BDC = 上ACB ，由此即可证明CD 为△ABC 的等角分割线；
（3）分当 △ACD 是等腰三角形，DA = DC 时，当 △ACD 是等腰三角形，DA = AC 时，当 △ACD 是等腰三角形，CD = AC 时，当△BCD 是等腰三角形，DC = BD 时，当△BCD 是等腰三角 形，DB = BC 时，五种情况根据三角形内角和定理以及三角形外角的性质和等边对等角进 行讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵在Rt△ABC 中，上ACB = 90O ，CD 丄 AB ， : 上ACB = 上ADC = 上BDC = 90O ，
: 上A + 上B = 上BCD + ∠B = ∠ACD +∠BCD = ∠A +∠ACD = 90O ， :∠A = ∠BCD， ∠B = ∠ACD ，
: △ABC 与 △ACD ， △ABC 与△BCD ， △ACD 与△BCD 是“等角三角形”；
（2）∵在△ABC 中，上A = 40O ， B=60O : 上ACB = 180O - 上A - 上B = 80O ，
∵ CD 为角平分线，
:上ACD = 上DCB = 上ACB = 40O ， : 上ACD = 上A ，上DCB = 上A ，
: CD = DA ，
在 △DBC 中，上DCB = 40O ， B=60O， : 上BDC = 180O - 上DCB - 上B = 80O ，
: 上BDC = 上ACB ，
∵ CD = DA ，上BDC = 上ACB ，上DCB = 上A ，上B = 上B ， : CD 为△ABC 的等角分割线；
（3）当 △ACD 是等腰三角形，DA = DC 时，如图，
则上ACD = 上A = 50O ，上BCD = 上A = 50O : 上ACB = 上ACD + ∠BCD = 100O ；
当 △ACD 是等腰三角形，DA = AC 时，如图，
则上ACD = 上ADC = 65O ，上BCD = 上A = 50O ， : 上ACB = 50O + 65O = 115O ；
当 △ACD 是等腰三角形，CD = AC 的情况不存在； 当△BCD 是等腰三角形，DC = BD 时，如图，
当△BCD 是等腰三角形，DB = BC 时，如图，
则上BDC = 上BCD ，
设上BDC = 上BCD = x ，则 上B = 180 - 2x ， 则上ACD = 上B = 180 - 2x ，
由题意得，180 - 2x + 50 = x ，
解得， ，
综上所述： ACB 的度数为100 或115 或或 ．