2024-2025学年福建省厦门市莲花中学下学期八年级数学期末考试卷

这是一份2024-2025学年福建省厦门市莲花中学下学期八年级数学期末考试卷，共50页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024-2025 学年（下）厦门市莲花中学初二数学期末考试卷
（试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟）
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1 ．下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A ． ·、i8 B ． C ． D ．
2 ．下列长度的三条线段不能构成直角三角形的是( )
A ．1 ，2 ， B ．3 ，4 ，5 C ．3 ，5 ，8 D ．1 ，1 ，
3 ．若关于 x 的一元二次方程-2x2 + 4x + k = 0 有两个相等的实数根，则 k 的值是( )
A ．2 B ．0 C ．-2 D ．-4
4 ．如图，在。ABCD 中，AB = 3，AD = 5 ， Ð ABC 的平分线交AD 于E ，交CD 的延长线于 点F ，则 DF = ( )
A ． 4 B ． 3 C ．2 D ． 1
5．学校篮球场上初三（1）班 5 名同学正在比赛，将场上五名队员的身高绘制成如图所示的 统计图，其中“△”是换人前五名队员的身高，“ ●”是换人后五名队员的身高，与换人前相比， 换人后场上队员的身高( )
A ．平均数不变，方差变小 B ．平均数不变，方差变大
C ．平均数变大，方差变小 D ．平均数变大，方差变大
6 ．用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD ,下列作法中错误的是( )
A ．（A） B ．（B） C ．（C） D ．（D）
7 ．在同一平面直角坐标系中，函数y= -kx 与y = kx + k 的图象大致是( )
B．
A．
C．
D．
8 ．如图，菱形ABCD 中，O 为BD 的中点，M 为BC 的中点，AM 丄 BC ，OM = 2 ，则AM 的长为( )
A ． B ． C ．2 D ．
9 ．如图，线段AB 是某小区甲乙两栋楼间的一条主干道，计划在绿化区域的点 C 处安装一 个监控装置，对主干道AB 进行监控，已知AC 丄 BC ，AC = 30m ，BC = 40m ，监控的半径 为30m ，保安队长小李提出监控不合理，存在盲区，则盲区的长为( )
A ．12m B ．14m C ．16m D ．20m
10 ．已知一次函数y = ax - a - b （ a ，b 是常数，a ≠ 0 ），若 a +b < 0 ，点P(2, m)(m < 0) 在 该函数图象上，则下列说法正确的是( )
A ．a < 0 且a > b B ．a < 0 且a < b
C ．a > 0 且a > b D ．a > 0 且a < b
二、填空题（共 6 小题，每题 4 分，共 24 分）
11 ．在平行四边形ABCD 中，如果上A = 120° ,那么 ÐD 的度数是 ．
12 ．若关于x 的一元二次方程x2 - 5x + k = 0的一根为 2，则 k 的值为 ．
13 ．如图，直线y = kx + 6 经过点(1, 4) ，则关于 x 的不等式kx + 6 < 4 的解集是 ．
14．如图，数轴上点 A 所表示的数为 1，点 B，C，D 是4× 4 的正方形网格上的格点，以点A 为圆心，AD 长为半径画圆交数轴于 M，N 两点，则 M 点所表示的数为 ．
15．如图，菱形ABCD 中，E 是对角线BD 上的一点，连接AE ，CE ，上ABC = 60° , 上BCE = 15° ,
若ED = 2 + 2 ，则 AD 的长为 ．
16 ．在平面直角坐标系中，一次函数y1 = mx + 2m - 1（ m ≠ 0 ）的图象为直线l ，在下列结论 中：
①无论m 取何值，直线l 一定经过某个定点；
②过点O 作OH 丄 l ，垂足为 H ，则 OH 的最大值是 ·、 ；
③若l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， △AOB 为等腰三角形，则m = 1；
④对于一次函数y2 = m (x - 3) +1（ m ≠ 0 ），无论x 取何值，始终有y1 < y2 ；
则其中正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
三、解答题（共 9 小题，共 86 分）
计算
（2）解方程：x2 + 4x -1 = 0 ．
18．如图，已知四边形ABCD 是矩形，连接对角线AC ，过点 B 作BE 丄 AC 于点 E，过点 D 作DF ^ AC 于点 F．求证：AE = CF ．
19 ．先化简，再求值 ÷ ,其中 a = + 2
20 ．4 月 23 日是“世界读书日”，某中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共 发放 50 份调查问卷，并全部收回，根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成表格如表：
请你根据以上信息，解答下列问题：
(1)被调查的学生月阅读册数的众数是_________，中位数是_________；
(2)求被调查的学生月平均阅读册数；
(3)若该中学有学生 1000 人，小莲估计四月份该校学生阅读课外书籍不少于 3 本的人数超过 600 人，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
21 ．小李在某网店选中 A、B 两款玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销 售价如下表：
月阅读册数（本）
1
2
3
4
5
被调查的学生数（人）
5
14
14
10
7
(1)第一次小李用 1100 元购进了A 、B 两款玩偶共 30 个，求这两款玩偶各购进的数量．
(2)第二次小李进货时，网店规定 A 款玩偶进货数量不得超过 B 款玩偶进货数量的一半．小 李计划购进这两款玩偶共 30 个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 请通过计算说明．
22 ．如图，在正方形ABCD 中，P 为BD 的延长线上一点，连接PA ，过点 P 作PE T PA ， 交BC 的延长线于点E ．
(1)尺规作图：在线段BP 上求作一点F ，使 7APB = 7PEF ；
(2)在（1）的条件下，求证 ．
23．
类别
A 款玩偶
B 款玩偶
进货价（元/个）
40
30
销售价（元/个）
56
45
主 题
关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题
问 题 情 境
随着轨道交通的便利，私家车的普及，网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以 往减少．近期有一条运营线路处于亏损运营状态．
问 题 探
（1）公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额 y（万元） （票价总收入减去运营成本）与乘客数量 x（万人）的关系可近似看作一次函数（图 像如图 1 所示），写出图 1 中点 A 和点 B 的实际意义．
24 ．如图，在正方形 ABCD 中， P 是边BC 上的一个动点（不与点B ， C 重合），连接DP ， 点E 在DP 上且AE = AB ，连接 BE 并延长，交CD 于点F ．
究
（2）汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨扭亏方案．在讨论中，有乘客 代表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理，降低运营成 本．客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能扭亏．
你认为图 2 和图 3 两个图示中，反映乘客代表意见的是_______，反映客运公司行政代 表意见的是_______．
问 题 解 决
汽车客运公司通过市场调研，发现该线路一周内每天的乘客数量如下表所示：
星期
一
二
三
四
五
六
日
x/万人
1.4
1.1
1.1
1.3
1.4
1.4
1.4
经过讨论，得到三种扭亏方案，具体如下：
方案 1：票价不变，将运营成本降低到 0.8 万元；
方案 2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到 0.8 万元；
方案 3：将运营成本降低到 0.9 万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到 0.75 万元．
你认为哪种方案更有利于汽车客运公司扭转亏损？请说明理由
(1)求上BED 的度数；
(2)连接CE ．
①当CE = CF 时，画出示意图，求证：A ，E ，C 三点在同一直线上； @当CE 丄 BF 时，画出示意图，求的值．
25 ．设直线 y = kx + 3(k ≠ 0) 与 x 轴，y 轴分别交于 A ，B 两点．设直线x =3 交 x 轴于点 D， 过点 B 作 AB 垂线交直线x =3 于点 P．
如图 1 ，当 时，求点 P 的坐标________；
(2)当k < 0 时，记点A(a,0) ，点 Q 是y 轴负半轴上一点，且OQ = OA，连接PQ ．试探究直 线PQ 是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
(3)动点 M 在直线 x=3 上，从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向上运动，连MB ．在 运动过程中，直线MB 交 x 轴于点 N，求出与 的数量关系．
1 ．B
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式，结合选项求解即可．
【详解】A ．、 = 2 、 ，此选项错误；
B ． ·、是最简二次根式，此选项正确；
C ． = 2 ，此选项错误；
D ． 此选项错误； 故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念， 对各选项进行判断．
2 ．C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理判定三角形的形状是解 题的关键．根据勾股定理的逆定理求解作答即可．
解：A 中 三条线段能构成直角三角形，故不符合要求；
B 中32 + 42 = 25 = 52 ，三条线段能构成直角三角形，故不符合要求；
C 中32 + 52 = 34 ≠ 82 = 64 ，三条线段不能构成直角三角形，故符合要求；
D 中 三条线段能构成直角三角形，故不符合要求； 故选：C．
3 ．C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键．当判别式
Δ = b2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数根．代入方程系数计算判别式并解方程即可． 【详解】解：∵方程-2x2 + 4x + k = 0 有两个相等的实数根，
:Δ = b2 - 4ac = 42 - 4× (-2)k = 16 + 8k = 0 ， : k = -2 ．
故选：C．
4 ．C
【分析】根据平行四边形的性质得到 ABⅡCD，ADⅡBC，结合角平分线的性质推出 ∠AEB=∠ABE=∠F=∠DEF，得到 AE=AB=3，即可求出 DE=DF=AD-AE=5-3=2．
【详解】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
:ABⅡCD，ADⅡBC，
:∠ABF=∠F，∠AEB=∠CBE， ∵BE 平分∠ABC，
:∠ABE=∠CBE，
:∠AEB=∠ABE=∠F=∠DEF， :AE=AB=3，
:DF=DE=AD-AE=5-3=2， 故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质， 角平分线的计算，熟练掌握平行四边形的性质是解 题的关键．
5 ．B
【分析】分别求出换人前后的平均数和方差进行比较即可．
【详解】解：换人前平均身高为
换人后平均身高为 换人前的方差为：
换人前的方差为：
S22 = (172 -176.4)2 + 2(176 -176.4)2 + (178 -176.4)2 + (180 -176.4)2 = 7.04 ， ∵ 176.4 = 176.4 ，4.24 < 7.04 ，
:平均数不变，方差变大，故 B 正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方差和平均数的计算， 解题的关键是熟练掌握方差的计算公式，一 般地设 n 个数据， x1 ，x2 ， … xn 的平均数为x ，则方差
6 ．C
【详解】分析： 由作图，可以证明 A 、B 、D 中四边形 ABCD 是菱形，C 中 ABCD 是平行四 边形，即可得到结论．
详解：A ．“AC 是线段 BD 的垂直平分线，:BO=OD ，:匕AOD=匕COB=90° .
“ADⅡBC，:匕ADB=匕DBC，:△AOD≥△COB，:AO=OC，:四边形 ABCD 是菱形．故 A 正确；
B ．由作图可知：AD=AB=BC．
“ADⅡBC，:四边形 ABCD 是平行四边形．
“AD=AB ，:四边形 ABCD 是菱形．故 B 正确；
C．由作图可知 AB、CD 是角平分线，可以得到 ABCD 是平行四边形，不能得到ABCD 是菱形．故 C 错误；
D ．如图，“AE=AF，AG=AG ，EG=FG ，:△AEG≥△AFG ，:匕EAG=匕FAG． “ADⅡBC，:匕DAC=匕ACB ，:匕FAG=匕ACB ，:AB=BC，同理匕DCA=匕BCA ， :匕BAC=匕DCA ，:ABⅡDC．
“ADⅡBC，:四边形 ABCD 是平行四边形．
“AB=BC，:四边形 ABCD 是菱形．故 D 正确．
故选 C．
点睛：本题考查了菱形的判定与平行四边形的性质．解题的关键是弄懂每个图形是 如何作图的．
7 ．B
【分析】本题考查了一次函数的图象，分k > 0 和k < 0 两种情况，讨论出直线经过的象限， 再作出选择即可．
【详解】解： 当k > 0 时，y = kx + k 的图象过一、二、三象限； y = -kx 的图象过二、四象限； 当k < 0 时，y = kx + k 的图象过二、三、四象限；y = -kx 的图象过一、三象限；
可见，符合条件的只有 B．
故选：B．
8 ．C
【分析】本题考查了菱形的性质， 中位线定理，勾股定理，解题关键是熟悉上述知识，并能 熟练运用求解．
先利用中位线定理求出菱形的边DC 的长，再利用菱形的性质求得AB ，从而可得 BM ，再 利用勾股定理求得AM 的长．
【详解】解：∵O 为BD 的中点，M 为BC 的中点， : MO 是 △BCD 的中位线 ，
: DC = 2OM = 4 ，
∵四边形ABCD 是菱形， : AB = BC = CD = 4 ，
∵ AM 丄 BC ，
故选：C ．
9 ．B
【分析】本题考查勾股定理的运用， 等腰三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握勾股定理 是解题的关键．设为DB 盲区的长，过点C 作CE ^ AB 于E ，先由勾股定理求出AB = 50m ， 再根据等面积法求出CE = 24m ，然后在Rt△ACE 中，由勾股定理求得AE = 18m ，根据等腰 三角形的性质得到AD = 2AE = 36m ，即可由 DB = AB - AD 求解．
【详解】解：如图，设为 DB 盲区的长，过点C 作CE ^ AB 于E ，
Q AC 丄 BC ，AC = 30m ，BC = 40m ，
: CE = 24m ，
:在Rt△ACE 中，由勾股定理得：AE = = = 18m ， Q监控的半径为30m ，
: AC = DC = 30m ，
Q CE ^ AB ，
: AD = 2AE = 36m ，
: DB = AB - AD = 50 - 36 = 14m ， 故选：B．
10 ．A
【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本 题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到m = a - b < 0 ，结合
a + b < 0 即可推导参数关系，进而判断选项．
【详解】解：点P(2, m) 在函数图象上，代入y = ax - a - b 得：
m = 2a - a - b = a - b ∵ m < 0 ，
: a- b < 0 ，即 a < b ， ∵ a + b < 0 ，即b < -a ， : a < b < -a
: a < 0 ，| a |>| b | ．
故选：A ．
11 ．60°
【分析】本题考查平行四边形的性质， 根据平行四边形的对边平行结合平行线的性质，进行 求解即可．
【详解】解：∵平行四边形ABCD ， : AB∥CD ，
: 上A + 上D = 180° , ∵ 上A = 120° ,
: 上D = 60° ;
故答案为：60° .
12 ．6
【分析】本题考查一元二次方程的解，把x =2 代入方程，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x2 - 5x + k = 0 的一根为 2，
: 22 - 5× 2 + k = 0 ， : k = 6 ；
故答案为：6．
13 ．x > 1
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，写出函数图象在y = 4 下方所对应 的自变量的范围即可．
【详解】解：根据函数图象，直线 y = kx + 6 经过点(1, 4) ，则关于 x 的不等式kx + 6 < 4 的解 集是x > 1
故答案为：x > 1 ．
14 ．1-
【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键． 直接利用勾股定理得出AD 的长，再利用数轴得出答案．
【详解】解：: OD 丄 x 轴，
: 上AOD = 90° ,
:△AOD 是直角三角形， : OA = 1 ，OD = 3，
:M 点所表示的数为：1- ．
故答案为： ．
15 ．4
【分析】根据菱形的性质以及已知条件，可得 △ABC 是等边三角形，可得 进 而根据上BCE = 15° ,可得 上ECO = 45° ,进而可得 OC = OE ，根据 DE = OE + OD ，
即可求得AD ．
【详解】解：Q 四边形ABCD 是菱形，
: AC 丄 BD ，AO = OC, BO = OD, AD = BC ，
Q 上ABC = 60° ,
: △ABC 是等边三角形，上上ABC = 30°
: 上ACB = 上BAC = 60° ,
在Rt△BOC 中，上上ABC = 30° ,
Q 上BCE = 15° ,
:上ECO = 上ACB - 上BCE = 60° -15° = 45° , Q AC ^ BD ，
:上CEO = 45° ,
: OC = OE ，
Q DE = OE + OD = OE + OB = 2 + 2 ，
:BC = 4 ，
: AD = BC = 4 ．
故答案为:4．
【点睛】本题考查了菱形的性质， 等边三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股 定理，综合运用以上知识是解题的关键．
16 ．①②##②①
【分析】本题考一次函数与一元一次不等式，等腰三角形的性质，充分掌握一次函数的图象 和性质是解答本题的关键．根据一次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想分 别判断即可．
【详解】解：一次函数y1 = mx + 2m -1 = m(x +2) -1， 当x = -2 时，y = -1，
: 函数图象过定点(-2, -1) ，
: ①正确；
Q OH 丄 l ，垂足为 H ， :图象过定点(-2,-1) ，
: 当点H 与点(-2,-1) 重合时，OH 最大， 此时
: ②正确；
在y1 = m(x +2) -1 中，当x = 0 时，y = 2m -1，
当y = 0 时 ，
Q 上AOB = 90° , VAOB 是等腰三角形， : OA = OB ，
或 ， :m = ±1或 不合题意，舍去）， : ③错误；
一次函数y1 = m(x +2) -1(m ≠ 0) 的图象过定点(-2,-1) ， 一次函数y2 = m(x - 3) + 1(m ≠ 0) 过定点(3,1) ，
:两个一次函数图象平行，
:当m > 0 时，如图，y1 > y2
当m < 0 时，如图，
则：y1 < y2
: ④错误．
故答案为：①②.
17 ．（1）2 -1；（2）x1 = -2 + , x2 = -2 -
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程：
（1）先进行乘除运算，化简二次根式，再进行合并即可；
（2）配方法，解方程即可．
解： 原式
（2）x2 + 4x -1 = 0
x2 + 4x = 1 ，
x2 + 4x + 4 = 1+ 4 ， (x + 2)2 = 5 ，
18 ．见详解
【分析】本题考查了矩形的性质， 全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题 的关键．先根据DF ^ AC ，BE 丄 AC ，得上CFD = 上AEB = 90° , 再结合四边形ABCD 是矩 形，证明 △BAE ≌△DCF ，即可作答．
【详解】: DF ^ AC ，BE 丄 AC ，
: 上CFD = 上AEB = 90° , :四边形ABCD 是矩形， : AB = CD ，AB∥CD ，
: 上BAE = 上DCF ，
: △BAE ≌△DCF ， : AE = CF ．
a 3 + 2
19 ． ，
a - 2 3
【分析】本题考查的是分式的化简求值， 分母有理化，先计算括号内分式的加法运算，再计
算分式的除法运算，再把a = + 2 代入计算即可．
解
当 时，
原式
20 ．(1)2 和 3 ；3
(2)被调查的学生月平均阅读册数为 3 册
(3)小莲的说法正确，理由见解析
【分析】本题考查求中位数，众数，平均数，利用样本估算总体，熟练掌握中位数，众数， 平均数的计算方法，是解题的关键：
（1）根据众数和中位数的确定方法进行求解即可；
（2）根据平均数的计算方法进行求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【详解】（1）解：由表格可知，月阅读册数为 2 册和 3 册的人数最多，故众数为 2 和 3； 数据排序后，第 25 和第 26 个数据均为 3，故中位数为 3；
（册）； 答：被调查的学生月平均阅读册数为 3 册；
（3）小莲的说法正确，理由如下：
故小莲的说法正确．
21 ．(1)20 个，10 个
(2)A 款玩偶购进 10 个、B 款玩偶购进 20 个能获得最大利润，最大利润是 460 元；说明见解 析
【分析】（1）设 A 款玩偶购进 x 个，B 款玩偶购进y 个．根据“第一次小李用 1100 元购进了 A 、B 两款玩偶共 30 个”列方程组，解方程组即可；
（2）设 A 款玩偶购进 a 个，则 B 款玩偶购进(30-a)个．
【详解】（1）解：设 A 款玩偶购进 x 个，B 款玩偶购进y 个． 根据题意，得
解得
答：A 款玩偶购进 20 个，B 款玩偶购进 10 个．
（2）解：设 A 款玩偶购进 a 个，则 B 款玩偶购进(30-a)个．
获得利润为：(56-40)a+(45-30)(30-a)=a+450．
由题意，得 解得 a≤10．
:当 a=10 时，获得利润最大，最大利润为 10+450=460(元)．
:B 款玩偶为：30-10=20(个)．
答：A 款玩偶购进 10 个、B 款玩偶购进 20 个能获得最大利润，最大利润是 460 元．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，读懂题意，正确列出方 程组和一元一次不等式是解题的关键．
22 ．(1)图见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性 质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关 键．
（1）根据尺规作一个角等于已知角的方法，作图即可；
（2）在EF 上取一点G ，使得FG = FP ，连接BG 、PG ，证明 △BFG≌△EFP (SAS) ，得出
BG = PE ，上PEF = 上GBF ，从而推出 AB Ⅱ PG ，证明 APⅡBG ，得出四边形 ABGP 是平行 四边形，由平行四边形的性质可得 AP = BG ，连接 AC 交 BD 于 O ，证明 △AOP≌△PFE (AAS)， 得出OA = PF ，即可得证．
【详解】（1）解：由题意，作图如下：
（2）如图，在 EF 上取一点G ，使得FG = FP ，连接 BG 、PG ，
,
∵ PE 丄 PA ，
: 上APB + 上EPF = 90° ,
: 上PEF + 上EPF = 90° , : EF 丄 BP ，
: 上BFE = 90° ,
∵四边形ABCD 为正方形， : 上FBC = 上ABD = 45° , : BF = EF ，
在 △BFG 和 △EFP中，
ï
ìBF = EF
í上BFG = 上EFP ， ïlFG = FP
: △BFG≌△EFP (SAS)，
: BG = PE ，上PEF = 上GBF ，
∵ 上ABD = 上FPG = 45° ,
: AB Ⅱ PG ，
∵ AP 丄 PE ，
: 上APE = 上APF + 上FPE = 上FPE + 上PEF = 90° , : 上GBF = 上APF = 上PEF ，
: APⅡBG ，
:四边形ABGP 是平行四边形，
: AP = BG ，
: AP = PE ，
连接AC 交BD 于O ，
,
∵四边形ABCD 是正方形，
: 上AOP = 90° = 上 ∵ 上APO = 90° - 上OPE = 上PEF ，AP = PE ， : △AOP≌△PFE (AAS)，
: OA = PF ，
即
23 ．（1）点A 的实际意义是客运公司的运营成本为 1 万元，点B 的实际意义是乘客有 1.5 万 人时客运公司利润为 0 元；（2）图 3，图 2；（3）方案 3 更有利于汽车客运公司扭转亏损， 理由见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出相关的函数关系式．
（1）根据图像可得 A ，B 的实际意义；
（2）根据乘客代表意见和客运公司行政代表意见，结合图像可得答案；
（3）分别求出 3 中方案的利润，再比较即可．
【详解】解：（1）点A 的实际意义是客运公司的运营成本为 1 万元，点B 的实际意义是乘客
有 1.5 万人时客运公司利润为 0 元；
（2）观察图像可知，反映乘客代表意见的是图 3，反映客运公司行政代表意见的是图 2； 故答案为：图 3，图 2；
（3）该线路一周内乘客数量为1.4 + 1.1 + 1.1 + 1.3 + 1.4 + 1.4 + 1.4 = 9.1（万人），每天乘客数量平 均为9.1÷ 7 = 1.3 （万人），
设原来y 与x 的函数关系式为y = kx + b ，把(0, -1) ，(1.5, 0) 代入， 得 解得 ，
: 原来y 与x 的函数关系式为
方案 1：票价不变，将运营成本降低到 0.8 万元，此时y 与x 的函数关系式为 ， 令x = 1.3 得
:客运公司平均每天利润为 万元；
方案 2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到 0.8 万元，此时y = 0.8x -1 ， 令x = 1.3 得y = 0.8 × 1.3 -1 = 0.04 ，
:客运公司平均每天利润为 0.04 万元；
方案 3：将运营成本降低到 0.9 万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到 0.75 万元，
此时y = 0.75x - 0.9 ，
令x = 1.3 得y = 0.75 × 1.3 - 0.9 = 0.075 ，
:客运公司每天平均利润为 0.075 万元；
:方案 3 更有利于汽车客运公司扭转亏损．
24 ．(1)135°
(2)①图见解析，证明见解析@图见解析，2
【分析】（1）由正方形的性质得 AB = AD, 上BAD = 90° ,则 AE = AD = AB ，所以
上AEB = 上ABE, 上AED = 上ADE ，则 2上AEB + 2上AED + 90° = 360° ,所以
上BED = 上AEB + 上AED = 135° ;
（2）①由CE = CF 得到上CEF = 上CFE ，根据平行线的性质得到 上CFE = 上ABE = 上AEB ， 推出上CEF = 上AEB ，进而得到上BEP + 上CEP + 上AEB = 180° , 即可得到结论 A，E，C 三点
在同一直线上；
②作作AG 丄 BE 于点 G ，PH 丄 BF 于点 H，则 GB = GE ，而 CE 丄 BF ，所以
上BEC = 上AGB = 上ABC = 90° ,则 上CBE = 上BAG = 90° - 上ABG ，可证明
△BEC≌△AGB ，得 可证 明 上CEP = 上BEC - 上HEP = 45° = 上CEP ， 得到PE 平分 Ð BEC ，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到
可得出答案．
【详解】（1）解：:四边形ABCD 是正方形，AE = AB ， : AB = AD, 上BAD = 90° ,
: AE = AD = AB ，
: 上AEB = 上ABE, 上AED = 上ADE ，
: 上AEB + 上ABE + 上AED + 上ADE + 上BAD = 360° , : 2上AEB + 2上AED + 90° = 360°
:7AEB + 7AED = 135°
: 上BED = 上AEB + 上AED = 135° ;
（2）解：①由题意，画图如下：
: CE = CF ，
: 上CEF = 上CFE ， :正方形ABCD ， : CDⅡAB
: 上CFE = 上ABE = 上AEB ， : 上CEF = 上AEB ，
: 上BEP + 上CEP + 上CEF = 180° ,
: 上BEP + 上CEP + 上AEB = 180° , :A ，E，C 三点在同一直线上；
②如图，作AG 丄 BE 于点 G ，PH 丄 BF 于点 H，则 GB = GE ，
: CE 丄 BF ，
: 上BEC = 上AGB = 上ABC = 90° : 上CBE = 上BAG = 90° - 上ABG : BC = AB
: △BEC≌△AGB (AAS)
: 上PHB = 上PHE = 90°
: 上HEP = 180° - 上BED = 180° -135° = 45° : 上CEP = 上BEC - 上HEP = 45° = 上CEP ， : PE 平分 Ð BEC ，
: P 到BE, CE 的距离相等，均为PH的长，
【点睛】此题是四边形综合题， 考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形 的判定与性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质， 数形结合与分类 讨论数学思想的运用等知识与方法．
25 ．(1) (3，5)
(2)直线PQ 经过定点 理由见解析
当t < 3 时 当t > 3 时
【分析】（1）先求得A(2，0) ，得出OA = 2 ，在y 轴正半轴上取点E(0，5) ，过点 E 作EF 丄 y
轴，使EF = OB = 3 ，且点 F 在第一象限，利用待定系数法得直线BF 的解析式为 即可解答；
（2）过点 P 作PK 丄 y 轴于 K，可证得 △BPK≌△ABO (ASA ) ，得出
BK = OA = a, OK = 3 + a , 即P(3，3 + a ) ，由题意得Q(0，- a )，运用待定系数法可得直线PQ 的 解析式为 由于 时 故直线PQ 经过定点 ；
（3）设点 M 的运动时间为 t 秒，则M(3，t ) ，运用待定系数法可得直线 BM 的解析式为 可得 ，当 t < 3 时，点 N 在点 D 的右侧，可得
故 ；当 t > 3 时，点 N 在点 D 的左侧，可得
解：当 时 当 x = 0 时， y = 3 ，
: B (0，3)，
: OB = 3 ，
当y = 0 时 解得：x = 2 ， : A(2，0)，
: OA = 2 ，
如图 1：在y 轴正半轴上取点E(0，5) ，过点 E 作EF 丄 y 轴，使EF = OB = 3 ，且点 F 在第一 象限，
: F (3，5)，
设直线BF 的解析式为y = mx + n ,把F(3，5) ，B (0，3)代入， 得： 解得： ，
:直线BF 的解析式为 ， 当x = 3 时 ， : P (3，5)．
故答案为：(3，5) ．
（2）解：直线PQ 经过定点 理由如下：
:直线y = kx + 3 与 x 轴交于点A(a, 0) ， : ka + 3 = 0 ，
当 x = 0 时， y = 3 ， : B (0，3)，
如图 2：过点 P 作PK 丄 y 轴于 K，
: BP 丄 AB ，
: 上PBK + 上ABO = 90° , : 上PKB = 上AOB = 90° ,
: 上PBK + 上BPK = 90° , : 上BPK = 上ABO ，
由题意知点 P 的横坐标为 3， : PK = 3 ，
: PK = OB ，
: △BPK≌△ABO (ASA ) ，
: BK = OA = a , : OK = 3 + a , : P (3，3 + a ) ，
:点 Q 是y 轴负半轴上一点，且OQ = OA ， : Q (0，- a )，
设直线PQ 的解析式为y = ex + f ,把P(3，3 + a )，Q (0，- a )代入， 得： 解得
:直线PQ 的解析式为
: x = 3 时，y = 3 + 2a × 3 - a = 3 ，
2 3 2 2
( 3 3 ö
:直线 PQ 经过定点çè2 , 2 ,÷ .
（3）解：如图，OB=OD=3，设点 M 的运动时间为 t 秒，则M(3，t ) ， 设直线BM 的解析式为y = kx + 3，则 3k + 3 = t ,
当y = 0 时 解得
如图：当t < 3 时，点 N 在点 D 的右侧，
9 3t
: DN = ON - OD = - 3 = ，
3 - t 3 - t
又: DM = t , : = ,
: = - , 即： 如图：当t > 3 时，点 N 在点 D 的左侧，
即
综上所述，当t < 3 时 当t > 3 时
【点睛】本题主要考查了待定系数法、一次函数的图象和性质、一次函数与坐标轴的交点、 全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握一次函数的图象及性质，构造全等三角形解题
是关键．