2024-2025学年福建省厦门市第九中学下学期八年级数学期末试卷

这是一份2024-2025学年福建省厦门市第九中学下学期八年级数学期末试卷，共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
厦门市第九中学八年级
2024—2025 学年第二学期期末考试卷
数学
（试卷总分：150 分 答卷时间：120 分钟）
注意事项：
1 ．全卷三大题，25 小题，试卷共 7 页，另有答题卡．
2 ．答案必须写在答题卡上，否则不能得分．
3 ．可以直接使用 2B 铅笔作图．
一、选择题（共 10 小题，共 40 分）
1 ．若二次根式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是( )
A ．x ≥ 1 B ．x > 1 C ．x ≤ 1 D ．x ≠ 1
2 ．下列计算正确的是( )
A ． + = B ．
C ． D ． ÷ = 2
3 ．下列各组数中，能组成直角三角形三边的是( )
A ．2 ，3 ，4 B ．3 ，4 ，6 C ．4 ，6 ，8 D ．6 ，8 ，10
4 ．某校 5 名同学在歌唱比赛中的成绩（单位：分）分别为 86 ，90 ，95 ，90 ，88，这组数据 的中位数是( )
A ．86 B ．88 C ．90 D ．95
5 ．一次函数y= -2x -1 的图象大致是( )
A ． B ．
C．
D．
6．如图，长方形OABC 的边OA 长为 2，边AB 长为 1 ，OA 在数轴上，以原点 O 为圆心，对 角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )
A ． B ．2 C ． D ．2.5
7 ．如图，在 △ABC 中，DE 是中位线，点 F 在DE 上，上AFB = 90° ,若 AB = 7, BC = 13， 则EF 的长为( )
A ．1.5 B ．2.5 C ．3 D ．4
8．某机械厂七月份生产零件 50 万个，八、九两月共生产 146 万个，设该厂八、九月份平均 每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是( )
A ．50(1+ x)2 = 146 B ．50(1 + x) + 50(1 + 2x) = 146
C ．50 + 50(1+ x) + 50(1+ x)2 = 146 D ．50(1+ x) + 50(1+ x)2 = 146
9 ．阅读图中信息，其中说法正确的是( )
A ．琳琳对 B ．梅梅对 C ．琳琳与梅梅都对 D ．琳琳与梅梅都不对
10．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理， 是人类早期发现并证明的重要数 学定理之一、如图，在 Rt△ABC 中，上BAC = 90° ,以 Rt△ABC 各边为边向外作正方形
ABFG 、正方形ACHI 、正方形BCDE ．连接 GI 、EF 、DH ，若 则 这个六边形EDHIGF 的面积为( )
A ．28 B ．26 C ．32 D ．30
二、填空题（共 6 小题，第 11 题（1）1 分，（2）1 分，（3）2 分，其余每空 4 分，共 24 分）
11 ．化简：（1） = ；（2） 6 - 3 = ．
12 ．一组数据 5 ，5 ，5 ，5 ，5 的方差是 ．
13 ．如图，在。ABCD 中，AE 丄 BC ，垂足为 E ，若 上C = 150° ,则 上BAE = ．
14 ．如图是一次函数y = ax + b 的图象，则关于 x 的不等式ax + b < 0 的解集为 ．
15．作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变了我们获取快 递的方式．现在一条笔直的公路旁依次有A, C, B 三个快递驿站（如图1，AC > BC ），甲、乙 两架无人机分别从A, B 两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输包裹至快递驿站
C ．已知甲、乙两架无人机到驿站C 的距离S1, S2 (km) 与飞行时间t (min ) 之间的函数关系如 图 2 所示．若甲、乙两架无人机同时到达驿站C ，则驿站 B 离驿站C 的距离是 ．
16 ．如图，正方形ABCD 的边长为 a，点 E 在边AB 上运动（不与点A，B 重合），
上DAM = 45° ,点 F 在射线AM上，且AF = BE，CF 与AD 相交于点 G，连接
EC、EF、EG ．则下列结论：① 上ECF = 45° , ②△AEG 的周长为 ③
BE2 + DG2 = EG2 ；④当时，G 是线段AD 的中点，其中正确的结论是 ．
三、解答题（共 9 小题，共 86 分）
17 ．（1）计算：(3 + )(3 - )- ( + ) × .
（2）解方程：x2 - 4x - 5 = 0 ．
18 ．如图，在。ABCD 中，点 F 是 AD 中点，连接 CF 并延长交BA 的延长线于点 E ．求证：
AB = AE ．
19 ．先化简，后求值 其中 ．
20 ．如图，一次函数y = kx + 3 的图象经过点M(-2,1)．
(1)求这个一次函数的表达式．
(2)在所给的坐标系中，画出一次函数的图象．
21 ．为充分展示中学生阳光自信的精神风貌、扎实的科技和数字素养功底，某市开展了“学 生机器人”比赛，比赛分为初中和高中组．各参赛队伍进行编程、调试、搭建和讲解四项比 赛，各项比赛成绩均为整数，且满分均为 10 分．
信息一：
初中组 A 队伍的各项成绩如下表所示：
信息二：
为了解学生搭建项目比赛情况，现从初中和高中组各随机抽取 20 支队伍搭建项目的成绩作 为样本进行整理，并绘制统计图表（不完整），信息如下：
编程
调试
搭建
讲解
A 队伍成绩/分
8
8
7
5
初中和高中组备 20 支队伍搭建项目的成绩分析统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a = ______ ，b = ______，搭建项目成绩更稳定的是______（填“初中组”或“高中 组”）；
(2)比赛组委会规定：将编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照3 :1: 4 : 2 的比，确定各支 队伍比赛的平均成绩，求 A 队的平均成绩；
(3)本次比赛高中组共 60 支队伍参赛，若认定搭建项目的成绩不低于 9 分为优秀，根据样本 数据，估计本次比赛高中组共有多少支队伍在搭建项目中获得优秀．
22 ．如图，四边形ABCD 是矩形（AD > AB ）．
(1)尺规作图：作以AC 为对角线，且点E 、F 分别在BC 、AD 上的菱形AECF ；（要求：不 写作法，保留作图痕迹）
(2)若AB = 2 ，AD = 4 ，求菱形 AECF 的面积．
23 ．随着电子商务的蓬勃发展，物流行业竞争日益激烈．某市有两家物流公司 A 和 B，为了 吸引客户，各自推出了不同的运费方案．物流 A 公司采用“基础运费+ 超程单价”的收费模式， 而物流 B 公司则推出“分段优惠”政策．以下是两家公司的具体收费标准和两次运输记录：
物流 A 公司的收费标准：基础运费覆盖0 - 300 公里，超出300 公里的部分按每公里单价收
平均数
中位数
众数
方差
初中组
8.15
8
a
2.23
高中组
8.4
b
10
2.44
费．
运输记录如下：运输货物甲：货物从厦门运往宁德，距离 340 公里，总运费900 元
运输货物乙：货物从厦门运往汕尾，距离 420 公里，总运费 1140 元
物流 B 公司的收费标准：0 - 500 公里，统一价 1200 元；超 500 公里后，每公里加收3.2 元． 问题：
(1)根据物流 A 公司的两次运输记录，求该物流 A 公司的基础运费和超程单价（超过 300 公 里后每公里运费），请列方程（组）解答．
(2)某客户需要运送一批货物，运输距离为d 公里．请根据两家公司的收费标准，分析该客 户选择哪家物流公司更合算，并给出具体的决策依据．
24 ．已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB = AC ．
(1)如图 1 ，AB ^ AC ，过点C 作CF 丄 BD 于点F ，连接AF ，过点 A 作AE 丄 AF 交BD 于点 E ，求证：OE = CF + OF ．
(2)如图 2，若 上BAC = 60° , AB = 12 ，点 P 是直线BD 上的一个动点，上PAP¢ = 60° 且 AP = AP¢ ,连接DP ¢ ,当 AP¢ + DP¢ 的值最小时，求AP 的长．
25 ．如图，已知A(a, 0), B (m + 6, m + 2), C (m, m + 2), AB Ⅱ OC ，直线y = -x + n 经过A, C 两 点，另有一条直线l：y = kx + t ．
(1)判断四边形OABC 的形状，并证明．
(2)当t = 3 ，且l 丄 AC 时，直线l 与直线AC 的交点坐标为______；
当 时．
。若直线l 与四边形OABC 相交，则t 的取值范围是______；若直线l 平分四边形OABC 的面
积，则t = ______；
②若直线l 与直线AC 交于点D, DE 丄 x 轴，垂足为E , DF 丄 y 轴，垂足为F ，记
当-9 ≤ t < 9 时，求w 的取值范围．
1 ．A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于 0 ．根据二次根式有意义的条件计算即可．
【详解】解：∵ 、在实数范围内有意义，
: x -1≥ 0 ， : x ≥ 1，
故选：A．
2 ．C
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：A 、 与 3 不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B 、 原式计算错误，不符合题意；
C 、 × = ，原式计算正确，符合题意；
D 、 原式计算错误，不符合题意； 故选：C．
3 ．D
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边 的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A 、∵ 22 + 32 = 4 + 9 = 13 ≠ 42 ，
:2 、3 、4 不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意；
B 、∵ 32 + 42 = 9 + 16 = 25 ≠ 62 ，
:3 、4 、6 不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； C 、∵ 42 + 62 = 16 + 36 = 52 ≠ 82 ，
:4 、6 、8 不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； D 、∵ 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102 ，
:6 ，8 ，10 能作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意；
故选：D．
4 ．C
【分析】此题考查了中位数， 中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最 中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．先排序，再根据中位数 的定义，即可求解．
【详解】解：从小到大重新排列为86 ，88 ，90 ，90 ，95 ，最中间的那个数是 90
:中位数是90
故选：C．
5 ．D
【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的系数和图象所经过的象限之 间的关系是解题的关键．
根据一次函数的性质，直接判断即可． 【详解】解：对于一次函数y = -2x -1， : k = -2 < 0 ，b = -1 < 0 ，
:函数的图象经过第二、三、四象限．
故选：D．
6 ．C
【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴， 由勾股定理计算出 由此即可得到答 案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：QOA = 2 ，AB = 1，
: 以原点 O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是 、 ，
故选：C．
7 ．C
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质， 根据直角三角 形斜边上的中线的性质求出DF ，根据三角形中位线定理求出 DE ，计算即可．掌握三角形 的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
【详解】解：在 Rt△AFB 中，D 为AB 的中点，AB = 7 ，
Q DE 为 △ABC 的中位线，BC = 13 ，
:EF = DE - DF = 3 ，
故选：C．
8 ．D
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确找到等量关系列出方程是 解题关键．
设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，则八月份生产零件50(1+ x)万个，九月份生产零 件50(1+ x )2 万个，再由八、九两月共生产 146 万个列出方程即可．
【详解】解：设该厂八、九月份平均每月的增长率为 x ， 由题意得，50(1+ x) + 50(1+ x)2 = 146 ．
故选：D．
9 ．A
【分析】本题考查了一次函数，掌握一次函数的图象和性质是解题关键．将x +1和x 代入一 次函数解析式，根据差为-2 ，可以求出 k 的值，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，k (x + 1) + b - (kx + b) = -2 ， 解得：k = -2 ，而b 可以是任意数，
所以琳琳对， 故选：A．
10 ．A
【分析】设 AB = a ， AC = b ， BC = c ，则 a2 + b2 = c2 ，连接 FC 、 AE 交于点 M，连接 AF 、 CE ，证明 △CBF≌△EBA ，得出 上EAB = 上CFB ，证明 AE 丄 CF ，得出 4a2 + b2 = 34① ,连 接AD ，BH 交于点 N，同理可得：上DNH = 90° ,得出 a2 + 4b2 = 16② ,求出 c2 = a2 + b2 = 10 ，从而得出a = = 2 ， ，延长EB 作FP 丄 EP 于点 P，作AQ 丄 BC
于点 Q，证明 △PBF≌△QBA，得出FP = AQ ，证明 S△EBF = S△ABC ，S△CDH = S△ABC ，
S△AGI = S△ABC ，求出S△BEF = S△CDH = S△AIG = S△ 最后求出 S六边形EDHIGF = 8 + 2 +10 + 2 × 4 = 28 即可．
【详解】解：设 AB = a ，AC = b ，BC = c ，则 a2 + b2 = c2 ， 连接FC 、AE 交于点 M，连接 AF 、CE ，如图所示：
∵四边形ABFG 和BCDE 为正方形，
: AB = BF ，BC = BE ，上ABF = 上CBE = 90° , : 上CBF = 上ABE ，
: △CBF≌△EBA ，
: 上EAB = 上CFB ，
∵ 上FPB = 上APM ，
: 上AMP = 上FBP = 90° , : AE 丄 CF ，
根据勾股定理得：FM 2 + EM2 = EF2 ，AM 2 + MC2 = AC2 ，FM 2 + AM2 = AF2 ，
MC2 + EM2 = CE2 ，
: EF2 + AC2 = AF2 + CE2 ， 即34 + b2 = 2c2 + 2a2 ，
∵ a2 + b2 = c2 ，
: 34 + b2 = 2a2 + 2b2 + 2a2 ， 即4a2 + b2 = 34① ,
连接AD ，BH 交于点 N，
同理可得：上DNH = 90° , : AD 丄 BH ，
: AB2 = AN2 + BN2 ，DH2 = DN2 + HN2 ， AH2 = AN2 + NH2 ，BD2 = BN2 + DN2 ，
: AB2 + DH2 = AH2 + BD2 ， 即a2 +16 = 2b2 + 2c2 ，
: a2 +16 = 2b2 + 2a2 + 2b2 ， 即a2 + 4b2 = 16② ,
① + ② 得：5 (a2 + b2 ) = 50 ， 解得：a2 + b2 = 10 ，
① - ② 得：3 (a2 - b2 ) = 18 ， 即a2 - b2 = 6 ，
解方程组 ，
解得： : c2 = a2 + b2 = 10 ，
:a 、b 、c 为正数，
: a = = 2 ，b = ，
延长EB 作FP 丄 EP 于点 P，作 AQ 丄 BC 于点Q，如图所示：
则上FPB = 上AQB = 90° ,
:四边形ABFG 为正方形， : BF = AB ，上ABF = 90° , :四边形CDEB 为正方形， : 上CBE = 90° ,
: 上PBC = 90° ,
:上PBF + 上PBA = 上PBA + 上ABQ = 90° ,
:上PBF = 上ABQ ， : △PBF≌△QBA ， : FP = AQ ，
: S△EBF = S△ABC ，
同理：S△CDH = S△ABC ，S△AGI = S△ABC ，
:S六边形EDHIGF = 8 + 2 +10 + 2 × 4 = 28 ，故 A 正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质， 正方形的性质，勾股定理，三角形面积 的计算，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握勾股定理．
11 ． 3 1
【分析】本题主要考查了算术平方根、二次根式的性质、绝对值等知识点， 掌握相关定义和 性质成为解题的关键．
（1）直接根据算术平方根的定义求解即可；
（2）直接根据二次根式的性质求解即可；
（3）先判断 的正负，然后根据绝对值的定义求解即可．
解
（2）
由 则
12 ．0
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量．数据 5，5，5，5，5 全部相等，没有波动， 故其方差为 0．
【详解】由于方差是反映一组数据的波动大小的，而这一组数据没有波动，故它的方差为 0.故填 0.
【点睛】本题考查了方差的概念，解题的关键是掌握方差的概念.
13 ．60° ## 60 度
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质， 直角三角形两锐角互余，先根据平行四边形的 性质得出上B = 30° ,再根据直角三角形两锐角互余得出 上BAE = 90° - 上B = 60° .
【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，
: ADⅡBC ，上B = 上D ， : 上C + 上D = 180° ,
: 上D = 30° ,
: 上B = 30° ,
∵ AE 丄 BC ，
: 上AEB = 90° ,
: 上BAE = 90° - 上B = 60° , 故答案为：60°
14 ．x > 1
【分析】根据图象得：当 x > 1 时，函数图象位于x 轴下方，此时y < 0 ，即可求解． 【详解】解：根据图象得：当 x > 1 时，函数图象位于x 轴下方，此时y < 0 ，
:关于 x 的不等式ax + b < 0 的解集为x > 1 ．
故答案为：x > 1 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数y=ax+b（ a ≠ 0 ）与 y=0 的上下位置关系找出不等式 ax+b BC ，得到 A 到C 的距离为 20 千米，甲2 分钟行了 8 千米，乙 2 分钟距 C 还有 9 千米．再根据两架无人机用的时间相同，即可解答．
【详解】根据图中信息，得到 A 到C 的距离为 20 千米，甲 2 分钟行了(20 -12) = 8 千米， 乙 2 分钟距 C 还有 9 千米．
甲从 A 到C 用的时间：20 ÷ (8 ÷ 2) = 5 （分钟），
乙从B 到C 的距离：9 ÷ (5 - 2)×5 = 15 （千米），
故答案为：15 千米．
16 ．。④
【分析】①正确．如图 1 中，在 BC 上截取 BH=BE，连接 EH．证明△FAE≥△EHC（SAS） 即可解决问题．②③错误．如图 2 中，延长 AD 到 H，使得 DH=BE，则△CBE≥△CDH
（SAS），再证明△GCE≥△GCH（SAS）即可解决问题．④正确．当 时，设 DG=x，
则 ，利用勾股定理构建方程可得 x=0.5a 即可解决问题．
【详解】解：如图 1 中，在 BC 上截取 BH=BE，连接 EH．
:BE=BH，∠EBH=90° , :EH= ·BE，
:AF= ·、BE， :AF=EH，
:∠DAM=∠EHB=45° , ∠BAD=90° ,
:∠FAE=∠EHC=135° ,
:BA=BC，BE=BH，
:AE=HC，
:△FAE≥△EHC（SAS）， :EF=EC，∠AEF=∠ECB， :∠ECH+∠CEB=90° ,
:∠AEF+∠CEB=90° ,
:∠FEC=90° ,
:∠ECF=∠EFC=45°,故①正确，
如图 2 中，延长 AD 到 H，使得 DH=BE，则△CBE≥△CDH（SAS），
:∠ECB=∠DCH，
:∠ECH=∠BCD=90° ,
:∠ECG=∠GCH=45° ,
:CG=CG ，CE=CH，
:△GCE≥△GCH（SAS）， :EG=GH，
:GH=DG+DH，DH=BE ， :EG=BE+DG，故③错误，
:△AEG 的周长=AE+EG+AG=AE+AH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a，故②错误， 当 时，设 DG=x ，则
在 Rt△AEG 中，则有
解得 ，
:AG=GD，故④正确， 故答案为：①④.
【点睛】本题考查正方形的性质， 全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加 常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算， 解一元二次方程，熟知相关计算法则是解题 的关键．
（1）先计算二次根式乘法，再化简二次根式后计算加减法即可得到答案；
（2）把原方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可得到答案． 【详解】解；（1）(3 + )(3 - )- ( + ) ×
= 9 - 2 - (6 + )
= 9 - 2 - 6 - 3
= 1- 3 ；
（2）x2 - 4x - 5 = 0 (x +1)(x - 5) = 0 ， x +1 = 0 或x - 5 = 0 ， 解得x1 = -1，x2 = 5 ．
18 ．见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质， 全等三角形的性质与判定，由平行四边形的性 质得到AB = CD，AB Ⅱ CD ，则 上E = 上DCF ，再由线段中点的定义得到 AF = DF ，据此证 明 △AFE≌△DFC ，得到 CD = AE ，则可证明 AB = AE ．
【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
: AB = CD，AB Ⅱ CD ， : 上E = 上DCF ，
∵点 F 是AD 中点， : AF = DF ，
在 △AFE 和 △DFC 中，
: △AFE≌△DFC (AAS )，
: CD = AE ， : AB = AE ．
1 /3
19 ． ，
a -1 3
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a 的值代入进行计算即可．
1 a +1
= .
a +1 a -1
当a = +1时，原式
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
20 ．(1)y = x + 3
(2)见解析
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，画一次函数图象，正确求出对应的函数解析式 是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先列表，再描点，连线画出对应的函数图象即可．
【详解】（1）解：∵一次函数y = kx + 3 的图象经过点M(-2,1)， : 1 = -2k + 3 ，
: k = 1，
:这个一次函数的表达式为y = x + 3 ；
（2）解：列表如下：
21 ．(1)10 ，9，初中组．
(2)7 分
(3)估计本次比赛高中组共有 33 支队伍在搭建项目中获得优秀． 【分析】（1）根据平均数，中位数，方差的定义求解即可；
（2）根据加权平均数的运算法则计算解答即可；
x
…
-2
0
…
y = x + 3
…
1
3
…
（3）先从扇形统计图获取高中组样本中搭建项目成绩 9 分和 10 分的占比，相加得到不低于 9 分的占比，然后乘以高中组参赛队伍总数即可解答．
【详解】（1）解：初中组共 20 个数据，则9 分的队伍有20 - 4 - 3 - 5 - 6 = 2 ，则初中组中获 得 10 分的队最多，即众数a = 10 ；
由扇形统计图可得：8 分所占的百分比为：1-15% - 25% -15% - 40% = 5% ，则将高中组搭 建项目成绩从小到大排列，10 分的有40% ，9 分的有15% ，
:第 10 、11 个数据都在成绩为 9 分的组中，则中位数b = 9 ；
由初中组方差2.23 小于高中组方差2.44，则搭建项目成绩更稳定的是初中组． 故答案为：10 ，9，初中组．
（2）解：已知编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照的比3：1：4：2 确定平均成绩，
由 A 队的成绩表可得：A 队伍编程 8 分、调试 8 分、搭建 7 分、讲解 5 分，
由题意可得 A 队的平均成绩 分．
所以 A 队的平均成绩是 7 分．
（3）解：在抽取的 20 支高中组队伍样本中，搭建项目成绩不低于 9 分的包括 9 分和 10 分 的队伍，由扇形统计图可知：9 分的占15% ，10 分的占40% ，则不低于 9 分的队伍所占比 例为15% + 40% = 55% ，
由高 中组共 60 支 队伍参赛 ，则估计获得优秀（搭建项 目成绩不低于 分 ） 的 队伍有 60 × 55% = 33 （支）．
答：估计本次比赛高中组共有 33 支队伍在搭建项目中获得优秀．
【点睛】本题主要考查了中位数、众数、方差的概念、加权平均数、用样本估计总体等知识 点，解题关键是理解相关统计量的定义是解题的关键．
22 ．(1)见解析 (2)5
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定， 勾股定理，矩形的性质，线段垂直平分线的性 质及其尺规作图，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）作线段AC 的垂直平分线，分别角BC，AC，AD 于 E、O 、F，连接AE，CF ，则菱形 AECF 即为所求；
由线段垂直平分线的性质可得AF = CF，AE = CE，OA = OC ,可证明 △AOF≌△COE , 由全等 三角形的性质进一步可得出AF = CE = AE = CF .
（2） 由矩形的性质可得 BC = AD = 4， ∠B = 90° , 由（1）可得 AE = CE ，设 AE = CE = x ， 则 BE = BC - CE = 4 - x ，由勾股定理得 x2 = 22 + (4 - x )2 ，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解；如图所示，作线段AC 的垂直平分线，分别角BC，AC，AD 于 E 、O 、F， 连接AE，CF ，则四边形 AECF 即为所求:
（2）解：∵四边形ABCD 是矩形， : BC = AD = 4， ∠B = 90° ,
由（1）可得 AE = CE ，
设AE = CE = x ，则 BE = BC - CE = 4 - x ， 在Rt△ABE 中，由勾股定理得AE2 = AB2 + BE2 ， : x2 = 22 + (4 - x )2 ，
解得 ，
: S菱形AECF = CE . AB = 5 ．
23 ．(1)该物流 A 公司的基础运费为 780 元，超程单价为 1140 元
(2)当0 < d < 360 或500 < d < 2600 时，该客户选择物流 A 公司更合算；当d = 360 或d = 2600 时，该客户选择两个物流公司一样合算；当360 < d ≤ 500 或d > 2600 时，该客户选择物流 B 公司更合算．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一元一 次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组，方程和不等式是解题的关键．
（1）设该物流 A 公司的基础运费为 x 元，超程单价为y 元，根据货物从厦门运往宁德，距 离 340 公里，总运费 900 元；运输货物乙：货物从厦门运往汕尾，距离 420 公里，总运费 1140 元建立方程组求解即可；
（2）分0 < d ≤ 300 ，300 < d ≤ 500 ，d > 500 三种情况，分别表示对应情形下两个物流公司
的费用，然后建立不等式和方程求解即可．
【详解】（1）解：设该物流 A 公司的基础运费为 x 元，超程单价为y 元， 由题意得
解得 ，
答：该物流 A 公司的基础运费为 780 元，超程单价为 3 元；
（2）解：当 0 < d ≤ 300 时，物流 A 公司的费用为 780 元，物流 B 公司的费用为 1200 元， ∵ 780 < 1200 ，
:该客户选择物流 A 公司更合算；
当300 < d ≤ 500 时，物流 A 公司的费用为780 + 3(d - 300) = (3d + 120) 元，物流 B 公司的费 用为 1200 元，
当3d + 120 < 1200 时，解得d < 360 ，
当3d + 120 = 1200 时，解得d = 360 ，
当3d + 120 > 1200 时，解得d > 360 ，
:当300 < d < 360 时，该客户选择物流 A 公司更合算；当d = 360 时，该客户选择两个物流 公司一样合算；当360 < d ≤ 500 时，该客户选择物流 B 公司更合算；
当d > 500 时，物流 A 公司的费用为780 + 3(d - 300) = (3d + 120) 元，物流 B 公司的费用为 1200 + 3.2 (d - 500) = (3.2d - 400) 元，
当3d + 120 < 3.2d - 400 时，解得d < 2600 ，
当3d + 120 = 3.2d - 400 时，解得d = 2600 ，
当3d + 120 > 3.2d - 400 时，解得d > 2600 ，
:当500 < d < 2600 时，该客户选择物流 A 公司更合算；当d = 2600 时；该客户选择两个物流 公司一样合算；当d > 2600 时，该客户选择物流 B 公司更合算；
综上所述，当0 < d < 360 或500 < d < 2600 时，该客户选择物流 A 公司更合算；当d = 360 或 d = 2600 时，该客户选择两个物流公司一样合算；当360 < d ≤ 500 或d > 2600 时，该客户选 择物流 B 公司更合算．
24 ．(1)见解析
(2) 4
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质， 三角形的全等、等边三角形 的性质等知识点，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
（1）如图：过点 C 作CG Ⅱ AE ，交 BD 于点 G，证明 △AEO≌△CGO 可得OE = OG ，
上OGC = 上AEF ，再证明 △ABE≌△ACF 可得△AEF 是等腰直角三角形，从而得到△CFG 是 等腰直角三角形，进而证明结论；
（2）连接BP¢, PP¢, CP ， △ABP¢≌△ACP 可得BP ¢ = CP，再证明△ADP≌△CDP 可得
BP¢ = CP = AP = AP¢ , AP¢ + DP¢ = BP¢ + DP¢ ≥ BD ，即当点 P¢ 在BD 时，AP¢ + DP¢ 的值最 小，再根据等边三角形的判定与性质以勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：如图：过点 C 作CG Ⅱ AE ，交 BD 于点 G，
:上EAO = 上GCO,上AEO = 上CGO ， 又:四边形ABCD 是平行四边形，
: OA = OC ，
: △AEO≌△CGO ， : OE = OG ，
: AB 丄 AC,AF 丄 AE ， : 上BAC = 上FAE = 90° , : 上BAE = 上CAF ，
: CF 丄 BD ，
: 上CFB = 上BAO = 90° ,
: 上AOB = 90° - 上AOB = 90° - 上COF = 上COF ， : 上ABE = 上OCF ，
: AB = AC ，
: △ABE≌△ACF (ASA )， : AE = AF ，
:△AEF 是等腰直角三角形，
: 上OGC = 上AEF = 45° ,
:△CFG 是等腰直角三角形，
: CF = FG ，
: OG = OF + FG ， : OE = CF + OF ．
（2）解：如图，连接BP¢, PP¢, CP ，
: 上PAP¢ = 上BAC = 60° 且AP = AP¢ , : 上BAP¢ = 上CAP ，
: △ABP¢≌△ACP (SAS)，
: BP ¢ = CP ，
:平行四边形ABCD 是菱形，
:上ADP = 上 : PD = PD ，
: △ADP≌△CDP (SAS)， : BP¢ = CP = AP = AP¢ ,
: AP¢ + DP¢ = BP¢ + DP¢ ≥ BD ，即当点 P¢ 在BD 时，AP¢ + DP¢ 的值最小， 如图，此时OP¢ = OP ，
: AC ^ BD ，
: AP = 2OB ，
∵ OA = 6 ，
: (2OP)2 - (OP)2 = 36 ，解得：
25 ．(1)四边形OABC 是平行四边形，证明见解析
(3)。 -3 ≤ t ≤ 3 ，0；② -7 < w ≤ 3
【分析】本题主要考查一次函数的图象及性质、平行四边形的判定、解绝对值方程、 一次函 数图象的交点问题等知识点， 熟练掌握一次函数的图象及性质以及平行四边形的性质是解 题的关键．
（1）由题意可得 BC ⅡOA ，再结合OC Ⅱ AB ， 即可确定四边形OABC 是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质求出直线 AC 的解析式为y = -x + 6 ，B (8, 4), C (2, 4) ， 由
l 丄 AC ， 可求y = x + 3 ， 当x + 3= -x + 6 时， 可求直线 l 与直线AC 的交点坐标即可．
（3）。当直线 l 经过点 A 时， t = -3 ， 当直线 l 经过点 C 时， t = 3 ， 所以-3 ≤ t ≤ 3 时， 直线 l 与四边形OABC 相交；由直线l 平分四边形OABC 的面积， 则直线 l 经过点 B ， 可求 t = 0 ；②先求 再求 则
当6 ≤ t < 9 时 ， 则-7 < w ≤ -6 ；
当-3 ≤ t < 6 时， w = -t ， 则-6 < w ≤ 3 ；当 -9 ≤ t < -3 时， ， 则1≤ w ≤ 3 ； 即 可求-7 < w ≤ 3．
【详解】（1）解：四边形OABC 是平行四边形，证明如下：
∵ B (m + 6, m + 2), C (m, m + 2) ， : BC Ⅱ x 轴，
∵ OC Ⅱ AB ，
:四边形OABC 是平行四边形．
（2）解：当 t = 3 时，直线l：y = kx + 3．
∵四边形OABC 是平行四边形， : OA = BC = m + 6 - m = 6 ，
: A (6, 0)，
∵直线y = -x + n 经过 A 点， : 0 = -6 + n ，解得 n = 6 ，
:线AC 的解析式为y = -x + 6 ， ∵ y = -x + 6 经过 C 点，
: m + 2 = -m + 6 ，解得：m = 2 ， : B (8, 4), C (2, 4) ，
∵ l 丄 AC ， : k = 1，
:直线l：y = x + 3 ，
:直线 l 与直线 AC 的交点坐标为çè2 , 2 ,÷ .
联立 解得： ( 3 9 ö
解：①当 时，直线 当直线 l 经过点A 时，3 + t = 0 ，解得：t = -3 ， 当直线 l 经过点 C 时，1+ t = 4 ，解得 t = 3 ，
:当-3 ≤ t ≤ 3 时，直线 l 与四边形OABC 相交， ∵直线l 平分四边形OABC 的面积，
:直线 l 经过平分四边形OABC 的对角线交点(4, 2)，
解得：t = 0 ；
故答案为: -3 ≤ t ≤ 3 ；0；
②当时，解得 ，
∵ DE 丄 x 轴，DF 丄 y 轴，
当6 ≤ t < 9 时 ， 则-7 < w ≤ -6 ； 当-3 ≤ t < 6 时， w = -t ， 则-6 < w ≤ 3 ；
当-9 ≤ t < -3 时， ， 则1≤ w ≤ 3． 综上，-7 < w ≤ 3．