2025年中考数学真题完全解读（河南卷）

这是一份2025年中考数学真题完全解读（河南卷），文件包含八年级英语期中模拟卷陕西专用全解全析docx、八年级英语期中模拟卷陕西专用考试版A4docx、八年级英语期中模拟卷陕西专用答题卡docx、八年级英语期中模拟卷陕西专用听力音频mp3等4份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
本份试题共120分，在整体继承了2022——2024年河南中考数学试卷成功经验的基础上，在大体稳定的前提下又有所创新，适度创新而不标新立异，梯度设计，布局合理，贯彻新课标准精神，落实“四基”“四能”，突出核心素养，立足省情，注重数学与生活实际的结合，注重数学命题和河南地域文化相结合。整体结构延续了河南省历年中考的基本题型布局：10道单项选择题、5道填空题以及8道综合解答题。题量适中，形式多样，涵盖了代数、几何、函数与统计初步等关键内容，能够较好地体现对学生综合素养与数学思维的考查。
与往年试卷相比，该测试卷在题型丰富度与情境应用方面有所提升：一方面选择题与填空题兼顾基础与拓展，设置了有理数、函数图象、三视图与立体图形等综合知识点；另一方面解答题紧扣社会热点与现实情境。整张试卷既注重突出对基础知识和基本技能的考查，又兼顾对基本数学思想和基本活动经验的考查，很好体现了中考具有的学业水平测试和选拔的双重功能。
从《义务教育数学课程标准》的要求来看，本卷涵盖了初中阶段的主要知识板块，包括数与代数、图形与几何、统计与概率、函数及其图象等，覆盖面较广。其中数与代数部分重点考查了有理数、分式求解、科学记数法以、不等式及其解法及一元二次方程的根的判别与应用；图形与几何部分考查了圆的切线、菱形、平行四边形、特殊三角形（如等腰直角三角形和“反直角三角形”）等；函数部分涉及一次函数和反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质；统计与概率部分则穿插了方差、众数与中位数，以及随机抽样概率的基本计算。
在难易程度上，试卷遵循“基础题—中档题—综合题”逐步递进的梯度设计，既能保证对基础知识的全面检测，也在综合题和部分填空题中加入了一定的思维挑战。例如，对几何专题的折叠问题、圆的性质以及函数平移的综合考查，都要求学生具备较强的逻辑推演能力和空间想象力。在计算量方面，整卷的运算量控制合理，既需要学生做出基本运算，如a2+b2=c2的几何计算，也需要在分式化简、方程求解等环节中保持细心和准确，对学生的演算速度与精确度提出了一定要求。
河南地域学情与教学实际互相交融，整体来看，这份试题在题型设置上兼顾多元、循序渐进；在知识点覆盖上全面系统；在难易度分布上层次分明、兼顾不同水平学生的综合能力培养；在教学目标达成度上能有效检验初中毕业生对核心知识与核心素养（如数学抽象、逻辑推理、运算能力、数据分析与数学建模等）的掌握。它对于教师更好地把握教学进度、深化对新课标理念的理解、开展针对性的培优补差教学，具有较强的指导意义。可以预见，本卷将很好地发挥“指挥棒”作用，引导初中数学教学更加注重对学生实践意识和综合思维能力的培养，帮助学生为后续高中阶段的学习与发展打下坚实的基础。
试卷覆盖数与代数、图形与几何、函数与统计等核心知识。所需计算量适中，既考核学生的运算熟练度，也关注其对关键数学思想方法的理解，如解直角三角形、方程（组）与不等式（组）、数据统计分析等。在逻辑思维方面，解答题多为综合类问题，涉及多步推导和多种知识的整合，凸显对学生归纳、演绎和分析能力的考查。
考查考向更具情境性
部分选择题和填空题增加了对现实情境的描述，强调数学与生活实际的关联，要求学生具备更强的阅读理解和信息提取能力。
考查深度与知识融合度提升
解答题中综合运用几何折叠、函数图象等知识点，融合三角形、平行四边形、反比例函数、二次函数等内容，考查学生多方面的思维迁移与综合解题能力。
情境设置更灵活、多样
试题背景从传统几何、代数过渡到工程测量、历史文化等，鼓励学生关注数学价值，拓宽学科视野。
总的来看，本次试卷紧扣《课程标准》的核心理念，兼顾了河南省初中教学的实际情况；题型、难度及内容分布合理，既关注绝大多数学生的基础达成，也适度强调拔尖学生的思维深度。整卷导向明确，强调数学的实用性与思维逻辑性，对培养学生的数学素养、激发学习兴趣与提升问题解决能力具有较好的导向价值。本套试卷切实考查了初中数学的核心素养与综合应用能力，知识覆盖面较广，题目设置兼顾基础性与灵活性。以下从重点知识、易错易混点、备考策略、心理调整和命题趋势预测五大方面，为同学们提供后续复习与应考建议。
第Ⅰ卷：选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
题号：1–10
题型：单选题
分值：每小题 3 分，共30 分
特点：覆盖面广，主要考查基础运算、基础知识与简单应用。
第Ⅱ卷：填空题（共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
题号：11–15
题型：填空题
分值：每小题 3 分，共15 分
特点：题型灵活，既考查基础运算与概念，也涉及几何、方差、规律总结等。
第Ⅲ卷：解答题（共 8 小题，共 75 分）
题号：16–23
题型：解答题
分值分布示例：
第 16 题：10 分
第 17 题：9 分
第 18 题：9 分
第 19 题：9 分
第 20 题：9 分
第 21 题：9 分
第 22 题：10 分
第 23 题：10 分
特点：以综合与应用为主，强调对函数、几何、统计、二次方程等知识的综合运用与深度思考。
❆从足球比赛到学校劳动实践基地，从汽车轮胎摩擦系数到西部山区苹果销售，从普法活动到测了焦裕禄纪念碑，从甲骨文到《九章算术》，整张试卷选材生活实际的结合，强调数学知识与生活实践的结合，引导学生关注社会、关注生活，学以致用。
❆与上届真题相比，题目素材更新颖，情境设置更丰富。
❆二次函数、几何与数形结合的交汇题目增多，综合运用函数与几何性质解题的要求更高。
❆证明题与计算题结合紧密，对学生几何思维与代数运算的综合能力要求加深。
阅读表达：需要精确解读新颖情境，梳理数学模型，语言表达与逻辑思维并重。
综合运用：对几何推理论证、函数图象性质、统计与概率知识等要求提高；解题需跨章节调动知识，体现思维的灵活性和深度。
实践意识：题目侧重现实应用与信息获取，鼓励学生结合测量、折叠实验、图表分析等方法，培养探究与动手能力。
❆建议学生强化数学建模与多学科联动意识，尤其是对新情境下的量化分析与几何构造思路。
❆注重过程规范性和结论的合理性表达，综合应用函数、几何、数论等多方面知识。借助数形结合与数据信息处理提升问题求解效率。
以下根据本试卷的具体题目和解答，对试卷整体结构和考查情况进行分析，并附以表格形式的“考情分析”一览。为便于区分，本分析将试卷分为选择题、填空题、解答题三个部分，分别统计各题的分值与考查内容，并根据难度给予相应评价
1. 试卷考情分析（表格）
下面以表格方式列出本套试卷中每道题的分值、题型、考查内容及难易分析，供同学和老师参考。
易：约占 50% 中：约占 30% 难：约占 20%
1.整体难度评估
本套试卷难度适中，兼顾基础与综合。前 5 题选择题整体较易，用于区分基础掌握情况。中后部分题目逐渐增强综合性和思维要求，如第14、15、21、22、23 等几何综合与函数题，难度较大。
2.易、中、难各占比
依据上表中“难易分析”初步评估，
易（较易）题目约占 30%∼40%，如第 1、2、3、4、5、11、13、16 等题。
中（中等）题目约占 40%∼50%，如第 6、7、8、9、12、17、18、19、20 等题。
难（中等偏难及较难）题目约占 10%∼20%，如第 10、14、15、21、22、23 等题。
3.不同难度层级题目特点
易：考查基础概念、基本运算或直接应用，如第 3 题的科学记数法、第11 题二次根式有意义范围等，运算量小、思维门槛低。
中：需要一定程度的知识综合或技巧应用，如概率、方差、坐标几何等，所需思路虽不复杂，但要注意步骤完整。
难：往往是综合题或几何大题，如第 22 题需要对二次函数平移与最大最小值进行深层分析，第 23 题涉及角平分线、矩形与相似/全等的综合推理，需要较强的综合能力和严谨的几何思维。
从整体来看，本试卷覆盖面广，兼顾基础与综合，既能考查学生对基本知识与技能的掌握程度，也能考查学生综合分析与应用数学知识解决问题的能力，适合作为中考选拔与水平检测的题型范例。试题整体难度适中，区分度较好。通过此卷，可有效衡量学生在初中阶段对数学学科的学习与掌握程度。以上分析可帮助师生明确哪些知识点是考试重点，以及各题的难度分布与注意要点，便于查漏补缺，提高复习与备考的精准度。
本套试卷切实考查了初中数学的核心素养与综合应用能力，知识覆盖面较广，题目设置兼顾基础性与灵活性。以下从重点知识、易错易混点、备考策略、心理调整和命题趋势预测五大方面，为同学们提供后续复习与应考建议。
1．重点知识板块
数与代数部分
充分理解正负数概念，尤其要关注负数在实际问题中的运用。如“进球记正、失球记负”一类的情境题。
熟练掌握科学记数法的写法及应用，注意小数点移动和整数次幂的配合。
对一元二次方程要熟知判别式 Δ=b2−4ac 的三种情况，并能结合具体问题快速判定方程根的存在性与个数。
图形与几何部分
立体图形展开图与几何体识别：圆锥、圆柱、棱柱等常见立体要熟悉侧面展开图。
量角与角度关系：掌握对顶角、邻补角等基本性质，注意读数时量角器内外刻度的区分。
平面几何中的三角形、平行四边形、矩形、菱形等基本性质及其典型证明方法（如折叠法、全等与相似三角形、平行线分线段成比例定理、中位线定理等），对题目中常用的辅助线要有敏锐度。
圆的性质：切线、弦、圆心连线以及垂径定理、圆周角定理、扇形面积等是常考考点，要在理解基础上灵活运用。
统计与概率部分
方差、众数、中位数、平均数等统计量的综合运用，能正确反映数据“波动性”“集中趋势”，且要熟练使用条形图、饼图或折线图从图中快速获取并表达信息。
概率题要注意可能性分析、列表法或树状图的运用，关注“等可能性”前提。
函数与图象部分
二次函数、反比例函数的解析式确定与图象性质：对称轴、顶点、最大(小)值以及平移变换等联系紧密，需在坐标系中准确画图并读出对应信息。
注重应用性：例如行车速度与摩擦系数关系图、太阳光投影测高等，考查从图象中获取数据并解读的能力。
2．易错易混点
负数运用失误
部分同学在体现“相反意义”时易出错，例如进失球、亏损盈利等情境下，正负数标记不当会导致结果错误。
量角器读数不仔细
对于内外刻度辨识不清或对顶角的度数混淆，容易出现读数偏差，从而影响后续计算。
折叠、旋转类几何题
需重视“等距离”与“对称”思想，易漏判相等关系，也可能忽视菱形、矩形等通性，从而造成推理错误。
统计概念理解不到位
将方差、极差、标准差等混为一谈，或分不清众数与中位数的定义，导致判断失误。
函数图象平移与最大(小)值
忽视平移后对称轴位置的变化，或对求值区间理解不清，会导致求解不完整或二次函数求值错误。
3．复习规划与答题技巧
分阶段、分板块夯实基础
第一阶段：系统梳理各章节重点公式、定理与基本题型，特别是几何中的常用性质与代数中的计算技巧。
第二阶段：精选典型习题针对易错核心点进行集中攻关，并进行计时训练，提高快速准确解题能力。
第三阶段：综合模考与试题回顾，关注自己在图形、函数或统计问题上的薄弱之处，反复总结提升。
选择题解题技巧
快速排除：结合数形、特殊值代入或极端情况分析，删去明显错误选项。
排序法对比：统计与函数题中，大可直接比对结果大小或单位变化量来筛选答案。
注意检验：对于容易出现粗心的计算，花数秒进行复核，避免低级失误。
解答题规范思路
几何证明：要“画准图、作好辅助线、写全已知、求证”，分步陈述推理过程，不要跳步或缺少关键论据。
代数运算：分步列式、整洁书写，避免中途化简错误。遇到分式、根式相结合时，尽量保持分式通分、根式有理化的准确性。
应用题：先关注题意，设合理变量，写清条件方程或函数表达式，再求解并检验答案合理性。
4．心理调适
保持平常心，逐步提升
不盲目囤刷难题，重在针对错误归因进行查漏补缺。每天在稳定练习量的同时，小步提高准确率。
考试心态从容
考前不做过度记忆与熬夜，睡眠与饮食规律可最大化保证大脑清醒。发挥正常水平比追求偏难题更重要。
5．命题趋势与关注点
情境创新与素养考查
命题或将继续结合社会生活实际，如乡村振兴、传统文化、科技元素等，考查数学建模与数形结合能力。
注重基本功和探究
在几何推理、函数应用中依旧看重核心主干知识，如三角形相似与全等、二次函数引申等，也可能出现新的探究型小题，需熟悉常见思路。
综合素质延伸
结合实验或测量的开放题，强调数据处理及真实场景应用，引导学生学以致用，掌握从问题情境提炼数学模型的思路。
在后续复习中，建议同学们紧扣课本与中考考纲，把握重点知识的内在逻辑，并在及时总结错误中不断进步。遵循以上复习规划与策略，相信能在中考中稳定发挥、提升得分，为冲刺高中阶段的学习奠定坚实基础。祝各位同学备考顺利、旗开得胜！
综合以上建议，祝同学们在最后的复习阶段能有条不紊、稳步前进。踏实打牢基础、认真反思错题、科学安排练习与休息、保持良好心态，定能在中考中取得满意的成绩！预祝大家顺利发挥，圆梦中考！
2025年河南省中考题数学试题
注意事项：
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正数和负数的意义，正数和负数是一组具有相反意义的量，已知进球数记为正，则失球数应记为负，据此求解即可．
【详解】解：如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作个，
故选：B．
2. 数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知圆锥的展开图是解题的关键．根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，即可得到答案．
【详解】解：根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，则该立体图形是圆锥，
故选：D．
3. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选：C．
4. 如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题关键．由量角器可知，，再利用对顶角相等求解即可．
【详解】解：由量角器可知，，
，
即所量内角的度数为，
故选：C．
5. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：一元二次方程，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
6. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ）

A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解．
【详解】解：如图，取格点、，

由网格的性质可知，，
，，
、分别是、的中点，
是的中位线，
，
故选：B．
7. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题关键．先将分母变为相同，再进行减法，然后利用平方差公式约分化简即可．
【详解】解：
，
故选：A．
8. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种，
∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为．
故选：B．
9. 如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ）
A 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出，从而求出，则，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，
在菱形中，，
，，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键．
10. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ）
A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为
B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于
D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可．
【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意；
B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意；
C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意；
D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意；
故选：C
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出一个使在实数范围内有意义的的值：______________．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，以及解不等式，熟练掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义得到求解，取恰当的值即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，
∴使在实数范围内有意义的的值可以为；
故答案为：3（答案不唯一）．
12. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是______________（填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【解析】
【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题关键．根据方差越大，越不稳定，即可求解．
【详解】解：两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，
，
两种小麦长势更整齐的是甲，
故答案为：甲．
13. 观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．分析已知式子，得到第个式子为，即可得到答案．
详解】解：第1个式子：，
第2个式子：，
第3个式子：，
第4个式子：，
……
观察发现，第个式子为，
故答案为：
14. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可．
【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点，
，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键．
15. 定义：有两个内角差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分情况讨论：①当时，过点作于点，由等腰三角形的性质得到，证明，得到，即可求出的长；②当时，过点作交于点，由等角对等边得到，再证明，设，进而得出，，根据求出的值，即可求出的长；③当时，利用锐角三角函数，得出，，即此种情况不存在；④当时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解．
【详解】解：，
，
，
，
，
若为“反直角三角形”，
①当时，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
②当时，过点作交于点，
，
，
，
，，
，
，
，
设，则，
，
，，
，
，
；
③当时，
，，且，
，
，
若，则，即，
此种情况不存在；
④当时，
当点与点重合时，最小，此时，
同③理可证，此种情况不存在；
综上可知，的长为或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）0；（2）1
【解析】
【分析】（1）首先计算立方根，零指数幂和二次根式的乘法，然后计算加减；
（2）首先计算完全平方公式，单项式乘以多项式，然后计算加减．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】此题考查了立方根，零指数幂和二次根式的乘法，完全平方公式，单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则．
17. 为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法 讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下．
得分统计图
得分统计表
根据以上信息，回答下列问题．
（1）表格中的________，________，_________．
（2）你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由．
【答案】（1）7.5；8；
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图，中位数，众数，平均数等知识点，正确理解统计图是解题的关键．
（1）根据中位数、众数的定义以及优秀率的标准求解即可；
（2）可以根据众数和中位数做决策．
【小问1详解】
解：抽取50名学生，则中位数为第25，26名同学成绩的平均数，由条形统计图可得中位数；
八年级得分为8分的人数最多为23人，
∴众数；
八年级的得分优秀率为：，
故答案为：7.5；8；；
【小问2详解】
解：八年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好，因为八年级的学生成绩的中位数和众数都高于七年级．
18. 小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标．
【答案】（1）反比例函数表达式为：
（2）
【解析】
【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案；
（2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可.
【小问1详解】
解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵含角的三角板为等腰直角三角形，，
∴，，
如图，连接，旋转到的位置；
∴，
∵的对应点在的图象上，
∴，
∴，
由旋转可得：，
∴.
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键.
19. 如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）作图见详解 （2）证明过程见详解
【解析】
【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键．
（1）运用尺规作直径的垂直平分线即可；
（2）根据平行四边形的性质结合题意得到，，即，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证．
【小问1详解】
解：如图所示，
∵是直径，
∴运用尺规作直径的垂直平分线角于点，
∴点即为所求点的位置；
【小问2详解】
证明：如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点分别是的中点，
∴，，即，
∴四边形是平行四边形．
20. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元．
（1）求甲、乙两种苹果每箱的售价．
（2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元．
【答案】（1）甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元；
（2）该公司最少需花费元．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意正确列式是解题关键．
（1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元，根据“2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元”，列二元一次方程组求解即可；
（2）设购买甲种苹果箱，根据“乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数”列不等式，求出的取值范围，设该公司需花费元，得到关于的一次函数，求出最值即可．
【小问1详解】
解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元，
则，
解得：，
答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元；
【小问2详解】
解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱，
则，
解得：，
设该公司需花费元，
则，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值为，
即该公司最少需花费元．
21. 焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由．
（2）求纪念碑的高度．
（3）小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）．
【答案】（1）见解析；
（2）纪念碑的高度为．
（3）小红的结果误差较大，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论；
（2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可；
（3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可．
【小问1详解】
解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，
，
标杆的影子的长和标杆的长相等，即，
；
【小问2详解】
解：如图，令与的交点为，
则四边形和是矩形，
，，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
解得：，
答：纪念碑的高度为．
【小问3详解】
解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为，
则小红的结果误差较大，
理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果．
22. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示．
（1）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
（3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）；见解析
（3）或
【解析】
【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解；
（3）分两种情况解答，即可求解．
【小问1详解】
解：把点代入得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：，
∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，
∴点关于直线的对称点为，
画出函数图象，如图，
【小问3详解】
解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线，
当平移后抛物线的对称轴在直线左侧时，此时最小值为，，即，
当时，取得最大值，最大值为，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴，
解得：或（舍去）；
当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，此时最小值为，，即，
当时，取得最大值，最大值为，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴，
解得：或（舍去），
综上所述，n的值为或．
23. 在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点．
（1）观察猜想
如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________．
（2）类比探究
如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．
（3）拓展应用
当，且时，若，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）图见解析；不成立，，证明见解析
（3） 或．
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）如图，过点C作于点P，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答；
（2）如图，过点C作于点Q，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答；
（3）分和分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可．
【小问1详解】
解：如图，过点C作于点P，
∵平分，，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
故答案为：．
【小问2详解】
解：不成立，，证明如下：
如图，过点C作于点Q，
∵平分，，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：①如图：当时，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图：当时，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上，的值为 或．题号
分值
题型
考查内容
难易分析
1
3
选择题
正数与负数的意义
较易
2
3
选择题
几何体展开与还原（圆锥展开图）
较易
3
3
选择题
科学计数法
较易
4
3
选择题
量角器使用、对顶角
较易
5
3
选择题
一元二次方程根判别式
较易
6
3
选择题
平行线分线段成比例、三角形中位线应用
中等
7
3
选择题
分式的通分、约分、平方差公式
中等
8
3
选择题
概率（列表法或树状图）
中等
9
3
选择题
菱形的性质、折叠性质
中等
10
3
选择题
函数图象与性质、数形结合
中等偏难
11
3
填空题
二次根式的有意义条件
较易
12
3
填空题
方差及其应用（比较数据离散程度）
中等
13
3
填空题
类比探究找规律的发现与推广
较易
14
3
填空题
圆切线性质、矩形性质、扇形等几何综合
中等偏难
15
3
填空题
“反直角三角形”的定义及三角几何综合
中等偏难
16
10
解答题
基本代数运算（整式、二次根式运算）
较易
17
9
解答题
统计（平均数、中位数、众数、优秀率），结合条形统计图
中等
18
9
解答题
坐标系与几何（反比例函数、三角板旋转、等腰直角三角形）
中等
19
9
解答题
圆的性质（以直径为条件）与平行四边形综合
中等
20
9
解答题
二元一次方程的应用（甲乙两种苹果售价问题）
中等
21
9
解答题
几何与测量（标杆与影子、相似三角形、矩形性质）
中等偏难
22
10
解答题
二次函数图象与性质（顶点式、平移、最值差）
较难
23
10
解答题
综合几何（角平分线、全等r相似、矩形判定），拓展与分类讨论
较难
统计量
年级
七年级
八年级
平均数
7.86
7.86
中位数
a
8
众数
7
b
优秀率
c
活动主题
测量纪念碑的高度
实物图和测量示意图
测量说明
如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上．
测量数据
备注
点在同一水平线上．
…
0
1
…
…
1
…