九年级人教版数学上册预习 专题10y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k 的图象和性质（12大类型精准练+过关检测）（解析版）

这是一份九年级人教版数学上册预习 专题10y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k 的图象和性质（12大类型精准练+过关检测）（解析版），共52页。
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：X大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1：二次函数的图象和性质
温馨提示：二次函数的对称性及最值问题
对于二次函数y=a(x-h)²(a≠0)图象上的点，当图象开口何上，到对你抽的距离越大，到对应的函数值就越大；当图象开口何下，点到对你抽的距离越大，则对应的函数值就越；若两点到对你轴的距离相等，则对应的函数值相等，观察图象可得以上规律
【课前热身】
1．（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题是关于二次函数的顶点坐标的问题，掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
故选：D．
2．（24-25九年级上·全国·假期作业）对于二次函数，下列结论正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大B．当时，y随x的增大而增大
C．当时，y随x的增大而增大D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的增减性，由，抛物线开口向上，而对称轴为直线，可得答案；
【详解】解：∵二次函数，
由于，抛物线开口向上，
而对称轴为直线，
所以当时，y随x的增大而增大．
故选D
3．（2022九年级上·全国·专题练习）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】二次函数通过配方可以化为顶点式，即y=a(x－h)2+k，其中a决定了抛物线的开口方向，对称轴是x=h，顶点坐标是(h，k)；根据所给出的三个函数解析式，对照以上规律确定答案．
【详解】（1）开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)．
（2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，-7)．
（3）开口向上，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为(-3，6)
【点睛】本题考查根据函数的表达式确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的“顶点式”以及各个系数与抛物线的关系．
4．（24-25九年级上·全国·课后作业）在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】此题主要考查二次函数的图像与性质．根据二次函数的作图方法，再根据图像即可求解各性质．
【详解】（1）解：列表如下：
画图如下：
；，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为．当时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
（2）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
（3）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
知识点2：二次函数的图象和性质
【课前热身】
1．（2025·山东潍坊·三模）关于抛物线，下列说法中错误的是（ ）
A．开口方向向上B．对称轴是直线
C．顶点坐标为D．当时，随的增大而减小
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
【详解】解：由题意，抛物线为，
抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点为，当时，随的增大而增大，
故A、C、B正确，均不符合，D错误，符合题意．
故选：D．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）二次函数的最小值是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的图象与性质是解题的关键．
根据二次函数的顶点式，直接判断最小值．
【详解】解：二次函数，顶点坐标为，
∵，
∴当时，有最小值 3 ，
故选： D．
3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数．
(1)求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(2)当取什么范围时，随的增大而增大？
【答案】(1)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据二次项系数可判断开口方向，再根据顶点式确定顶点坐标及对称轴即可；
（2）利用开口方向和对称轴即可解答．
【详解】（1）解：二次函数中，，
二次函数开口向下，
对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：二次函数开口向下，
在对称轴的左侧随的增大而增大，
二次函数的对称轴为，
当时，随的增大而增大．
4．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）已知二次函数．
(1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图；
(3)当时，直接写出y的取值范围．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据的对称轴为直线,顶点坐标为即可得；
（2）列表、描点、连线即可画图；
（3）根据图象即可求解．
【详解】（1）解：的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）列表：
描点画图，得：
（3）时，，
时，，
∴当时，y的取值范围为．
知识点3：二次函数的平移
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2.平移规律：
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
【课前热身】
1．（2025·四川绵阳·二模）如果将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可．
【详解】解：由题意，平移后的解析式为：；
故选A．
2．（2025·广东东莞·模拟预测）将二次函数的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度，平移后的二次函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．根据二次函数图象的平移方法：左加右减，上加下减，由此可求解问题．
【详解】解：将二次函的图象沿x轴方向向右平移2个单位，平移后的函数解析式为；
故选：B．
3．（22-23九年级上·四川凉山·阶段练习）已知把二次函数的图像先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线．
(1)试确定的值；
(2)指出二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】(1)，，
(2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为
【分析】（1）根据平移的性质，平移改变了函数图像的顶点，二次项系数不变，由此即可求解；
（2）由（1）可求出二次函数的图像，根据系数的特点即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的图像的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点的坐标为，
∴原二次函数的解析式为，
∴，，．
（2）解：由（1）可知，二次函数，即，
∴二次函数的图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
【点睛】本题主要考查二次函数的变换，掌握平移的性质，二次函数顶点式的含义是解题的关键．

【题型1】关于二次函数y＝a(x－h)²的叙述
1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）抛物线的对称轴是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
【答案】A
【分析】根据题目中的函数解析式，直接可以写出对称轴即可；
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【详解】解：抛物线解析式为：
该抛物线的对称轴是直线，
故选：A．
2．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）对于抛物线和的图象比较，下列说法不正确的是（ ）
A．开口都向下B．对称轴相同C．最大值都是0D．与y轴交点不相同
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，根据顶点式的性质逐个判断即可得到答案；
【详解】解：函数：开口向下，对称轴为：，顶点为：，经过，
函数：开口向下，对称轴为，顶点为：，
故选：B．
3．（24-25九年级上·北京·开学考试）若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)写出它的顶点坐标和开口方向．
【答案】(1)；
(2)抛物线开口向下．
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键．
（1）先确定顶点坐标，再设顶点式然后把A点坐标代入求出a即可；
（2）利用二次函数的性质解决问题．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线
∴抛物线的顶点坐标为
设抛物线解析式为
把代入得
解得：
∴抛物线解析式为：；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为
∵，
∴抛物线开口向下．
【题型2】二次函数y＝a(x－h)²的图象
4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则可能是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质“对于二次函数，开口向上，开口向下”，据此求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象如图所示，
∴，
∴，
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
5．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合图象判断即可得解．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故C符合题意；
故选：C．
6．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查在同一个坐标系中判断一次函数与抛物线图象是否正确，先从各选项中一次函数图象得到的符号，进而判定同一坐标系下二次函数图象是否正确即可得到答案，数形结合，熟记一次函数及二次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：从一次函数的图象开始：
A、由图可知，一次函数中，，
对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象一致，
故A图象正确，符合题意；
B、由图可知，一次函数中，，
对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致，
故B图象错误，不符合题意；
C、由图可知，一次函数中，，
对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴右侧，与选项图象不一致，
故C图象错误，不符合题意；
D、由图可知，一次函数中，，
对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致，
故D图象错误，不符合题意；
故选：A．
【题型3】二次函数y＝a(x－h)²的增减性
7．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断值的大小．
【详解】解：函数的解析式是，
对称轴是直线，
点的对称点为，
对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大，
又，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性及对称性．
8．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解．
【详解】解：如图所示，若，则，
故A选项错误；
如图所示，若，则或，
故B、D选项错误；
如图所示，若，则，
故C选项正确；
故选：C．
9．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，根据题中条件可得出抛物线的对称轴相对于直线的位置，进而可解决问题．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且开口向上，
∴当时，随的增大而增大，
∵当时，随的增大而增大，
∴抛物线的对称轴不能在直线的右侧，
∴．
故答案为：．
【题型4】二次函数y＝a(x－h)²的最值
10．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知关于的二次函数，当时，函数有最大值，则的值为 ．
【答案】1或6
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，分，，三种情况，进行讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∵当时，函数有最大值，
①当时，则：当时，函数有最大值为：，解得：（舍去）或；
②当时，则当时，函数有最大值为：，解得：（舍去）或；
③当时，则：当时，函数有最大值为：，不符合题意；
故答案为：1或6．
11．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题．
先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分，和三种情况，分别根据二次函数的最值列式求解．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∴若，即时，则当时，函数y取最大值，即，
解得：或（舍去），
若，即，则当时，函数y取最大值0，不符合题意；
若，即时，则当时，函数y取最大值，即，
解得：（舍去）或，
综上，h的值为-1或，
故答案为：或．
12．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知二次函数（h是常数），且．
(1)当时，求函数的最大值；
(2)若函数的最大值为，求h的值．
【答案】(1)函数的最大值为0；
(2)h的值是4或．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；
（1）根据顶点式可直接得出答案；
（2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可．
【详解】（1）解：当时，二次函数为，
∴当时，函数有最大值为0；
（2）解：∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为，
∴若，则当时，y最大，即，
解得，（舍去）；
若，则当时，y最大，即，
解得，（舍去）；
若，则最大值为0，与题意不符；
综上，h的值是4或．
【题型5】二次函数y＝a(x－h)²与几何综合问题
13．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）如图，直线与抛线交于两点（点在点的左侧）．
(1)求两点的坐标；
(2)记抛物线的顶点为，求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握坐标系内求三角形面积的方法．
（1）令，求出点B，C的横坐标，再将横坐标代入直线解析式求解；
（2）作轴交于点D，由求解．
【详解】（1）解：令，
解得：，，
将分别代入得，，
∴点B坐标为，点C坐标为．
（2）解：作轴交于点D，如图所示：
∵，
∴抛物线顶点A坐标为，
将代入得，
∴点D坐标为，，
∴
．
14．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求点D的坐标及的面积．
【答案】(1)
(2)点的坐标为，的面积为16
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，二次函数的解析式求解，平行四边形的性质等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键．
（1）根据抛物线的顶点为即可求解；
（2）根据抛物线的解析式求出，，再根据四边形是平行四边形即可求出点D的坐标及的面积．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴将代入得：，即，
故该抛物线的解析式为．
（2）解：该抛物线的对称轴为直线，
当时，，
，
，
四边形是平行四边形，
．
，
，
点的坐标为．
的面积为．
15．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)写出该抛物线的对称轴并求点A，B的坐标；
(2)求；
(3)在对称轴上是否存在一点P，使以为顶点的四边形为平行四边形？
【答案】(1)，，
(2)4
(3)存在，或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）根据函数的性质直接写出对称轴即可，分别令，求出点A，B的坐标即可；
（2）利用三角形的面积公式进行求解即可；
（3）根据点，点在对称轴上，得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴对称轴为直线；
当时，，当时，，解得：，
∴，；
（2）∵，，
∴，
∴；
（3）存在，设，
∵，，，
∴，
∴当时，以为顶点的四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴或．
【题型6】二次函数y＝a(x－h)²+k的性质叙述
16．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为
B．顶点坐标为
C．函数的最大值是
D．当时，随的增大而减小
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、对称轴为，故此选项说法错误，不符合题意；
B、顶点坐标为，故此选项说法错误，不符合题意；
C、函数的最大值是，故此选项说法正确，符合题意；
D、当时，随的增大而减小，故此选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
17．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）抛物线的对称轴为直线 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点坐标式解析式，可知的对称轴是．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
抛物线的对称轴是．
故答案为： ．
18．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）二次函数的最大值是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题关键．
根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】解：∵二次函数，
∴
∴图象开口向下，顶点坐标为，
∴当时，函数有最大值5，
故答案为：5．
【题型7】二次函数y＝a(x－h)²+k的增减性
19．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．根据函数顶点式的特点，确定其对称轴为，图象开口向上；利用二次函数的对称性和增减性即可判断．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴距离对称轴越近，函数值越小，
而，
∴，
故答案为：．
20．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）如果二次函数（m为常数）的图象上有两点和，那么 （填“>”、“=”或“