九年级人教版数学上册预习 专题05根与系数的关系（8大类型精准练+过关检测） （解析版）

这是一份九年级人教版数学上册预习 专题05根与系数的关系（8大类型精准练+过关检测） （解析版），共38页。试卷主要包含了一元二次方程根与系数的关系，几种主要的代数式求值问题等内容，欢迎下载使用。
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：X大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
1.一元二次方程根与系数的关系
如果方程 有两个实数根，那么
文字语言：一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比
使用条件：
(1)方程是一元二次方程，即二次项系数a≠0：
(2)方程有实数根，即△≥0
2.有关根与系数的关系的两个重要推论
（1）以为实数根的一元二次方程(二次项系数为1)是
（2）如果方程的两个实数根是，那么
3.几种主要的代数式求值问题
【课前热身】
1．判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两个根的和与积．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）有两个不相等的实数根，，；
（2）有两个相等的实数根，，；
（3）有两个不相等的实数根，，；
（4）有两个不相等的实数根，，．
【分析】各个小题均根据根的判别式判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，求出两根和与两根积．
【详解】解：（1），
，，，
△
，
方程有两个不相等的实数根，
设方程的两个根为：，，
；
（2），
，，，
△
，
方程有两个相等的实数根，
设方程的两个根为：，，
；
（3），
，，，
△
，
方程有两个不相等的实数根，
设方程的两个根为：，，
；
（4），
，，，
△
，
方程有两个不相等的实数根，
设方程的两个根为：，，
．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．
2．已知，是方程的两根，求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）．
【分析】（1）、（2）直接根据根与系数的关系求解；
（3）先利用完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
3．已知关于的一元二次方程的一个根是1，求它的另一个根及的值．
【分析】根据根与系数的关系可求得两根的和及两根的积，又知一根为1，则根据根与系数的关系，可解得另一个根及的值．
【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系，
得，，又知，
则，，，．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系．
4．方程的两根之和与两根之积都等于10，求，的值．
【答案】的值为1，的值为．
【分析】根据方程两根之和为，两个之积为及方程的两根之和与两根之积都等于10列出方程组可得答案．
【详解】解：方程的两根之和与两根之积都等于10，
，
解得，
经检验，是原方程组的解，
的值为1，的值为．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握方程两根之和为，两个之积为．
【题型1 】不解方程求两根之和与两根之积
1．（2025•汇川区四模）已知，是方程的两个实数根，则的值为
A．B．1C．D．3
【答案】
【分析】利用根与系数的关系，即可求出的值．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
．
故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
2．（2025春•界首市期中）若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则 1 ．
【答案】1．
【分析】把方程化为一般形式，根据一元二次方程根与系数关系即可得到答案．
【详解】解：由根与系数关系可知：，
故答案为：1．
【点评】此题考查了一元二次方程的根与系数关系．熟练掌握根与系数关系是解题的关键．
3．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积．
（1）；
（2）．
【分析】（1）首先去括号，进而整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系求出即可；
（2）首先整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系求出即可．
【详解】解：（1），
整理得：，
则，；
（2），
整理得：，
则，．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，正确记忆根与系数关系是解题关键．
4．求下列方程两根的和与两根的积：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【分析】利用根与系数的关系：，，代入计算即可求解．
【详解】解：（1）设，是的两根，
则，；
（2）变形为，
设，是的两根，
则，；
（3）设，是的两根，
则，；
（4）变形为，
设，是的两根，
则，．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题关键是熟知根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
【题型2】利用根与系数的关系求代数式的值
5．（2025春•天津校级月考）已知，分别是方程的两个根，则代数式的值为
A．4B．5C．2D．6
【答案】
【分析】根据根与系数的关系，得到，，整体代入法求值即可．
【详解】解：由条件可得，，
；
故选：．
【点评】本题考查根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．
6．（2025春•泉州期中）设，是方程的两个实数根，则的值为
A．0B．1C．4036D．2018
【答案】
【分析】由，是方程的两个实数根，利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出，，再将其代入中即可求出的值．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出，是解题的关键．
7．（2025春•马边县期中）已知一元二次方程的两根为，，则的值为 ．
【答案】．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得出，，再整体代入到中，即可求解．
【详解】解：一元二次方程的两根为，，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得到，．
8．（2024秋•天河区校级月考）设，是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【分析】先根据根与系数的关系得到，，再进行代数式变形得到（1）中的原式，（2）中的原式，然后分别利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：根据题意得，，
（1）原式；
（2）原式．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
9．（2025春•濉溪县期中）设，是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【分析】利用根与系数的关系得到，，
（1）利用乘法公式展开得到原式，然后利用整体代入的方法计算；
（2）通分得到原式，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得，，
（1）原式；
（2）原式．
【点评】本题考查了根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
【题型3】已知代数式的值求参数
10．（2025•聊城模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．若，则的值是
A．2B．C．2或D．不存在
【答案】
【分析】先由二次项系数非零及根的判别式△，得出关于的不等式组，解之得出的取值范围，再根据根与系数的关系可得出，，结合，即可求出的值．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，
，
解得：且，
、是方程的两个实数根，
，，
，
，
或，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式△，找出关于的不等式组；（2）牢记，．
11．（2025•绥化二模）设，是关于的方程的两个根，且，则 ．
【分析】根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可求出结论．
【详解】解：设，是关于的方程的两个根，
，，
．
，
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
12．（2025春•北仑区期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．实数满足，则实数的值为 ．
【答案】．
【分析】首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把转换为，然后利用前面的等式即可得到关于的方程，解方程即可求出结果．
【详解】解：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，实数满足，
，，
，
，
解得，，
经检验，是分式方程的解，
又方程有两个实数根，
△，
当时，△，
当时，△，
符合条件的的值为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，根的判别式，解答本题的关键要明确：若二次项系数不为1，则常用以下关系：，是一元二次方程的两根时，，，反过来也成立．
13．（2025•和平区校级模拟）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求实数的取值范围：
（2）若、是该方程的两个根，且满足，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式△，可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
（2）利用根与系数的关系，可得出，，结合，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根，
△，
解得：，
实数的取值范围为；
（2）、是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
的值为1．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系及，找出关于的一元二次方程．
14．（2025•和平区校级一模）关于的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据根的判别式得出△，再求出答案即可；
（2）根据根与系数的关系得出，，根据得出，再求出方程的解即可．
【详解】解：（1），
关于的一元二次方程有两个实数根和，
△，
解得：，
即实数的取值范围是；
（2），
由根与系数的关系得：，，
，
，
解得：或1，
舍去，
．
【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键，①已知一元二次方程、、为常数，的两根为，，则，，②已知一元二次方程、、为常数，，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
15．（2025•高密市三模）已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数的取值范围；
（2）若两个实数根和满足，求的整数值．
【答案】（1）；
（2）0、1、2．
【分析】（1）根据根的判别式的意义得到△，然后解不等式即可；
（2）先利用根与系数的关系得到，，再利用得到，解不等式得到的范围，然后写出整数即可．
【详解】解：（1）根据题意得△，
解得；
（2）根据根与系数的关系得，，
，
，
解得，
而，
，
的整数值为0、1、2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．
【题型4】已知方程的一根求另一个根
16．（2025•鹿城区校级三模）若是关于的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，然后解关于的方程即可．
【详解】解：设方程的另一个根为，
根据根与系数的关系得，
解得，
所以方程的另一个根为1．
故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
17．（2025春•凤阳县校级期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根；
（2）当时，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用根与系数的关系可得另外一根；
（2）把代入，再利用根的判别式，列出不等式，即可解答．
【详解】解：（1）设方程的另一个根为，
则，
；
（2）当时，方程为，
由题意可得：，
解得．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟记相关公式是解题的关键．
18．（2024秋•潮阳区期末）若是关于的方程的一个根，求的值和方程的另一根．
【答案】，另一个根为2．
【分析】先把代入方程可求出，则原方程化为，设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，从而求出即可．
【详解】解：把代入方程得，
解得，
原方程化为，
设方程的另一个根为，
根据根与系数的关系得，
解得，
即方程的另一个根为2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．
19．（2025春•永康市期中）已知关于的方程．
（1）若该方程有一个根为，求方程的另一根；
（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【答案】（1）0；
（2）见解答．
【分析】（1）先把代入求出，则方程变形为，设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得到，然后解关于的方程即可；
（2）计算判别式的值得到△，利用非负数的性质得到△，然后根据判别式的意义得到结论．
【解答】（1）解：把代入方程得，解得，
方程变形为，
设方程的另一个根为，
根据题意得，解得，
即方程的另一根为0；
（2）证明：△
，
，
△，
不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了根的判别式．
【题型5】已知两根求一元二次方程
20．（2024秋•平顶山期末）已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个一元二次方程是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】可利用根与系数的关系直接写出方程，也可用检验的办法确定符合条件的选择支．
【详解】解：法一、，，
根为3和的一元二次方程为：．
故选：．
法二、把3和分别代入各个选择支，
同时满足方程成立的只有．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，难度不大．掌握根与系数的关系是解决本题的关键．
21．（2024秋•即墨区期中）已知一元二次方程的两根分别是 2 和，则这个一元二次方程是 ．
【分析】利用根与系数的关系可知求得该方程的系数， 再写出该方程即可， 答案不唯一 ．
【详解】解：
可设该方程为，
则由根与系数的关系可求得，，
所以该一元二次方程为：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系， 设出方程为，利用待定系数法求解是解题的关键 ．
22．（2010春•怀化校级期中）已知一元二次方程的两根为：，则这个方程是 ．
【分析】根据一元二次方程的根的定义以及一元二次方程的解法，利用因式分解法解一元二次方程的方法求出即可．
【详解】解：一元二次方程的两根为：，
这个方程是：，
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的求解的逆向应用，解该题的关键是要掌握因式分解法解一元二次方程时，灵活分解因式．
23．（2024秋•辉县市校级月考）解某个一元二次方程时，甲看错了方程的常数项，因而得出的两根为8和2；乙看错了方程的一次项的系数，因而得出两根为或，那么正确的方程为
A．B．C．D．
【分析】根据根与系数的关系，甲看错了方程的常数项，得出的两根为8和2，于是一次项系数为，同样，乙看错了一次项的系数，得出两根为或，于是得到常数项为，然后写出满足条件的方程即可．
【详解】解：由于甲看错了方程的常数项，得出的两根为8和2，则一次项系数为，
而乙看错了方程的一次项的系数，得出两根为或，则常数项为，
所以原一元二次方程为．
故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
24．已知一元二次方程的两根都是整数，且不相等，若其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是整根方程．例如：的两根为，．因为2是的倍，所以是整根方程．
（1）求证：方程是整根方程；
（2）若存在正整数，使关于的一元二次方程是整根方程，且关于的一元二次方程有实数根，求的值．
【答案】（1）见解析；
（2）1．
【分析】（1）利用因式分解法解出方程，根据倍根方程的定义判断即可；
（2）利用因式分解法解出方程，根据倍根方程的定义，以及根的判别式求出的值．
【详解】解：（1），
，
，，
是3的倍，
是倍根方程；
（2），
，，
总有两个实数根，
△，
解得，
正整数，使得关于的一元二次方程是倍根方程，时，的根为，，不是倍根方程，
时，的根为，，是倍根方程，
．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法和判别式，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
【题型6】判别式和根与系数的关系综合问题
25．（2025春•崇川区校级月考）关于的一元二次方程的有两个实数根为，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）8．
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【详解】解：（1）因为关于的一元二次方程的有两个实数根，
所以△，且，
解得，
所以的取值范围是．
（2）因为关于的一元二次方程的两个实数根为，，
所以．
又因为，
所以，
则，
所以，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
所以的值为8．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及绝对值，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
26．（2025•邗江区校级二模）已知关于的方程：，其中是常数．
（1）求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值．
【答案】（1）见解答；
（2）2015．
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到△，则△，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）当时，原方程化为，先利用一元二次方程解的定义得到，则变形为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】（1）证明：△
，
不论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当时，原方程化为，
是方程的根，
，
，
，
、是方程的两个根，
，
．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．
27．（2025•尤溪县一模）已知实数、、，且满足，．
（1）求证：的值是定值；
（2）若、同号，求的取值范围；
（3）当、同号时，设，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据题意，和可看成方程的两个实数根，再结合根与系数的关系进行证明即可．
（2）根据题意得出关于的不等式，据此可解决问题．
（3）根据题意，结合，的取值范围，求出的取值范围即可．
【解答】（1）证明：，，
和可看成方程的两个实数根，
，
故的值是定值．
（2）解：，
△，
解得，
由（1）知，
．
因为，同号，
所以，
解得．
；
（3）解：由上述过程可知，
，，
所以，
，
．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
28．（2025•凉州区校级二模）已知关于的方程，其中，为实数．
（1）当，时，求方程两根的平方和．
（2）当时，若方程有一个根为，判断与的大小关系并说明理由．
（3）若对于任何实数，此方程都有实数根，求的取值范围．
【答案】（1）50；
（2），理由见解析；
（3）．
【分析】（1）先把，代入，得出，解方程得出，，然后求出结果即可；
（2）把方入方程得出，求出，即可得出答案；
（3）根据根的判别式得出△，整理得出，根据对于任何实数，此方程都有实数根，得出对于任何实数，恒成立，即可得出答案．
【详解】解：（1）当，时，方程为，
解得：，，
，
即两根的平方和为50．
（2）把方入方程得：
，
整理得：，
，
，
即；
（3）由题可知△，
整理得：，
对于任何实数，此方程都有实数根，
对于任何实数，恒成立，
．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法及根的判别式．
【题型7】根与系数的关系与几何问题
29．（2025春•西湖区校级期中）已知关于的一元二次方程．
（1）证明：该方程一定有两个不相等的实数根．
（2）已知该方程的两根分别是一个直角三角形的两条直角边的长度，当这个直角三角形的斜边长为时，求的值．
【答案】（1）答案见解析；
（2）．
【分析】（1）求出根的判别式的符号即可得出结论；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，以及勾股定理进行求解即可．
【解答】（1）证明：由题意可知：△，
不论实数取何值，该方程一定有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两个根为，，
，，
由题意可得：，
，
，
解得：或，
当时，，不合题意，舍去．
．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数之间的关系、勾股定理．掌握一元二次方程根的判别式与根的个数之间的关系以及根与系数之间的关系，是解题的关键．
30．（2025•五通桥区模拟）已知：平行四边形的两条边，的长是关于的方程的两个实数根．
（1）当为何值时，四边形是菱形；
（2）若，求平行四边形的周长．
【答案】（1）当为1时，四边形是菱形；
（2）的周长是5．
【分析】（1）根据菱形的性质可得出，结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长；
（2）将代入原方程可求出的值，将的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出的周长．
【详解】解：（1）四边形是菱形，
．
又、的长是关于的方程的两个实数根，
△，
，
当为1时，四边形是菱形；
（2）把代入原方程，得：，
解得：，
将代入原方程，得：，
方程的另一根，
的周长是．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、平行四边形的性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据菱形的性质结合根的判别式，找出关于的一元二次方程；（2）根据根与系数的关系结合方程的一根求出方程的另一根．
31．（2025春•杭州期中）已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是10．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当为何值时，为等腰三角形？并求的周长．
（3）当为何值时，是以为斜边的直角三角形？
【答案】（1）证明见解析；
（2）当时，是等腰三角形，此时的周长为32；
当时，是等腰三角形，此时的周长为28；
（3）时，是以为斜边的直角三角形．
【分析】（1）计算判别式△，即可得证；
（2）根据是等腰三角形，可知是方程的一个根，代入方程，求出，①当时，②当时，再根据根与系数的关系，求出底，即可求出的周长；
（3）根据根与系数的关系，可得，，再根据勾股定理列方程，求出的值，再检验即可确定．
【解答】（1）证明：△，
无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
第三边的长是10，
当为等腰三角形时，为一元二次方程的一个根，
当时，，
解得或10，
①当时，方程变为，
设等腰三角形的底为，
根据根与系数的关系，，
，
的周长为：；
②当时，方程变为，
设等腰三角形的底为，
根据根与系数的关系，，
解得，
的周长为；
综上，当时，是等腰三角形，此时的周长为32；
当时，是等腰三角形，此时的周长为28；
（3）解：，的长是关于的一元二次方程的两个根，
，，
是以为斜边的直角三角形，且，
，
即，
解得或，
当时，，符合题意，
当时，，不合题意，
综上，时，是以为斜边的直角三角形．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，涉及等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键，本题综合性较强．
【题型8】新定义探究问题
32．（2025春•温州期中）定义：如果关于的一元二次方程，，均为常数，有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．
（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是 ③ （填序号）．
①；
②；
③．
（2）若是“邻根方程”，求的值．
（3）若一元二次方程，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可；
（2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的方程求解即可；
（3）设方程的两个根，，根据“邻根方程”的定义得到，利用根与系数关系可得到、的数量关系．
【详解】解：（1）①解方程得，，
，
方程不是“邻根方程”；
②解方程得，
，
方程不是“邻根方程”；
③解方程得，，
，
方程是“邻根方程”．
故答案为：③．
（2）解方程得：，，
该方程是“邻根方程”，
或，
解得或．
（3）设方程的两个根，，则，，，，
由得，
，即，
．
【点评】本题主要考查解一元二次方程、根与系数的关系等知识点，正确理解“邻根方程”的定义是，解答的关键．
33．（2025春•舟山期中）已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）下列是“差根方程”的是 ① ；（填写序号）
①；②
（2）已知关于的方程是“差根方程”，求的值．
（3）已知△是直角三角形，的长为，若△的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程．
【答案】（1）①；
（2）；
（3）和．
【分析】（1）根据“差根方程”定义判断即可．
（2）根据是“差根方程”，解方程求得，得到，从而得到；
（3）分 为直角边和斜边两种情况，根据韦达定理计算即可求得答案．
【详解】解：（1）①，
，
，，
该方程是差根方程；
②，
，
，，
，
该方程不是差根方程；
故答案为：①
（2），
因式分解得：，
解得：，，
关于的方程是“差根方程”，
，；
（3）设，
当为斜边时，，，
，
，
，
解得，
，
解得舍去，边长不能为负），
，，
方程为，
当为斜边，则，，
，
，
，
当 时，时，解得，由韦达定理可得方程为，
当 时，（边长不能为负，舍去），
综上，这个差根方程为和．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键．
一．选择题（共6小题）
1．（2025•柳州三模）若、是方程的两个根，则的值为
A．B．1C．6D．
【答案】
【分析】利用根与系数的关系求解即可．
【详解】解：由条件可知．
故选：．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
2．（2025•秦皇岛模拟）已知，是关于的方程的两个根，下列结论一定正确的是
A．B．C．，D．
【答案】
【分析】根据判别式判断根的情况，根据根与系数的关系，判断两根的符号，即可得出结论．
【详解】解：由题意可知：△，
方程有两个不相等的实数根，
，是关于的方程的两个根，
；故正确，错误；
，
，异号或其中一个的值为0，的值不一定大于0；故，错误；
故选．
【点评】本题考查了根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握各知识点是解题的关键．
3．（2025•绵阳三模）已知和是方程的两个解，则的值为
A．2020B．2024C．2026D．2028
【答案】
【分析】关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意可得，，将所求式子变形为，整体代入所求式子计算即可得解．
【详解】解：由条件可知，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
4．（2025•西陵区模拟）已知一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是
A．B．C．1D．2
【答案】
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为一元二次方程为，
所以此方程的两根之和为．
又因为它的一个根为，
所以另一个根为．
故选：．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
5．（2025•江阳区校级模拟）已知四边形是菱形，菱形的两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为
A．B．C．1D．2
【答案】
【分析】根据菱形的性质可知，利用根的判别式△可求出值．
【详解】解：四边形是菱形，
，
△，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了菱形的性质、根与系数的关系，解题的关键是利用根的判别式△，得出关于的方程．
6．（2025•市中区模拟）关于的方程的两实根异号，则满足的条件是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由方程的两实数根异号，可得出两根之积小于零，再利用二次根式的被开方数非负及△即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为关于的方程的两实根异号，
所以且，
解得．
又因为，
所以，
综上所述，满足的条件是：．
故选：．
【点评】本题考查根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
7．（2025•信都区二模）若关于的一元二次方程的两个根分别为，，则 ．
【答案】．
【分析】根据题意，把代入得到，在根据一元二次方程根与系数的关系“”的计算即可求解．
【详解】解：由条件可知，
解得，
一元二次方程为，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握其计算方法是关键．
8．（2025•天河区校级二模）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 0 ．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，结合整体思想即可解决问题．
【详解】解：因为，是方程的两个实数根，
所以，，
则，
所以．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系及代数式求值，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧用整体思想是解题的关键．
9．（2025•青羊区校级模拟）若，是方程的两个根，则 ．
【答案】．
【分析】依据题意，由，是方程的两个根，则，，，从而，进而计算可以得解．
【详解】解：由题意，，是方程的两个根，
，，．
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
10．（2025•郫都区校级模拟）若一元二次方程的两个实数根是某直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的周长为 ．
【答案】．
【分析】根据直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，可直接设出，，根据韦达定理和勾股定理求解即可．
【详解】解：设两条直角边的长分别是，，
则，，
，
直角三角形斜边的长是，
这个直角三角形的周长为：．
故答案为：．
【点评】此题考查一元二次方程的根与系数的关系和勾股定理，解题关键是一元二次方程的根与系数的关系为，．
11．（2025•广州模拟）对于字母、，定义新运算☆，若方程的解为、，则☆的值为 6． ．
【答案】6．
【分析】判断出，，再根据新定义计算即可．
【详解】解：方程的解为、，
，，
☆．
故答案为：6．
【点评】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．（2025•镇江模拟）定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程的两个根为，，因为是的2倍，所以方程是“一元二次倍根方程”．已知是正整数，若关于的一元二次方程是“一元二次倍根方程”，且关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则的值为 2或5 ．
【答案】2或5．
【分析】用因式分解法求解方程得出，，再根据一元二次方程根的判别式，得出的取值范围，最后根据“倍根方程”的定义，即可求解．
【详解】解：，
，
或，
解得：，，
总有两个不相等的实数根，
△，
解得，
是正整数，
，2，3，4，5，6，
方程是“倍根方程”，
能被整除或能被3整除，
或5．
故答案为：2或5．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
三．解答题（共6小题）
13．（2025春•昭平县期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若取最大正整数值，设、是该方程的两根，求的值．
【答案】（1）且；
（2）．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可求解；
（2）根据（1）中的取值范围确定的值，代入一元二次方程方程，利用根与系数的关系得到、的值，对算式变形后代入计算即可得到答案．
【详解】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
解得，
又，
，
的取值范围为：且；
（2），
的最大正整数值为2，
当时，一元二次方程为，
，，
原式
．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
14．（2025•南充）设，是关于的方程的两根．
（1）当时，求及的值．
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）详见解答．
【分析】（1）先把方程的解代入方程，得关于的新方程并求解，再根据根与系数的关系或解方程求出方程的另一个解；
（2）先利用根的判别式判断方程解的情况，再利用根与系数的关系整体代入，得结论
【详解】解：（1）把代入方程，
得，
．
，即．
．
，．
．
（2）方程可化为．
△，
方程有两个不相等的实数根．
方程即的两根为、，
，．
．
，
，即．
【点评】本题主要考查了一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解法等知识点是解决本题的关键．
15．（2025•舒城县模拟）已知关于的一元二次方程为常数）有两个不相等的实数根和．
（1）若方程有一个根为2，求的值；
（2）敏敏求出，老师说敏敏的这个答案一定有误，你同意老师的观点吗？并给出理由．
【答案】（1）；
（2）同意．理由见解答．
【分析】（1）把 代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可；
（2）利用根与系数的关系得，，由于，则可求出，，所以，则，从而判断不存在这样的，使得．
【详解】解：（1）把 代入方程得，
解得，
即的值为；
（2）同意老师的观点．
理由如下：
根据根与系数的关系得，，
，
解得，，
而，
，
，
，
不存在这样的，使得．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
16．（2025•青原区模拟）关于的方程为．
（1）证明：方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程的两个实数根分别为，．且满足，求的取值范围．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【分析】（1）要证明无论取何值方程总有两个不相等的实数根，只要证明△即可，而△，由，可得到△；
（2）根据根与系数的关系得到，，利用整体代入的方法得到，然后解关于的不等式即可．
【详解】解：（1）△，
无论取何值方程总有两个不相等的实数根．
（2）根据题意得，，
，
，
，
的取值范围为．
【点评】本题考查了一元二次方程，，，为常数）的根的判别式△．当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根；也考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
17．（2025春•宁海县期中）已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有实数根；
（2）若是这个方程的一个根，求的值和它的另一个根；
（3）若等腰的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
【分析】（1）计算方程的根的判别式，若△，则证明方程总有实数根；
（2）把代入方程，得到关于的方程，解方程求得，由得到关于的方程为，解得另一根为2；
（3）分两种情况，求得，的值后，再求出的周长．
【详解】解：（1）△，此时方程有两个实数根．
综上所述，无论取何值，此方程总有实数根．
（2）若是这个方程的一个根，则，
解得，
关于的方程，
解方程得，，
方程的另一根是2；
（3）当为底边，则，为腰长，则，则△．
，解得：．
此时原方程化为
，即．
此时三边为4，2，2，构不成三角形，
当为腰，则为腰长，为底，则，
求得，
关于的方程为．
解得或4，
，
周长为．
故这个等腰三角形的周长是10．
【点评】重点考查了根与系数的关系、根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验，也考查了解一元二次方程和一元二次方程的解．
18．（2025春•崇川区校级月考）定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”．
例如：，即，解得，，
，是差积方程．
（1）方程 不是 （填是或不是）“差积方程”；
（2）若关于的方程是“差积方程”，求出的值．
（3）若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，求的值．
【答案】（1）不是；
（2）或；
（3）2．
【分析】（1）利用分解因式法解方程，求出方程的根，再根据“差积方程”的定义进行判断即可；
（2）利用分解因式法解方程，求出方程的根，再根据“差积方程”的定义列出关于的方程，分三种情况讨论，求出的值即可；
（3）设关于的方程的根为和，根据一元二次方程根与系数的关系得：，，然后根据关于的方程是“差积方程”，列出关于的方程，分三种情况讨论，求出，再求出，，最后代入计算即可．
【详解】解：（1），
，
解得：，，
，
方程不是“差积方程”，
故答案为：不是；
（2），
，
解得：，，
关于的方程是“差积方程”，
，
分三种情况讨论：
①当时，，
，
（不合题意舍去）；
②当时，
，
，
；
③当时，
，
，
；
综上可知：的值为或；
（3）设关于的方程的根为和，
，，
关于的方程是“差积方程”，
，
，
当时，（无解）；
当时，（无解）；
当时，，
解得：，
，
解得：，
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题关键是熟练掌握几种常见的解方程的方法和一元二次方程根与系数的关系．