2024_2025学年_福建福州高二第一学期期中联考数学试卷2[附解析]

这是一份2024_2025学年_福建福州高二第一学期期中联考数学试卷2[附解析]，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知两直线与直线平行，则（ ）
A．B．6C．D．
2．在空间坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．过点的直线与圆交于A，B两点，当弦AB最短时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆的焦距为6，则的值是（ ）
A．5B．32C．5或77D．32或50
5．若直线与直线关于直线对称，则直线一定过定点（ ）
A．B．C．D．
6．已知实数，满足，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（ ）

A．B．C．D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．点斜式可以表示任何直线
B．直线在轴上的截距为
C．直线关于点对称的直线方程是
D．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是
10．已知圆和圆，则（ ）
A．若两圆相交，则
B．直线可能是两圆的公切线
C．两圆公共弦长的最大值为
D．两圆公共弦所在的直线方程可以是
11．已知正方体棱长为，为平面内一点，为中点.下列论述正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则到直线的距离为
C．若，则有且仅有一个点，使得平面
D．若，则平面与底面所成角正弦值的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，分别是平面、的法向量，若，则 .
13．平面内点满足，其中、，且，则的面积为 .
14．在直角坐标平面内，、，是、两点的直线距离，定义：叫做、两点的“城市街区距离”.已知是圆上一点，是直线上一点，则、两点的直线距离最小值是 ，、两点的“城市街区距离”最小值是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是.
(1)求点的坐标；
(2)判断的形状.
16．在平行六面体中，在上且，为的中点，，，，，记，，，
(1)用，，表示；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
17．如图，某海面上有，，三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆经过，，三点.

(1)求圆的方程；
(2)若圆区域内有暗礁，现有一船在岛的北偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
18．如图，四边形与均为菱形，，，.

(1)求证：平面；
(2)为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值；
(3)设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度.
19．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，是椭圆上任一点，的面积的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)四边形顶点在椭圆上，且对角线、过原点，设，，
①若，求证：直线和直线的斜率之和为定值；
②若，求四边形周长的取值范围.
答案
1．【正确答案】A
【详解】解：，
直线的斜率，
直线，
易知时与不平行，
即，
故直线的斜率，
两直线与直线平行，
，
即，
解得.
故选：A.
2．【正确答案】A
【详解】根据空间直角坐标系的特征，可得点关于轴对称的点坐标是.
故选：A.
3．【正确答案】A
【详解】当最短时，直线，所以，
又，所以，
所以直线的方程为，即..
故选：A.
4．【正确答案】D
【详解】根据椭圆方程可知当焦点在轴上时，可得，解得；
当焦点在轴上时，可得，解得；
综上可知，的值是32或50.
故选：D
5．【正确答案】C
【详解】易知直线恒过点，所以可得直线一定过关于直线的对称点；
设对称点坐标为，可得，解得，
即直线一定过定点.
故选：C
6．【正确答案】B
【详解】表示圆心为，半径为2的圆，
表示过点和点直线的斜率，
如图所示：直角中，，，,
故，同理可得. 所以.
故选：B.
7．【正确答案】B
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.
【详解】因为，为的中点，则，
由圆锥的几何性质可知平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
又因为，所以，点到平面的距离为.
故选：B.
8．【正确答案】D
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，所以，
又，所以，，
，所以，
所以椭圆的离心率为.
故选：D.
9．【正确答案】BC
【详解】对于A选项，点斜式不表示倾斜角为的直线，A错；
对于B选项，在直线的方程中，令，可得，
所以，直线在轴上的截距为，B对；
对于C选项，直线关于点对称的直线方程为，其中，
则，可得，因为，解得，
所以，直线关于点对称的直线方程是，C对；
对于D选项，若所过直线过原点，该直线的斜率为，此时，所求直线方程为，
若所求直线不过原点，设所求直线方程为，则，解得，
此时，所求直线方程为，
综上所述，过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是或，D错.
故选：BC.
10．【正确答案】ABC
【详解】圆的圆心为原点，半径为，圆的圆心为，半径为，
对于A选项，因为，
若两圆相交，则，即，
因为，解得，A对；
对于B选项，原点到直线的距离为，则直线与圆相切，
若直线与圆相切，则，
即当时，直线是两圆的公切线，B对；
对于C选项，将两圆方程作差可得，
当直线过原点时，即时，即当时，
两圆的相交弦的弦长取最大值，且此时两圆的相交弦为圆的一条直径，C对；
对于D选项，若两圆的相交弦方程为，
则有，因为，解得，不合乎题意，D错.
故选：ABC.
11．【正确答案】ABD
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、
、、，
对于A选项，，
则，
，所以，，故，A对；
对于B选项，若，则为线段的中点，即点，
，，
所以，点到直线的距离为，B对；
对于C选项，，其中，
则，，
因为平面，则，即，
，解得，
因此，不存在点，使得平面，C错；
对于D选项，若，其中，
，，
设平面的法向量为m=x,y,z，则，
取，可得，且，
易知平面的一个法向量为，
设平面与底面所成角为，
所以，，
则，D对.
故选：ABD.
12．【正确答案】
【详解】因为向量，分别是平面、的法向量，且，则，
则，解得，，故.
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】设，，，则，
由余弦定理可得
，
所以，可得，所以，，
因为，则，故.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】圆的圆心为原点，半径为，
所以，、两点的直线距离最小值为原点到直线的距离减去半径，
故、两点的直线距离最小值为，
不妨设点、，则，
则、两点的“城市街区距离”为
，
令，
则关于的函数在连续，则该函数在上递减，
在上单调递增，
所以，，
为锐角，且，
所以，当时，、两点的“城市街区距离”取最小值.
故；.
15．【正确答案】(1)
(2)直角三角形
【详解】（1）设，
因为边的高线所在直线方程是，所以，
又，所以①，
又点在直线上，所以②，
由①②解得，所以点的坐标为；
（2）设，因为点在上，所以，
因为边上的中线所在直线方程是，
所以，解得，所以，
所以，，
所以，所以，
又，，
所以是直角三角形.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）易知；
（2）根据题意可知，且;
所以可得
；
又易知
；
所以，
因此异面直线与所成角的余弦值为.
17．【正确答案】(1)
(2)该船没有触礁的危险
【详解】（1）根据题意可知，
易知圆的圆心在线段的垂直平分线上，可设圆心，
又可得，
解得，所以半径，
因此圆的方程为.
（2）由在岛的北偏西方向距岛千米处，可得；
由行驶方向为北偏东可知行驶直线所在直线斜率为，
因此行驶直线方程为，
圆心到直线的距离为，
即行驶直线与暗礁区域圆相离，因此该船没有触礁的危险.
18．【正确答案】(1)证明见解析 (2) (3)
【详解】（1）因为四边形为菱形，则，
设，连接，则为的中点，
因为，则，
因为，、平面，故平面.
（2）连接，因为四边形为菱形，则，
又因为，则为等边三角形，
因为为的中点，则，
又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、
、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为，四边形为菱形，且，则是边长为的等边三角形，
所以，，，，
同理可得，
所以，A3,0,0、、、、、，
则，，
设平面的法向量为m=x1,y1,z1，
则，取，可得，
因为为上的动点，设，其中，
且，，
所以，，
设直线与平面所成角为，
则
，
当时，取最大值，且最大值为，
因此，与平面所成角正弦值的最大值为.
（3）因为为的中点，则，
设点，则，，
因为，即，即，
化简可得，
故动点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在四边形内的部分，
即圆心角为的圆弧，故所求轨迹的长度为.
19．【正确答案】(1)
(2)①见解析；②
【详解】（1）由题意知：当点是椭圆的上、下顶点时，的面积取最大值，
即，
再根据离心率为，
可得：，
由，
解得：，
故椭圆的标准方程为：．
（2）①如图所示：
当直线斜率不存在时，不满足，
故直线斜率存在，
设直线AB的方程为，
联立，得，
，
，
，
，
整理得：，
即，
由题意知：与，与关于原点对称，
即，
即，
故，
所以直线和直线的斜率之和为定值．
②对角线、过原点，且，
即，
四边形为菱形，
故四边形的周长为：，
当直线斜率不存在时，
，
，
由，
得：，
即，
又，
解得：，
当直线斜率存在时，由①再结合，得，
得，
即，
故，
令，
则，
，
，
当时，，
当时，，
综上所述：，
四边形周长的取值范围为：．