江西省南昌市南昌联盟2024-2025学年九年级上学期12月考试数学试卷（解析版）

这是一份江西省南昌市南昌联盟2024-2025学年九年级上学期12月考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列各图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选C．
2. 将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方程整理得：2x2-3x-1=0，
所以，二次项系数为2；一次项系数为-3，
故选：A．
3. 下列事件中，为必然事件的是（ ）
A. 掷一枚骰子，向上一面的点数是7
B. 随意打开一本书，书的页码是奇数
C. 任意画一个三角形，其内角和是
D. 明天下雪的概率是，则明天一定会下雪
【答案】C
【解析】A、掷一枚骰子，向上一面点数是7，是不可能事件，不符合题意；
B、随意打开一本书，书的页码是奇数，是随机事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意；
D、明天下雪的概率是，则明天一定会下雪，是随机事件，不符合题意；
故选：C．
4. 已知是方程的根，则的值为（ ）
A. B. C. 5D. 8
【答案】D
【解析】由题意，，得，
∴，
故选D．
5. 如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵是半圆O的直径，∴，
∵，∴，
∴，
故选：C．
6. 如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】连接，，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，

在正六边形中，，，
，
，
将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，
，即8次旋转一周，
余2，
，
故经过第2026次旋转后，顶点D在的位置，
，
即，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 已知的半径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是______．
【答案】相离
【解析】∵的半径为，点到直线的距离为，
∴，
∴与的位置关系是相离，
故答案：相离．
8. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点B的坐标为________．
【答案】
【解析】点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
9. 若抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是_____．
【答案】
【解析】抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是，
故答案为：．
10. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．设这批椽的数量为，则根据题意可列一元二次方程：______（化为一般式）．
【答案】
【解析】设这批椽的数量为，
则每株椽的价格为：元，
根据题意得：，
整理得：，
故答案为：．
11. 一个圆柱的底面直径为，高为，则这个圆柱的侧面积是______（结果保留）
【答案】
【解析】圆柱的侧面积是．
12. 如图，为半圆的直径，，点到弦的距离为，点从出发沿方向向点以每秒个单位长度的速度运动，连接，经过______秒后，为等腰三角形．
【答案】或或
【解析】作OD⊥AC于D，如图，
∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
Rt△ADO中，∵OA＝5，OD＝4，
∴AD＝，∴AC＝2AD＝6，
当CP＝CA时，作CE⊥AB于E，连接BC，
∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝，
∴CE•AB＝AC•BC，∴CE＝，
在Rt△ACE中，AE＝，
∵AE＝PE，∴BP＝AB﹣2AE＝，∴运动时间为s；
当PA＝PC时，则点P在AC的垂直平分线上，所以点P与点O重合，PB＝5，此时运动时间为5s；
当AP＝AC＝6时，PB＝AB﹣AP＝4，此时运动时间为4s，
综上所述，运动时间为s或4s或5s．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）解方程：；
（2）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，求的度数．
解：（），
，
∴或，
∴或；
（）∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∵，
∴．
14. 某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若进馆人次的月平均增长率相同，求进馆人次的月平均增长率．
解：设进馆人次的月平均增长率为x，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
15. 某学校开设了（几何画板），（数学文化与趣味数学），（生活中的数学），（生活中的博弈论）四门数学类选修课供学生选择，小红和小亮两位学生分别随机选择其中一门课程学习．
（1）小红选择（数学文化与趣味数学）的概率为______；
（2）请利用列表或画树状图的方法，求两人恰好同时选择（几何画板）的概率．
解：（1）开设了（几何画板），（数学文化与趣味数学），（生活中的数学），（生活中的博弈论）四门数学类选修课供学生选择，
小红选择（数学文化与趣味数学）的概率为，
故答案为：；
（2）列表如下：
由上表可知，共有16种等可能的结果，两人恰好同时选择（几何画板）只有1种结果，则（两人恰好同时选择（几何画板））．
16. 已知二次函数y=x2+bx+c经过（1，3），（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线与x轴的交点坐标．
解：（1）依题意把（1，3），（4，0）代入y=x2+bx+c，
得，解得，
所以y=x2﹣6x+8；
（2）设x2﹣6x+8=0，
解得x1=2，x2=4，
所以该抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），（4，0）．
考点：抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．
17. 已知，，，都是上的点，请仅用无刻度的直尺完成画图．
（1）在图中，是的直径，平行四边形的顶点在上，画出弧的中点；
（2）在图中，是的直径，平行四边形的顶点，分别在，上，画出弧的中点．
解：（1）如图，连接对角线，然后延长交于点，
理由：∵四边形是平行四边形，，∴四边形是菱形，
∴平分，∴，∴点即为所求；
（2）如图，连接交于点，连接，然后延长交于点，
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵半径，
∴，
∴，
∴点即为所求．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若该方程有两个实数根，求k的取值范围．
（2）若该方程的两个实数根满足，求k的值．
解：（1）根据题意得
解得；
（2）根据题意得：
∵，，
即 ，
整理得 ，
解得
∵，∴．
19. 如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，
∴当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
20. 如图，是的直径，A是延长线上的一点，点E在上，，交的延长线于点C，交于点F，且点E是的中点．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
（1）证明：如图，连接，

∵点E是的中点，∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
又于点C，
∴于点E，
∵是的半径，
∴为的切线
（2）解：设半径为r，
在中，，
∴，
解得：
即⊙O的半径为2.5．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过，求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，若该商品的日销售利润不低于1500元，求销售单价的取值范围．
解：（1）设函数的表达式为，
将代入上式得：，解得，
故y与x的关系式为；
（2）设公司销售该商品获得的最大日利润为w元，
则，
∵，
∴，
∵，
故抛物线开口向下，
故当时，w随x的增大而增大，
∴当（元）时，w的最大值为1600（元），
故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元；
（3）当时，，
解得，
∴，
答：销售单价的取值范围为．
22. 如图1，已知在中，，，连接．
（1）求的度数；
（2）如图2，点E在内部，满足，求证：；
（3）在（2）的条件下，连接，若，，求的面积．
（1）解：设，则，
∵，
∴，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴；
（3）解：如图所示，将绕点C逆时针旋转90度得到，连接，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
∴，∴是等腰直角三角形，
∴，∴；
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴或（舍去），
∴．
六、解答题（本大题共12分）
23. 综合与实践
问题情境：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图1所示的矩形用地，其中种植金银花的区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段，组成的封闭图形，点A，B分别在矩形的边，上．现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案．
如图2，，P是抛物线的顶点，于T，且．
榕榕设计的方案如下：
第一步：用篱笆沿线段分隔出区域，种植白色金银花；
第二步：点C，E在抛物线上（不与A，B重合），点D，F在上，，都平行于，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿，将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植黄金银花，红金银花，紫金银花．
方案实施：学校采用了榕榕的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完篱笆材料，需确定与之间的距离．为此，榕榕在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴，以为1个单位长度，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的解析式；
（2）求7m篱笆材料恰好用完时与之间的距离；
（3）种植区域分隔完成后，榕榕又想用灯带对该金银花种植区域进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．为此，她尝试设计了如图3所示的矩形灯带，其中两个顶点G，H在抛物线上（可与A，B重合），另外两个顶点K，J在线段上．求符合设计要求的矩形周长的最大值．
解：（1）解法一：
平面直角坐标系如图所示，
设抛物线的解析式为，
由题意知，，，对称轴为直线，
即，，则，解得，
抛物线的解析式为；
解法二：平面直角坐标系如图所示，
由题意知，，，对称轴为直线，
设抛物线的解析式为，
则，解得，
抛物线的解析式为；
（2），之间的距离等于，
设C的横坐标为m，E的横坐标为，
，，
设直线解析式为，代入得：，解得：，
∴直线解析式为，
，，
，，
，
，解得或．
在的左侧，与之间的距离为1；
（3）如图，设G的横坐标为n，则H的横坐标为；
，，
，，
矩形的周长，
当时，矩形的周长取最大值．







销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40