2025年湖南省株洲市芦淞区中考模拟数学试卷（附答案解析）

这是一份2025年湖南省株洲市芦淞区中考模拟数学试卷（附答案解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．足球是全球最具影响力的单项体育运动，它的质量有严格标准，若将超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面四个足球的质量最接近标准的是（ ）
A． B． C． D．
2．鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代正面建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．据统计，2025年“五一”假期全国国内出游人数约为亿（314000000）人次，同比增长，数据“314000000”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．古语有言“逸一时，误一世”．其意是教导我们青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春．其数字谐音为1，1，4，5，1，4，关于这一组数的众数和中位数分别是（ ）
A．1，1B．1，C．1，D．4，4
6．估算的值在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
7．在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
8．数轴是认识数形结合的重要工具．如图，完整的数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ）
A．B．C．D．
9．小郑在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的高是（ ）
A．B．C．D．
10．定义，在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标互为相反数的点，我们称之为“零和点”．下列关于“零和点”的说法中错误的是（ ）
A．函数图象上的“零和点”就是原点
B．函数图象上“零和点”的横坐标为是2
C．函数图象上至少有一个“零和点”
D．函数图象上有且只有一个“零和点”
二、填空题
11．在函数中，自变量x的取值范围为 ．
12．分解因式：3a2﹣12= ．
13．关于的方程的一个根为，则的值为 ．
14．如果从，0，2三个数中任取一个数作为，则直线不经过第四象限的概率是 ．
15．如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若，则的度数为 ．
16．如图所示的机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．

17．如图，在平行四边形中，，以点的圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点，则的长为 ．
18．图1是我国古代提水的器具枯槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上，大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面．当水桶在井里时，．如图2，此支点O到小竹竿的距离是 米（结果精确到0.1米）；如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，那么水桶水平移动的距离是 米（精确到0.1米）（参考数据：）．
三、解答题
19．计算：
20．先化简，再求值：，其中．
21．为落实“劳动”课程，激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的劳动活动课 程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选其中一门．现随机 调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图：
某校学生活动课程选课情况条形统计图
某校学生活动课程选课情况扇形统计图
请根据图表信息回答下列问题：
(1)求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图；
(2)本校共有900名学生，若每间活动教室最多可安排30名学生，试估计开设“折纸龙”课程的教室至少需要几间．
22．如图，学校教学楼上悬挂一块长为的标语牌（米）．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点到地面的距离．
23．如图，在中，是边的中点，以O为圆心的圆过点．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的面积．
24．【问题背景】
2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高100元；
素材二：购买3个种书架和2个种书架共需要2300元：
素材三：种书架的数量不少于种书架数量的．
【问题解决】
(1)求两种书架的单价；
(2)设购买个种书架，购买书架的总费用为元，试求出总费用最少时的购买方案．
25．如图，抛物线交轴于两点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标．
26．【问题背景】在学习了三角形的相关知识后，某中学数学兴趣小组的几个同学对等腰直角三角形进行了探究．如图，在中，，，点、分别在边、上（不同时在点），连接．
(1)【初步感知】如图1，当点、分别与点、重合时，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，连接．试判断四边形是正方形．
(2)【问题探究】如图2，当点D、E不与点B、C重合时，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接．则与的位置关系是怎样的？请说明理由．
(3)【拓展延伸】如图3，当点不与点重合，且为的中点时，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点是点关于直线的对称点，若点在一条直线上，求的值．
项目名称
测量学校教学楼标语牌的底部点D到地面的距离
测量工具
测角仪、皮尺等
方案示意图
（图中点在同一平面内）
测量数据
【数据一】标语长为3米（即米）；
【数据二】测角仪支架高米；
【数据三】小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为；
【数据四】小红在处测得标语牌顶部点的仰角为；
【数据五】小明与小红相距5米，
解决问题
依据他们测量的数据，求出标语牌底部点到地面的距离的长．
参考数据
（，，）
《2025年湖南省株洲市芦淞区中考模拟数学试卷》参考答案
1．C
【分析】本题主要考查了正负数的意义，先确定各数的绝对值，即可得出答案．
【详解】因为，
所以足球质量最接近标准的是．
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】
解：从正面看到的平面图形是：
故选：D．
3．C
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的形式为，其中，为整数．需将原数转换为符合该形式的表达式，据此解答即可．
【详解】解：数据“314000000” 用科学记数法表示为．
故选：C
4．B
【分析】本题考查幂的运算性质，涉及同底数幂相乘、幂的乘方以及合并同类项的规则．需逐一验证各选项是否符合相应法则．
【详解】解：A：，原结果为，错误．
B：，正确．
C：与指数不同，无法合并，结果应为．原结果为，错误．
D：与指数不同，无法合并，结果应为．原结果为，错误．
故选B．
5．B
【分析】本题考查众数和中位数的计算．众数是数据中出现次数最多的数；中位数是将数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数（偶数个数据时取中间两数的平均数）．据此即可求解．
【详解】解：数据中1出现的次数最多，故众数为1．
将数据从小到大排列：1，1，1，4，4，5．数据个数为6（偶数），中位数为第3、4个数的平均数，故中位数为．
故选：B
6．C
【分析】本题考查二次根式的乘法，无理数的估算，先根据乘法法则进行计算，再利用夹逼法求出范围即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，解题关键是利用平行线的性质求出相应的角度．
先利用平行线的性质求得，再由垂直的定义求出，最后利用平角的意义求得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
．
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了数轴，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．
根据题意得到，解得，再逐项判断即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，
解得：，
在中只有
∴的值可以是，
故选：A．
9．B
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
根据证明，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图所示：相交于点O，
∵是烛焰的高，是实像的高，
∴，
∴，
∵蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，，
∴，解得：．
故选：B．
10．C
【分析】本题考查相反数的应用，解题的关键是正确理解“零和点”．
根据“零和点”的定义，逐一验证各选项的正确性即可．
【详解】A、联立和，得，解得，对应，即原点，故选项A不符合题意，
B、联立和，得，解得，故选项B不符合题意，
C、联立 和，得，整理为，无实数解，故无零和点，故选项C符合题意，
D、联立和，得，解得，唯一解，故选项D不符合题意，
故选：C．
11．
【分析】本题考查了函数的取值范围，解题的关键是知晓分式有意义的条件．
根据函数中分式的分母不为0即可得到答案．
【详解】当分式的分母为零时，分式才没有意义，故．
即自变量x的取值范围为．
故答案为：．
12．3（a+2）（a﹣2）
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】3a2﹣12
=3（a2﹣4）
=3（a+2）（a﹣2）．
13．
【分析】根据一元二次方程的解，把代入得到关于m的一次方程，然后解此一次方程即可．
【详解】解：把代入得，
解得：．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查概率公式以及一次函数的性质，先根据题意列表得出所有等可能的结果与所得一次函的图象不经过第四象限的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：列表如下：
由表知，共有3种等可能结果，其中一次函数的图象不经过第四象限的有以及有2种结果，
所以直线不经过第四象限的概率是．
故答案为：．
15．
【分析】由切线长定理可得，进而有，因此要得到的度数只需得到或的度数；由切线的性质可得，已知，根据即可得到的度数，接下来，在中根据三角形的内角和定理即可完成解答．
【详解】解：∵切于点A，是半径，
分别切于点A、B，
．
故答案为：．
16．6
【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；
∴，
∴反比例函数解析式为，
当时，，
答：当其载重后总质量时，它的最快移动速度．
故答案为：6．
17．
【分析】本题考查了角平分线的作法，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由作法可知，平分，再结合平行四边形的性质，可得，进而得出，即可求解．
【详解】解：由作法可知，平分，
，
在平行四边形中，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
18． /
【分析】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定了，解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数值的计算是关键．如图所示，过点作于点，此时为点到小竹竿的距离，可证四边形是矩形，，，在中，米，米，由勾股定理即可求出此支点O到小竹竿的距离出；如图所示，过点作于点，交于点，根据解直角三角形的计算得到米，由即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，此时为点到小竹竿的距离，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵米，点是的中点，
∴米，
在中，米，
∴米，
∴米，
即点到小竹竿的距离为米；
如图所示，过点作于点，交于点，
由（1）可得，米，米，，
∴，
∴，
在中，，
∴（米），
∴米，
∴水桶水平移动的距离米．
故答案为：，
19．0
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，零次幂，负整数指数幂，算术平方根，先化简零次幂，负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
【详解】解：
20．；
【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是先化简括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
．
当时，原式
21．(1)本次被调查的学生人数为50人，补全条形统计图见解析
(2)估计开设“折纸龙”课程的教室至少需要5间教室
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、补全条形统计图、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先利用“做香囊”的10人占总调查人数的可得总人数，再求出“采艾叶”人数，补全条形统计图即可；
（2）先求出900人中参加“折纸龙”人数，再根据每间活动教室最多可安排30名学生，计算即可得出答案．
【详解】（1）解：根据“做香囊”的10人占总调查人数的可得总人数为：人，
所以“采艾叶”人数为人，
补全条形统计图.
（2）解：根据抽样调查，估计900人中参加“折纸龙”人数有（人），
需要教室数，即至少需要5间教室．
22．标语牌底部点到地面的距离的长为米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解三角函数是解题关键．延长交于点，则米，在中，利用正切值得出，设米，则米，米，在中，利用正切值列方程，求出，即可得解．
【详解】解：如图，延长交于点，则米，
由题意可知，米，，，米，
在中，，
，
设米，
米，米，
在中，，
,
解得：，
经检验，是原方程的解，
米，
答：标语牌底部点到地面的距离的长为米．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，解直角三角形的应用，圆的面积，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键．
（1）连接，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据圆的切线的判定定理证明即可；
（2）根据等腰三角形的性质，得到，，，再利用特殊角的正切值，求出半径，即可得到的面积．
【详解】（1）解：如图，连接，
是边的中点，
，
是的半径，
与相切；
（2）解：是边的中点，，，
，，，
在中，，
，
的面积．
24．(1)A种书架的单价为500元，B种书架的单价为400元
(2)总费用最少时的购买方案是购买A种书架5个，B种书架15个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设A种书架的单价为x元，B种书架的单价为y元，根据有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高100元；购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买a个A种书架，则购买个B种书架，根据A种书架的数量不少于B种书架数量的，列出一元一次不等式，解得，再求出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：设A种书架的单价为x元，B种书架的单价为y元，
依题意，得
解得
∴A种书架的单价为500元，B种书架的单价为400元
（2）解：设购买a个A种书架，则购买个B种书架，
∵A种书架的数量不少于B种书架数量的，
∴
解得
依题意，购买书架的总费用为元，
∴
∵
∴w随a的增大而增大
当时，w取得最小值，
此时，
答：总费用最少时的购买方案是购买A种书架5个，B种书架15个．
25．(1)
(2)存在，点的坐标为或；
(3)四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为．
【分析】（1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，，，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标；
（3）先求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，设，且，则，，可得，从而得出，进而得到，利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，交轴于点，
，
解得：，
抛物线的函数解析式为．
（2）解：存在，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线，
点在抛物线的对称轴上，
设点，
，，
，，，
是以为斜边的直角三角形，
，
，
整理得：，
解得：，
存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或；
（3）解：，，
，，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
点在线段上运动，
设，且，
过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，
，，
，
，
，
，
当时，有最大值，
即四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，公式法解一元二次方程，二次函数的最值问题等，利用数形结合的思想解决问题是关键．
26．(1)见解析；
(2)，理由见解析；
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质和已知条件，可得，，，先判断四边形是平行四边形，再判断四边形是正方形即可；
（2）过点作交延长线于点，根据等腰三角形的判定和性质，先得出，再得出，结合旋转的性质证明，得到，即可证明平行；
（3）连接、，过点作交、于点、，证明，得到，结合轴对称的性质，得到，先证明四边形是平行四边形，再四边形是正方形，然后结合旋转的性质，证明，得到，接着证明四边形是矩形，是等腰直角三角形，得出，从而推出，最后利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】（1）解：由旋转的性质可得，，，
在中，，，点、分别与点、重合，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形；
（2）解：，理由如下：
如图2，过点作交延长线于点，
在中，，，
，
，
，
，
，
由旋转的性质可知，，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，连接、，过点作交、于点、，
由（2）可知，，
点在一条直线上，
，
，，
为的中点，
，
，
，
点是点关于直线的对称点，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，
，，
四边形是矩形，是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，掌握相关知识点是解题关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
B
B
C
C
A
B
C
k
0
2