江苏省徐州市2024~2025学年高二数学上册期中试卷[附解析]

这是一份江苏省徐州市2024~2025学年高二数学上册期中试卷[附解析]，共23页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、班级、考生号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 圆的圆心坐标与半径分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】配方后可得圆心坐标和半径．
【详解】由圆，可得圆，
所以圆心坐标为，半径为．
故选：D．
2. 已知直线l上的一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为（ ）
A. B. -C. 2D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解．
【详解】设点是直线上的一点，
将点右平移4个单位长度，
再向下平移2个单位长度，得到点仍在该直线上，
则直线的斜率．
故选：B．
3. 双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由该双曲线焦点坐标在轴上可得，再利用焦点坐标与方程的关系计算即可得解.
【详解】由该双曲线的一个焦点坐标为，则，
由可得，
即有，解得.
故选：B.
4. 若圆与圆有且只有三条公切线，则实数的值为（ ）
A. 6B. 4C. 6或D. 4或
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得两圆外切，即可得，计算即可得.
【详解】由圆与圆有且只有三条公切线，故两圆外切，
故，即，解得.
故选：C.
5. 以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆方程写出长轴端点和焦点坐标，从而得双曲线的实半轴长和半焦距，再代入双曲线标准方程即可.
【详解】椭圆长轴的两个端点为，，焦点为，，
所以双曲线的焦点坐标为，，顶点为，，
则双曲线的焦点在轴上，且，，所以，
所以双曲线的方程为.
故选：C.
6. 抛物线的焦点到圆上点的距离的最小值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】求出抛物线焦点坐标后，计算焦点到圆上点的距离最小值，需要求出焦点到圆心的距离，再减去圆的半径就是最小值.
【详解】对于抛物线，则，根据焦点坐标公式，可得焦点坐标为.
则焦点到圆心的距离.
因为圆的半径，焦点到圆上点的距离的最小值为焦点到圆心的距离减去圆的半径，即.
故选：B.
7. 已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设椭圆的左焦点为，则由已知条件结合椭圆的性质可得四边形为矩形，得，然后在中，表示出，再利用椭圆的定义列方程化简可求出离心率.
【详解】设椭圆的左焦点为，
因为，所以根据椭圆的对称性可知：四边形为矩形，
所以，
在中，，
根据椭圆定义可知：，
所以，
所以，，所以，
所以离心率为
故选：B．
8. 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，过点的直线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，设出抛物线C及直线PQ的方程，借助垂直关系求出抛物线方程及点M的坐标，再用斜率坐标公式建立函数，利用均值不等式求解作答.
【详解】依题意，抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设的方程为：，
显然直线不垂直于y轴，设直线PQ的方程为：，点，
由消去x得：，则有，
由得：，解得，
于是抛物线：的焦点，弦的中点的纵坐标为，则点，
显然直线的斜率最大，必有，则直线的斜率，
当且仅当，即时取等号，
所以直线的斜率的最大值为.
故选：A
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线与，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过第二象限B. 坐标原点到直线的最大距离为
C. 若，则D. 若，则与之间的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用分离参数法判断A，利用点到直线距离和两点距离知识判断B，利用两直线垂直充要条件判断C，利用两直线平行的充要条件及两平行直线间距离公式判断D.
【详解】对于A选项，将直线变形.
令，解得，即直线恒过定点，该点在第二象限，所以直线恒过第二象限，A选项正确.
对于B选项，因为直线恒过定点，坐标原点到直线的最大距离就是原点到定点的距离.根据两点间距离公式，则，B选项正确.
对于C选项，若，对于直线和.
根据两直线垂直的条件，可得，解得，C选项错误.
对于D选项，若，则.
由，可得，解得或.
当时，，，满足.当两直线重合，
两平行直线，，根据两平行直线间的距离公式，
则，D选项正确.
故选：ABD.
10. 抛物线的准线为l，P为上的动点，过作圆的一条切线，切点为，过作的垂线，垂足为，则下列结论正确的是（ ）
A. 与圆相切B. 当时，
C. 的最小值为D. 满足的点有且仅有2个
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，根据先算出的坐标，再借助切线的性质计算即可得；C选项，结合抛物线定义可得三点共线时，最小，计算即可得；D选项，直接设点坐标进行求解即可得.
【详解】A选项，抛物线的准线为，
圆的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和圆相切，A选项正确；
B选项，当时，，此时，故或，
当时，，则；
当时，，；
故或，B选项错误；
C选项，，
当且仅当三点共线时，等号成立，故 的最小值为，C选项错误；
D选项， 设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.
故选：AD.
11. 造型为“”的曲线称为双纽线，在平面直角坐标系xOy中，与定点距离之积等于的动点的轨迹为双纽线．记时的双纽线为曲线，点是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为4B. 点的横坐标的取值范围是
C. 面积的最大值为2D. 若点的坐标为，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A：借助基本不等式计算即可得；对B：整理可得，即有，即可得，解出即可得；对C：借助换元法可得的最大值，即可得面积最大值；对D：借助反证法，假设后代入原式计算即可得.
【详解】设是曲线上任意一点，根据双纽线的定义可得：，
当时，曲线的方程为，
对于A：，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，故A正确；
对于B：整理可得：，则，
可得，解得，故B错误；
对于C：，令，则，
所以，
所以当时，，所以面积的最大值为，故C正确；
对于D：若，
则
，
其与矛盾，
故不成立，故，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：D选项中关键点在于使用反证法，假设，代入原方程中得到与题设矛盾.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 直线分别交x轴和轴于A、两点，若是线段的中点，则直线的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】由是线段的中点，可得A、两点坐标，后可得直线方程.
【详解】因A、两点x轴和轴上，设，
因是线段的中点，则，
故直线的截距式方程为：.
故答案为：.
13. 直线与圆相交于两点，若，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】先求圆心到直线的距离，进而利用圆的几何性质，即用即可求解.
【详解】圆的圆心，，
圆心到直线的距离，
由圆的几何性质可得，即，
整理得，即.
故答案为:
14. 已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且MN的中点在抛物线上，则实数的值为_________．
【答案】0或3
【解析】
【分析】我们先求出MN中点的坐标（设为），因为M，N关于直线对称，所以MN与直线垂直，可得到MN的斜率，再结合双曲线方程求出中点坐标，最后将中点坐标代入抛物线方程求出的值.
【详解】因为M，N关于直线对称，直线的斜率为，
两条垂直直线的斜率乘积为，所以直线MN的斜率.
设直线MN的方程为，将其代入双曲线可得.
展开得到，即.
设，，根据韦达定理，所以，
则中点横坐标.
因为中点在直线上，所以.
因为MN的中点在抛物线上，所以，解得或.
当时，中点为，因为中点在直线上，所以；
当时，中点为，在直线上，所以，解得.
故实数的值为或.
故答案为：或.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①与直线平行；②过点；③点到的距离为5．
问题：已知直线过点，且_________．
（1）求直线的一般式方程；
（2）求圆关于直线对称的圆的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）若选①，法一：利用两直线平行关系求得斜率，利用点斜式可求直线方程；法二：利用平行直线系方程的方法可求解；若选②，法一：利用两点式可求直线方程；法二，先求得直线的斜率，再用点斜式求得直线的方程；若选③，法一：设直线方程为，利用点到直线的距离公可求；法二：由于与之间距离恰为5，进而可利用两直线的垂直关系求得斜率，利用点斜式可求直线方程；
（2）求得圆圆心关于直线的称点坐标，进而可求圆的方程.
【小问1详解】
若选①，
法一：因为直线的斜率为，直线与直线平行，
所以直线的斜率为，
直线的方程为，
即．
法二：因为直线与直线平行，
故的方程可设为．
又直线过点，则，即：．
所以的方程．
若选②，
法一：因为直线过点及，
所以直线的方程为，
即；
法二：因为直线过点及，
所以直线的斜率．
直线的方程为，
即．
若选③，
法一：若直线斜率不存在，点到的距离为3，不合题意，斜率存在．
设斜率为，其方程为，即，
由得：．
直线方程为．
即：．
法二：由于与之间距离恰为5，两点连线的斜率为，
故直线的斜率，
直线方程为，
即：；
【小问2详解】
圆心为，半径为2；
只要求圆心关于直线的对称圆心，
则，
解得，即，
所以圆的方程为：.
16. 已知的三个顶点分别为．
（1）求的外接圆的方程；
（2）设，若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在；
【解析】
【分析】（1）法一：设圆的方程为，代入点的坐标，进而解方程组可求圆的方程；法二：求得，可得的圆心是的中点，可求圆的方程；
（2）假设存在，对任意的都有，计算利用恒成立可得，求解即可.
【小问1详解】
法一：设圆的方程为，则
，
解得：，
所以圆的方程为，即，
法二：因为，
所以，所以，所以，
又因为，所以是等腰直角三角形，
所以的圆心是的中点，即圆心，半径，
所以的方程为；
【小问2详解】
假设存在，对任意的都有，
即：，
化简得：，
又满足，即，
即：，
所以，
解得：，
即存在满足条件．
17. 已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段PM的中点为．
（1）求点的轨迹方程；
（2）过点作直线与点的轨迹交于A，B两点，且的面积为（为坐标原点），求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设的坐标为，则的坐标为，代入抛物线方程计算即可；（2）直曲联立，借助韦达定理和面积公式计算即可.
【小问1详解】
设的坐标为，则的坐标为
又点在抛物线上，故即
【小问2详解】
设直线的方程为，
联立方程组得：，有，
则，
S△AOB=12OFy1−y2=12y1+y22−4y1y2
解得：
所以直线的方程为，即：
18. 已知圆和定点为圆上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线PC交于点，设点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若是曲线上的一点，过的直线与直线分别交于S，T两点，且为线段ST的中点．
①求证：直线l与曲线有且只有一个公共点；
②求的最小值（为坐标原点）．
【答案】（1）
（2）①证明见解析 ；②
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，即可得到，结合双曲线的定义计算可得；
（2）（i）设，不妨令，，即可得到，从而表示出直线的方程，再联立直线与双曲线方程，消元、由，即可证明；（ii）由 （i ）求出，，再计算可得为定值，即可结合基本不等式求解.
【小问1详解】
为PA的垂直平分线上一点，则，
则，
点的轨迹为以A，C为焦点的双曲线，且，
故点的轨迹方程为；
【小问2详解】
（i）设，直线是双曲线的渐近线，如图所示：
则：①．②，
①+②得，，①-②得，，
则，得，
由题可知，则，
得，即，
直线ST的方程为，即，
又点在曲线上，则，得，
将方程联立，得，
得，
由，可知方程有且仅有一个解，
故直线与曲线有且仅有一个交点；
（ii）由（i）联立，可得，
同理可得，，则，同理，
所以，
故，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为x1,y1、x2,y2；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆．
（1）求证：相似椭圆的离心率相等；
（2）已知椭圆的相似椭圆为且．
①直线与椭圆均有且只有一个公共点，且的斜率之积为，求证：的交点在椭圆的相似椭圆上；
②若为椭圆上异于左右顶点，的任意一点，直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析 ；②
【解析】
【分析】（1）求得相似椭圆的离心率可得结论；
（2）①设直线斜率为，则直线的斜率为，联立方程组，利用，化简可得结论；
②由已知，设为，联立方程组求得，同理求得，进而可得结论．
【小问1详解】
椭圆的离心率为
可化为
其离心率为
所以，即：相似椭圆的离心率相等．
【小问2详解】
（i）设直线的斜率为，则直线的斜率为，
直线的方程为：与椭圆联立得：
，
，
即：亦即：①，
用代换①的得：②，
①式乘4+②式得：，
两边同除得：，
即点在椭圆上，
亦即：在椭圆的相似椭圆上，
（ii）椭圆的标准方程为：，
所以，，
设Px0,y0，易知直线，的斜率均存在且不为，
所以，
因为Px0,y0在椭圆上，所以，即，
所以．
设直线的斜率为，则直线PN的斜率为，
所以直线的方程为．
由，得，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
所以
，
由替换可得，
所以．
【点睛】方法点睛：高考中解析几何解答题一般围绕直线和圆锥曲线的位置关系进行设题，对考生的代数运算能力、逻辑思维能力要求较高，挖掘几何图形的性质是求解有几何背景的圆锥曲线问题的主要思路，在解决与椭圆有关的问题时要重视圆的几何性质的运用．