江苏省徐州市2025-2026学年高二上学期期中考试 数学试卷

这是一份江苏省徐州市2025-2026学年高二上学期期中考试 数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
抛物线 x2  4 y 的焦点是（ ）
A．1, 0
B． 1, 0
C．0, 1
D． 0,1
直线 x  3y  3  0 的倾斜角为（ ）
πB． πC． 2πD． 5π
6336
已知M (2, 3), N 6, 2 ，点 P 在 x 轴上，且使得 PM  PN 取最小值，则点 P 的坐标为（ ）
(2, 0)
 12 , 0 
 14 , 0 
6, 0
 5 5

x2y2
若双曲线

a2b
2  1a  b  0 双曲线两条渐近线的夹角为 60°，则该双曲线的离心率 e 为（）
2
C． 2
3
3
3
A．B．2D．
已知直线l : m  x  y 1  n 2x  y 1  0, m  R, n  R ，若直线l 与连接 A 1, 2, B 2,1 两点的线段总有公共点，则l 的倾斜角范围为（ ）
A．  π , π 
B．  3π , π 
C．  π , 3π 
D． 0, π    3π , π 

 4 4 
 4

 4 4 
4 
 4


过三点 A1, 2 ， B 3, 2 ， C 1, 6 的圆交 y 轴于M ， N 两点，则 MN  （ ）
3
A．
B． 2
C．
D． 2
3
13
13
1
2
已知直线l : a2 x  y  3a2  5  0 与l : x  a2 y  3a2  5  0 相交于点 P，点 Q 在圆 x2  y2  2 上，则（ ）．
2
2
PQ 有最大值6B． PQ 有最大值5
2
2
PQ 有最小值3D． PQ 有最小值2
xy
22
已知椭圆C :
82
1 ，直线l 不经过点
P 2,1
，且斜率为 1 若l 与C 交于两个不同点
.
2
A, B
且直线
PA, PB
的倾斜角分别为α,β，则sin α β  （ ）
4
C
A．1B． 2． 1
22
3
2
二、多选题
2
已知曲线C : x
2
y
 1m  R  ，下列说法正确的是（ ）
m 13  m
若1  m  3 ，则曲线 C 为椭圆
若m  1，则曲线 C 为双曲线
若曲线 C 为椭圆，则其长轴长一定大于 2
2
若曲线 C 为焦点在 x 轴上的双曲线，则其离心率小于大于 1
已知圆C ： (x  2)2  y2  4 ，直线l ： mx  y  m  1  0 ，则（ ）
直线l 与圆C 的轨迹一定相交
2
直线l 与圆C 交于 A, B 两点，则 AB 的最大值为3
2
圆C 上点到直线l 距离的最大值为 1
当m  1时，则圆C 上存在四个点到直线l 的距离为 1.
已知点 A0,  5 , B 0, 5  ，曲线C : y y  4x x  4 ，则下列说法正确的是（ ）
曲线C 上存在点 P ，使得 PB  PA  4
直线 y  2x 与曲线C 没有交点
若过点(2, 0) 的直线l 与曲线C 有三个不同的交点，则直线l 的斜率的取值范围是 2 5 , 2 3 
 53 

点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向直线 y  2x 与直线 y  2x 作垂线，垂足分别为
M , N ，则 QM  QN  8
5
三、填空题
若直线2x  ay  2 与ax  2 y  1垂直，则a  .
焦点在 x 轴上，焦距等于 4，并且经过 P 3, 2 6  的椭圆的标准方程为．
已知椭圆和双曲线有共同的焦点 F 、 F ， M 是它们的一个交点，且cs F MF  1 ，记椭圆和双曲线的
12124
12
离心率分别为e 、e ，则 1
的最大值为．
e1e2
四、解答题
已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为 x  y 1  0 ， 3x  y  4  0 ，且它的对角线的交点为
M 3, 3 ，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．
00
16．（1）已知抛物线 y2  2 px  p  0 上一点 P 1, y   y  0 到其焦点的距离为 5，求抛物线的方程；
（2）求与双曲线 x2  y2  1有公共渐近线，且经过点3, 2 3  的双曲线的标准方程．
916

2
2
已知椭圆C : x
2
3
y
2  1a  b  0 的离心率e ，且椭圆的长轴长为 4.
ab2
求椭圆C 的方程；
过点1,0 的直线l 与椭圆C 交于 A, B 两点，且 AB  8 2 ，求直线l 的方程.
5
P 1, 4
2  y2 
F , F
已知点
线 AP 垂直.
，双曲线 xb21的左顶点为 A ，左､右焦点分别为 12 ，且双曲线的一条渐近线与直
求双曲线的离心率；
设点M 在双曲线上，且MF1  MF2  0 ，求点M 到 x 轴的距离；
过 F2 且斜率为1的直线与双曲线交于 D, E 两点，求线段 DE 的长度.
如图，圆 E : (x 1)2  y2  16, F 1, 0 是圆 E 内一个定点， M 是圆 E 上任意一点．线段 MF 的垂直平分线
l 和半径 EM 相交于点 N ，当点M 在圆上运动时，记动点 N 的轨迹为曲线C ．
求曲线C 的方程；
设曲线C 与 x 轴从左到右的交点为点 A, B ，点 P 为曲线C 上异于 A, B 的动点，设 PA 交直线 x  4 于点T ，连结 BT 交曲线C 于点Q ，直线 BP, BQ 的斜率分别为kBP , kBQ ．
求证： kBP  kBQ 为定值；
证明：直线 PQ 经过 x 轴上的定点，并求出该定点的坐标．
1．D
【详解】 x2  4 y 的焦点是0,1 ,
故选：D
参考答案
2．A
【详解】解：直线 x 
θ 30故选：A 3．C
【详解】
3y  3  0 的斜率k 
3 ，设倾斜角为θ，则tanθ
3
3 ，因为0  θ 180 ，所以
3
如图，M 关于 x 轴对称点是M ' 2, 3 ，M’和 N 在 x 轴两侧，则当 M’N 成一直线，此时，M’N 与 x 轴交于
P 点，有 PM  PN 取最小值，此时， PM  PN  M ' N ，而直线 M’N 的方程为
5x  8 y 14  0 ，则直线 M’N 交 x 轴于 P 点，所以，P 点坐标为 14 , 0 
y  2 
3  2
x  6
2  6
，化简得，
 5

答案选：C
4．C
【详解】由双曲线方程可知，该双曲线的渐近线方程为 y   b x ，
a
因为双曲线两条渐近线的夹角为 60°， a  b  0 ，
所以 b  tan 30 
a
3 ，即a =
3
3b ，
所以a2 = 3b2 ，即a2  3(c2  a2 ) ，即3c2  4a2 ，
2c242 3
所以e  ，则e .
a233
故选：C.
5．D
x  y 1  0

【详解】令2x  y 1  0
2  1
x  0

，解得 y  1
1 1
，则直线l 过定点 P 0, 1 ，
有kPA 
1 0
 1 ， kPB 
2  0
 1，如图所示：

则l 的倾斜角范围为0, π    3π , π  .
故选：D.
4 
 4
6．D
【详解】设圆的方程为 x2  y2  Dx  Ey  F  0 D2  E2  4F  0 ，

 1 4  D  2E  F  0
则 9  4  3D  2E  F  0，

1 36  D  6E  F  0
 D  4 ， E  4 ， F  9 ，
∴ x2  y2  4x  4 y  9  0 ，
令 x  0 ，可得 y2  4 y  9  0 ，
 y1,2
 4 
16  36  4  2 13  2 ，
13
13
22
 MN
 y1  y2
 2．
故选：D．
7．A
1
【详解】对于直线l : a2 x  y  3a2  5  0 ，可变形为a2 (x  3)  ( y  5)  0 .
x  3  0x  3
令 y  5  0 ，解得 y  5 ，所以直线l1 恒过定点 A(3, 5) .

2
对于直线l : x  a2 y  3a2  5  0 ，可变形为(x  5)  a2 ( y  3)  0 .
x  5  0x  5
令 y  3  0 ，解得 y  3 ，所以直线l2 恒过定点 B(5, 3) .

因为a2 1 a2 1  0 ，所以l  l ，已知 A(3, 5) ， B(5, 3) ，则中点坐标为(3  5 , 5  3)  (4, 4) .
| AB |
(5  3)2  (3  5)2

1222
4  4
2
 2 2 ，所以半径r  1 | AB |.
12
则点 P 的轨迹是以 AB 为直径的圆的一部分，故点 P 的轨迹为 x  42   y  42  2  x  3, y  5 ，
2
已知圆 x2  y2  2 的圆心O(0, 0) ，半径r  2 ，则圆心O(0, 0) 与点 P 轨迹圆的圆心(4, 4) 的距离为
(4  0)2  (4  0)2
2
2
2
| OC |

 4.
16 16
2
2
| PQ |的最大值为圆心加上两圆半径，即| PQ |max  4
由于轨迹不包含点3, 3 ，故不存在最小值.
故选：A．
 6.
8．B
【详解】设直线l : y  1 x  m m  0 ， A x , y  ， B  x , y  ，
21 122
 y  1 x  m

由2，得 x2  2mx  2m2  4  0 ，
1
 x2  y2 
 82
Δ  4m2  8m2 16  0

由m  0.
，解得2  m  0 或0  m  2 ，
则 x1  x2  2m ， x1x2  2m2  4 ，
依题意，因为 P 恰好在椭圆上，所以 PA 与 PB 的斜率一定存在，所以α π ， β π ，
22
2
设直线 PA 与 PB 的斜率分别为k , k ，因为k  y1  1 ， k  y2 1 ，
1 21
x1  2
x2  2
所以k  k  y1 1  y2 1   y1 1 x2  2   y2 1 x1  2 ．
12x  2
x  2
 x  2 x
 2
1212
又 y  1 x  m ， y  1 x  m ，
12 122 2
所以 y 1 x  2   y 1 x  2   1 x  m 1 x  2   1 x  m 1 x  2
1221
 2 1
2 2 2 1

 x  x  m  2 x  x   4 m 1  2m2  4  m  22m  4 m 1  0 ，
1212
又tanα k1 ， tanβ k2  tanα tanβ 0 ，即tanα tanβ tan π  β ，
则α β π ，所以sin α β  sin π 2 .
故选：B 9．BCD
442
m 1  0

【详解】对于 A 选项，若C 为椭圆，则3  m  0  m 1, 2 2, 3 ，A 不正确；

m 1  3  m
对于 B 选项，若C 为双曲线，等价于m 13  m  0 ，即m  3 或m  1，B 正确；
3  m
对于 C 选项，当m 1, 2 时，椭圆长轴长2a  2
2 ，
m  1
当m 2, 3 时，椭圆长轴长2a  2
2 ，C 正确；

对于 D 选项，若C 为焦点在 x 轴上的双曲线，则m 1  0 ，解得m  3 ，
3  m  0
a2  b2
m  1  m  3
m  1
2 
2
m  1
 2 ，
双曲线C 的离心率为e 
a
且双曲线的离心率e  1 ，故 D 正确.故选：BCD.
AD
【详解】圆C ： (x  2)2  y2  4 ，圆心C 2, 0 ，半径r  2 ，
直线mx  y  m  1  0 过定点M 1,1 ， CM  2 ，
对选项 A： (1 2)2 12  2  4 ，点M 在圆内，故直线与圆一定相交，正确；
对选项 B：当 AB 过圆心时， AB 最大为4 ，错误；
对选项 C：圆C 上点到直线l 距离的最大值为 CM
r 
2  2 ，错误；
对选项 D：直线l ： x  y  2  0 ，圆心在直线上，1  r ，故圆C 上存在四个点到直线l 的距离为 1，正确；
故选：AD
BC
【详解】当 x  0 ， y  0 时，曲线C : y2  4x2  4 ，即C : y2 
4
x2  1；
当 x  0 ， y  0 时，曲线C :  y2  4x2  4 ，即C : y2 
4
x2  1 不存在；
当 x  0 ， y  0 时，曲线C : y2  4x2  4 ，即C : y2 
4
x2  1 ；
1
当 x  0 ， y  0 时，曲线C :  y2  4x2  4 ，即C : x2  y2  ，
4
画出图形如图所示：
对于 A：满足
| PB |  | PA | 4
条件的曲线是双曲线
y2  2
x
4
 1的下支，
该双曲线的下支与曲线C 是没有交点的，
所以不存在曲线C 上的点 P ，使得| PB |  | PA | 4 成立，故 A 错误；对于 B：一三象限曲线的渐近线方程为 y  2x ，
则直线 y  2x 与曲线C 没有交点，故 B 正确；
对于 C：设过点(2, 0) 的直线l : x  my  2 ，三个交点，显然m  0 .
x  my  2
联立 4m2 1 y2 16my 12  0  Δ
 0  m  3  k
 1  2 3 ；
y2

 x2  1
 4
121m3
x  my  2
联立 1 4m2  y2 16my  20  0  Δ
 0  m  5  k
 1  2 5 ；
y2

 x2  1
 4
222m5
直线l 与曲线C 有三个不同的交点，则直线l 斜率的取值范围是 2 5 , 2 3  ，C 正确；
 53 

5
2x0  y0
5
2x0  y0
对于 D：设Q  x0 , y0  ，由点到直线距离公式得： | QM |， | QN |，
4x2  y2
00
2x  y2x  y
5
5
所以| QM |  | QN | 00  00 .
5
QC2  y2 
因为点 是曲线 上在第三象限内的一点，则有 x0
4x2  y2
00
4
0 1 ， 4
所以| QM |  | QN | ，故 D 错误，
55
故选:BC.
0
【详解】由题意可得2a  2a  0 ，解得a  0 .
故答案为： 0 .
x2  y2 
36 32 1
x2y2
【详解】解：因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设椭圆的标准方程为
2c  4

a2b
2  1a  b  0 ，

 32

由题意，有 a2
2 6 2
 1 ，解得a2  36, b2  32 ，
b2
a2  b2  c2

所以椭圆的标准方程为
x2y2

1 ，
x2y2
故答案为：
36 32
4 15 / 415
36 32

1 .
1515
【详解】不妨设M 为第一象限的点， F1 为左焦点，设椭圆的长半轴长为a1 ，双曲线的实半轴长为a2 ，
则根据椭圆及双曲线的定义可得 MF1  MF2
 2a1 ，
MF1  MF2  2a2 ，所以 MF1  a1  a2 ， MF2  a1  a2 ，
FF  2c，在△ MF F 中， cs F MF  1 ，
1 21 2
124
由余弦定理得4c2  (a  a )2  (a  a )2  2(a  a )(a  a ) cs F MF ，
1212121212
化简得3a2  5a2  8c2 ，即 3  5  8 ．

12e2e2
所以 3  5
 8  2
12
15
e2e2
1 2
，从而 1
 4 15 ，
e2e2
e e15
12
3
当且仅当
5 ，且 3  5
1 2
 8 ，即e 
3 ， e 
5 时等号成立．
e2e2
e2e2
1222
1212
故答案为： 4 15
15
3x  y 16  0 和 x  y 11  0
x   3
 x  y 1  0
【详解】解：联立方程组
4
，解得.
3x  y  4  0
 y  7
4
所以平行四边形 ABCD 的顶点 A  3 , 7  .
 4 4 

设C  x0 , y0  ，由题意知点M 3, 3 是线段 AC 的中点，
 x  3


所以
04  3
2，
7
 y 
 0
2
4  3
x  27
 04
C  27 , 17 
解得17 ，所以  44  .
 y 
 04
由已知，得直线 AD 的斜率kAD  3 ，因为 BC 与 AD 平行，
所以直线 BC 的方程为 y  17  3 x  27  ，即3x  y 16  0
44 

由已知，得直线 AB 的斜率kAB  1，因为CD 与 AB 平行，
所以直线CD 的方程为 y  17   x  27  ，即 x  y 11  0
44 

故这个平行四边其它两边所在直线的方程是3x  y 16  0 和 x  y 11  0

x2y2
16．（1） y2  16x ；（2） 941
4
【详解】（1）因为 P 1, y0  y0  0 到其焦点的距离为 5，根据定义，到准线距离也为 5，抛物线的准线方程为 x  4 ，
故 p  8
，则抛物线方程为 y2  16x ．
2
（2）由题意设双曲线方程为 x
2
y
 λλ 0 ，
916
因为双曲线经过点3, 2 3  ，所以 9  12  λ，故λ 1 ，
9 164
x2y21
所以双曲线标准方程为
x2  y2 
 ，
9164
即 941．
4
17．(1)
x2  2 
y
1
4
(2) x  y 1或 x   y  1
【详解】（1）由题可知， 2a  4 ， a  2 ，
又e  c 
a
3 ，且a2  b2  c2 ，解得c ， b  1，
3
2
则椭圆C 的方程为
x2  2
y
4
 1.
法一：①当直线l 斜率为 0 时， AB =2a  4 ， 不符合题意.
②当直线l 斜率不为 0 时，设直线l 方程为 x  ty 1，
x  ty 1

联立x2  4 y2  4  0
，得t 2  4 y2  2ty  3  0 ，   0 ，
 y  y 
2t
 12t 2  4

设 A x1 , y1 , B  x2 , y2  ，则.
3
 y y 
由题意， AB 
 1 2
t 2  4
1 t 2y  y 4 y y

12

2
1 2
 8 2 ，
4
t 2  4
1 t 2 t 2  3
5
即
 8 2 ，解得t  1 . 5
故直线l 的方程为： x  y 1或 x   y  1 .
3
法二：①当直线l 斜率不存在时， AB ，不符合题意.
②设直线l 方程为 y  k  x 1 ，
 y  k  x 1
2222
x
联立

2  4 y2
 4  0
，得4k

1 x
 8k x  4k
8k 2
 4  0 ，   0 ，
 124k 2 1
x  x 
设 A x1 , y1 , B  x2 , y2  ，则，
4k 2  4
1 k 2x  x 4x x

12

2
1 2
由 AB  8 2 ，得 5
x1 x2  4k 2 1
 8 2 ，
5
1 k 2 · 3k 2 1
即 4·
 8 2 ，解得k  1 .
4k 2 15
故直线l 的方程为 y  x  1 或 y  x 1.
18．(1) 5 ；
2
(2) 5 ；
10
(3) 4 .
3
2y
2
【详解】（1）双曲线 x  1的左顶点为
b2
A1, 0 ，故
kAP
 4  0  2 ，
11
则由双曲线的一条渐近线与直线 AP 垂直可知 b  b   1 ，则b2  1 ，
1 1
4
5
a24
故双曲线方程为 x2  4 y2  1，其离心率为
e  c ；
（2）由（1）得c 
5 ，
1 1
4
2
a12
∵ MF1  MF2  0 ，∴ MF1  MF2 ，设MF1  m, MF2  n ，
则在RtVMF1F2 中，有m2  n2  (2c)2  5 ，
又由双曲线的定义，可得 m  n 2  m2  n2  2mn  4a2  4 ，
解得mn  1 ，则S
2
VMF1F2
 1 mn  1 ，
24
1
2
又SF F y5  y 1 ，解得| y |5 ，
VMF1F21 2M2M4
M10
∴M 点到 x 轴的距离为 5 ；
10
因 F2 (
5 , 0) ，则过 F2 且斜率为1的直线的方程为 y  x  5 ，
22
与双曲线方程联立消元，可得3x2  4 5x  6  0 ，
设 D  x1 , y1 , E  x2 , y2  ，则 x  x  4 5 , x x  2 ，
由弦长公式， DE 
所以 DE 的长度为 4 .
3
123
112

x  x 4x x
12

2
1 2

1 2
80  8
9
= 2 
 4 .
3

2
2
19．(1) xy1.
43
(2)  1 ； 1, 0
4
【详解】（1）由题意可知， NE  NF
 NM
 NE  4  EF
 2 ，
由椭圆定义可得，点 N 的轨迹是以 E， F 为焦点的椭圆，
且长轴长2a  4 ，焦距2c  EF  2 ，
所以b2  a2  c2  3，
x2
因此曲线 C 方程为
y2
 1 .
43
（2）（ⅰ）设 P  x1 , y1  ， Q  x2 , y2  ， T 4, m ，
由题可知 A2, 0 ， B 2，0 ，如下图所示，
BP
则k
y
1， k
 k
m  0  m ，
x1  2
BQBT
4  26
而k k
y1  m ，于是m  2 y1 ，
APAT
x1  22
x1  2
ymyyy2
1
所以kBP  kBQ  1  1  1  1 ，
x2y2
x1  26
23
x1  2 3 x1  2
4
2
3x2  4
又 1  1  1 ，则 y1 
43
4  x1  ，
3 4  x2 
1
因此k k 4
1   1 为定值；
BPBQ
3x2  44
（ⅱ）由题意可知，直线 PQ 不可能与 x 轴平行，
设直线 PQ 的方程为 x  ty  n ， P  x1，y1  ， Q  x2，y2  ，知n  0 ，
x  ty  n

由 x
2  y2
，得3t 2  4 y2  6tny  3n2 12  0 ，
 1
 43
Δ  6tn2 12 3t 2  4n2  4  0 ，得3t 2  n2  4  0
12
 y  y  
6tn

所以
3t 2  4 
3n2 12
 y y 
 1 2
3t 2  4
由（i）可知， k
BP  kBQ
  1 ， 4
y1 y2

即 x  2 x  2
y1 y2
ty  n  2ty
 n  2

t 2 y y
y1 y2
 t n  2 y  y   n  22
  1
，
4
12121 212
将
代入化简得
3n2 12  1
4n2 16n 164
，化简得n2
 n  2  0 解得n  2 舍或n  1 ，
所以直线 PQ 的方程为 x  ty 1，因此直线 PQ 经过定点1, 0.