山东省淄博市2023–2024学年高一数学上册期末教学质量检测试题[附答案]

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3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求的并集再求补集即可.
【详解】易知，则，
故选：D.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由真数大于零可得.
【详解】要使函数有意义，
则有，解得，则函数的定义域为.
故选：C.
3. 是幂函数，且在上是减函数，则实数（ ）
A. 2B. C. 4D. 2或
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的性质和定义即可求解.
【详解】由于是幂函数，所以，解得或，
由于在上是减函数，所以，故，
因此，
故选：A
4. 已知扇形的半径为，面积为，则扇形圆心角的弧度数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
设扇形圆心角的弧度数为，则根据扇形面积公式，列出方程求解即可.
【详解】设扇形圆心角的弧度数为，则根据扇形面积公式，
代入可得：，解得，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，考查学生的运算，属于基础题.
5. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为，若级地震释放的相对能量为，级地震释放的相对能量为，记，n约等于
A. 16B. 20C. 32D. 90
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得分别代值计算，比较即可
【详解】，
当时，，
当时，，
故选
【点睛】本题主要考查了指数与对数的相互转化及指数与对数值的计算，属于基础试题．
6. 设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项.
【详解】由，得，，，
，，，则，
根据可知，.
故选：C
7. 已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利用同角三角函数之间的关系式可得，根据即可求得结果.
【详解】将两边同时平方可得，，
可得；
又，所以；
易知，可得；
又,所以.
故选：C
8. 已知若为第二象限角，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同角平方和关系即可结合角的范围求解.
【详解】由可得或，
由于第二象限角，所以，
故当时，不符合要求，
则符合要求，
故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列结论成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】选项AC，特值法可排除；选项B，由不等式的性质可得；选项C，由幂函数性质可得.
【详解】选项A，当时，，但，故A错误；
选项B，由知，，所以，故B正确；
选项C，当时，，
则，此时，故C错误；
选项D，由幂函数在上是增函数，
由，得，即，故D正确.
故选：BD.
10. 如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系，即可得出合适的选项.
【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且，
所以阴影部分可表示为，A对；
且，阴影部分可表示为，而，故C错误；
且，阴影部分可表示为，D对；
显然，阴影部分区域所表示的集合为的真子集，B选项不合乎要求.
故选：AD.
11. 下列说法正确的有（ ）
A. “，使得”的否定是“，都有”
B. 若函数的值域为，则实数m的取值范围是
C. 若，则“”的充要条件是“”
D. 若，则的最小值为9
【答案】BD
【解析】
【分析】选项A，由存在量词命题的否定形式可得；选项B，函数的值域为转化为研究函数的值域，分与两类情况分析可得；选项C，特值法可知；选项D，利用基本不等式求最值可得.
【详解】选项A，“，使得”的否定是“，都有”，故A错误；
选项B，因为函数的值域为，
设函数值域为，则，
当时，，值域，满足题意；
当时，为二次函数，要使值域，
则图象开口向上，且与轴有公共点，
所以有且，解得，
综上可得，即实数m的取值范围是，故B正确；
选项C，当时，，但，
不满足，故C错误；
选项D，由，则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为9，故D正确.
故选：BD.
12. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 在上为增函数
C. 点是函数的一个对称中心D. 方程仅有5个实数解
【答案】BC
【解析】
【分析】由函数的奇偶性，对称性以及周期性逐一判断选项即可得到答案.
【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得，即，
由为偶函数，得，即，则，
即，于是，函数是周期为的周期函数，
对于A，当时，，，A错误；
对于B，在上单调递增，由，知图象关于点对称，
则在上单调递增，即函数在上单调递增，因此在上单调递增，B正确；
对于C，由及，得，即，
因此函数图象关于点对称，C正确；
对于D，当时，，由函数图象关于点对称，
知当时，，则当时，，
由，知函数图象关于直线对称，则当时，，
于是当时，，而函数的周期是，因此函数在R上的值域为，
方程，即，因此的根即为函数与图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数与的部分图象，如图，

观图知，与图象在上有且只有3个公共点，而当时，，即函数与图象在无公共点，所以方程仅有3个实数解，D错误.
故选：BC
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. ___.
【答案】0
【解析】
【分析】根据对数的运算，结合换底公式进行求解即可.
【详解】
故答案为：0
14. 若“，”为真命题，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知，结合正弦函数的有界性分析求解.
【详解】若“，”为真命题，则，
可知当时，取到最小值，
可得，所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
15. 若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式化简求值即可.
【详解】
.
故答案为：
16. 设m是不为0的实数，已知函数，若函数有7个零点，则m的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】作出的图象，然后由，得或，由图象可知有3个零点，所以就有4个零点，再结合图象可求出结果.
【详解】作出函数的图象如图所示，

由，得或，
当时，有3个零点，
要使函数有7个零点，
则当时，，即与有4个交点，
结合图形可得，解得，
即m的取值范围为
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17. 已知角的始边与x轴的正半轴重合，终边过定点．
（1）求、的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由求出点的值，结合三角函数定义可得；
（2）利用诱导公式化简可得.
【小问1详解】
由题意知，因角的终边与轴的正半轴重合，且终边过点，
则点到原点的距离，
则，
；
【小问2详解】
.
18. 已知函数为一元二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在上的最大值为．
（1）求的解析式；
（2）当，时，求函数的最大值（用含参数m的分段函数表示）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知设出二次函数解析式，由条件代入解析式待定系数可得；
（2）分类讨论轴与区间的关系，通过函数的单调性求最值可得.
【小问1详解】
由题意，设函数，
由对称轴为，函数在上的最大值为，
可得，
将点代入可得，解得 ，
故.
故函数的解析式为；
【小问2详解】
的对称轴为，
当时，在区间单调递增，
则；
当，即时， 在区间单调递增，
在区间单调递减，故；
当，即时，在区间单调递减，
故；
综上，的最大值.
19. 已知集合，，
（1）若集合，求实数的值；
（2）若集合，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先化简集合，然后根据条件即可确定实数的值；
（2）由条件集合知，集合中至多有2个元素，对集合中的元素个数进行分类讨论即可.
【小问1详解】
易知集合，由得： 或，解得：.
【小问2详解】
（1）当时满足；
（2）当时
①当即时，满足，.
②当即时，，不满足.
③当即时，满足，只能， 无解.
综上所述：或.
20. 我们知道存储温度（单位：℃）会影响着鲜牛奶保鲜时间（单位：），温度越高，保鲜时间越短.已知与之间的函数关系式为（为自然对数的底数），某款鲜牛奶在5℃的保鲜时间为，在25℃的保鲜时间为.（参考数据：）
（1）求此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间约为几小时（结果保留到整数）；
（2）若想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于，那么对存储温度有怎样的要求？
【答案】20. 254小时；
21. 存储温度要不高于15℃.
【解析】
【分析】（1）把给定的数对代入函数关系，求出，并确定，再求出即得.
（2）利用（1）中信息，建立不等式，再借助指数函数单调性解不等式即得.
【小问1详解】
依题意，把，分别代入，得，
于是，则，，
当时，，
此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间为254小时.
【小问2详解】
依题意，，由（1）知，
显然，于是，则，
因此，而，则有，
所以想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于，存储温度要不高于15℃.
21. 已知函数（），满足函数奇函数．
（1）求函数，的值域；
（2）函数在区间和上均单调递增，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由奇函数解得，再将看成整体，将所求函数转化为二次函数值域求解即可；
（2）将复合函数单调性利用换元法转化为余弦函数的单调性即可求解参数范围.
【小问1详解】
因为，
由是奇函数，
所以，则，
解得，
又，则.
验证：当时，，
由，得是奇函数.
因为函数
，
由，则，
所以，
故当时，；
当或时，.
故所求函数值域为；
【小问2详解】
因函数在区间和上均单调递增，
令，则在区间和单调递增，
故，且，
解得，
则实数的取值范围为.
22. 设函数.
（1）证明函数在上是增函数；
（2）若，是否存在常数，，，使函数在上的值域为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）详见解析；
（2）不存，理由详见解析.
【解析】
【分析】（1）利用函数单调性定义证明；
（2）由（1）结合复合函数的单调性得到在上是增函数，从而有，转化为m，n是方程的两个不同的正根求解.
【小问1详解】
证明：任取，且，
则，
因为，则，因为，则，
所以，即，
所以函数在上是增函数；
【小问2详解】
由（1）知：在上是增函数，又，
由复合函数的单调性知在上是增函数，
假设存在常数，，，使函数在上的值域为，
所以，即，
则m，n是方程的两个不同的正根，
则m，n是方程的两个不同的正根，
设，则有两个大于1的不等根，
设，
因为，，
所以方程有一个大于0，一个小于0的根，
所以不存在两个大于1的不等根，