2025北师大版七年级数学上册第五章一元一次方程问题解决策略：直观分析教案

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☆问题解决策略：直观分析教学目标课题☆问题解决策略：直观分析授课人素养目标1.培养借助图表直观分析问题中数量关系的能力，加强数形结合思想，开拓思维。2.进一步提高利用一元一次方程解决实际问题的能力。教学重点培养借助图表直观分析问题中数量关系的能力，提高利用一元一次方程解决实际问题的能力。教学难点助图表分析较复杂问题中的数量关系。教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课设计意图借助简单的生活情境，通过图片与文字的对比，激发学生兴趣，让学生感受借助图表分析问题的便利，引出接下来的学习主题。【情境引入】在前面的课程中，你是否发现，在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰。这是因为人们对图表的理解和记忆能力超过单纯的文字，而这是由大脑的特点决定的。实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略。这节课我们就来学习这种策略。【教学建议】 酌情再引用一些课外材料，让学生感受用图表分析问题的便利，也可以让学生自己举例说明。活动二：问题引入，合作探究设计意图通过对问题的逐步分析与交流，培养学生借助图表直观分析数量关系的能力，再用对应的练习让学生巩固。探究点 借助图表直观分析问题问题 （教材P156问题）一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？【理解问题】（1）这个问题中涉及哪些量？哪些是已知量？哪些是未知量？每件服装的成本价、标价、售价、利润，利润是已知量，成本价、标价和售价是未知量。（2）你能用文字语言描述这个问题中所蕴含的等量关系吗？服装的成本价提价后等于标价，标价再打折后等于售价，售价与成本价的差等于利润。（3）采用什么方式可以更清楚地展示这个问题中各个量之间的关系？可以借助图表来表示它们之间的关系。【拟订计划】（1）想象一下商店从进货、标价到销售获利的过程，你能用示意图直观地表示这一过程吗？（2）根据自己画的示意图，你能写出哪些等量关系？成本价×（1+40%）=标价，标价×80%=售价，售价-成本价=利润。（3）设这种服装每件的成本为x元，你能用含x的代数式表示其他量吗？根据自己写出的等量关系，你能列出怎样的方程？标价为（1+40%）x，售价为（1+40%）x·80%，可列出方程：（1+40%）x·80%-x=15。【实施计划】写出你的解决方案，并与同伴进行交流。（让学生自主回答）小明用如图所示的框图直观地表示了商店从进货、标价到销售获利的过程，并将问题中的数量信息标注在框图中。据此，他列出了方程（1+40%）x·80%-x=15。解这个方程，得x=125。因此，这种服装每件的成本是125元。【回顾反思】（1）你是用怎样的示意图表示商店从进货、标价到销售获利全过程的？与同伴交流不同示意图的优缺点。让学生自主回答。（2）示意图对解决这类问题有什么作用？请举例说明。借助适当的图表，可以直观、形象地呈现数量关系，使复杂的数量关系变得清晰明了，从而帮助我们更好地理解问题、分析问题、解决问题。比如教材P151上面的问题。【对应训练】用直观分析策略解答教材P157下方问题2。解：画图分析数量关系如下：数量关系：小明的路程+爸爸的路程=（2×11）km。设会合时他们骑行了th，可列方程：10t+12t=2×11。解这个方程，得t=1。因此，会合时他们骑行了1h。【教学建议】 指定学生代表上台画图和分析，鼓励学生列出各种不同的方程进行比较和分析。【教学建议】指定学生代表画图分析问题中的数量关系，教师酌情给予指导。活动三：知识延伸，巩固升华设计意图借助例题和对应训练让学生了解更多形式的直观分析方法，加强数形结合思想，拓宽思维。例 （1）用直观分析策略解答教材P157下方问题1；解：画图分析如下：假设四幢宿舍楼分别为点A，B，C，D，超市为点E，四幢宿舍楼到超市的距离之和即为AE+BE+CE+DE。分三种情况讨论：①如图，当点E1位于AB上时，AE1+BE1+CE1+DE1=AD+BC+2BE1，容易发现此时当BE1最小时，距离之和最短，即当点E1位于点B时，距离之和最短为AD+BC。②如图，当点E2位于BC上时，AE2+BE2+CE2+DE2=AD+BC。③如图，当点E3位于CD上时，AE3+BE3+CE3+DE3=AD+BC+2CE3，容易发现此时当CE3最小时，距离之和最短，即当点E3位于点C时，距离之和最短为AD+BC。综上，超市应建在线段BC上，即中间两幢宿舍楼连线所构成的线段上。（2）用直观分析策略解答教材P157下方问题4。解：画图分析如下：将所有同学分成A，B，C，D四部分，答对第一题的有32人，即A+C=32；答对第二题的有27人，即B+C=27；两题都答对的有20人，即C=20，因此A=12，B=7。所以D=45-12-20-7=6。因此，两题都答错的有6人。【对应训练】1.用直观分析策略解答教材P157下方问题3；解：画图分析如下：将五个人分别看作在一条直线上的五个点，五个人总共握手的次数即为每两点之间不同线段的条数。由图可知不同线段的条数为4+3+2+1=10，所以五个人共握10次手。2.用直观分析策略解答教材P158问题5。解：1个人从出发楼层到会议楼层需要爬楼的层数情况如下表：（1）因为相邻两层楼之间爬楼的距离相同，所以用各个出发楼层到会议楼层需要爬楼的层数乘相应出发楼层的参会人数，再求和所得的总层数可以表示所有参会人员到会议地点爬楼的距离。会议设置的楼层总层数10×2+1×1+2×2+3×1+4×1=1221×2+0×1+1×2+2×1+3×1=932×2+1×1+0×2+1×1+2×1=843×2+2×1+1×2+0×1+1×1=1154×2+3×1+2×2+1×1+0×1=16因此，要使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在3层。（2）同（1）计算如下：会议设置的楼层总层数10×2+1×2+2×1+3×2+4×1=1421×2+0×2+1×1+2×2+3×1=1032×2+1×2+0×1+1×2+2×1=1043×2+2×2+1×1+0×2+1×1=1254×2+3×2+2×1+1×2+0×1=18因此，要使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在2层或3层。（3）同（1）计算如下：会议设置的楼层总层数10×18+1×14+2×10+3×10+4×11=10821×18+0×14+1×10+2×10+3×11=8132×18+1×14+0×10+1×10+2×11=8243×18+2×14+1×10+0×10+1×11=10354×18+3×14+2×10+1×10+0×11=144因此，要使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在2层。【教学建议】先让学生分组讨论交流，指定学生代表分享直观分析的方法，教师酌情给予指导。问题4，5难度较大，教师讲解时注意安排好时间。活动四：随堂提问，课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.在利用一元一次方程解决问题时，借助图表分析对解决这类问题有什么作用？2.你会借助图表分析问题中的数量关系吗？【作业布置】《创优作业》主体本部分相应课时训练。板书设计问题解决策略：直观分析一、用一元一次方程解决问题。1.理解问题2.借助图表分析问题3.列方程解决问题二、直观分析各种形式的实际问题。教学反思本节课首先借助简单的生活情境引出主题，让学生认识到用图表分析问题的便利。接着通过对一个实际问题的逐步理解、分析、解决，在师生的交流和讨论中培养借助图表直观分析问题中数量关系的能力，进一步提高利用一元一次方程解决实际问题的能力，增强应用意识。后续通过分析各种形式的实际问题，加强数形结合思想，开拓思维。