湖南省长沙市2024_2025学年高一数学上学期阶段训练三12月试题含解析

这是一份湖南省长沙市2024_2025学年高一数学上学期阶段训练三12月试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 函数的零点所在的区间为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f（x）=lnx+x-3在（0，+∞）上是增函数，再通过计算f（1）、f（2）、f（3）的值，发现f（2）•f（3）＜0，即可得到零点所在区间．
【详解】解：∵f（x）=lnx+x-3在（0，+∞）上是增函数
f（1）=-2＜0，f（2）=ln2-1＜0，f（3）=ln3＞0
∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）=lnx+x-3的零点所在区间为（2，3）
故选C．
【点睛】本题给出含有对数的函数，求它的零点所在的区间，着重考查了基本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于基础题．
2. 下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇函数及在上单调递增，逐项判断即得.
【详解】对于A，定义域为R，，偶函数，A不是；
对于B，定义域为，而，
即函数在上不单调，B不是；
对于C，定义域为R，，在上不递增，C不是；
对于D，定义域为R，，是奇函数，
当时，在上单调递增，D是.
故选：D
3. （ ）
A. 10B. 11C. 12D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数的运算和性质，指数幂的运算化简求值即可.
【详解】因为，
，，，
所以.
故选：.
4. 已知集合则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数、指数函数性质化简集合，结合交集的概念即可得解.
【详解】，
，
所以.
故选：A.
5. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，且B. ，或
C. ，且D. ，或
【答案】D
【解析】
【分析】根据命题的否定的定义判断.
【详解】全称命题的否定是特称命题，
原命题的否定是：，，即或，
故选：D．
6. 若a＝，b＝lg0.52402，c＝，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数的性质比较即可.
【详解】因为函数,,都是减函数，
所以，，，
所以.
故选：A.
7. 已知，，则的最小值是（ ）
A 2B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用对数的运算性质得到，再利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，
所以.
因为，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：D
8. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数单调性及对数的运算法则，判断、计算的符号，作商比较的大小即可得解.
【详解】因为，
所以，
又因为，
所以，
又因，
所以且，
所以，所以，
故选：D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得6分，选对但不全的得部分分，有错误的得0分.
9. (多选)下列说法不正确的是（ ）
A. 函数的单调递减区间为
B.
C. “”是“”的充分不必要条件
D. 函数没有最小值
【答案】AC
【解析】
【分析】根据定义域即可判断A；根据指数幂的运算可判断B；根据必要条件的定义可判断C；使用反证法即可判断D.
【详解】对于A，当x=0时，有，所以的定义域不包含，从而不可能是单调递减区间，故A错误；
对于B，有，故B正确；
对于C，因为当时，一定有，从而.
所以“”是“”的必要条件，故C错误；
对于D，假设fx有最小值，则恒成立，但，矛盾，所以函数没有最小值，故D正确.
故选：AC.
10. 已知函数.则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在定义域上单调递增
D. 若实数，满足，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用函数解析式，求解可得，即可判断A，利用可判断B，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C，根据函数的单调性和对称中心可判断D.
【详解】对于A选项，故A正确；
对于B选项，对任意的，，
所以函数的定义域为，
，所以函数的图象关于点对称，故B正确；
对于C选项，对于函数，该函数的定义域为，
，
即，所以函数为奇函数，
当时，内层函数为减函数，外层函数为增函数，
所以函数在上为减函数，故函数在上也为减函数，
因为函数在上连续，故函数在上为减函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为减函数，故C不正确；
对于D选项，因为实数a，b满足，则，
因为在定义域上单调递减，可得，即，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数的定义域为，且，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 是奇函数D. 是偶函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】运用赋值法，结合奇偶函数得定义判断即可.
【详解】对于A选项，令，则，即，A正确；
对于B选项，令，则，令，则，则，故.B正确；
对于C选项，是奇函数，C正确；
对于D选项，是非奇非偶函数，D不正确.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知点在幂函数的图象上，则_____
【答案】
【解析】
【分析】先根据幂函数的定义求的值，在根据点在幂函数的图象上求的值.
【详解】由于为幂函数，所以，则，所以．
又点在函数的图象上，所以，故.
故答案为：
13. 已知函数，若函数有两个零点，则的范围是_____
【答案】
【解析】
【分析】将函数零点问题转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合求解即可.
【详解】若函数有两个零点，
则 ，即有两个实数解，
则函数与函数的图象有两个交点，
作出图象如下：
由图象知，当，即时，
函数与函数的图象有两个交点，
即函数有两个零点，
所以范围是.
故答案为：.
14. 已知函数，若实数满足，则实数的值是________．
【答案】9或
【解析】
【分析】先判断函数为偶函数，利用对数的运算法则进行化简求解即可．
【详解】∵，且
∴为偶函数，
∵在0,+∞是单调增函数， 在0,+∞是单调减函数，
故在0,+∞是单调递增.
∵
∴
∴，即，
∴或
故答案为：或
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的图象经过点．与互为反函数.
（1）求的值及的定义域，并判断的奇偶性；
（2）求关于的不等式的解集．
【答案】（1），定义域为，为非奇非偶函数
（2）}
【解析】
【分析】（1）将点代入解析式中计算即可得，结合对数定义即可得其定义域，由定义域即可得其非奇非偶；
（2）结合对数函数单调性及定义域计算即可得.
【小问1详解】
由题意可得，即，
所以，即，则，
则有，解得，故的定义域为，
为非奇非偶函数；
【小问2详解】
由（1）可得，，
由与互为反函数，可得，
不等式可化为，
因为在上是增函数，
所以，即，解得，
故该不等式解集为.
16. 已知函数
（1）若，求不等式的解集；
（2）若关于x方程有两个不等的正实数根与，求a的取值范围和的取值范围.
【答案】（1）或
（2），
【解析】
【分析】（1）由题意得，求解即可；
（2）利用一元二次方程的根的判别式和韦达定理，即可求解.
【小问1详解】
当时，不等式为，
解得或，
所以不等式的解集为或；
【小问2详解】
因为关于x的方程有两个不等的正实数根与，
所以，解得，
所以a的取值范围为；
因为，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围为.
17. 某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数.如果在前消除了10%的污染物，请解决下列问题：
（1）后还剩百分之几的污染物？
（2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到）？（参考数据：，）
【答案】（1）10h后还剩下81%的污染物
（2）33h
【解析】
【分析】（1）根据时得到时，然后将代入中得到，解得，即可得到，然后将代入求即可；
（2）令，然后列方程求即可.
【小问1详解】
由可知，当时，；当时，，于是有，解得，那么.所以，当时，，即10h后还剩下81%的污染物.
【小问2详解】
当时，有，解得，即污染减少50%大约需要花33h.
18. 已知函数，
（1）若函数为奇函数，求的值；
（2）设.
（i）函数在上恒有，求的取值范围；
（ii）若，则是否存在实数,使得函数的定义域为，值域为.若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）或
【解析】
【分析】（1）由奇函数定义可得答案；
（2）（i）令，可将问题转化为求二次函数最小值的问题，解不等式计算可得结果；
（ii）可将转化为，通过讨论，与2的大小关系，结合题意可得答案.
【小问1详解】
定义域为，且为奇函数，所以，可得，
经检验当时，为奇函数，所以.
【小问2详解】
（i）易知，，
则，即，
令，由，则，
即，
即，可得恒成立，
令，根据对勾函数的性质可知在单调递减，在上单调递增，
，可得.
法二：易知为开口朝下的二次函数，
当时，需满足，
解得.
（ii）令，令，则，
，对称轴为，故在上的值域为.
①当时，单调递增，此时，
即方程变为在有两个不同根，
解得，其中，故舍去
②当时，先增后减，
所以，因此，
故，可得，故，，
③时，单调递减，此时，
即，两式相减可得
因为，所以，即，
代入可解得，；
综上所述，或.
19. 已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质.
（1）若函数是否满足性质？请说明理由.
（2）若满足性质，在定义域上单调，且对都成立，解关于的不等式（a）；
（3）在（2）的条件下，已知，，若，证明：.
【答案】（1）满足性质，理由见解析
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过验证函数在定义域上是否满足，即可判断；
（2）由函数满足性质，求得的值，由函数在的不等式得到函数单调性，从而将函数值不等式转化为自变量的不等式，通过分类讨论来解答含参二次不等式，求得解集；
（3）由（2）得到函数满足且，从而得到，再由基本不等式求得，得证.
【小问1详解】
当时，
，所以满足性质.
【小问2详解】
若满足性质，
时，得到，
在上单调，在时恒有，
所以在上是单调减函数，
得到，即，
所以，即，即，
①当时，即时，不等式为，不等式解集为；
②当时，，不等式解集为；
③当时，，不等式解集为；
【小问3详解】
）已知，，若，
，
，
∵在上是单调函数，
，，
∵，当且仅当，即时，取等号，
又∵，∴.
【点睛】方法点睛，本题对函数的性质做了新的定义，我们要验证函数是否满足这个性质就得严格按照定义进行证明；同理在已知函数满足这个性质的时候，定义中的等量关系就是我们去解题的关键.所以在解决这类题目的时候应该认真阅读定义，并灵活运算相关知识进行运用.