2024-2025学年天津市河东区高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市河东区高一（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一个盒子中装有红、黄、白三种颜色的球若干个，从中任取一个球，已知取到红球的概率为12，取到黄球的概率为16，则取到白球的概率为( )
A. 12B. 16C. 112D. 13
2.唐代以来，牡丹之盛，以“洛阳牡丹甲天下”的美名流传于世.唐朝诗人白居易“花开花落二十日，一城之人皆若狂”和刘禹锡“唯有牡丹真国色，花开时节动京城”的诗句正是描写洛阳城的景象.已知根据花瓣类型可将牡丹分为单瓣类、重瓣类、千瓣类三类，现有牡丹花n朵，千瓣类比单瓣类多30朵，采用分层抽样方法从中选出12朵牡丹进行观察研究，其中单瓣类有4朵，重瓣类有2朵，千瓣类有6朵，则n=( )
A. 360B. 270C. 240D. 180
3.若α，β是两个不重合的平面，a，b，c是三条不重合的直线，则下列命题中正确的是( )
A. 若a//α，α∩β=b，则a//b
B. 若a⊂α，b⊂β，b//α，a//β，则α//β
C. 若a⊂α，b⊂α，且c⊥a，c⊥b，则c⊥α
D. 若a⊥α，α∩β=c，b//c，则a⊥b
4.在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为710的是( )
A. 都是一级品B. 都是二级品
C. 一级品和二级品各1件D. 至少有1件二级品
5.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F为正方体内(含边界)不重合的两个动点，下列结论错误的是( )
A. 若E∈BD1，F∈BD，则EF⊥AC
B. 若E∈BD1，F∈BD，则平面BEF⊥平面A1BC1
C. 若E∈AC，F∈CD1，则EF//AD1
D. 若E∈AC，F∈CD1，则EF//平面A1BC1
6.某企业为响应国家新旧动能转换的号召，积极调整企业拥有的5种系列产品的结构比例，并坚持自主创新提升产业技术水平，2021年年总收入是2020年的2倍，为了更好的总结5种系列产品的年收入变化情况，统计了这两年5种系列产品的年收入构成比例，得到如图饼图：
则下列结论错误的是( )
A. 2021年的甲系列产品收入和2020年保持不变
B. 2021年的丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的4倍
C. 2021年的丙和丁系列产品的收入之和比2020年的企业年总收入还多
D. 2021年的乙和丙系列产品的收入之和比2020年的乙和丙系列产品收入之和的2倍还少
7.盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚“两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
343 432 314 134 234 132 243 331 112 324
342 241 244 342 124 431 233 214 344 434
由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为( )
A. 220B. 15C. 14D. 25
8.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱BC，CC1，C1D1的中点，点P为底面A1B1C1D1上任意一点.若直线BP与平面EFG无公共点，则|BP|的最小值是( )
A. 2 2
B. 6
C. 5
D. 2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
9.将一个容量为m的样本分成3组，已知第一组的频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m= ______．
10.某校高三年级10次模考中甲同学的数学成绩从小到大依次排列为94，96，98，98，100，101，101，102，102，103，则甲同学在这10次模考中数学成绩的第40百分位数为______．
11.一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次取到的球颜色相同的概率为______．
12.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，且AA1⊥底面ABC，若AB=2，AA1=1，则直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为______．
13.在对树人中学高一年级学生身高(单位：cm)调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，根据这些数据计算出总样本的方差为______．
14.如图，P是边长为2 2的正方形ABCD外一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且PC=5，则二面角P−BD−A的余弦值为______．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
学校体育节的投篮比赛中，10名学生的投中个数(每人投10个球)统计表如下：
(1)求这10名学生投中球的个数的方差；
(2)从投进9个球和10个球的学生中选2人接受采访，求这2人恰好是投进9个球和10个球各1人的概率．
16.(本小题12分)
如图，E为正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AA1的中点．
(1)求证：AC//平面BED1；
(2)求直线AC与ED1所成角的余弦值．
17.(本小题12分)
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1．
(1)求证：AB1⊥平面A1BC1；
(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，M为AD的中点．
(1)求证：PM⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(3)在棱PA上是否存在一点N，使得PC//平面BMN？若存在，求ANNP的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.D
3.D
4.D
5.C
6.D
7.C
8.B
9.20
10.99
11.715
12. 155
13.46.8
14.2 1313
15.(1)依题意，这10名学生投中球的个数的平均数为110×(6+3×7+2×8+3×9+10)=8．
方差为s2=110(12+12+02+12+02+22+12+12+22+12)=1.4．
(2)依题意，这10名学生的投中10个球的有1人，记为a，
投中9个球的有3人，记为A，B，C，从中任选2人，共有6种情况，即{(aA),(aB),(aC),(AB),(AC),(BC)}，
从投进9个球和10个球的学生中各选1人，有3种情况，即{(aA),(aB),(aC)}，
所以从投进9个球和10个球的学生中选2人接受采访，这2人恰好是投进9个球和10个球各1人的概率为P=36=12．
16.(1)证明：连接A1C与BD1，设交于点O，连接EO，
由正方体的性质可知：O为A1C的中点，又因为E为AA1的中点，
所以AC//EO，
又因为EO⊂平面BED1，AC⊄平面BED1，
所以AC//平面BED1；
(2)解：由(1)可知∠D1EO等于为直线AC与ED1所成的角，
由题意AC⊥BD，DD1⊥平面ABCD，
所以DD1⊥AC，BD∩DD1=D，
所以AC⊥BD1，
由(1)可证得：OE⊥BD1，
设正方体的棱长为2，则D1E= A1D12+A1E2= 22+12= 5，D1O=12BD1=12 DD12+BD2=12× 22+(2 2)2= 3，
OE= D1E2−D1O2= 5−3= 2，
所以cs∠D1EO= 2 5= 105．
所以直线AC与ED1所成角的余弦值为 105．
17.(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，所以AB1⊥BA1，
由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1，
又因为A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1=A1，
所以A1C1⊥平面AA1B1B，
又因为AB1⊂平面AA1B1B，
所以A1C1⊥AB1，
又因为BA1∩A1C1=A1，所以AB1⊥平面A1BC1．
(2)解：连接A1D，设AB=AC=AA1=1，
因为AA1⊥平面A1B1C1，所以∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角，
在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边的中点，所以A1D=12B1C1= 22，
在Rt△A1DA中，AD= A1D2+A1A2= 62，
所以sin∠A1DA=A1AAD= 63，
即AD与平面A1B1C1所成的角的正弦值为 63．
18.解：(1)证明：因为PA=PD，M为AD的中点，所以PM⊥AD，
又底面ABCD为矩形，所以AD//BC，所以PM⊥BC．
(2)证明：∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，
又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．
又PA⊥PD，PA⋂AB=A，PA、AB⊂平面PAB，∴PD⊥平面PAB，
而PD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；
(3)存在，且ANNP=12，理由如下：
连接BM、AC，BM⋂AC=O，连接ON，
因为ABCD是矩形，且M为AD的中点，所以△COB∽△AOM，所以AOOC=AMBC=12，
又PC//平面BMN，平面APC⋂平面BMN=ON，PC⊂平面APC，
所以ON//PC，
所以ANNP=AOOC=12．

编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
投中个数
7
9
8
9
8
10
7
7
6
9