2025年内蒙古包头中考数学试题及答案解析

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1．本试卷共6页，满分100分．
2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共8小题．每小题3分，共24分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利元记作元，则亏损元应记作（ ）
A．元B．元C．元D．元
2．下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，是一个矩形草坪，对角线，相交于点，是边的中点，连接，且，，则该草坪的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．当时，D．当时，
二、填空题（共4小题．每小题3分，共12分）
9．在单词（班级）中随机选择一个字母，则选中字母“”的概率是 ．
10．冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ．
11．如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为 （结果保留根号）．
12．如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为 ．
三、解答题（共6小题，共64分）
13．计算：
(1)；
(2)．
14．每年的6月6日是全国爱眼日，某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表：
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)这40名学生视力的中位数落在哪个组内?
(2)该校八年级共有500名学生．
①根据上表数据，请估计这500名八年级学生的视力在范围内的人数；
②从去年同期这500名学生的体检结果中可知，视力在范围内的人数为263人．如果你是该校的一名学生，请说明这500名学生今年和去年视力在范围内的人数变化情况，并为学校提一条保护学生视力的合理化建议．
15．智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个．
(1)求的值；
(2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个?
16．如图，是的直径，半径，垂足为，，是延长线上一点，连接，交于点，连接，．过点作的切线，切点为，交的延长线于点．
(1)求的长；
(2)求的度数；
(3)求的值．
17．问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
外形参数：
如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上．
问题解决：
如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
(1)直接写出，，三点的坐标；
(2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式；
(3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长．
18．如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，．

(1)如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点．
①试猜想与的数量关系，并说明理由；
②求的面积；
(2)如图2，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长．
分组
A
B
C
D
E
人数（频数）
2
8
14
12
4
参考答案
1．B
【分析】本题考查利用正负数表示具有相反意义的量，需根据题意确定相反意义的量及其符号表示即可．
【详解】解：若盈利元记作元，则亏损应用负数表示，
亏损元应记作元，
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
根据中心对称图形的定义即可判断．
【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
3．C
【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可．
【详解】解：，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示是：
故选：C．
4．B
【分析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相似比为，，直接利用相似比可得出坐标．
【详解】解：∵与位似，相似比为，
∴，
∵，位似中心为原点，
∴，
故选：B．
5．C
【分析】此题考查了矩形的性质和三角形中位线定理．根据三角形中位线定理得到，根据矩形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵是一个矩形草坪，对角线，相交于点，
∴，
∵是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴矩形的面积为，
故选：C
6．D
【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解，
【详解】解：由作图可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了正比例函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
通过待定系数法求出电流关于电压的函数解析式，再将代入函数解析式即可求解．
【详解】解：由题意得设电流关于电压的函数解析式为：，
由图象可代入得：，
解得：，
∴，
当，则
故选：A．
8．D
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可．
【详解】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值，
∵，
当时，即时，
则，
当时，即时，
则，
当时，即时，
则，
综上，只有选项D正确，
故选：D．
9．
【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
利用简单事件的概率计算公式即可得．
【详解】解：单词中字母“”有2个，单词中总共有5个字母，
∴选中字母“”的概率，
故答案为：．
10．##
【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键．
根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦”即可列代数式．
【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，平行线的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值及其相关解直角三角形是解题的关键．过点作于点，则，求出，，利用，得出，，相加即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，则，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．连接，交于点，过点作于点，利用四边形是菱形，得出，，，得出，，即可证明，即可计算出，，求出，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，交于点，过点作于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
13．(1)
(2)
【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根，绝对值，还考查了分式的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先化简绝对值和算术平方根，再进行计算即可；
（2）利用分式的乘法的运算法则化简即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．(1)组
(2)①200人；②合理即可
【分析】本题考查了频数分布表，中位数，用样本估计总体等知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）由中位数的意义即可求解；
（2）①用样本估计总体的方法即可求解；②比较数据发现今年学生视力在范围内的人数相比去年减少，然后提出合理性的建议即可．
【详解】（1）解：∵随机抽取了40名学生，
∴中位数为第名学生的视力的平均数，
由频数分布表可得第名学生在组，
∴这40名学生视力的中位数落在组；
（2）解：①由题意得，（人）
答：500名八年级学生的视力在范围内有200人；
②因为，
所以今年学生视力在范围内的人数相比去年减少，
建议：①读书时，坐姿要端正，不要在光线不好的地方看书；②保证充足的睡眠，饮食均衡；③减少电子产品的使用（合理即可）．
15．(1)8
(2)至少需要6个这样的机器人
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据“一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个”建立分式方程求解即可；
（2）设需要个这样的机器人同时工作1小时，由总采摘量不少于10000个建立一元一次不等式求解．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴的值为8；
（2）解：1小时，
设需要个这样的机器人，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴最小值为6，
答：至少需要6个这样的机器人．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查圆的相关性质与计算，涉及切线的性质，弧长的计算，还考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质，三角函数，熟练掌握相关性质与定义是解题的关键．
（1）连接，判定是等边三角形，得出，利用弧长公式求解即可；
（2）利用，求出，再利用，等边对等角即可求解；
（3）连接， 求出，即可得，利用是的切线，求出，，证明，再利用三角函数定义求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
在中，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴的长；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
17．(1)，，
(2)抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为；
(3)
【分析】（1）由矩形性质可得，，，，即可得出坐标；
（2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，由矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可；
（3）由装置整体图案为轴对称图形，得出，，证明轴，设，则，，则，求得，由抛物线对称性可得．
【详解】（1）解：∵矩形的边，，
∴，，，，
∴，，；
（2）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，
结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，
∴，，
∴抛物线和的顶点坐标分别为，，
分别设抛物线和的表达式为，，
将代入，
解得，
则抛物线的表达式为；
将代入，
解得；
则抛物线的表达式为；
（3）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
∴，，
∵轴，
∴轴，
∵是矩形，
∴，
∴轴，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得：或（在对称轴右侧，舍），
∴，
由抛物线对称性可得．
【点睛】本题考查二次函数的图象与几何综合，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
18．(1)①，理由略；②
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理。熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）①由翻折得，，利用四边形是平行四边形，可证明，，再证明，即可求证；
②由，得，过点作于点，过点作于点，利用等腰三角形性质得，求出，可得，利用勾股定理求出，即可求解；
（2）过点作于点，连接交于点，过点作于点，由翻折的性质得，同（2）可得，利用，求出，可得，证明，得出，求出，证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：①由翻折得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
②由，
∴，
如图，过点作于点，过点作于点，

∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作于点，连接交于点，过点作于点，

由翻折的性质得，
同（2）可得，
∴，
∴，
即，
得，
∴，
∵平行四边形中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：．