第11讲 函数的概念及其表示-【暑假衔接】2025年新高一数学暑假提升讲义（含答案）（人教A版2019必修第一册）

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第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：7大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数y＝f(x)，x∈A
知识点2 函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
知识点3 分段函数与复合函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．
(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．
(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.
值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．
(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交.
复合函数：若，，则，叫函数与的复合函数。
考点一 函数的定义
1、下列表示函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应，
所以选项ABD均不符合.
故选：C.
2、如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y，那么以下说法正确的为（ ）
A．y不是n的函数
B．y是n的函数，定义域是
C．y是n的函数，值域是
D．y是n的函数，但该函数值域不确定
【答案】B
【详解】对于给定的任意一个n的值，显然有唯一的y值与之对应，所以y是n的函数，故A错误；n的取值为正整数，所以定义域是，故B正确；根据定义可知值域为，故C错误，D错误．
（多选题）3．下列说法正确的是（ ）
A．函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素
D．对于任何一个函数，如果x的值不同，那么y的值也不同
【答案】AC
【详解】A正确，函数值域中的每一个数一定有定义域中的一个数与之对应，但不一定只有一个数与之对应；B错误，函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函数的定义域为，值域为；C正确，根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在值域中找到唯一元素与之对应；D错误，当x的值不同时，y的值可能相同，如函数，当或时，．
考点二 判断两函数是否相等
1、下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．y=x-1和y=B．y=x0和y=1
C．f(x)=x2和g(x)=(x+1)2D．f(x)=和g(x)=
【答案】D
【详解】对于A，函数y=x-1定义域是R，函数y=定义域是，A不是；
对于B，定义域是，函数y=1定义域是R，B不是；
对于C，和对应法则不同，C不是；
对于D，f(x)= 和g(x)=定义域都是，并且对应法则相同，D是.
故选：D
2、判断下列各组函数是否是同一个函数，并说明理由：
（1），； （2），，；
（3），； （4），.
【答案】答案见解析.
【详解】（1）函数的定义域为R，的定义域为，
所以两者不是同一个函数.
（2）函数的定义域为R，，的定义域为，定义域不同，所以两者不是同一个函数.
（3）定义域，对应关系，值域均相同，所以两者是同一个函数.
（4）定义域，对应关系，值域均相同，所以两者是同一个函数.
3．下列函数中哪个与函数是相同的函数？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）不是相同函数；（2）是相同函数；（3）不是相同函数；（4）不是相同函数.
【详解】（1）中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，所以不是相同的函数；
（2）中，函数与的定义域与对应法则都相同，所以是相同的函数；
（3）中，函数与的对应法则不同，所以是不是相同的函数；
（4）中，函数与的定义域与对应法则都不相同，所以是不是相同的函数.
4．判断下列各组函数是否为同一个函数：
（1）；
（2），；
（3）．
【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是
【详解】（1）因为的定义域为,而的定义域为R,所以与不是同一个函数；
（2）因为与的定义域均为R,所以定义域相同,
又,所以与是同一个函数；
（3）因为与的定义域均为R,所以定义域相同,
又,所以与不是同一个函数
考点三 定义域
1、函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，得，
所以函数的定义域为.
故选：C.
2、若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为集合，集合，
所以.
故选：C
3、已知函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由有意义，可得，解得.
要使函数有意义，
则，解得.
对函数，定义域为自变量的取值范围，
其中集合为非空数集，
所以函数的定义域为.
故A错误，D正确.
故选：D.
4．已知函数的定义域为，函数的定义域是 ．
【答案】
【详解】因为函数的定义域为，
所以，所以，
对于函数，有，
即函数的定义域为.
故答案为：
5．已知的定义域为，函数的定义域为 ．
【答案】
【详解】要使函数有意义，须有：
，所以或.
所以所求函数的定义域为：.
故答案为：
6、（1）已知函数的定义域为，求的定义域；
（2）已知函数的定义域为，求的定义域.
【答案】（1）{，或}；（2）
【详解】（1）的定义域为，
要使有意义，须使，即或，
函数的定义域为{，或}.
（2）的定义域为，即其中的函数自变量的取值范围是，
令，，的定义域为，
函数的定义域为.
考点四 值域
1、取整函数不超过x的最大整数，如，已知函数，则函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为，
当时，；
当时，，
又，当且仅当，即时取等号，
所以或2；
当时，，
又，当且仅当，即时取等号，
所以或1，
综上，得的值域为
故选：C.
（多选题）2．下列函数中值域为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【详解】对于A，函数的定义域为，值域也为，A正确；
对于B，函数，值域为，B正确；
对于C，函数的定义域为，值域为，C错误；
对于D，函数的定义域为R，值域为，D错误．
故选：AB．
3、函数的值域 ．
【答案】
【详解】函数的对称轴为，开口向下，
且时，；时，；时，，
则函数的最小值为0，最大值为4，
所以的值域为.
故答案为：.
4．函数的最大值为 ．
【答案】/0.25
【详解】原函数可以化简为在时有解，
当时，，
当不等于0时，，
解得且不等于0，
故所求最大值为.
故答案为：.
5．函数的值域是 .
【答案】且
【详解】函数中，，则且，
于是，由，得；由，得，
所以原函数的值域为且.
故答案为：且
6．函数的值域为 ．
【答案】
【详解】由题意可得，解得，即函数定义域为，
则，
当时，取最小值0，故取到最大值4，
则函数的最大值为2；
当时，取最大值1，故取到最小值2，
则函数的最小值为；
故答案为：.
7、求下列函数的值域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，代入求得，所以函数的值域为.
（2）由函数，因为，可得，
所以函数的值域为．
考点五 对应法则
1、已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】令，则，因为，则，
，
所以．
故选：B．
（多选题）2．已知函数的定义域为，且，则的解析式可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【详解】首先，各选项给出的函数定义域均为.
对A：，，所以成立，故A符合题意；
对B：，，所以成立，故B符合题意；
对C：，，所以成立，故C符合题意；
对D：，，所以不是恒成立，故D不合题意.
故选：ABC
（多选题）3．已知函数的图象如图所示，则下列解析式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】当时，；当时，，所以即，A错误，C正确；则，B正确，D错误．
4、设函数的定义域为，满足，且当时，．则当时， ．
【答案】
【详解】当时，，此时．又，所以，故．
5、求下列函数的解析式：
(1)已知函数，求函数的解析式；
(2)已知是二次函数，且满足，，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）已知，，
令，，则，代入上式得，
即.
（2）设，
由，得，
由，
得，
整理得，
所以，所以，
所以.
6．求下列函数的解析式．
(1)已知，求；
(2)已知，求；
(3)已知，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）用代入法，因为，
所以；
（2）解法一（配凑法）：
因为，且，
所以函数的解析式为；
解法二（换元法）：
令，则，且，
所以，
故函数的解析式为；
（3）利用方程组法：①，
用代换①式中的，得②，
由①②联立消去，得，
故函数的解析式为．
考点六 分段函数与复合函数
1、已知函数，则（ ）
A．2B．0C．1D．3
【答案】A
【详解】.
故选：A.
2、已知则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意知，，
当时，是单调递减的一次函数，，取值范围是，
当时，是单调递增的一次函数，取值范围是,
所以的值域为.
令，设，则，，
得，
当时，；当时，的取值范围是，
所以的取值范围是，即的值域为.
故选：B
3、已知函数，则（ ）
A．128B．256C．512D．1024
【答案】B
【详解】由题意，
.
故选：B.
4、已知，则 .
【答案】2
【详解】因为，
所以,
故答案为：2
5．已知函数，若，则x的值为 ．
【答案】或
【详解】当，即时，
由得，
所以；
当，即时，
由，解得.
故答案为：或.
6．已知函数，若，则 ．
【答案】
【详解】设，，，
当时，，，无解，不符合题意；
当时，，；
当时，，，无解，不符合题意；
当时，，．
故答案为：
7、已知函数
(1)求
(2)若，求实数的值
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以，
；
（2）当时，，解得（舍）；
当时，，解得，又因，所以.
综上：实数.
考点七 函数图象与图表求函数值
1、已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【详解】由的图象与的对应法则表可知，所以．
2、若函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】根据函数图象可知和不在函数的定义域内，
因此和是方程的两根，可得，
又易知，可得，
即，所以.
故选：D
3、我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学.下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】中途返回家中，则离开家的距离先增大，后减小至0，到家找作业本，再离开家到学校，选项D吻合最好.
故选：D
4、（多选）函数的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【详解】函数的定义域为，
由图可知，则，
由图可知，所以，
由，得，
由图可知，得，所以，
综上，．
故选：AB.
（多选题）5．甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是.如图所示表示甲同学从家山发到乙同学家经过的路程与时间的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了
B．甲从家到公园的时间是
C．当时，与的关系式为
D．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢
【答案】BCD
【详解】由已知得，甲在公园休息的时间是，
所以甲同学从家出发到乙同学家走了，A错；
由图像知，甲从家到公园的时间是，B正确；
甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用时间长，
而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，D正确；
当时，设，
则，解得，C正确.
故选：BCD
（多选题）6．对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（ ）
A．测试结束时，该手机剩余电量为
B．该手机在时电量为0
C．该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快
D．该手机在进行了充电操作
【答案】ACD
【详解】A选项，充电结束时，由图像可知，电量是，A选项正确；
B选项，由图像，5h时刻，电量剩余为，B选项错误；
C选项，由图像，内电量下降的速度平均为，
内下降的速度平均为，前者更快，C选项正确；
D选项，由于期间电量上涨，可知进行了充电操作，D选项正确.
故选：ACD
7、已知函数，分别由下表给出
（1）则当时， ．
（2）则 ．
【答案】 1 3
【详解】根据函数和表格中的数据，可得：
由和，可得，所以；
又由，所以.
故答案为：；.
知识导图记忆
知识目标复核
1．函数的定义
2．函数三要素
3．相等函数
4.分段函数与复合函数
1．已知函数的定义域为，，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求函数值
【分析】借助赋值法，分别令及，可得求得答案.
【详解】令，得①
令，得②
由得.
故选：A.
2．函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】基本不等式求和的最小值、分段函数的值域或最值
【分析】求出各段上的函数值的范围后可得正确的选项.
【详解】当时，，
而当时，，当且仅当时等号成立，
故函数的值域为，
故选：D.
3．已知函数的定义域为，则“，，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】充要条件的证明
【分析】利用抽象函数赋值先证充分性，再证必要性即可得到结论.
【详解】先证充分性：因为，，，
令，得到：，所以，
再令，得到，所以，充分性成立；
再证必要性，因为，所以，且，
所以有，必要性得证；
故“，，”是“”的充要条件.
故选：C
4．若函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】利用整体法求函数的解析式.
【详解】依题意，，而，
所以．
故选：D.
5．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】具体函数的定义域
【分析】利用函数有意义列式求解.
【详解】函数的意义，则，解得，
所以函数的定义域是.
故选：B
6．已知定义在上的函数满足对任意的正数，，都有，若，则（ ）
A．12B．6C．D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】求函数值、由抽象函数的周期性求函数值
【分析】根据，令可得的值，令，可得，进而可得.令，可得，，即可求解.
【详解】∵对任意的正数，，都有，
∴令可得，解得；
令，可得，∴.
∴，即.
令，可得，∴.
故选：D.
7．如图，一条抛物线与轴相交于两点，其顶点在折线上移动，若点的坐标分别为、、，点的横坐标的最小值为，则点的横坐标的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求二次函数的解析式、待定系数法、函数、根据二次函数的最值或值域求参数
【分析】由题意可得，抛物线在平移过程中形状没有发生变化，因此函数解析式的二次项系数在平移前后不会改变.首先，当点横坐标取得最小值时，函数的顶点在点，根据待定系数法可确定抛物线的解析式；而点横坐标取最大值时，抛物线的顶点应移动到点，结合前面求出的二次项系数以及点坐标可确定此时抛物线的解析式，进一步能求出此时点横坐标的最大值.
【详解】由题图知：当点的横坐标为1时，抛物线顶点取，设该抛物线的解析式为：，
代入点坐标，得：，解得，
即：点横坐标取最小值时，抛物线的解析式为：．
当点横坐标取最大值时，抛物线顶点应取，
则此时抛物线的解析式：，
即与轴的交点为或（舍去），
点的横坐标的最大值为2．
故选：B.
8．已知定义在上的函数满足：，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】比较函数值的大小关系、函数周期性的应用
【分析】由已知可得，进而可得，求得可判断AB；求得可判断CD.
【详解】由得，，三式相加得，
，
即，又，所以，则，
所以
故A，B错误；
，故C正确，D错误.
故选：C．
9．已知函数满足，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】基本不等式求和的最小值、求函数值
【分析】利用赋值法得出，，令可得出，进而可得出，推导出，再利用基本不等式可求出的最小值.
【详解】令可得，因为，则，
令，可得，解得，
令可得，即，
令可得，所以，，
所以，，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，当时，等号成立，
所以，的最小值为.
故选：C.
10．若集合，则 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】并集的概念及运算、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域
【分析】根据题意分别求集合和集合，然后通过并集求解即可
【详解】由题意，
因为，所以，
因为，所以，即.
所以.
故答案为：.
11．已知函数，则函数的定义域为 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域
【分析】先求出的定义域，再根据条件得，即可求解.
【详解】由，得到，所以的定义域为，
又，由，解得，所以的定义域为为，
故答案为：.
12．已知函数，且，则实数 ．
【答案】或4或
【难度】0.85
【知识点】已知函数值求自变量或参数
【详解】令，则，解得或0．由，得，解得．由得，解得或．
故答案为：或4或
13．已知函数的定义域为，，且对于任意实数，有，则 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求函数值
【分析】根据题意，令，求得，再令，得到，结合，即可求解.
【详解】因为对于任意实数，有，
令，则，可得，
再令，则，可得，
又因为，可得.
故答案为：.
14．已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】函数方程组法求解析式
【分析】根据给定条件，用换建立方程组求解.
【详解】由，得，
联立两式消去，得，解得，
所以的解析式是.
故答案为：
15．已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】抽象函数的值域
【分析】根据函数图象的关系，结合值域的定义分析即可
【详解】函数的图象向左平移3个单位得到的图象，
因此函数的值域为，
则函数的值域是.
故答案为：.
16．设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】求抽象函数的解析式
【分析】运用赋值法可求解.
【详解】由①，
在①中，令可得②，
在②中，令，则③，
由②可得，④，
由①可得，⑤，
由②可得，⑥，
则由③④⑤⑥可得，，即，
因，则.
故答案为：
17．已知函数．
(1)求的值；
(2)求证：是定值；
(3)求的值．
【答案】(1)1；1
(2)证明见解析
(3)1098
【难度】0.65
【知识点】求函数值
【详解】（1）解：因为，
所以，
．
（2）证明：．
（3）解：由（2）知，所以，所以．
18．（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）；（2）．
【难度】0.65
【知识点】抽象函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】（1）根据的定义域列不等式组求解x，即为的定义域；
（2）对所给函数进行常数分离，由可推出该函数的值域.
【详解】（1）由题意得，
所以函数的定义域为．
（2），显然．
故函数的值域为．
19．已知二次函数满足，且．
(1)求的解析式；
(2)若时，恒成立，求实数的取值集合．
【答案】(1)
(2)实数的取值集合为
【难度】0.65
【知识点】函数不等式恒成立问题、求二次函数的解析式
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）由题意可得的解集为，进而可得，求解即可.
【详解】（1）设，又，所以，所以，
又，所以，
即，所以，解得，
所以；
（2）若时，恒成立，则的解集为，
即的解集为，所以，
所以，即，解得，
所以实数的取值集合为．
20．求解函数方程：
【答案】
【难度】0.4
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】通过多次换元法构造不同的等式，然后通过对这些等式进行运算，消去不需要的函数项，从而求出的表达式.
【详解】已知①，
我们希望通过适当的代换以消去．
为此，令，则．代入①，得②，从①和②中虽可消去，但又多出了．
再令，则，代入①，得 ③，
①＋③－②得 ．
故答案为：．
教材习题01
判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数．
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，.
解题方法
（1）A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数．
（2）对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数．
（3）集合A中的负整数没有平方根，故在集合A中有剩余的元素，故不是集合A到集合B的函数．
（4）对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
【答案】(1)不是集合A到集合B的函数
(2)是集合A到集合B的函数
(3)不是集合A到集合B的函数
(4)是集合A到集合B的函数．
教材习题02
已知
(1)求和；
(2)求函数的值域．
解题方法
（1）解：由函数，
可得，，.
（2）解法1：因为，可得恒成立，可得，所以，
即函数的值域为.
解法2：假设是所求值域中的元素，则关于的方程应该有解，即应该有解，
从而，即，解得，所以函数的值域为．
【答案】(1)，，.
(2)
教材习题03
下列哪一组中的函数与是同一个函数？
(1)，；
(2)，；
(3)
解题方法
（1）因为定义域为，而的定义域为R，
所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；
（2）对于C，易知函数和的定义域为，
而的值域为，的值域为，两函数值域不同，故不能表示同一函数；
（3）易知函数和的定义域为，值域为，
且，所以是同一函数.
【答案】(1)不是
(2)不是
(3)是
x
1
2
3
2
3
0
x
1
2
3
2
3
1
3
2
1