第13讲 函数的奇偶性-【暑假衔接】2025年新高一数学暑假提升讲义（含答案）（人教A版2019必修第一册）

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第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：6大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 函数奇偶性的定义及图象特点
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，x也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
知识点2 函数奇偶性的几个重要结论
（1）如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
（2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
（3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
（4）定义在(，)上的任意函数fx都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
（5）若函数yf(x)的定义域关于原点对称，则f(x)f(x)为偶函数，f(x)f(x)为奇，f(x) f(x) 为偶函数．
（6）f(x)，g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论：
知识点3 分段函数强制奇偶对称
口诀：奇函数定奇变偶，偶函数定偶变奇，奇双负，偶单负．
定义在(，)上任意的函数f(x)都可以唯一的表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和．当f (x)以分段函数形式出现奇偶性的时候，则函数一定满足：①奇函数f(x)f(x)g(x)h(x)；②偶函数f (x)f(x)g(x)h(x)，我们理解为奇函数定奇变偶，偶函数定偶变奇．在f(x)不好拆分出奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和时，则直接采用：①奇函数f(x)f(x)；②偶函数f(x)f(x)，即口诀：奇双负，偶单负．其实通俗的说就是奇函数内外两层都为负，偶函数只有内层为负．
知识点4 对称中心或对称轴平移求值
若f(x)都可以唯一表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，当h(x)m时，则f(x)关于点(0，m) 中心对称，即可以理解为将奇函数g(x)向上平移了m个单位，即f(x)f(x)2f(0)2m ；当h(x)  m时， 则有f(x)f(x) 2h(x)．
推论 若f(x)g(x)m，则f(x)maxf(x)min2f(0)2m ．
知识点5 函数的周期
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
②若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0).
③若f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0).
（3）对称性的三个常用结论
①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
考点一 函数奇偶性的定义与判断
1．函数的奇偶性为（ ）
A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数
2．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
（多选题）3．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．最小值是2B．是奇函数
C．在上单调递减D．在上单调递增
（多选题）4．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．是偶函数D．是单调函数
5．判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)．
考点二 由奇偶性求函数解析式
（多选题）1．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．在上单调递增
C．的解集为D．的解集为
2．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 .
3．已知函数是奇函数，当时，，则当时， .
4．已知函数是定义在上的偶函数．其中、且．
(1)求的表达式；
(2)若，实数满足，求的取值范围．
5．若函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数的表达式；
(2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围．
考点三 函数奇偶性的应用
1．已知函数定义域为为偶函数，是奇函数且，则（ ）
A．2024B．2025C．2026D．2027
2．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A．B．C．D．
3．设是偶函数，且定义域为，，则 （ ）
A．B．C．D．
4．已知定义域为的函数满足，且当时，恒有：，则使得的值可以确定的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．设函数（）的最大值为，最小值为，则=
考点四 抽象函数的奇偶性
1．已知定义域为R的函数，满足是奇函数，是偶函数，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于直线对称B．
C．的一个周期为4D．的图象关于点对称
2．已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（ ）
A．2B．1C．0D．
3．若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（ ）
A．B．0C．D．1
（多选题）4．已知定义域为的函数不是常值函数，当时，，而且对任意的有，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．在上单调递减
D．若，则不等式的解集为
（多选题）5．已知函数的定义域为，则下列说法正确的是（ ）
A．可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和
B．若是奇函数，则是偶函数
C．若是偶函数，则是偶函数
D．若是奇函数，则是奇函数
（多选题）6．已知函数的定义域为，对任意，都有，且，则下列选项正确的是（ ）
A．B．为减函数
C．D．为奇函数
考点五 由函数奇偶性解不等式
1．已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
3．若是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数，，则不等式的解集是 ．
4．已知函数是定义在区间上的函数．
(1)判断的奇偶性；
(2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集．
5．已知函数是奇函数.
(1)求的值.
(2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最值；
(3)若函数满足不等式，求出的范围.
考点六 奇偶函数对称性的应用
1．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是（ ）

A．B．
C．D．
3．（多选）已知定义在R上的偶函数满足，且在区间上是增函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个周期为4
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．函数在上单调递增，在上单调递减
D．函数在内有25个零点
4．（多选）已知定义在R上的函数满足对任意的实数，均有，且当时，恒有，则（ ）
A．
B．当时，函数为减函数
C．当时，的图象关于点对称
D．当时，为偶函数
5．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，且，则 ．
6．已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ．
知识导图记忆
知识目标复核
1．函数奇偶性的定义及判断
2．函数的复合及复合函数奇偶性的判断
3．分段函数奇偶性的判断
4. 数学语言理解函数周期性及对称性
1．若，函数为上的奇函数，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
2．已知定义在上的函数满足为偶函数，，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于中心对称
B．的周期为8
C．
D．当时，，则的值为
3．已知是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．0D．1
4．已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
5．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的定义域为，满足．当时，，则的最大值是（ ）
A．6B．3C．5D．8
7．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
（多选题）8．已知函数的定义域为，，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
（多选题）9．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列选项正确的是（ ）
A．图象过定点B．值域为
C．在定义域上单调D．函数一定存在单调增区间
（多选题）10．若是定义在上的奇函数，，则（ ）
A．B．C．D．
（多选题）11．已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，当时，，则（）
A．的图象关于直线对称B．是周期函数
C．在上单调递减D．在内有4个零点
（多选题）12．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（ ）
A．B．的图象关于点中心对称
C．函数的周期为2D．
13．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则 ．
14．已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为 .
15．已知函数的图象关于中心对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围为 ．
16．设是定义域为的奇函数，且在上是增函数，又满足，则不等式的解集是 ．
17．函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式．
18．判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)，．奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
f（x）
g（x）
f（x）+ g（x）
f（x）- g（x）
f（x）g（x）
f（g（x））
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
教材习题01
根据定义证明：函数在定义域R上是偶函数．
解题方法
因为函数的定义域关于原点对称，且，
所以函数为偶函数.
【答案】见解析
教材习题02
根据定义证明：函数在定义域R上是奇函数．
解题方法
，都有，
且，
所以，函数在定义域R上是奇函数．
【答案】见解析
教材习题03
画出下列函数的图象，并判断其奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)．
解题方法
（1），其定义域为，
，则函数为奇函数；
图象如图：

（2）；其定义域为，
，则函数为偶函数；
图象如图：

（3），其定义域，
但且，
则既不是奇函数也不是偶函数
图象如图：

【答案】(1)奇函数，图象见解析
(2)偶函数，图象见解析
(3)非奇非偶函数，图象见解析