四川省成都市树德中学2024-2025学年高一下学期期末考试 数学试卷

这是一份四川省成都市树德中学2024-2025学年高一下学期期末考试 数学试卷，共5页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
如图， ABC 中，  C  π , AC  2, BC 
4
6  2 .在 ABC 所在的平面内，
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
某学校高一、高二、高三年级的人数之比为2 : 3: 2 ，若利用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n 的
有一个边长为 1 的正方形 ADEF 绕点A 按逆时针方向旋转（不少于 1 周），则
AE  DB 的取值范围是（ ）
样本，高三年级抽取的人数为20 人，则n  （ ）
A．5,5
B．5,3
C．3,3
D．3,5
A． 40B． 50C． 60D． 70
如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形OABC ，且OA / /BC， OA  2BC  2 ， AB 1，则该平面图形的面积为（ ）
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
i 为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是（ ）
A． 3B．
2
3 2C． 2
2
2
D． 3
A． 8  6ii  10
B． 6  8i  8  6i
i
2
如图，在平行四边形 ABCD 中，点E 满足 BE  1 EC ，点 F 为CD 的
3
中点，则 DE  AF （ ）
C．若复数 z 满足 z2  R ，则 z  RD．若复数 z 满足 z i 1，则 z 1 的最小值为 2 1
在 ABC 中， AB  2, AC  3, A  π ，点 D 为边BC 上一动点，则（ ）
7
3
AB  1 AD
A． 3
23
B． 3
AB  1 AD
24
C． 3
AB  5 AD
24
D． 1
AB  5 AD
24
A． BC B．当 AD 为边BC 上的高线时， AD  3 21 14
已知 a，b 是两条直线，α，β 是两个平面．下列命题正确的是（ ）
C．当 AD 为边 BC 上的中线时， AD  19
D．当 AD 为角 A 的角平分线时， AD  12 3
A．若a   ， b   ，则a  b
C．若a   ， a   ，则  
B．若a / / ， a / / ，  b ，则a / /b
D．若   ， a / / ，则a  
25
在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， PA 平面 ABCD ，
且 PA  1，点E ， F ， G 分别为棱 AB, AD, PC 的中点，则（ ）
已知sin     m ， tan  2tan ，则sin    （ ）
A．AG  PD
3
B．平面 EFG 与平面 ABCD 所成角的正弦值为
A． m
3
B． 3mC．  m
3
D． 3m
3
2
C．过点E ， F ， G 的平面截四棱锥 P  ABCD 所得的截面图形的周长为 6 
2
《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方亭 ABCD  A1B1C1D1 中，
D．设点Q 为侧面PAD 内（包括边界）的一动点，且BQ  15 ，则点Q 的轨迹长度为 6 
AB  2A B  4
28 EF
ABBC
318
2
1 1，其体积为
3
， ， 分别为，
的中点，则异面直线
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
AA1与EF 所成角的余弦值为（ ）
向量a  2,  ,b  1,3
，若a / /b ，则实数 的值为.
A． 1
2
B． 2
3
C． 2
2
D． 3
2
天府熊猫塔是中国西部第一高塔，信号覆盖半径80 公里，是四川省广播、
已知函数 f  x  sinx 
3csx 
3   0 在区间0, π  上有且仅有 3 个零点，则实数 的取值范围
电视、微波传输发射枢纽．如图，为了测量该塔的高度，无人机在与塔底B 位
是（）
A． 14 , 20 
B． 4, 16 

C． 4, 22 
2 
3


D． 4, 22 
于同一水平面的C 点测得塔顶A 的仰角为45，无人机沿着仰角 0
   45 
的方向靠近塔，飞行了113 5m 到达 D 点，在 D 点测得塔顶A 的仰角为63，塔

3


 33 
3 
底 B 的俯角为45，且A 、B 、C 、D 四点在同一平面上，则该塔的高度为m．（参考数据：取tan 63
 2 ）
如图 1，在平面四边形 ABCD 中， ACD 是边长为 2 的等边三角形，ABC  π ，将 ACD 沿 AC 翻折，
17．（本小题共 15 分）已知向量m  (sin(  x), 3 sin x) ， n  (sin(  x), cs x) ，设函数 f  x  m n ．
2
使得点 D 到点 P 的位置，如图 2 所示。若平面 PAC  平面 ABC ，三棱锥 P  ABC 的外接球的表面积
44
化简 f x 并写出 f x 的最小正周期；
为． 若二面角 P  AC  B 的余弦值为 
6 ，则三棱锥 P  ABC 的外接球的表面积

2

3
若 f       2 2 ，且 5    7 ，求sin 的值．
为．
 12366
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（本小题共 13 分）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽
查了 40 名工人某天生产该产品的数量，得到频率分布直方图如图所示.
在锐角 ABC 中，若 f  A   1， AC  2 ，求 ABC 周长的取值范围。
 2 

18．（本小题共 17 分）如图，在四棱锥M  ABCD 中， AD / /BC, AC  CD, BC  2AD,
MAD 是边长为 6 的等边三角形，平面MAD 平面 ABCD ，点E 为 AD 的中点，点 N 在棱MD 上，直线MB // 平面 ACN ．
证明： ME  平面 ABCD ；
MN
求频率分布直方图中a 的值.
求
的值；
ND
(2)求这 40 名工人一天生产该产品的数量的众数，80%分位数和平均数.
16．（本小题共 15 分）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，点E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 的中点，将
AED ， BEF ， DCF 分别沿 DE ， EF ， DF 折起，使 A ， B ， C 三点重合于点 A' 。
求证 A'D  EF ；
求三棱锥 A'  EFD 的体积.
求点 F 到平面 A'ED 的距离.
(3)设二面角M  AC  D 的平面角为 ，直线CN 与平面 ABCD 所成的角为 ，若tan 的取值范围是

 3, 3 3 ，求tan 的取值范围．（注意：本题使用建系法不给分！）
19．（本小题共 17 分）某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角 ABC 中， BC  4 ，其外
接圆 O 的半径为 8 7 ，且三条圆弧沿 ABC 三边翻折后交于点 H.
7
(1)求sin HCA；
若点 T 为劣弧BHC 上一动点，求TB TC 的最小值；
若 BO  AC  10 ，求 HA  HB  HC 的值.
树德中学高 2024 级高一下期期末测试数学试题
17．【详解】（1） f  x  m  n  sin π  x sin π  x   3sinxcsx
 4 4
一、选择题
参考答案
 cs

 π π
3 sin2x  1 sin  π  2x   3 sin2x  1 cs2x  3 sin2x  sin  2x  π 

 4  x sin  4  x   2
2
2
2
2
2
6 

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
D
B
B
A
C
D
B
ABD
AC
AD
故最小正周期为T  2π  π4 分
2
（2）因为 f  π     sin   π    2 2 ，由 5π    7π ，则 7π    π  3π ，

二、填空题
12. 6 ；13. 339 ；14. 16  ； 8 ；
3
 122 3 3
1    2
2


2 
3


π 1
66632
三、解答题
【详解】（1）解：由频率分别直方图的性质，可得(0.020  0.040  a  0.010  0.005)10 1，2
所以cs    
3
3  2 2
3

  ，6 分
3
则sin  sin   π   π   sin   π cs π  cs  π sin π
  2 2  1  1 ；
分
3 3 
3 3
3 3

解得a  0.0255 分

-9 分

32326
解：由频率分布直方图，可得众数为 55  65  60 ，7 分
 A  
πππ
2
设 80%分位数为 x ，则0.6 (x  65)0.025  0.8，解得 x  73 ，所以中位数为 73，10 分
这 40 名工人一天生产该产品的数量的平均数为：0.250  0.460  0.2570  0.180  0.0590  64 ，
因为 f  2   sin A  6   1，又 ABC 为锐角三角形，所以 A  6  2 ，则 A  3 ，10 分

a  2  c
由正弦定理sin πsin Bsin  B  π  ，可得三角形 ABC 的周长
33 
所以这 40 名工人一天生产该产品的数量的平均数为6413 分

3
3
sin B  3 cs B
2sin  B  π 
''''
3 
【详解】（1）解：折叠前 AD  AE ， CD  CF ，折叠后 A D  A E ， A D  A F
l  a  b  c  2    2
3
sinB
sinB
sinB
sinB
因为 A'E  A'F  A' ， A'E 、 A'F  平面 A'EF ，故 A'D  平面 A'EF ，
1 cs B
 11
3 
sinB
 3 
3  sinB  tan B   3

因为 EF 平面 A'EF ，故 A'D  EF5 分
由（1）问可知， A'D  平面 A'EF ，所以三棱锥 D  A'EF 的高 A'D  AD  2
，（方法不唯一也可=
tan B
2
 3 ）12 分
A'EF
又因为
折叠前为 BEF ，点E ， F 分别为 AB ， BC 的中点
由△ ???为锐角三角形,可得B  π , π  ，
 6 2 
6 2
6 2



所以 S
 S 1 11  1 ，所以V V
 1 SA'D  1  1  2  1
因为 y  sinB, y  tanB 都在 B  π , π  上单调递增，所以 y  1 1
在B  π , π  上单调递减，
A'EF
BEF22
A' EFDD A'EF3A'EF323
 sinB
tan B 
-10 分
即 1  1 1, 2 
3 ，所以a  b  c 的取值范围为3 
3, 6  2 315 分
sinBtan B
FA EDV ' V'
设点 到平面 '的距离为h ，则有
A EFDF  A ED
 1 S
A'ED
h  1
3
3
【详解】（1）如图，连接ME ，因为△MAD 为等边三角形，E 是 AD
的中点，所以ME  AD，
又有 S
A'ED
 1  A'E  A'D  1 1 2  1，故解得h  1 。15 分
22
又平面MAD 平面 ABCD ， ME  平面MAD ，平面MAD 平面
ABCD  AD ，
所以ME  平面 ABCD4 分
∴由正弦定理可得：
BC
1 (sin BAC)2
4
sin BAC
 sin BAC
 2 8
7
7 ，解得sinBAC 7 .
4
连接 BD 交 AC 于点O ，连接ON ，
因为MB // 平面 ACN ， MB  平面MBD ，平面MBD 平面 ACN  ON ，
csBAC 

 3 .
1 7
16
4
MNBO
由题可知HCA  π  BAC ，sin HCA  sin( π  BAC)  csBAC  3 .———4 分
所以MB / /ON ，则
，
NDOD
224
BO BC
MN 
（2）设点 M 为 ABC 的边 BC 所对的外接圆的劣弧，点 D 为边 BC 的中点.
因为 BC // AD ， BC  2AD ，所以 2 ，故29 分
ODADND
MD
如图，取 AC 的中点 F ，
由题意及对称性可知TB TC  MB  MC  (MD  DB)  (MD  DB)  MD2  DB2  MD2  4 .
因为ME  平面 ABCD ， EF, AC  平面 ABCD ，所以ME  AC ， ME  EF .
故要使TB TC 取得最小值，只需
最小.
又 E, F 分别是 AD, AC 的中点，所以 EF / /CD ，由 AC  CD ，得 AC  EF ，
在圆O 上，由三角形三边关系可知MD  OD  OM  8 7 ，当且仅当M,O, D 三点共线时取等号，此
7
OD2  BD2
OC2  BD2
88862
时MD  OM  OD 
7 
7 
7 7 7 .
因为 EFME  E ， EF, ME  平面MEF ，所以 AC 平面MEF ，
因为MF  平面MEF ，则 AC  MF ，
77777
2

222424
∴ TB TC  MD  4 7 4  ，即TB TC 的最小值为.————————9 分
 777
所以MFE 是二面角M  AC  D 的平面角，即MFE   .———————11 分

（3）由（1）可知： sinBAC 
7 ， csBAC 
 3 .
3
1 7
16
因为△MAD 是边长为 6 的等边三角形，所以ME  3.44
3

ME3 
m 1,3
BO  AC  OB  AC  10 ，OB  AC  10 .
设 EF  m ，则CD  2m ， tan 
EF
m 3,3 3 ，得 ，
又OB  AC  OB  (OC  OA)  OB  OC  OB  OA  OB  OC csBOC  OB  OA csBOA ，
过 N 作 NH / /ME 交 AD 于 H ，连接CH ，由ME  平面 ABCD ，得 NH  平面 ABCD ，
所以NCH 为直线CN 与平面 ABCD 所成的角，即NCH  12 分
∴由圆的性质可知
MN11
OB  AC  8
7  8
7 cs 2BAC  8
7  8
7 cs 2BCA  64 cs 2BAC  64 cs 2BCA  10 .
由 2 得 NH 
ND
ME 
3
3 ， DH 
ED  1， 3
777777
CD2mm
又cs 2BAC  2csBAC 2 1  2 9 1  1 ，
在 Rt ADC 中， csADC  .
168
△CDH
AD63
222
∴ 64  1  64 cs 2BCA  10 ，解得cs 2BCA   31 .
在中，由余弦定理可得CH
 CD
 DH
 2CD DH csHDC ，
78732
NH33
∴在锐角 ABC 中， csBCA  1 ， sin BCA  3 7 ，
4m2  1  2  2m  m
3
8m2  3
3
cs 2BCA 1
2
1 cs 2BCA
2
tan 
88
所以CH 
，所以
CH8m2  38m2  315 分
3
sin ABC  sin(BCA  BAC)  sin BCAcsBAC  csBCAsin BAC  3 7  3  1 
7  5 7 ，
3 3 3 11 
 3 3 11 
csABC 
 9 .
848416
1 (sin ABC)2
因为m1,3 ，所以tan 
8m2  3  5 ,
11  ，所以tan 的取值范围为 5 ,
11  .————16

∴由正弦定理可得：
AB  AC  2 8 7 ，
——17 分
sin BCAsin ABC7
8∴ AB  2 8
7 sin BCA  2 8
7  3
7  6 ，
【详解】（1）在锐角 ABC 中，∵ BC  4 ，其外接圆 O 的半径为7 ，
7
778
AC  2 8
7
7 sin ABC  2 8
7
7  5
16
7  512 分
在 ABC 中，点 H 是 ABC 的垂心可得AHC  π ABC ，BHC  π BAC ，AHB  π ACB .
在 AHC 中，由正弦定理可得
HA

sin ACH
AC
sin AHC ，
5 3
 HA  AC sin ACH  5csBAC  5csBAC  4  12 7 .
sin AHC
sin(π  ABC)sin ABC
5 77
16
6 9
同理可得 HB  AB sin BAH  6 csABC  6 csABC  16  9 7 ，
sin AHB
sin(π  ACB)sin ACB3 77
8
4 1
HC  BC sin CBH 
4 csBCA 4 csBCA 8  2 7 ，
sin BHC
sin(π  BAC)sin BAC77
4
∴ HA  HB  HC  12 7  9 7  2 7  23 7 .————————17 分
7777