河南省开封市2023~2024学年高二下学期7月期末数学试卷[附解析]

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1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知，，且，则（ ）
A.B.C.2D.6
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示，列方程求.
【详解】因为，，，
所以，所以.
故选：B.
2.一批产品中次品率为，随机抽取1件，定义，则（ ）
B.0.5
【答案】A
【解析】
【分析】由均值的性质即可求解.
【详解】.
故选：A.
3.已知等差数列中，，，则（ ）
A.B.C.0D.1
【答案】B
【解析】
【分析】由等差数列基本量的计算即可求解.
【详解】设公差为，因为，，
所以，所以.
故选：B.
4.曲线在点处的切线方程为（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线方程.
【详解】由，
则，
所以函数在点处的切线斜率，
则切线方程为，
即切线方程为，
故选：D.
5.已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数是（ ）
A.21B.42C.84D.168
【答案】A
【解析】
【分析】利用二项式的展开式的通项公式可得，求解即可.
【详解】由，可得展开式的通项公式为，
因为的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，所以，
解得，所以.
故选：A.
6.在圆上任意取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程是（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】设的坐标为，则点的坐标为，利用坐标代换法求出轨迹方程即可.
【详解】设点的坐标为，点的坐标为，
依题意点在圆上，可得，
所以点的轨迹方程为.
故选：D.
7.已知函数有两个不同的极值点，，则实数a的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质求出的范围即可.
【详解】因为函数，所以，
令，由题意得在上2个解，，
故，解得：，经检验适合题意；
故选：C.
8.在棱长为1的正四面体ABCD中，M是BC的中点，且，，则直线AM与CN夹角的余弦值的最大值为（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】选取为基底，将进行分解，可表示出：，，，进一步结合向量夹角公式即可求解.
【详解】如图所示，延长，使得，由题意点在线段上（不包含端点），
选取为基底，由题意，
而，
从而，
，
，
所以，
设，因为，所以，而，
因为
，
设，则，，
当且仅当，即，即时，的最小值为，
所以当且仅当时，.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：关键是表示出：，，，进一步得出，由此即可通过换元法得解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.由成对样本数据，且得到经验回归方程为，其中（单位：cm）为女生身高，（单位：cm）为其父亲的身高，则（ ）
A.直线必经过点
B.直线至少经过点，且中的一点
C.已知父亲的身高为，其女儿身高的估计值为
D.两位父亲的身高相差，则他们女儿的身高相差
【答案】AC
【解析】
【分析】根据回归直线的相关性质分别判断各个选项即可.
【详解】对于A：回归直线必经过样本中心点，故A正确；
对于B：回归直线可不过任意一点，且，故B错误；
对于C：已知父亲的身高为，其女儿身高的估计值为，故C正确；
对于D：两位父亲的身高相差，则他们女儿的身高的估计值相差，故D错误.
故选：AC.
10.已知为等差数列的前n项和，为等比数列的前n项积，且，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，令结合基本不等式可举出反例，对于B，由等差、等比中项即可判断；对于C，由等差数列求和公式以及等差数列性质即可判断；对于D，直接由定义验算即可.
【详解】对于A，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
若，
则，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
11.过抛物线上一点P作圆的切线，切点为A，B，则（ ）
A.的最大值为B.的最大值为
C.可能取到3D.可能取到4
【答案】AD
【解析】
【分析】对于AB，要使最大，只需最大，结合锐角三角函数定义以及两点间距离公式得出的范围即可判断；对于CD，结合等面积法得到，结合的范围即可判断.
【详解】
对于AB，圆的圆心为，半径为，
设，，要使最大，只需最大，
即只需，等号成立当且仅当，
所以的最大值为，的最大值为，故A正确，B错误；
对于CD，由以上分析可知，的取值范围是，的取值范围是，
显然，，由等面积法有，
所以，
又的取值范围是，
所以的取值范围是，故C错误，D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：关键是结合三角函数性质、定义以及等面积法进行适当分析，由此即可顺利得解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知圆，则圆C的半径_________．
【答案】2
【解析】
【分析】将题目中的一般方程整理为标准方程，可得答案.
【详解】由圆，整理可得：，
则圆的半径为.
故答案为：2.
13.已知双曲线的一条渐近线方程为，则椭圆的离心率为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】由题意得，再结合椭圆的离心率公式即可求解.
【详解】由题意得双曲线的渐近线方程为，所以，
这意味着，所以.
故答案为：.
14.学校要安排一场文艺晚会的8个节目的演出顺序，2个集体节目分别安排在第1个和最后1个，还有3个音乐节目、2个舞蹈节目、1个小品节目，要求同类节目不能连续安排，则共有_________种不同的排法（填写数字）．
【答案】240
【解析】
【分析】先分步，第一步：先排2个集体节目，第二步：排剩余6个节目，在这里又要分类，利用计数原理即可求解.
【详解】第一步：2个集体节目共有种排法；
第二步：设先后顺序为第1，2，3，4，5，6，7，8场，
第一类：将3个音乐节目排在第2，4，6场，再排剩下的节目共有种排法；
第二类：将3个音乐节目排在第2，4，7场，再排剩下的节目共有种排法；
第三类：将3个音乐节目排在第2，5，7场，再排剩下的节目共有种排法；
第四类：将3个音乐节目排在第3，5，7场，再排剩下的节目共有种排法；
综上所述，满足题意的排法共有种.
故答案为：240.
【点睛】关键点点睛：对需要完成的事情进行适当的分步、分类，分步时做到条理清晰，分类时做到不重不漏，由此即可顺利得解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点．
（1）求C的标准方程；
（2）已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆定义得，，再结合关系即可得到答案；
（2）求出，设直线方程为，联立椭圆方程，利用即可.
【小问1详解】
由于椭圆的焦点在轴上，
所以设它的标准方程为，
由椭圆的定义知，，
可得，所以，
所以椭圆的标准方程为:.
【小问2详解】
已知，所以，设直线方程为，
由方程组消去，得，
该方程的判别式，
由，得，
此时与有且只有一个公共点，所以的方程为:.
16.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）插入的数构成一个新数列，求该数列前项的和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列性质得，则得到其通项公式；
（2）求出，则，根据等差数列求和公式计算即可.
【小问1详解】
设数列的公差为，由题意知：，
，
所以，所以的通项公式是.
【小问2详解】
数列的通项公式为，
记数列与前项的和分别为，
则
.
17.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知阳马中，侧棱底面；且，在的中点中选择一个记为点，使得四面体为鳖臑．
（1）确定点的位置，并证明四面体为鳖臑；
（2）若底面是边长为1的正方形，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可证平面，平面，进而可得结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面平面的一个法向量与平面的一个法向量，进而利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值．
【小问1详解】
点是的中点，
因为，所以，
又因为底面，底面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
由，，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以，所以四面体为鳖臑；
【小问2详解】
如图，分别以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，则，
则，
设平面一个法向量，
则，令，则，
所以平面一个法向量为，
设平面一个法向量为，
则，令，则，
所以平面一个法向量为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为p，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．已知在某局双方平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束，且．
（1）求p值；
（2）求再打2个球甲新增的得分Y的分布列和均值；
（3）记事件“，且甲获胜”的概率为，求．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，均值为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到关于的方程，解出即可；
（2）首先分析得的可能取值为0，1，2，再按步骤写出其分布列，最后计算均值即可；
（3）对和分析研究，再求出甲先发球，甲、乙各得1分的概率为，最后得到，再利用等比数列的通项公式即可得到答案.
【小问1详解】
由题意可知，对应的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，
所以，解之得.
【小问2详解】
的可能取值为0，1，2，
的分布列为：，
，
，
所以.
【小问3详解】
且甲获胜，就是平后，两人又打了个球该局比赛结束，
且这个球的得分情况为：前个球是每两球甲、乙各得1分，
最后第个球均为甲得分；
且甲获胜，就是平后，两人又打了个球该局比赛结束，
且这个球的得分情况为：前个球是每两球甲、乙各得1分，
最后第个球均为甲得分.
按照甲先发球，甲、乙各得1分的概率为，
所以，且，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是通过对的分析得，最后利用等比数列通项公式即可得到答案.
19.已知函数的定义域为D，其中．对于点，设．若在处取最小值，则称点为M的“f最近点”．
（1）若，，，求M的“f最近点”；
（2）已知函数，，，若的“f最近点”相同，证明：对任意，既是的“f最近点”，也是的“f最近点”．
【答案】（1）
（2）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）由函数新定义得，只需求出的最小值以及取最小值时的的值即可；
（2）先得出的表达式，设既是的“f最近点”，也是的“f最近点”，然后结合新定义、平方数的非负性以及同一思想即可得证.
小问1详解】
当，，，
，，
由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，又，
所以M的“f最近点”为；
小问2详解】
设，
设既是的“f最近点”，也是的“f最近点”，
由题意，在处取最小值，
所以对任意，，即①，
，即②，
由①+②得，，
所以，
所以，
所以对任意，既是的“f最近点”，也是的“f最近点”.
【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是紧扣新定义，结合导数这一工具以及同一思想即可顺利得解.
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