2025上海新七年级数学暑假提升讲义 预习 第09讲 十字相乘与分组分解（3知识点+3大核心考点+过关测）（学生版）

这是一份2025上海新七年级数学暑假提升讲义 预习 第09讲 十字相乘与分组分解（3知识点+3大核心考点+过关测）（学生版），共9页。学案主要包含了方法规律，题型1 十字相乘法，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式1-4，题型2分组分解法，变式2-1等内容，欢迎下载使用。
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：3大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点01：十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法
x2 ab
x a
x b
ax + bx = ( a + b) x
知识点02：分组分解法
1.分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
2.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有：
3.添、拆项法
把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.
知识点03:因式分解的一般步骤
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．
（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【题型1 十字相乘法】
【例1】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）分解因式：
【变式1-1】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）因式分解：．
【变式1-2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）因式分解：
【变式1-3】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）因式分解：
【变式1-4】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：．
【题型2分组分解法】
【例2】（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：．
【变式2-1】（24-25七年级上·上海松江·期末）因式分解：．
【变式2-2】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）分解因式：．
【变式2-3】（24-25七年级上·上海·期末）因式分解：
【变式2-4】（24-25七年级上·上海闵行·期末）因式分解：．
【变式2-5】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：
【题型3 因式分解的应用】
【例3】（24-25七年级上·上海·阶段练习）试说明能被整除．
【变式3-1】（24-25七年级上·上海·期中）正数，，满足，求的值．
【变式3-2】（2024七年级上·上海·专题练习）若、、为非零实数，且，求证：．
【变式3-3】（2024七年级上·上海·专题练习）若为实数且满足，，求的最小值．
【变式3-4】（2024七年级上·上海·专题练习）已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．
【变式3-5】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0．
利用上述规律，回答下列问题：
(1)若是多项式的一个因式，求k的值．
(2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解．
(3)分解因式：．
【变式3-6】（24-25七年级上·上海·阶段练习）阅读理解应用
待定系数法：设某一整式的全部或部分系数为未知数，利用当两个整式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．
待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解，因为为三次整式，若能因式分解，则可以分解成一个一次整式和一个二次整式的乘积故我们可以猜想可以分解成展开等式右边得：，根据待定系数法原理，等式两边整式的同类项的对应系数相等，，，，
可以求出，，所以
(1)若x取任意值，等式恒成立，则 ；
(2)已知整式有因式，请用待定系数法求出该整式的另一因式．
【变式3-7】（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为cm的大正方形，2块是边长为cm的小正方形，且，5块是形状大小完全相同的小长方形．
(1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ；
(2)若图形中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为．
①求的值；
②求图中空白部分的面积．
一、单选题
1．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）把多项式分解成两个因式的积，那么k、m的值分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列整式中不含有这个因式的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是( )
A．B．5C．1D．
二、填空题
4．（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： ．
5．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）因式分解： ．
6．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：
7．（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解： ．
8．（24-25七年级上·上海·阶段练习）分解因式： ．
9．（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解： ．
10．（24-25七年级上·上海·阶段练习）（ ）．
11．（24-25七年级上·上海·阶段练习）若，则 ．
12．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，，那么
13．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是 ．
14．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，共有 种填法．
三、解答题
15．（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解：．
16．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）分解因式：．
17．（24-25七年级上·上海松江·期末）因式分解：．
18．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：．
19．（24-25七年级上·上海·期中）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
(1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次．
(2)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．
(3)分解因式（写出过程）：
20．（24-25七年级上·上海·期中）下面是对整式因式分解的部分过程．
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
_____．（第四步）
_____．（第五步）
阅读以上解题过程，解答下列问题：
(1)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有_____．（至少写出两种方法）
(2)在横线上继续完成对本题的因式分解．
(3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解．
方法
分类
分组方法
特点
分组分解法
四项
二项、二项
①按字母分组②按系数分组
③符合公式的两项分组
三项、一项
先完全平方公式后平方差公式
五项
三项、二项
各组之间有公因式
六项
三项、三项
二项、二项、二项
各组之间有公因式
三项、二项、一项
可化为二次三项式