安徽省合肥市2024_2025学年高一数学上学期期中检测试题含解析

这是一份安徽省合肥市2024_2025学年高一数学上学期期中检测试题含解析，共14页。试卷主要包含了 设函数，其中表示中的最小者， 设集合，，则的子集个数可能为等内容，欢迎下载使用。
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合一元二次不等式求集合B，进而求交集.
【详解】由题意可得：，
所以.
故选：B.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可.
【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以“”的否定是“，”.
故选：C.
3. 你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（ ）
A. 第4秒B. 第5秒C. 第3.5秒D. 第3秒
【答案】A
【解析】
【分析】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可.
【详解】由题意，，
则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒.
故选：A.
4. 关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解.
【详解】因为一元二次方程有实根，
所以，解得.
又是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：A
5. 已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质、特殊值对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若，，如，
则，所以A选项错误.
B选项，若，则，所以B选项错误.
C选项，若，则，
所以由两边乘以得，所以C选项正确.
D选项，若，，
则，所以D选项错误.
故选：C
6. 已知那么a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由幂函数，指数函数单调性可得答案.
【详解】因函数在R上单调递减，在R上单调增.
则．所以．
故选：B
7. 若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据函数为偶函数，不等式变形为，由函数在上单调递减，且，
求出在上单调递增，且，分与两种情况进行求解，得到答案.
【详解】因为为偶函数，所以，
所以，且，因为在上单调递减，且，
所以在上单调递增，且，
当时，则，故，
当时，则，故，
综上：的解集为.
故选：B
8. 设函数，其中表示中的最小者. 下列说法不正确的有（ ）
A. 函数为偶函数B. 当时， 有
C. 当时，D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意画出的大致图象，然后依据图象逐个判断即可．
【详解】在同一坐标系中画出的图象（如图所示），
故的图象为图中实线所示．

对于A：的图象关于轴对称，故为偶函数，故A正确；
对于B：可以看作向右平移2个单位，
结合的图象可知，恒成立，故B正确；
对于C：从图象上看，当时，有成立，故C正确；
对于D：当时，由于，，故D不成立.
故选：D．
二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.）
9. 设集合，，则的子集个数可能为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】BC
【解析】
【分析】讨论、确定集合M，在的情况继续讨论、确定的元素个数，即可求子集个数.
详解】当时，，则：
若，则，子集有8个，
若，则，子集有4个；
当时，，此时，其子集有4个；
综上，的子集个数可能为4或8个.
故选：BC
10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为，x表示不超过的最大整数.例如: .已知函数则下列说法中正确的是（ ）
A. 是奇函数B. 在R上是增函数
C. 是偶函数D. 的值域是
【答案】ABD
【解析】
【分析】由奇偶函数的定义可得选项A正确；分析函数单调性可得选项B正确；分析函数的值域可得的值域，同时也可判定不是偶函数，选项C错误，选项D正确.
【详解】由得，由定义域为R得是奇函数，故A正确.
，
因为在R上是增函数，且1+ex>1，所以在R上是减函数，故在R上是增函数，B正确.
由于，故1+ex>1，
∴，∴，
当时，，
当时，，
∴不是偶函数，的值域是，故C不正确，D正确．
故选：ABD．
11. 若实数a， b满足 则下列说法正确的为（ ）
A. 当时，最大值B. 当时， 最小值为
C. 当时， 有最大值D. 当时，最小值
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，B，D利用重要不等式判断即可；对于C，运用“万能k法”判断方程是否有解即可.
【详解】对于A，当时，，解得，
当且仅当时等号成立，有最大值，最大值为18，选项A正确；
对于B，当时，，则，
所以，即，
当且仅当时时有最小值，最小值为，选项B正确；
对于C，当时，，
设，则化为，
即，
因为关于的方程有解，
所以，解得，
所以没有最大值，选项C错误；
对于D，当时，，
则，当且仅当时等号成立，
有最小值，最小值为，选项D正确．
故选：ABD．
三、填空题（本大题共3小题，共15.0分.）
12. 设函数 ， 若 ， 则 ____________.
【答案】3
【解析】
【分析】由分段函数解析式可得答案.
【详解】由题有，
则，解得．
故答案为：3
13. 设 若不等式 对任意恒成立，则k取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】参变分离，只需，换元得到函数的最小值，得到答案.
【详解】对任意时恒成立，
即对任意时恒成立，
对任意时恒成立，
只需，
令，由得，
设
当即时，取得最小值，
，
的取值范围为.
故答案为：
14. 关于x的不等式的整数解恰有2个，则实数a的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数开口方向和根的判别式得到不等式，求出，求出不等式的解集，解集中恰有两个整数，从而得到不等式，求出答案.
【详解】关于的不等式等价于，
此不等式整数解恰有2个，则有且有，故有，
令即得，
故不等式的解集为，
因为，所以，
所以解集中恰有两个整数，可得，解得．
故答案为：．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由分数指数幂，负数指数幂运算性质可得答案；
（2）由对数运算性质可得答案.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
.
16. 已知二次函数 在上有最大值8，最小值3，
（1）求函数的解析式；
（2）设，函数F（x）在 的最大值是， 求函数.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数开口方向和对称轴方程，得到其单调性，从而得到方程，求出，得到解析式；
（2）写出，分，两种情况，结合函数单调性和对称轴的位置求出最大值，得到答案.
【小问1详解】
∵fx=ax2+2ax+b(a>0)，
∴函数的图象的对称轴方程为，
，∴fx=ax2+2ax+b(a>0)在区间上递增．
依题意得，即，解得，
；
【小问2详解】
，
①时，在上单调递减，所以；
②时，函数对称轴为：，
若，则，
若，则．
综上：Ht=3t,0≤t≤12,15t-6,t>12.
17. 我们知道， 函数. 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数. 的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数. 为奇函数.已知函数
（1）证明: 函数是奇函数，并写出函数f（x）的对称中心；
（2）判断函数的单调性 （不用证明），若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）证明见解析，图象关于点对称
（2）单调递增，
【解析】
【分析】（1）有奇函数定义可证明为奇函数，然后由题干信息可得对称中心；
（2）注意到，由指数函数单调性可判断的单调性，然后结合奇函数性质与单调性可解不等式.
【小问1详解】
由题意，令，
显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称，
且，
所以函数是奇函数，
所以函数的图象关于点对称
【小问2详解】
由
因函数在R上递增，则在R上递减，
则在R上单调递增.
由（1）知函数是奇函数，
又，即，
所以，
解得，所以实数的取值范围为.
18. 在当今这个科技迅猛发展的时代，新能源产业正以前所未有的速度改变着我们的生活.作为新能源领域的重要组成部分，电池技术的进步直接关系到电动汽车的续航里程、充电效率以及整体安全性，是推动新能源汽车行业发展的关键力量.假设某电池生产厂家生产一款新型电池的年固定成本为200万元，每生产1万台还需另投入16万元. 设该厂家一年内共生产该款新型电池x万台并全部销售完，每万台的销售收入为万元，且 ，当该厂家一年内共生产这款新型电池8万台并全部销售完时，年利润为1816万元； 当该厂家一年内共生产这款新型电池20万台并全部销售完时，年利润为3000万元.
（1）写出年利润（万元） 关于年产量（万台） 的函数解析式；
（2）当年产量为多少万台时，该厂家在这款新型电池的生产中所获得的利润最大? 并求出最大利润.
【答案】（1）
（2）年产量为50万台时，获得的利润最大，最利润为3720万元
【解析】
【分析】（1）根据题意先求出，，再结合题设分，两种情况求解即可；
（2）结合二次函数的性质及基本不等式求解即可.
【小问1详解】
因为当生产这款新型电池8万台并全部销售完时，年利润为1816万元，
所以，解得，
当该厂家一年内共生产这款新型电池20万台并全部销售完时，年利润为3000万元，
所以，解得，
当时，；
当时，，
综上：．
【小问2详解】
当时，单调递增，
所以；
当时，，
由于，
当且仅当，即时取等号，所以此时的最大值为3720，
综上所述，年产量为50万台时，获得的利润最大，最利润为3720万元.
19. 已知为正整数，集合 对于 中任意两个元素 和 定义：
（1）当 时，设 ，写出 并计算；
（2）若集合满足 且 求集合中元素个数的最大值，写出此时的集合，不用证明；
（3）若， ，任取，证明：
【答案】（1），
（2）最大值是2，或
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）根据定义，结合反证法进行求解即可；
（3）根据定义，结合绝对值的性质进行证明即可．
小问1详解】
，；
【小问2详解】
若，由可得，，
若，由可得，，
若，则，矛盾，
所以集合中元素个数的最大值是，
此时或；
【小问3详解】
设，
所以，
从而，
又，
当时，；
当时，．
所以．
【点睛】关键点睛：运用分类讨论法、反证法是解题的关键.